Taylorreihenentwicklung + Beispiel f(x)=1/x
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- Опубликовано: 8 июл 2024
- Die Taylorreihe ist ein Taylorpolynom unendlichsten Grades. Sie stimmt für analytische Funktionen im Konvergenzbereich mit der Funktion selbst überein. Wie der Konvergenzbereich und die Entwicklungsstelle zusammenhängen, siehst du hier am Beispiel f(x)=1/x.
KORREKTUR:
4:48 Im Nenner steht ein x³ und kein x².
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Inhalt:
0:00 Beispiel f(x)=1/x (Taylorreihe & Konvergenzbereich)
0:54 Explizite Ableitungsvorschrift von 1/x
7:08 Potenzreihendarstellung von 1/x
9:16 Konvergenzbereich (hier: geometrische Reihe)
12:37 Wann gehören die Randwerte mit zum Konvergenzbereich?
13:59 Zusammenhang Entwicklungsstelle & Konvergenzradius
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Ich finde du hast immernoch viel zu wenig Abonnenten, dafür das du qualitativ einwandfrein und perfekt auf ein bestimmtes Problem gerichteten Content machst. Weiter so!
Hervorragend erklärt. Ich habe selten eine Darstellung in dieser Qualität gesehen und/oder gelesen.
Jungs, gibt ihn mal ein paar Daumen nach oben. Wie kann es sein, dass er euch so gute Videos macht und nur jeder 50ste bewertet.
Vielen lieben Dank für den Support! 😊
Habe den Kanal das erste mal entdeckt und muss sagen: Super gut! Du greifst auch noch alte Themen auf und erklärst diese Schritt für Schritt! Top!
MathePeter bester Mann mit was für einer Überzeugung du uns es erklärst Wahnsinn mach weiter so
Dieses Video hat gerade mein Leben gerettet
Geniale Erklärung, wie bei den meisten Videos top
Vielen Dank auch aus der Schweiz :)
Wahnsinn, wie gut du solche komplexen Themen innerhalb kürzester Zeit erklären kannst. Viele Professoren könnten sich an dir ein Vorbild nehmen! Als Dank gleich mal abonniert
Du bist unfassbar gut. Du liebst Dein Fach und es unkompliziert jemanden beizubringen. Und Dein Sympathie-Level ist unschlagbar.^^
Würden all die legendären Mathematiker noch leben und Deine Videos sehen, würde sie Dich alle feiern als den jungen Mann, der die Mathematik bestens an den Mann überbringen kann.^^
Keine Ahnung wo Du unterrichtest. Doch jeder der Dich als Dozenten hat, hat praktisch im Lotto gewonnen.^^
Daher finde ich es als das legitimste an Ideen, dass Du einen RUclips Channel hast, wo Du zumindest im deutschsprachigen Raum Dein wunderbares Wissen so wahnsinnig gut und sympathisch an die Studenten bringst. Statt Lehrer Schmidt, hätte die ehemalige Regierung Dich nehmen müssen.^^ Du bist der BESTE weit und breit.
Das ist das x-te Video das ich von Dir anschaue und bin jedes mal fasziniert von Deiner Herangehensweise bis zu Deiner allgemeinen Sichtweise über die Mathematik.
Deine Mentoren haben eine mathematische Wunderwaffe aus Dir erschaffen, und schauen sicher sehr stolz Deine Videos an.
Solltest echt Preise für Dein Channel bekommen. Der sympathischste RUclipsr aller Zeiten. Das ist das mindestes.^^
du erklärst sehr gut. Chapeau!
deine videos sind genial weiter so!!!!!!!!!! bessser als andere youtub lehrer
deine Stimme ist genial
Danke! liegt aber sicher am Mikrofon ;)
Super erklärt! Danke :)
Danke, für das super Video. :)
Wow, ich habe es verstanden :) danke
no joke ich liebe deinen bart so sehr
vielen dank für den content. keep it up
Geiler Typ!💪🏼
geil Erklärt!!
Sehr gutes Video.
Pädagogisch schon hart nah der Perfektion
Gutes Video 👍
😍😍😍😍😍😍😍
Wenn in einer Aufgabe nur die Potenzreihe in form von SUMME((k+1)x^k) gegeben ist.
Wie kann ich dann den Arbeitspunkt x0 bestimmen?
Eine Potenzreihe ist immer in der Form SUMME(a_k * (x-x0)^k). Die Folge a_k=k+1 und der Entwicklungspunkt ist x0=0.
Hey Perter,
hätte eine Frage, wieso divergiert die Fkt. für 2a?
Denn in der Klammer mit der k-Potenz steht ja eine minus 1 aus -1/a* (a) = -a/a, somit wird das Minus für eine gerade Potenz zu einem Plus. Folglich -1+1-1.... und somit der endliche Wert 0.
Hoffe du antwortest, danke und beste Grüße.
-1+1-1... kann zwei verschiedene Werte annehmen, je nachdem wieviele Summanden zu betrachtest. Das heißt es gibt 2 Häufungspunkte. Damit existiert kein Grenzwert.
Gut erklärt! Aber eine Frage bleibt mir noch, warum muss q genau zwischen -1 und 1 liegen damit's konvergiert? Wovon sind diese ''Grenzen'' abhängig? Liebe Grüße :)
Erst heute habe ich ein Video zur geometrischen Reihe hochgeladen und genau das erklärt: ruclips.net/video/zjE64WfoGnA/видео.html
Damit die Reihe konvergiert, muss die Zahlenfolge, die aufaddiert wird, eine Nullfolge sein. Die geometrische Folge konvergiert nur für -1
unter 1 ^ unendlich =0
Noch eine Frage, wenn Ich für g(x) = 1/(2-x^4) die Taylorreihe bei x0=0 mit Hilfe der geometrischen Reihe bestimmen soll, wie ist da der Ansatz?
Ergebnis ist Summe[(1/2)^(k+1) * x^(4k)]
Für die geometrische Reihe brauchst du 1/(1-q), darum einfach bei dir eine 1/2 ausklammern und es steht da: 1/2 * 1/(1-(x^4/2)) mit q=x^4/2. In die geometrische Reihe eingesetzt hast du dann Summe[1/2 * (x^4/2)^k], jetzt noch mit Potenzgesetzen die (1/2)^k abspalten und mit dem Vorfaktor 1/2 zusammenfassen.
@mathepeter
Gilt deine Quotientenregel bei der Ableitung auch wenn die Variable nur im Nenner steht aber zusätzlich noch konstanten aufweis? z.B 1/(-5+x)
Was meinst du mit „meiner“ Quotientenregel? Gibts eine andere als die allgemein bekannte?
@@MathePeter Bezogen auf den von dir genannten Trick wenn die Variablr nur im Nenner steht, meinst du "nur die Variable im Nenner oder nur die Variable alleine"?
@@diegoderibero4281 bei dem Trick kann es auch Verkettungen im Nenner geben. Also auch bei deinem Beispiel klappt der Trick. Achtung: Ableitung der verketteten Funktion nicht vergessen (bei deinem Beispiel eine *1, also kann man sie hier weglassen).
Danke Peter! Ehre wem Ehre gebührt!
Frage bei 9:00 : Wenn man dort das a^(k+1) aufteilt und zusammenfasst, ist es dann nicht egal ob ursprünglich a^(k+1) oder nur a^(k) stand? Wieso ist das so?
Nein, denn das abgespaltete a¹ hat ja immer noch einen Einfluss auf das Endergebnis.
Wie funktioniert das mit dem alternierenden Vorzeichen bei ungeraden Funktionen? Nimmt man da k+1 oder k-1 oder ist das egal?
Meinst du mit "ungerade" Funktion die Symmetrieeigenschaft? Der Sinus ist eine ungerade Funktion, weil dort gilt f(-x)=-f(x). In dem Fall fallen alle Summanden weg, bei denen die Potenz eine gerade Zahl ist. Um dort die Nullen "auszusieben", kann jedes k ersetzt werden durch 2k-1 oder 2k+1. Schau dir das am besten mal in meinem Video an, in dem ich die Taylorreihe vom Sinus hergeleitet habe.
Hast du vielleicht einen Tipp, wie es sich verhält wenn vor dem x noch ein Faktor steht, zb, 1/3+2x ?
Steht der gesamte lineare Term 3+2x unten im Nenner, also f(x)=1/(3+2x)? Das wäre ein Unterschied :)
Im Fall von f(x)=1/(3+2x) geht alles genauso, nur dass in jeder Ableitung noch einmal die "*2" als innere Ableitung dazu kommt. In der k-ten Ableitung steht also noch ein 2^k als Faktor.
MathePeter ja genau, 1/(3+2x). herzlichen dank, ich denke dein tipp hat schon gut geholfen!
Hab ich es richtig verstanden das der Weg wie hier der Kovergenzbereich festgelegt wurde, nur für die Funktion f(x)=1/x gilt, oder ist der allgemein gültig?
Der Weg ist immer dann möglich, wenn du den Zusammenhang zur geometrischen Reihe siehst. Allgemeiner kannst du auch das Quotienten- oder Wurzelkriterium benutzen.
Hey Peter, wieso konvergiert das q nur zwischen -1 und 1 könntest du das vllt kurz erläutern woher diese beiden Werte stammen. Danke schonmal.
Das hab ich in 10:18 erklärt. "Das kannst du gern mit dem Wurzelkriterium überprüfen". Du kannst dir aber alternativ auch mein Video zur geometrischen Reihe anschauen, wo wir das von Grund auf hergeleitet haben: ruclips.net/video/zjE64WfoGnA/видео.html
Edit: Nicht das q konvergiert, sondern die Reihe konvergiert für |q|
Würde es mit 0 nicht immernoch konvergieren ?
Da wir 1+1+1....+1 haben, also unendlich, aber davor noch 1/a steht, würde es doch konvergieren.
Da (1/a)*unendlich konvergiert, oder nicht ? 1/a konvergiert ja gegen 0, und 0*unendlich = 0 ?
Oder würde sich das ausgleichen ?
Nein, wenn du die konstante Zahl 1/a mit unendlich multiplizierst, kommt unendlich raus. Das divergiert. Selbst im Fall von "0*unendlich" kommt nicht zwingend 0 raus, wenns keine echte 0 ist, sondern nur gegen Null geht.
bei 10:35 woher weiß man das q zwischen 1 und -1 liegen muss?
Weil die Reihe sonst nicht konvergiert. Kannst du zum Beispiel mit dem Wurzelkriterium prüfen oder dir die Herleitung der Formel für die geometrische Reihe anschauen.
Hallo, warum soll die geometrische Reihe zwischen -1 und 1 liegen? Das habe ich nicht verstanden
Nicht die geometrische Reihe soll zwischen -1 und 1 liegen, sondern der Wert, der potenziert und aufsummiert wird. Andernfalls nimmt die Summe der unendlich vielen Summanden nicht genau einen endlichen Wert an (=Konvergenz). Schau dir dafür einfach meine Videos zur geometrischen Reihe an.
Ist nur ein Schreibfehler, aber bei 4:48 soll unter dem Bruchstrich auch x^3 stehen, anstatt X^2.
Ansonsten, schön erklärt. Erinnert mich an die Abiturzeit, und die ist schon ein halbes Jahrhundert her.
Stimmt! Vielen Dank, ist mir gar nicht aufgefallen 😂
Laut Wikipedia liegt die Entwicklungsstelle immer genau in der Mitte des Konvergenzbereiches, sogar für komplexwertige Potenzreihen (der Bereich ist also kreisförmig). Warum ist das so?
Weil das die Definition des Konvergenzradius ist: Das Supremum aller möglichen Abstände |x-x0|, für die für mindestens ein x die Potenzreihe konvergiert.
@@MathePeter was ich meinte ist, dass die Funktion für alle x mit |x-x0| < r (sogar absolut) konvergiert. der Konvergenzbereich ist also genau kreisförmig und das verwundert mich.
Nehmen wir deinen Spezialfall x€R^2, dann beschreibt |x-x0|^2=(x1-c)^2+(x2-d)^2=r^2 einen Kreis mit Radius r um den Punkt (c,d). Ganz allgemein für x€R^n beschreibt |x-x0|^2=r^2 eine Sphäre mit Radius r um den Punkt x0. Beachte, dass | • | für die euklidische Norm steht und auf beliebige metrische Räume erweitert werden kann.
@@MathePeter Wenn meine Fragen unverständlich formuliert sind, dann tut mir das leid. Das ist leider auch nicht, was ich meinte.
Der Konvergenzradius ist der größtmögliche Abstand |x-x0|, für die für mindestens ein x die Potenzreihe konvergiert. Wäre die Potenzreihe beispielsweise im Einheitsquadrat konvergent und überall sonst divergent, dann wäre der Konvergenzradius sqrt(2) (mit dem Ursprung als Entwicklungsstelle).
Auf Wikipedia steht nun unter "Folgerungen aus dem Konvergenzradius": "ist |x - x0| < r, so ist die Potenzreihe absolut konvergent", das würde bedeuten, dass die Potenzreihe im gesamte Kreis mit Radius sqrt(2) konvergiert. Der "Konvergenzbereich" kann also nicht quadratisch sein, wie oben beschrieben, sondern ist immer _genau_ kreisförmig. Das kann ich mir noch nicht erklären.
Kein Problem das kenn ich von mir selbst. Nur denke ich, dass wir uns im wahrsten Sinne im Kreis drehen. Dass es ein Kreis ist folgt schlicht aus der Annahme, dass wir stillschweigend die euklidische Norm zur Abstandsmessung nehmen. Darum würd ich drauf wetten, dass es nicht mal immer ein Kreis ist. Das kommt ganz drauf an, welche Metrik du verwendest. Wenn es möglich ist die Maximum-Norm zu nehmen, dann handelt es sich beim Konvergenzbereich tatsächlich sogar um ein Quadrat :)
Was ist, wenn es keine geometrische Reihe ist, das k nicht nur in der Potenz vorkommt? ((k/(2k+1))*(x-1))^k
Einfach das Quotienten- oder Wurzelkriterium mit (les ich das richtig?) a_k=k/(2k+1) * (x-1)^k durchführen und nach x umstellen. Ich mach mal demnächst ein Video zum Konvergenzradius! :)
MathePeter super vielen lieben Dank!!! Das habe ich gerade gemacht, da habe ich (x-1)/2 raus. Wenn ich das nach x umstellen will, mit was setzte ich das denn dann gleich? Als Radius soll am Ende 2 rauskommen 😅
Ah ich verstehe, dann hab ich die Klammer übersehen. Also a_k=(k/(2k+1) * (x-1))^k Das Ergebnis vom Wurzelkriterium muss für Konvergenz im Betrag kleiner sein als 1, also |(x-1)|/2 < 1. Jetzt einfach nur noch mit 2 multiplizieren, also |x-1|
MathePeter Ich danke dir!!!
weiß jemand wie man f(x)=exp[-x]/x um x= 0 entwickelt ?
Ist denn für x=0 auch ein Funktionswert gegeben?
@@MathePeter f(x) hat in der Aufgabe in Potential beschrieben, vielleicht soll dann f(0) eine konstante sein. Vielleicht war das auch nur so eine Fangfrage, aber würde mich wundern
Die Funktion hat in x=0 eine Polstelle. Die Funktion kann dort also gar nicht stetig sein, und damit auch nicht differenzierbar. Darum existiert in keiner noch so kleinen Umgebung um x=0 ein Taylorpolynom.
valla mach mehrere veränderliche
Haha alles klar, kommt noch 😄
leider nicht, keinen ziemlich guten Einblick. Ich suche seit zwei Stunden nach jemandem, der mit erklärt, was Taylorreihen sind, wozu sie gedacht sind, was sie repräsentieren
mein prof ist zu inkompetent dafür
Hoffe das Video hat weiter geholfen? :)
Dein Content ist sehr gut.
Ich habe endlich verstanden: Approximation von komplexen Funktionen :)
Super Peter, wieder ein starkes Video von Dir! Ich bin wieder einmal bei meinen Manuskripten, die von Potentsummen handeln. Ich habe mittlerweile mir mehrere Verfahren erarbeitet, eins davon selber über die Summationsregeln und Binominalkoeffizienten.
Die anderen Verfahren wahren über die lineare Algebra, ein anderes mittels der Stirlingzahlen und ein anderes wiederum über die Bernoullizahlen. Und genau dazu bräuchte ich jetzt mehr Erfahrung mit den Taylerreihen, die Maclaurin-Reihe habe ich schon des Öfteren benutzt. Wenn das Entwicklunszentrum X0 = 0 war. Jetzt habe ich es aber mit einem Bruch zu tun. Er lautet X/ e^x -1. Hoffentlich brauche ich dabei keine komplizierte Ableitungsregeln (Quotientenregel/Kettenregel etc)
Ist im Nenner noch eine Klammer? Ansonsten würde ja x=0 kein Problem darstellen.
@@MathePeter
Ich meine ja bloß, weil x im Zähler und e^x - 1 im Nenner steht. Da fehlt es mir an Erfahrung!
Es ist genauso, wie ich es hingeschrieben habe, ohne Klammer.
Ich hatte bisher die trigonometrischen sin(x), cos(x) Reihen, auch Wurzelfunktionen und die Exponentialfunktion e^x mit der Maclaurinreihe ableiten können. Vorgestern habe ich erstmals zur Probe die Taylorreihe bei der Logarithmusfunktion ln(x) anwenden können, weil es mit der Maclaurinreihe bei der nicht möglich ist, da 0 in dieser Funktion nicht definiert ist, das hat gut geklappt. Aber mit diesen Ausdrücken wo die Unbestimmte x im Zähler und im Nenner auftauchen, sehe ich nicht durch.
@@MathePeter Meinst Du mit der Maclaurin Reihe? Alle x en durch 0 ersetzen, dann hätte ich doch aber einen unbestimmten Ausdruck 0/0 denn der Nenner würde ja wegen e^0 zu 1 werden und 1 - 1 im Nenner ergeben oder sehe ich das falsch?
@@MathePeter Ist gut ich habe die Lösung meines Problems gefunden!
Sehr schön!