Taylorreihe (Taylorentwicklung), MacLaurin + Beispiel f(x)=sin(x)
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- Опубликовано: 8 июл 2024
- Die Taylorreihe ist ein Taylorpolynom unendlichsten Grades. Mit Entwicklungspunkt x0=0 nennt man sie auch MacLaurin Reihe. Sie stimmt für analytische Funktionen im Konvergenzbereich mit der Funktion überein, aus der sie berechnet wird und ist dort laut Identitätssatz für Potenzreihen auch die einzige existierende Potenzreihendarstellung (um x0).
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Inhalt:
0:00 Was ist eine Taylorreihe?
0:39 Beispiel f(x)=sin(x) (Taylor, MacLaurin)
2:15 Explizite Ableitungsvorschrift von sin(x)
6:48 Potenzreihendarstellung von sin(x)
12:10 Identitätssatz von Potenzreihen
13:46 Beispiel mit Konvergenzradius
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Sehr schöne Videos! Du bist der Daniel Jung für alle Studenten mit höherer Mathematik! Bleib bitte dran! Du erklärst seeeehr verständlich! Danke dir!!! :)
wird gemacht! danke!
Fieser Vergleich. :-) Bei Daniel Jung sind es meist nur kurze, schnellhingeballerte Videoschnipsel mit den immergleichen zermürbenden Verweisen auf ("da hab ich auch mal eine Video zu gemacht"). Viel Gelaber, wenig Kontent.
@@weirdpsycho1881 Naja für
Leute wie dich muss es schwierig sein kurze Videos zu verstehen, ist wohl zu schnell für dich was
@@psysch21 Für Leute wie mich? Also du meinst Ingnieurstudenten? Ich verstehe sowohl schnelle als auch langsame Videos. Zur Not gibts sogar die Pause Taste. Die erspart einem nur leider weder die nervigen Wdh bei Jung noch ersetzt sie die fehlende Struktur. Bitte melde dich wieder wenn du einen Beitrag mit ein wenig mehr Substanz hast.
Meine Güte!, das ist wahnsinnig gut erklärt. Das Beste & Luzideste, was ich bisher in diesem Bereich bezüglich Taylorreihen und Taylorpolynome in Verbindung mit trigonometrischen Funktionen gesehen habe!!!
Super verständlich erklärt. Danke
Der Satz "du kannst mir aber auch einfach ,,nur,, glauben" fand ich echt gut.
Meinen Dank für die Herleitung der Sinus-Ableitungsregel und der expliziten Formel der Taylor-Reihe der Sinusfunktion.
Deine Videos sind echt der Hammer! Besonders in dieser Zeit wo die Unis geschlossen haben sind sie mega hilfreich. DANKE! :-)
Du bist mit Abstand der beste Matheyoutuber. Werde Lehrer und mache so weiter. Kein Reden um den Heissenbrei, noch werden die Themen verkompliziert. Deine Ansätze sind nachvollziehbar und sehr verständlich.
In einem Lehramtsstudium seh ich grad keine Zukunft mehr. Vielleicht schaffs ichs aber auf Uni Ebene was zu bewegen :)
@@MathePeter Hoffen wirs!!! Ich drücke dir die Daumen und wünsche dir Viel Erfolg.
Hättest du einen Tipp, wie ich mit voller Mühe und Raffinesse Differenzialrechnung, Integralrechnung und Statik lernen kann? Evtl. Literaturempfehlung?
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Wenn ich irgendwie weiter helfen kann, schreib mir einfach jederzeit ;)
Die Videos sind so gut, der Stoff wird sehr verständlich erklärt, sodass jeder das versteht ! Danke danke danke du gibst mir wieder die Motivation, Mathe zu studieren :)
Danke für deinen Channel! Du machst krasse Videos! Unglaubliches Talent. Du hast mehr Aufmerksamkeit verdient!
Deine Videos sind super, vielen Dank.
Hilfst meinem Studium sehr :D
Das schönste Video ever
Top Videos, hat mir im als Studenten im ersten Semester Maschinenbau sehr geholfen. Gerne mehr ;)
Give this man a medal! Der Held den wir dringend brauchen, aber vielleicht nicht verdient haben :'D
Perfektes Video!!! Bitte mach weiter so!!!
Danke dir, ich bleib dran. Versprochen!!! :)
Vielen Dank! Natürlich, jetzt geht es erst richtig los !!
Einfach gut erklärt, mehr kann man dazu nicht sagen!
Wahnsinnig tolle Videos! Wirklich sehr hilfreich und gut erklärt. Weiter so! :)
Bester Mann! Wie immer ein extrem gutes, gut verständliches Video :)
Bester Mann oder Ehrenmann? #verwirrt
Ehrenmann ! :D
MathePeter? More like EhrenPeter
Super erklärt, Vielen Dank!!
Einfach hervorragend!
danke!
Du bist der Beste
MathePeter rettet mein Leben! ^^
14:16 one pen was harmed during the making of this video
merci
Perfekt wie immer !!!
kannst du bitte ein Video für Taylorentwicklung im Mehrdimensionalen Raum machen ? .
Ein Beispiel oder eine allgemeine Herleitung?
MathePeter
z.B mit einem einfachen Beispiel die Approximation grafisch anschaulischer machen.. die Fehlerrechnung verständlich machen usw.
Sehr ausführlich erklärt 👍, könntest du demnächst ein Video zur Fourier Reihe machen , Symmetrie gerade und ungerade , danke :)
Wurde schon mehrfach gefragt, werde wahrscheinlich Anfang des neuen Jahres Videos dazu machen :)
Mega hilfreiches Video! Ich hätte nur eine kleine Verständnisfrage: wenn man statt sin(x) cos(x) als Funktion hätte, wäre das dann cos(x - pi halbe) oder +pi halbe?
Der Sinus ist um π/2 weiter nach rechts verschoben im Vergleich zum Cosinus. Also ist cos(x)=sin(x+π/2) oder auch cos(x-π/2)=sin(x).
Tolles Video, sehr sympathisch und zugleich kompetent, ich kann mich den vielen Vorrednern nur anschließen. Schade nur dass es kaum eine übergeordnete Struktur gibt. Das Themengebiet Potenzreihe bspw., keine allgemeine Einführung, keine zusammenhängende Playlist. Oder hab ich das nur noch nicht gefunden?
Vielen Dank! Und die Strukturen folgen, wenn ich mehr Videos in der Richtung veröffentlicht habe in diesem Jahr! :)
Hallo Peter, die Pfeile in der Zeichnung ist etwas verwirrend, müssen sie eigentlich umgekehrt eingezeichnet sein? Wenn wir x=0 einsetzten dann haben wir cos(0) und sin(pi/2), das d.h. wir verschieben den cos von links nach rechts. Lg
Ich verstehe, was du meinst. allerdings steht dort, dass der Kosinus gleich der Sinus ist, der um Pi halbe nach links verschoben wird denn wenn auf den X Wert Pi halbe drauf addiert wird, dann verschiebt sich die Funktion um Pi halbe in die negative Richtung.
MathePeter - wenn Schwieriges einfach wird - und das Bogenmaß zum Maß aller Dinge. 🙂 Warum wird dieser Ableitungsansatz kaum in der Schule gelehrt?
Danke für das Video, allerdings muss ich eine Taylorreihe für eine Funktion mit 2 veränderlichen erstellen und irgendwie finde ich nirgends wie das gemacht wird. Ich finde immer nur Beispiele bei denen 2. Grades oder so dabei steht. Bei mir steht jedoch in der Aufgabe nur das ich die Taylorreihe bestimmen soll also quasi mit dem Grad unendlich oder ? aber wie funktioniert das denn ? bin komplett am verzweifeln :D
Gibt wahrscheinlich kaum Videos dazu, weil das so gut wie nie gefragt wird. Gib mir aber mal die Aufgabe, vielleicht lässt sich eine Ableitungsvorschrift rausfinden :)
@@MathePeter Ich soll die Taylorreihe von
F(x,y)=(e^(-y)^2)/(1-x^2) um (0,0) bestimmen. Hab auch versucht eine Ableitungsregel zu finden allerdings bin ich da nicht so gut drin und mit zwei veränderlichen verstehe ich auch nicht genau wie das geht.
Danke für die schnelle Antwort!
Der Zähler der Funktion ist mir nicht ganz klar. (e^(-y))^2 oder e^((-y)^2)? Im ersten Fall kann das Quadrat als Faktor an das -y dran multipliziert werden und im zweiten Fall kann das Minus vor dem y weggelassen werden.
@@MathePeter Oh du hast recht da hab ich denk ich einen Fehler rein gemacht, sorry. Da das Minus in der Aufgabe steht denke ich es ist e^(-1*y^2). Also das hoch 2 steht am y und davor ist das minus und das ganze ist die hochzahl vom e.
@@CIrAzYIX Da sich in der Funktion die Variablen x und y multiplikativ trennen lassen, also f(x,y)=1/(1-x^2)*e^(-y^2), würde ich einfach die Taylorreihe von g(x)=1/(1-x^2) und von h(y)=e^(-y^2) einzeln berechnen und dann die Reihen mit der Formel für das Cauchyprodukt zusammenfassen.
5:43
krass
Okay
Was macht man, wenn man die Taylor-Reihe von abgefuckten Funktionen wie f(x) := (x²-1)*e^(-x²) bestimmen soll?
Ich habe die ersten paar Ableitungen bebildet, aber erkenne da kein Muster.
Wenn sich kein Muster erkennen lässt, dann ist die Aufgabe schon mal ein Schwierigkeitslevel höher. Klassiker dafür sind Funktionen mit einem e^(x^2) oder e^(-x^2) in sich. Der Trick ist einfach die Potenzreihe (=Taylorreihe) von e^x zu nehmen und dann für das x den vorlegenden Exponenten, bei dir -x^2, einzusetzen. An dieses Ergebnis multiplizier dann einfach noch deinen letzten Term, x^2-1 dran. Jetzt noch ausmultiplizieren und Reihen zusammenfassen. Ist ein richtig gutes Beispiel, vielleicht mach ich dazu ein Video, wenn ich aus dem Urlaub zurück bin :)
@@MathePeter ja bitte wäre sehr hilfreich
super VIdeo aber wie gehts bei sin^2(x)?
Die Ableitung von sin^2(x) ist gleich 2*sin(x)*cos(x) und das ist nach der Regel für den doppelten Winkel gleich sin(2x). Das heißt die Ableitungsordnung wird nur um eins verschoben und statt x setzt du am Ende 2x ein.
Kannst du bitte die Fourierreihen von linearen und quadratischen Funktionen erklären? Vielleicht auch zu komplexen? Das wäre richtig nice 👌👌
Auf jeden Fall! Dauert aber noch eine ganze Weile, weil ich noch viele andere Videos vorher rausbringen muss und die dauern alle leider länger als man denkt.
Dieses simple Club ist einfach nur erbärmlich! Es ist oberflächlich und geht nicht in die Tiefe! Außerdem bringen diese Witze total aus der Thematik und deren Videos verwirren einen nur!
Wenn Man nicht so wie du mit Fachkompetenz, gutes Erklärvermögen und Sympathie Punkten kann versucht man es halt mit affigen Spielchen! Weiter so Peter!
Ich Feier dich so abnormal!
Wow vielen Dank, das motiviert mich! Ich bleibe dran!! :)
@@MathePeter :( :( then it won't come out before my exam. Fourier is so complicated, don't know why it should exist...haha
@@rosanaduarte6717 When it comes out you will know why it should exist :D
Sry that it still needs so much time.
Wenn ich jetzt das Taylorpolynom 6. Ordnung bestimmen möchte wäre es ja beim sin(x)= ---+x^5, da der Term mit x^6 ja den Koeffizient 0 hat. Woher weiss ich bei Funktionen, deren Taylorreihe = Potenzreihe sind, bis zu welchem Term ich gehen muss für Taylorpolynom n-ter Ordnung, im allg. sehe ich ja an der Reihendarstellung nicht, welche Terme "stillschweigend" zur 0 werden. Beim Sin(x) sieht man ja leicht , dass alle geraden 0 werden
Ja genau so ist es. Der Sinus ist eine ungerade Funktion. Wie bei allen ungeraden Funktionen wird das zugehörige Taylorpolynom auch eine ungerade Funktion sein, also alle geraden Potenzen fallen weg. Bei geraden Funktionen wie dem Cosinus fallen alle ungeraden Potenzen im Taylorpolynom weg.
Viel besser als dieser Daniel.
Hi zur Fourierreihe hast du leider keine Videos?
Leider noch nicht! Die kommen aber noch in diesem Jahr!
kann man das alles auch für x0 ungleich 0 machen??? Was passiert in diesem fall?
Ja kann man. In dem Fall setzt du statt der 0 einfach diesen anderen Wert in die Funktion und alle ihre Ableitungen ein.
aber x+Pi/2 mit Kettenregel abgeleitet ist 1 , was hier egal ist, daher erwähnst du das nich, dass man da ne Kettenregel anwenden muss wa?
Ganz genau!
tolle Erklärung ich danke dir :) allerdings hätte eine Bitte könntest du mal video machen wie man sin(x).cos(x) als Tylorreihe schreibt ? es wäre korrekt
Meinst du sin(x)*cos(x), also das Produkt? Dafür kannst du ganz einfach die Umformung sin(x)*cos(x)=1/2*sin(2x) benutzen. Jetzt einfach für das x in diesem Video ein 2x einsetzen und die 1/2 vor die gesamte Reihe schreiben :)
@@MathePeter vielen Dank voll nett
Ist die Ableitung von sin(x) nicht eigentlich -cos(x)?
Nein. sin(x) abgeleitet ist cos(x). Aber sin(x) integriert ist -cos(x).
@@MathePeter danke :)
@@MathePeter gibt es dazu zufällig ein Video wo erklärt wird warum das so ist?
Noch nicht, aber das kann ich gerne mal machen! :)
@@MathePeter das wär ja geil :) könnte man mit integrieren verbinden...
gecheckt, dass man es mit sin in Bogenmaß rechnen muss, wollte schon sagen wtf xd