Konvergenz von Reihen Übersicht | Bekannte Reihen, notwendiges Kriterium & Konvergenzkriterien
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- Опубликовано: 8 июл 2024
- Eine Reihe konvergiert, wenn sie einen Grenzwert hat. Also wenn die Summe aller Folgeglieder, in exakt der vorgegebenen Reihenfolge, genau einen endlichen Wert annimmt. Um die Konvergenz von Reihen zu prüfen, gibt es eine feste Abfolge von Schritten, die du durchführen kannst. Welche das sind, erfährst du in diesem Video!
KORREKTUR: 9:15 "Es kann sein, dass die Folge der Quotienten |a_(k+1)/a_(k)| divergiert, weil sie mehrere Häufungspunkte hat, aber die Reihe trotzdem konvergiert". Gemeint ist NICHT die Folge a_(k), das würde nämlich dem notwendigen Kriterium aus Schritt 2 widersprechen. Danke an @kolo toté für den Hinweis :)
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Inhalt:
0:00 Schritt-für-Schritt Anleitung zur Überprüfung der Konvergenz
0:52 Geometrische Reihe
2:36 Harmonische Reihe
4:06 Teleskopreihen
4:57 Notwendiges Kriterium
7:02 Konvergenzkriterien
7:46 Quotientenkriterium
10:11 Wurzelkriterium
11:02 Leibnizkriterium
12:12 Verdichtungskriterium
12:59 Majoranten- und Minorantenkriterium
15:25 #WERBUNG
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Bundesverdienstkreuz. Wird Zeit.
Ey Peter du bist so ein Ehrenmann, ehrlich. Du bist der einzige Grund warum ich die HöMa Klausur eventuell bestehen könnte:) Dein Talent zum erklären und strukturieren von Videos ist beeindruckend.
hast du bestandenn?
@@LUWANTOR ja :)
@@johnny4498 Stabil muss das alles für Mathematik 1 können gar kein bock mal gucken ob ich bestehe haha
ohne scheiss Peter rettet mir die Klausur
@@LUWANTOR online Klausur? :D
In 4 Wochen erste Mathe Klausur und du hast mich aktuell weiter gebracht als meine Dozentin 😂 Vielen Dank!
Du bist meine absolute Rettung! Donnerstag steht die Prüfung an und ich suchte ein Video nach dem anderen. Ohne dich wäre ich aufgeschmissen. Danke für deine Hilfe und genialen Erklärungen!!!!
Perfekt erklärt und verständlich. Ohne Schnickschnack. Vielen, vielen Dank. Habe auch das Binomibuch bestellt.
Freut mich, dass ich helfen konnte! Das Binomi Tafelwerk ist Hammer, gute Wahl :)
vielen vielen Dank!! Hab in diesem 15.52 Minuten mehr gelernt als in einer semesterlangen Analysis Vorlesung.
Da kann man nicht oft genug danke sagen, deshalb: Dankeschön für die vielen hilfreichen Videos!
richtig gut! super strukturiert und nachvollziehbar aufgezeichnet und erklärt!
Hilfst mir momentan unglaublich weiter im Studium! Vielen vielen Dank!!! Finde es auch super dass du immer wieder die Sachen wiederholst (hier z.B. kurz ansprichst wenn eine Reihe konvergiert was das dann bedeutet)! Das macht es aus finde ich, danke !
du erklärst besser als mein Dozent ;) du hast mich richtig geholfen besonders in dieser Coronazeit wo man zuhause lernen muss..
man kann wirklich nicht genug danke sagen normalerweise schreibe ich keine Kommentare aber das war so hilfreich dass ich Danke sagen müsste
Echt gute Videos, helfen extrem weiter. Es wär noch hilfreich wenn du am Ende noch aus dem Bild gehen könntest, damit man einen Screenshot vom gesamten Tafelbild machen kann. Sonst top
Ich feier dich Peter! Deine Art Wissen zu vermitteln ist erstaunlich. Mach bitte weiter so✌
Du bist mein Retter bei diesem Thema! Oh Mann, ich bin soo glücklich 😭😭😆😆 in der Vorlesung und Skriptum absolut nicht verständlich, bei dir paar Minuten zugehört und auch verstanden! Viiiielen lieben Dank!
Du bist mit Abstand mein liebster RUclipsr für Mathematik, du rettest mir das Leben ❤️
Ich bin aus der Schweiz und hatte im Gymnasium meinen Schwerpunkt in Mathe und Physik. Keine Ahnung wie das in Deutschland läuft, aber dadurch hatte ich manchmal bereits Unistoff ohne es zu realisieren und stiess ab und an mal auf deinen Kanal. Vor allem als dann einmal Partielle Integration/Integration durch Substitution und inhomogene Diffgleichungen an die Reihe kamen.
Ich bin dir ehrlich so dankbar, du kannst dir das gar nicht vorstellen. Ich will nicht lang drum rum reden - Ich wollte einfach sagen das du hier wirklich heilige Arbeit verrichtest, das fällt mir vor allem jetzt im Studium auf. Manchmal versteht man etwas nicht ganz oder man hat eine Wissenslücke die einen verwirrt und solche Videos, welche die Thematik so deutlich von Grund auf darstellen, helfen wirklich sehr. Ich hab dich vielen Freunden von mir empfohlen und die sind genauso Überzeugt. Um noch meinen Comment von vor 5 Monaten während meiner Maturvorbereitung zu zitieren "Ich liebe dich". :)
Vielen lieben Dank!! :)
Wow wow wow!!! Wieso bin ich überhaupt in eine Vorlesung gegangen, wenn es von dir so fantastische Videos gibt. Vielen Dank!
Freut mich zu lesen, danke! :)
Ohne Quatsch, du rettest mich gerade echt bei der Klausurvorbereitung. Tausend Dank dafür!
Das freut mich! Viel Erfolg bei der Klausur!!
Danke für diese strukturierte und verständliche Erklärung!!! :-)
Meine Rettung für die Klausur!
Habe deinen Kanal erst neulich entdeckt und viele Mathelehrer haben mir die Freude an Mathematik versaut. Viele haben meine Faszination für Mathematik wieder gegeben und du gehörst ebenfalls dazu :) Ich studiere Computervisualistik und Mathematik ist ein Werkzeug, um graphische Bilder zu erzeugen und es ist einfach faszinierend, wenn man die Welt der Mathematik versteht kann man damit großartige Dinge tun :) Ich bin nicht so interessiert in Beweisen, aber diese Beweise zu verstehen macht enorm spaß :) Nachdem ich die Mathemodule durch habe, werde ich Mathematik defenitiv als Weiterbildung weiterführen, um diese faszinierende Welt zu verstehen :) Machst einen sehr guten Job :D Weiter so :)
Wow vielen Dank, das macht mich richtig glücklich zu hören! Wenn ich nur eine weitere Person für Mathematik begeistern kann, war es die gesamte Arbeit wert! :)
Wieso versteht man hier viel mehr als in den ganzen Uni Videos ??
Das sind doch Uni Videos? Oder welche Videos meinst du?
Vielen Dank für die tolle Zusammenfassung, du hast mir damit (mal wider) sehr geholfen! Daumen hoch!
Wie immer das genaueste und klarste Video.
Ich liebe deine Video und deine Art zu erklären! Du bist so begeistert davon, dass auch auf mich wieder ein kleiner Funke übergesprungen ist. Jetzt bin ich nur noch damit überfordert, gebührend meine Dankbarkeit auszudrücken 😇
Vielen lieben Dank! Dass du mir schreibst, ist schon Dank genug 😊 Erzähl auch gern deinen Kommilitonen von mir, damit der Kanal noch mehr Aufmerksamkeit bekommt! :)
@@MathePeter Ich bin schon dabei, deine Videos an alle in meinem Umfeld zu empfehlen :D
Ich sag’s dir wie es ist. Ohne dich hätte ich Höhere Mathematik 1 niemals bestanden. Danke dafür ! Bin mal gespannt wie es dann bei Mathe 2 wird
Lieber Peter, du bist ein Held!
Ehrenmann. Wenn ich wegen dir Matheprüfung 2. Semester bestehe siehst du das bei PayPal.
echt gut Peter!! Danke!
Gut und klar erklärt! Ein Kriterium welches nicht fehlen sollte : das Integralkriterium.
Auch sehr gut!
perfekte Zusammenfassung, danke
Absolut top, vielen Dank
Einfach nur DANKE für dieses Video !
Genau das habe ich gesucht! Excellent!
Qualitativ sehr hochwertig gemacht
liebe deine videos,bist echt mein held kuss
vielen lieben Dank, das Video hilft mir so viel !!!!!!
Du bist 3 Semester zu spät mit deinem Video wäre ich durch Ana 1 nicht nur knapp durch gerrutscht XD
Super Videos, hast mir schon öfters weitergeholfen, danke dir : )
Daym, das sind richtig gute Erklärungen!
Du rettest gerade mein Leben
geiler typ❤️🔥
Danke für das tolle Video
sehr geiles Video, hat mir wirklich sehr geholfen
Super Video!
danke dir
Gutes Video danke bra
Danke Peter
besser erklärt als in stundenlangen Vorlesungen...
Wtf, du hast ein geiles Video zur Konvergenz von Reihen gemacht und, obwohl ich die Glocke anhabe, kriege ich nichts davon mit?? Weird, aber danke für das Video :D
Haha freut mich, dass es dir gefällt! :)
Werde demnächst auch den Online Kurs dazu veröffentlichen, wo neben dem kompletten Thema "Zahlenfolgen" und "Differenzengleichungen" auch zum Thema "Reihen" jedes einzelne Kriterium an mehreren Beispielen geübt wird :)
@@MathePeter Weißt du was auch geil ist? Ich hatte heute in Mathe 1 eine Art Test geschrieben, bei dem man einen paar Bonuspunkte sich für die Klausur gammeln kann, wenn man ein paar Aufgaben richtig macht. Und eine Aufgabe war, ein Interpolationspolynom zu erstellen mit 3 gegebenen Punkten. Ich hatte mir gestern in Vorbereitung auf den Test Interpolation nicht mehr angeschaut und hatte das vorher nicht gerafft.Aber heute morgen hatte ich noch ein bisschen Zeit und habe mir dein Video zur Newton Interpolation gegeben und dank diesem Video wusste ich, wie ich die Aufgabe angehen sollte - richtig krass einfach nur :D
Letzten Endes hatte ich nach dem Test gemerkt, dass ich mich irgendwo verrechnet hatte und mein Ergebnis falsch war, ABER EGAL. Dank diesem Video wusste ich wenigstens, wie ich die Aufgabe angehen sollte und war nicht komplett hilflos. Und mit n bissl Übung wirds in der richtigen Klausur dann auch richtig xD
Btw, warum gibt es Lagrange Interpolation überhaupt, wenn Newton doch viel einfacher ist?
Voll gut, dass du so mal eben so improvisiert hast haha. Klausur wird dann gerockt! 😄
Lagrange Interpolation ist ziemlich praktisch, wenn du mal mehrere Interpolationspolynome zu den selben x-Stützstellen berechnen willst. Wenn die Basis einmal steht, müssen ja nur jeweils die Funktionswerte geändert werden.
tolles
video
sehr anschauliche Beispiele!!!
Du machst das ausgezeichnet
gutes video
ich schreibe in 90 Minuten die Klausur, nochmal schön alles ins Kurzzeitgedächtnis pumpen ;)
Viel Erfolg! Wie ist es gelaufen?
Ach man, hätte ich Mal auf Note geschrieben :D Wäre mindestens ne 2.0 geworden, danke dir👍🏻
Du bist der gute Lehrer.
Erstmal super geklärt! Eine Frage hätte ich aber noch: Kann ich irgendwie herausfinden bzw. an meiner Reihe erkennen, welches Kriterium ich am besten zuerst überprüfe? Oder muss ich da einfach ausprobieren?
Kommt immer auch auf die bekannten Infos an, mit denen du an die Aufgabe ran gehst. Grundsächlich ist es aber meist ein guter Ansatz bei Fakultäten an das Quotientenkriterium zu denken und bei einem k im Exponenten an das Wurzelkriterium. So wie bei einem Faktor von (-1)^k an das Leibnizkriterium.
ich würd dir geben Realtalk. hast es sehr gut erklärt. bin nicht mal homosexuell
Könntest du in naher Zukunft etwas zu partiellen Differentialgleichungen machen? Danke dir:)
Hey @Sipan, ich hab mega Bock auf das Thema, aber das geht echt erst ab Mitte des Jahres. Habs aber schon auf meinem Plan. In den nächsten Wochen kommen aber noch ein paar Live Streams, wo es noch mal um gewöhnliche DGL geht. Trotzdem würd ich mich freuen, wenn du mir eure Unterlagen per Mail schicken kannst (Skripte, Übungsunterlagen, alte Klausuren), damit ich in Zukunft damit Content erstellen kann, auch wenn du es dann vlt nicht mehr brauchst.
Vielen Dank für deine Videos, ich konnte sehr viel für mein Studium nutzen. Zu dem Leibniz Kriterium habe ich aber eine Frage. Du sagst, dass es egal ist ob die Zahlenfolge b_k monoton fallend oder monoton wachsend ist. In der Literatur finde ich jedoch als Bedingung, dass es monoton fallend sein muss. Habe ich hier einen Gedankenfehler?
In der Literatur steht die Bedingung oft als monoton wachsend, weils ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen werden kann. Am Ende machts nur einen Unterschied im Vorzeichen. Wenn die Folge a_n monoton fallend ist, dann ist die Folge -a_n monoton wachsend. Und das Vorzeichen ändert nicht die Konvergenz. Darum ist es egal.
Eine frage zur geometrischen reihe braucht man dann doch keine index verschiebung wenn der start wert nicht null sondern zb 2 ist
Ganz genau, es ist keine Indexverschiebung notwendig, wenn du es einmal allgemein bewiesen hast ;)
Leipniz ohne T...
ich: streiche das T durch und denke an kekse *facepalm*
In zweieinhalb Tagen Höhere Mathematik 1 Prüfung. Keine Vorlesung geschaut. Heute angefangen zu lernen. Ich verlasse mich auf dich MathePeter...
Wird schon!! :)
und, wie isses gelaufen?
2:14 muss da nicht statt q^m eine 1 stehen? Oder wie kommst du auf q^m?
Wenn der Index bei 0 anfängt, dann eine q^0=1. Und wenn der Index bei k=m anfängt, dann ein q^m. Kommst du drauf, wenn man eine Indexverschiebung um m Einheiten nach unten durchführt. Dann steht in der Summe selbst ein q^(k+m), was nach Potenzgesetzen q^k*q^m ist. Das q^m zieht man raus, nimmt dann die Formel, die du auch im Kopf hast, also 1/(1-q) und fügt das rausgezogene q^m wieder dazu. Hab nur mit der Formel gleich alle 3 Schritte mit einmal gemacht, damit ein Student in seiner Prüfung nicht erst nachdenken muss, sondern gleich die Lösung hat.
Danke , ausführlich und verständlich wie immer.
Meinst du bei 02:03 Zwischen 0 und 1 oder ?
Freut mich :)
Ich mein an der Stelle wirklich -1 bis 1, weil |q|
@@MathePeter
Ah ja stimmt hast recht
Danke für die Antwort
_“Dann war deine ganze Rechnung umsonst.”_ - Da sehe ich mich 😂
Abwarten, wird schon! 😄
Unser Skript... vs deine Videos. Danke, ehrlich!
nice
Woher weiß ich wann ich welches Kriterium am besten nehme oder probiere ich einfach aus?
Du gehst einfach der Reihenfolge nach, wie im Video.
Kannst du auch bitte bitte ein Video zu Funktionenreihen, Potenzreihen und punktweiser/ gleichmäßiger Konvergenz machen -oder kommt das dann alles mit der Fourier-Reihe, an der du gerade arbeitest?
Erst mal Fourier. Für Funktionentheorie will ich mich selbst erst noch mal richtig einlesen, bevor ich Videos dazu machen. Das schaff ich also dieses Semester nicht mehr.
Vielen Dank für das Video. Darf ich den Tafelaufschrieb eins zu eins auf mein Cheatsheet übertragen?
Na klar, gönn dir! 😁
@@MathePeter Dank dieser überlassenen Implikationsübersicht, dank deiner Freude an Mathe, die ansteckt, dank deines Champcademy-Kurses zu Ableitungen - kurz gesagt: Dank dir hab ich meinen Drittversuch in Mathe 1 mit 2,0 gerockt. Danke Peter!
Mega!! Starke Leistung :)
Hätt mal ne Frage zum Video.
Wenn ich es richtig verstanden habe dann muss die aufzusummierende Folge ak eine nullfolge sein damit die Reihe überhaupt konvergieren kann.
Aber bei 9.15 heißt es das die Reihe konvergieren kann obwohl ak divergiert also keine Nullfolge ist.
Wollt nur mal kurz nachfragen ob du mir das erläutern kannst? Hört sich für mich nämlich nach einem Wiederspruch an.
Ich weiß was du meinst. Nur bedenke, dass bei den Konvergenzkriterien nicht der Grenzwert der Zahlenfolge a_(k) bestimmt wird, sondern z.B. beim Quotientenkriteterium der Grenzwert von |a_(k+1)/a_(k)| oder beim Wurzelkriterium sqrt[k]{|a_(k)|}. Die Ergebnisse dieser Grenzwertrechnungen sind Kennzahlen, mit denen du eine Aussage über die Konvergenz deiner Reihe treffen kannst. Diese Kennzahlen sind NICHT die Grenzwerte der Zahlenfolge a_(k). Darum kannst du eine Nullfolge a_(k) haben und trotzdem beim Quotienten |a_(k+1)/a_(k)| im Grenzwert eine Zahl größer 1 raus haben, wodurch die Reihe divergiert. Z.B. addiert die harmonische Reihe mit a_(k)=1/k eine Nullfolge auf, divergiert aber trotzdem.
Nein so habe ich das nicht gemeint.
Ich versuche es mal ein bisschen detaillierter zu erklären:D
1."Sollte ak mal keine Nullfolge sein (...) dann kannst du zu 100% sagen,dass die Reihe divergiert" (5:34)
Also: wenn ak keine Nullfolge ist dann muss die Reihe divergieren?
2."Es kann sein das ak divergiert (...)aber die Reihe trotzdem konvergiert "
Also: ak ist keine Nullfolge aber die Reihe divergiert nicht
Also keine Ahnung ob ich irgend ein Denkfehler hab, aber für mich klingt das widersprüchlich.
Mir geht es nur darum das du einmal sagst wenn ak keine Nullfolge ist dann muss die Reihe divergieren.
Aber du sagst auch wenn ak keine Nullfolge ist dann kann die Reihe doch konvergieren.
@@kolotote9874 Ah jetzt verstehe ich, was du meinst. Ja du hast vollkommen Recht! Ich meinte Im Video eigentlich, dass die Folge der Quotienten, also |a_(k+1)/a_(k)| divergieren kann und die Reihe trotzdem konvergiert, wie z.B. bei "a_(k)=(1/2)^k für gerade k und (1/3)^k für ungerade k". War natürlich falsch, dass ich dabei auf die Folge a_(k) zeige, das erweckt den vollkommen falschen Eindruck. Danke für den Hinweis!! :)
Kein Problem hat mich nur etwas verwirrt
Danke dir für die schnelle Antwort und für die tollen Videos bist mir echt ne große Hilfe
Hey,
Kannst du mal vollständige Induktion bei Ungleichungen machen wie zum Beispiel:
Bei n größer gleich 3 gilt: n^2 kleiner gleich 10^(n-2)
Schreibe in einem Monat Klausur und ich verstehe das bei solchen Ungleichungen nicht.
Schau dir mal mein Video zur Bernoulli Ungleichung an. Die wird da auch mit vollständiger Induktion bewiesen. Das Prinzip ist bei jeder anderen Aufgabe gleich. Schaus dir mal an und sag Bescheid, wenn du noch Fragen hast :)
Muss beim Verdichtungskriterium nicht die verdichtete Reihe n = k-1 sein? Also der Laufindex muss um 1 früher beginnen, oder?
Für die Konvergenz spielt es keine Rolle, ob endlich viele Summanden dazu kommen oder abgezogen werden. Die Konvergenz entscheidet sich in der Unendlichkeit.
Danke für die prompte Antwort und die tollen Videos!
Gibts eigentlich auch ein Video zu lim ->0+ bzw. 0-?
Ja gibt es, such mal nach Grenzwerte von Funktionen von mir :)
geil, aber interssant das du die teleskop reihe der exponential reihe vorziehst
😂
Ich hätte mal, auch wenn es hier nicht vorkommt, eine Frage zum Konvergenzradius: wenn ich eine unendliche Summe mit (x/2)^2*n mal irgendwas mit n habe, muss ich dann das (x/2)^2*n substituieren mit y = (x/2)^2 ?
Wo genau steht das "*n"? Einfach neben dem Term (x/2)^2=1/4*x^2?
@@MathePeter Habe die Klammer vergessen: (x/2)^(2*n). Ist natürlich ein Unterschied. Jedenfalls ist das mein x_0, glaube ich. Der Rest ist das a_k.
In dem Fall kannst du natürlich y=(x/2)^2 substituieren, du kannst aber auch direkt Wurzel- oder Quotientenkriterium auf den gesamten Term neben dem Summenzeichen anwenden.
also bei der teleskoprihe das B ist da dass das was b annimmt für das "unendliche" k. also weil sie das vorher alles ja weggkürut
also b0-b1+b1-b2+b2-b3 .......
stimmt das so
So ist es! In meinem neuen Online Kurs „Folgen, Reihen und Differenzengleichungen“ hab ich auch gleich noch ein paar coole Beispiele für Teleskopreihen. Manchmal ist es trickreich, da muss man erst mal umformen, zB mit Partialbruchzerlegung.
Beim Leibniz-Kriterium, muss es da nicht eine monoton fallende Nullfolge sein?
Sie kann auch wachsend sein, denn ändere einfach das Vorzeichen und die Monotonie ändert sich, die Konvergenz jedoch bleibt.
Hallo MathePeter,
hoffentlich wurde die Frage nicht schon gestellt, aber müsste bei einer geometrischen Reihe nicht auch eine Konvergenz vorliegen wenn q=1 ist? Dann würde natürlich die Formel q^m/1-q nicht mehr gelten.
Wenn q=1 wäre, dann würden unendlich viele 1en aufsummiert. Der Wert der Reihe wäre also unendlich, die Reihe konvergiert nicht.
@@MathePeter Vielen Dank für die schnelle Hilfe :)
Antwort wäre echt geil, mit dem Video weiß ich jz ob div. Oder konv. Aber woher weiß ich wohin das jetzt konvergiert, also was das Limit ist?
LG
Um den Wert der konvergenten Reihen auszurechnen, gibt es keine allgemeinen Tricks. Wenn du eine Geometrische Reihe oder eine Teleskopreihe hast, ist das einfach. Aber schon bei einfachen Fällen wie der Reihe von 1/n^2 (n=1,2,3,...) ist es so kompliziert, dass es fast hundert Jahre gedauert hat, bis bewiesen wurde, dass da π^2/6 rauskommt. Das Auffinden dieser Lösung hat sogar den Namen "Basler Problem" bekommen und wurde erst 1725 von Euler gelöst. Jetzt kannst du dir sicher vorstellen, dass nur leicht kompliziertere Reihen so unmenschlich schwer sind zu lösen, dass du diese Frage in Zukunft nicht mehr ernsthaft stellen musst. Außer du hast einfach Interesse daran, dann findest du sicher für irgendwelche Spezialfälle noch richtig abgefahrene Lösungen.
@@MathePeter mein mathe Prof möchte das aber von mir auf meinem Arbeitsblatt 😓. Ich hätte jetzt gedacht man muss das ganze immer iwie auf einer der bekannten series bringen, und dann kann man es bestimmen.
Wahrscheinlich ist er dann darauf aus, wenn der Rest so schwer ist, oder ?
@@petermeister7387 wenn dein prof den wert der konvergenten reihe wissen will, dann ist es eine bekannte Reihe. Geometrische Reihe, Teleskopreihe, oder eine Reihe die aus den Potenzreihen von Funktionen entsteht. Schreib doch einfach deine Reihe und ich sag dir wie es geht, bevor wir weiter über die nicht vorhandene Möglichkeit reden allgemein den Wert von Reihen zu berechnen 😂
6:00
Ich glaub ich hab gerade einen Denkfehler. Bei Schritt 2 meinst du, dass eine konvergierende Folge immer eine Nullfolge ist. Aber eine Folge kann doch auch einen Grenzwert von 5 oder -2 haben. Dann ist sie doch trotzdem konvergent oder nicht?
Bitte um Hilfe :)
Wenn eine REIHE konvergiert, dann ist die aufsummierte FOLGE eine Nullfolge :)
Mega hilfreiches und gut gemachtes Video!! Aber ich glaube es stimmt nicht, dass wenn das QuotientenKriterium versagt, dass dann das Wurzelkriterium immer noch erfolgreich sein kann, denn laut “ Satz von Cauchy- d'Alembert“ sind beide eigentlich dasselbe, heisst Versagt das Quotientenkriterium, so tut es auch das Wurzelkriterium.
Danke dir! Tatsächlich ist das Wurzelkriterium schärfer. Denn der Satz von Cauchy-d'Alembert greift ja nur, wenn der Grenzwert der Quotientenfolge auch wirklich existiert. Streng genommen muss nämlich bei den Kriterien mit dem limes superior gearbeitet werden. Beispiel: Reihe von an= (1/2)^n für n gerade und (1/3)^n für n ungerade. ist absolute konvergent nach dem Wurzelkriterium, aber der Grenzwert der Quotienten existiert nicht.
@@MathePeter ahh ja stimmt bei stückweise definierten Folgen wird der lim sup angeschaut, danke dir :)
Hallo super Video, könntest du vielleicht mal ein Video zum Leibnitz Kriterium machen? Das wäre mega, lg :P
Ein eigenes Video zu den Kriterien? Klar kann ich machen. Hast du erst einmal eine Frage zu dem Kriterium, die wir jetzt schon klären können?
@@MathePeter Hmm keine spezielle Frage eigentlich, haben das nur letztens auf der Uni gemacht (also Leibnitz Kriterium um die Konvergenz einer unendlichen Reihe zu beweisen(?)) und einige blickten da nicht wirklich durch inkl. mir 😅
Im Grunde wie im Video. Wenn die Folge, die an das (-1)^n dran multipliziert eine Nullfolge ist, also wenn der Grenzwert davon gegen Null geht, dann ist die Reihe konvergent. Beispiel ∑(-1)^n * 1/n. Da ist die Folge bn=1/n eine Nullfolge, darum konvergiert die Reihe.
@@MathePeter Ahh aber warum genau 1/n für bn? Oder könnte man da jede beliebige Nullfolge nehmen als Beispiel?
Genau! Egal welche Nullfolge da ans (-1)^n dran multipiziert wird, die Reihe wird immer konvergieren.
wie weiss ich ob die b (in der Minute 12) monton ist
Weil Nachfolger - Vorgänger negativ oder positiv ist für alle n.
Haben Sie in einem Video die Monotonie erklärt?
Tausend Dank für Ihre Antwort
In meinem Online Kurs "Folgen, Reihen und Differenzengleichungen" findest du alles, was du brauchst, um dich optimal auf das Thema in der Prüfung vorzubereiten :)
@@MathePeter vielen Dank für die Antwort
Ich hätte da eventuell noch eine dumme Frage:
wir hatten die Aufgabe: lim (N->unendl.) von Summe(n=1; N) 1/3^n
Und davon sollte der Grenzwert berechnet werden. Muss ich da einfach das n=1 einsetzen? Wäre die Lösung 1/3 richtig?
Deine Aufgabe lim (N->unendl.) von Summe(n=1; N) 1/3^n ist eine geometrische Reihe, weil 1/3^n = 1^n/3^n = (1/3)^n. Damit ist q=1/3 und du musst nur noch dieses q in die Formel einsetzen. Raus kommt 1/2. Wenn du den Grenzwert einer geometrischen Reihe berechnen willst, schau dir die Videos zur geometrischen Reihe an in der Playlist: ruclips.net/p/PLvBnQVOJXCUHPmiPBu4VjK1_3XJ56j608
ich küss dein Herz rettest mein leben
Vorab
deine Videos sind sehr hilfreich
danke
Warum ist aber bei der harmonischen Reihe das Kriterium für Konvergenz nicht s größergleich 1 ,
weil wenn man 1 für s einsetzt bekommt man ja 1/k und k wird ja immer größer.
Dann wäre es ja 1/unendlich = 0 und das wäre doch konvergent
danke im Voraus
weiter so !!!
Vielen Dank, das freut mich! :)
Stimmt schon, dass für s=1 eine Nullfolge aufsummiert wird. Das ist notwendige Voraussetzung für die Konvergenz. Die Eigenschaft allein reicht aber leider nicht aus. Die aufsummierten "Nullen" in der Unendlichkeit scheinen trotzdem noch groß genug zu sein, um jeden endlichen Wert zu übersteigen. Das lässt sich mit dem Verdichtungskriterium beweisen.
Würde gerne einen Online-Kurs bei dir machen- aber 60€ ist schon teuer für nur ein Thema.
Bei uns an der TH haben wird die ganzen Einzelthemen, die bei Udemy angeboten werden, in einer einzigen Klausur....(außer Wahrscheinlichkeitsrechnung fällt weg). Wäre schön, wenn es einen Kurs geben würde, der noch in einem preislichen Rahmen für Studenten steckt, bei in dem alle Themen behandelt werden.
Ich arbeite dran für jede Uni individuelle Kurs anzubieten. Kannst du mir eure Themenübersicht + Übungsaufgaben + Altklausuren schicken? Dann kann ich mal schauen, was ihr alles habt.
@@MathePeter
Vielen Dank für die Antwort! - Hab deinen Crashkurs entdeckt
und die Themen überschneiden sich mit unseren sehr.
Und da ich nur zwei Wochen noch habe, hab ich nicht lange gezögert.
Die ersten Kapitel, die ich gemacht habe sind auch top und die Übungsaufgaben helfen mir.
Bin glücklich den Kurs gefunden zu haben und kann ihn auf jeden Fall weiterempfehlen!
Für unseren spezifischen Studiengang mit nur 50 Leuten lohnt sich eine extra Kurs fast nicht,
da meist die Themen auch ähnlich sind und Mathe für Ing./Informatiker meist ganz gut passt.
Würde mir auch sowas auf der vhb wünschen.
5 Stunden Vorlesung nicht kapiert.... Hier so einfach xD
Ehrenpeter
Wie heißt du?
Hallo vielen Dank erstmal für die tollen Viedeos! Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und brauche Hilfe 😢 ∑ (-1)^(k+1) * 10^k/3^k ich bin auf Divergenz gekommen aber laut Lösung müsste es Konvergenz sein…
Kontrolliere noch mal, ob du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast. Die Reihe ∑ (-1)^(k+1) * 10^k/3^k ist divergent, weil die Folge 10^k/3^k keine Nullfolge ist. Das bestätigt auch noch mal Wolfram Alpha: www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%91+%28-1%29%5E%28k%2B1%29+*+10%5Ek%2F3%5Ek
Bezogen auf das Leibnizkriterium muss die Folge "an" monoton fallend sein, die allgemeine Monotonie reicht nicht.
Muss nicht, der Spaß funktioniert genauso mit monoton wachsenden Nullfolgen.
@@MathePeter In meinem Analysis 1 Skript steht, dass für das Leibnizkriterium gelten muss, dass die Folge an > 0 monoton fallend sein muss. Gilt dann die steigende Monotonie für an < 0?
P.S. deine Videos helfen mir sehr im Physikstudium
Danke das freut mich! Und ja das stimmt, es gilt auch für monoton wachsende Folgen an
@@MathePeter Alles klar, ergibt Sinn. Danke
kann ich damit auch meinen vater finden?
Safe mit dem Wurzelkriterium.. das ist unnormal scharf bro
viel glück :*
@@24furz danke bro. nice schwanz bro!
Ich finde leider das Video nicht, in dem Teleksopreihen aufgegriffen werden :/
Die ganzen Videos dazu hab ich in meinem Online Kurs "Folgen, Reihen und Differenzengleichungen". Irgendwann mach ich aber noch mal eins für RUclips. Erst mal hab ich aber andere Themen, die ich filmen will.
@@MathePeter Hab ich mir jetzt besorgt. Danke! :)
l
Aaaaaaaaaaaaaaa!!!!! mach endlich Karush-Kuhn-Tucker aaaaaaaaaaaaaaa!!!!! Es tut mir leid aber es gibt keine deutschen videos dazu und ich hab demnächst klausur! Dankeschön schon mal :)
Klar mach ich gern in 1-2 Wochen, schick aber bitte mal Unterlagen von dir dazu! Vlt kann ich dann noch zusätzliche Infos mit einbeziehen, die speziell für dich wichtig sind! ;)
Einfach Skript, Übungsunterlagen und Altklausuren an hello@champcademy.com
@@MathePeter Ich habe dir eine Mail geschickt :) Danke schon mal!
Eine Verbesserung: Bei dem Leibnizkriterium, muss bn monoton fallend sein und nicht nur monoton
Mit welcher Begründung? Ist doch egal, ob sie monoton gegen Null wächst oder fällt ;)
@@MathePeter Verschickt.... Bei uns im Uniskript steht nur monoton fallend, und auch bei anderen Websiten steht monoton fallend, aber auf Wikipedia steht, dass es auch für monton steigende Nullfolgen gilt, deshalb hast du wohl recht.
Es stimmt auch, dass es für monoton fallende Nullfolgen gilt. Das heißt aber nicht, dass es nicht auch für monoton wachsende Nullfolgen gilt. Und das stimmt nicht nur, weil es bei Wikipedia steht, kann man ja auch einfach beweisen 😄
4 Vorlesungen für das was du hier mal eben in 15 Min erklärst, jupp das versagen von Studenten geht definitiv eindeutig nur auf sie selbst und nie den Lehrkörper zurück.😒
ich versteh nur bahnhof