Grenzverhalten von Folgen | Häufungspunkt, Grenzwert, Konvergenz, Divergenz, Epsilon n0 Kriterium
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- Опубликовано: 22 июл 2024
- Ein Häufungspunkt ist eine Zahl, in deren beliebiger Umgebung unendlich viele weitere Folgeglieder liegen. Eine Zahlenfolge hat dann, und nur dann, einen Grenzwert, wenn sie exakt einen Häufungspunkt besitzt. Die genaue Definition eines Grenzwertes einer Zahlenfolge wird durch das Epsilon-n0-Kriterium festgelegt. In diesen Video lernst du die Begriffe Häufungspunkt, Grenzwert, Nullfolge, Konvergenz und Divergenz direkt an Beispielen kennen, wie der geometrischen Folge und einer alternierenden Folge.
KORREKTUR:
0:09 "Hat eine Zahlenfolge nur genau einen Häufungspunkt, nennt man ihn auch Grenzwert", gilt nur für die erweiterten reellen Zahlen, also wenn ±∞ als (uneigentliche) Häufungspunkte zugelassen sind. Bsp: a_n = (1+(-1)^n))*n hat keinen Grenzwert, weil sie mit 0 und +∞ insgesamt zwei Häufungspunkte hat.
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Inhalt:
0:00 Was sind Häufungspunkt und Grenzwert einer Zahlenfolge?
0:24 Epsilon n0 Kriterium einer Zahlenfolge
1:31 Epsilon n0 Kriterium am Beispiel geometrische Folge
2:24 geometrische Folge: Epsilon=1/2
4:19 geometrische Folge: Epsilon größer 0 allgemein
6:35 Grenzwert geometrischer Folgen (Nullfolge)
7:13 Konvergenz und Divergenz einer Zahlenfolge
7:32 Bestimmte Divergenz
8:21 Alternierende Divergenz (+Beispiel)
9:15 #WERBUNG
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
KORREKTUR:
0:09 "Hat eine Zahlenfolge nur genau einen Häufungspunkt, nennt man ihn auch Grenzwert", gilt nur für die erweiterten reellen Zahlen, also wenn ±∞ als (uneigentliche) Häufungspunkte zugelassen sind. Bsp: a_n = (1+(-1)^n))*n hat keinen Grenzwert, weil sie mit 0 und +∞ insgesamt zwei Häufungspunkte hat.
So ein Video hilft enorm, wenn während des Studiums keine Tutorien zu solchen Thema möglich sind und man nicht durch das Skript blickt :)
Same here
so true, bin gerade fast verzweifelt aber das Video hier hat mir mein LEBEN GERETTET
Also ich schau es für die Schule an xD
Ich finde es krass, dass du diese Videos genau dann machst, wenn wir das gerade in der Uni behandeln😂 grüße aus Aachen
Gut geklappt mit dem Antizipieren haha. Freut mich! Wenn man Videowünsche bestehen, schreibt mir einfach :)
😂😂😂lustig, um jemand anders von Aachen hier vie Top Comment zu finden 😂😂😂
@@elag1144 gang😂
Moin aus Aachen ^^
Ich finde es echt klasse wie fleißig du Kommentare auf Videos beantwortest, die schon Jahre alt sind haha.
Selbstverständlich!! :)
Du erklärst das Thema richtig gut 👍
Habe endlich mal gecheckt, was der Satz mit dem Epsilon und n0 bedeutet. Danke 🙏
Für mich steht jetzt Analysis an, ich mach deine ganze Videoreihe durch und melde mich wenn ich damit fertig bin :) Das wird ein Marathon aber danke Peter das man solche Möglichkeiten hat an top Quality Content zu kommen!
Danke dir! 😊
Extrem gute Videos + super sympathisch. Perfekt, Vielen Dank dafür!
Jetzt bist du sogar in den Trends. ^^
Education Trend xD
Als Ergänzung zum Studium echt immer wieder so hilfreich, ich danke dir!
Drittversuch in Mathematik kann kommen, bei so guten Videos!
Wird schon!! :)
Oh mein Gott ich Studier grad Physik und ich hab die Definition nie wirklich verstanden und mathepeter brauch litterally eine minute das ich sie verstehe ohne ihn wäre ich komplett lost. Danke danke danke!!
buchstäblich ist das wort, dass du suchst
Coole Videos, haben mir echt viel geholfen. 😇Danke!
Hi! Ich würde mich freuen, wenn du Videos zu punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz von Funktionenfolgen machen könntest. Insbesondere zu den Methoden, diese zu zu zeigen, auch wenn man die Grenzfunktion noch nicht unbedingt kennt. In den Vorlesungen wurde es nicht sonderlich gut erklärt und unser Skript hilft auch nicht weiter :(( Jetzt in Corona ist man bei sowas dann echt aufgeschmissen, deshalb hoffe ich mal, dass mein Lieblingsmathekanal das erklären und vorführen kann! :D
Wird noch kommen, aber erst mal hab ich andere Pläne. Fourier reizt mich schon viel zu lang 😄
Danke dir!
DANKE
so gut erklärt
Merciii
:D
sehr hilfreich!!! vielen dank!
Bitte sehr! 😊
Was wäre denn nun wenn ich epsilon bspw. auf 10 setze (10 > 0 --> erlaubt).
Dann stünde da doch am Ende dass n_0 = ln(10)/ln(0.5) + 1 ist. Das ist aber negativ?
Und n war soweit ich weiß doch nur für n als Element der natürlichen Zahlen definiert.
Wird dann auf n_0 = 0 aufgerundet weil quasi schon das erste Element und alle darauf folgenden Elemente der Folge (also die komplette Folge) nie einen Abstand von mehr als 10 zum Grenzwert haben?
Ganz genau. Deshalb müsste man streng genommen für diese Fälle das n0 anders definieren, aber da uns ja nur beliebig kleine Werte für ε interessieren, können wir den Fall von großen ε vernachlässigen.
Vielen Dank. Wieso nimmt man aber gerade bei einem Beispiel mit (1/2)^n auch den ε =1/2 Könnte es nicht zur Verwirrung führen?
Für ε hab ich keinen Wert vorgegeben, weil ja die Idee ist, dass ein n0 in Abhängigkeit von einem beliebigen ε>0 gefunden wird.
Ich bin nicht schwul aber ich liebe dich
Liebe hat nicht immer etwas mit Sexualität zu tun. Ich liebe auch meine Mutter und habe dennoch keinen Ödipuskomplex.
@@XxYoShIkOgAkIxX ich weiß das war ein Witz.
@@letmehlp0 Das freut mich zu hören, dass du dir dessen bewusst warst. Hätte ich eigentlich auch von ausgehen müssen. Jemand der sich Videos zu Analysis anschaut, sollte schon über eine reifere Denkweise verfügen :)
@@XxYoShIkOgAkIxX cringe ^ 10... jeder depp belegt heutzutage ana1
@@Meskalin_ Hm ja, scheinst du ja zu belegen
Danke!
Vielen lieben Dank!! 🥰
Ist bei der Korrektur bei 6:28 nicht egal ob man abrundet und +1 rechnet oder einfach direkt aufrundet?
Nur bei ganzen Zahlen macht es einen Unterschied.
kurze anmerkung: hab das ganze mal mit q= (-1/3) versucht, allerdings ist ln(-1/3) nicht definiert (beziehungsweise für keine negative Zahl), deshalb funktioiert diese Herangehensweise nicht pauschal. oder hab ich mich geirrt?
Im komplexen ist zwar der Logarihmus aus für negative Zahlen definiert, aber soweit muss man hier gar nicht gehen. Der Betrag macht die Zahl doch positiv. |(-1/3)^n| = |(-1)^n*(1/3)^n| = (1/3)^n.
Peter, du bist Super-Peter!!!
kurze frage.... wo ist der Unterschied zwischen abrunden und dann plus 1 rechnen und direkt aufrunden??
Bei ganzen Zahlen.
Bei einer unendlichen Folge gibt es ja ein n null, von dem an alle n größergleich dem n null über der Schranke liegen. Liegt dieses n null auf der Schranke oder darüber?
Alle n größer gleich n0 liegen echt innerhalb der Schranken, also nicht exakt auf der Schranke drauf.
da steht ja bei 5:55 dass n größer als ln(E)/ln(1/2) sein muss. wieso kann man dann als n0 GENAU ln(E)/ln(1/2) wählen? (klar, ist aufgerundet, aber was, wenn es zufällig eine ganze Zahl ist mit dem gewählten Epsilon, sodass das aufrunden nichts ändert?)
Darum ab 6:15 die Korrektur: "Abrunden" und "+1" rechnen, anstatt "Aufrunden", um genau das zu umgehen :)
@@MathePeter danke für die schnelle antwort :D
Ja das hab ich gesehen, aber wenn ln(E)/ln(1/2) z.B. =2 ist, dann ist n0 doch nicht >2 sondern =2 , wiederspricht das nicht was davor steht: n>ln(E)/ln(1/2)
Wenn ln(E)/ln(1/2)=2, dann ist n0=3. Also immer "abrunden" und "+1" rechnen.
Deine art und deine übermotivation macht mich einfach wahnsinnig aber ich verstehe was du erklärst und das ist wahrscheinlich eine der größten dilemma situationen in der ich mich jemals befunden habe.. its like I'm drowning and the only person that can save me is my ex
Wichtigste ist doch, dass du es verstehst! :)
@@MathePeter Deine Übermotivation und deine Art ist das was deine Videos für mich hilfreich macht.
@@chinchin3009 same XD
Du bist der beste
ziemlich cool
Hätte ich dich nur vor einem monat entdeckt
Ich liebe den Typen
Hm verstehe nicht ganz was uns jetzt das n_0 bei Minute 7:05 sagt das wir ausgerechnet haben. Was bedeutet denn ln(€)/ln(1/2) also wie kann man sich das Ganze vorstellen?
Das heißt einfach nur, dass ab diesem n0 der Abstand von jedem einzelnen noch kommenden Folgeglied zum Grenzwert kleiner ist als €.
@@MathePeter Alles klar! Dank für die Antwort!!!! Hammer dass du auch bei einem 1 Jahr altem Video auf Kommentare antwortest
Ist es wirklich immer so, dass eine Folge mit genau einem Häufungspunkt konvergiert? Wenn ich mir jetzt eine Folge a_n vorstelle, die periodisch a annimmt aber sonst n ist, dann hat diese ja bei a einen Häufungspunkt aber divergiert trotzdem… Oder mache ich einen Denkfehler?
Liebe Grüße und vielen Dank für die hilfreichen Videos!
Ja du hast schon Recht, auch die Folge an=0, wenn n gerade und n, wenn n ungerade hat im Reellen nur den Häufungspunkt 0 und divergiert trotzdem. Wichtig ist dazu zu sagen, dass die Aussage nur gilt, wenn die erweiterten reellen Zahlen betrachtet werden, also auch unendlich als Wert angesehen wird. In dem Fall hätte das Beispiel eben nämlich 2 Häufungspunkte, einmal bei 0 und einmal bei unendlich und darum konvergiert sie nicht.
@@MathePeter ahh perfekt, vielen Dank!
Außer in Deinem Video finde ich nirgendwo alternierende Divergenz. Wird der Begriff wirklich so benutzt?
Haha na klar. Soweit bin ich noch nicht mir eigene Definitionen auszuarbeiten xD
mal ne Frage, also du hast gesagt bei 4:05 dass a2 die indexzahl ist, aber wäre nicht a1 schon die indexzahlt weil a2 und alle weiteren Werte kleiner als Epsilon sind
Nein, denn bei der Indexzahl n=1 haben wir lediglich Gleichstand mit dem epsilon. Aber der Abstand der Folgeglieder zum Grenzwert müssen echt kleiner sein als epsilon.
Ist das eigentlich noch Schulmathematik oder Unimathematik?
Eher Unimathematik.
Bester Mann
Blöde Frage: Wo liegt der Unterschied vom direkten aufrunden zu erst einmal abrunden und dann 1 aufaddieren?
Unterschied gibts dann, wenn das Ergebnis selbst ganzzahlig ist. Wenn ich 3 aufrunde, bleibt es 3. Wenn ich 3 abrunde und +1 rechne, ergibt es 4. Bei allen anderen Zahlen kommt aber immer das gleiche raus :)
Wieso ist n0=1, denn nach der Definition oben, muss nur jede weitere Folgewert nach n0 einen kleineren Abstand zum Grenzwert haben und das ist bei n0=1 auch schon gegeben, wie man ja bei n=2 sehen kann, könntest du das nochmal erklären bitte?
Sry ich versteh die Frage nicht. Kannst du bitte eine genaue Zeitangabe zum Video machen und mir genau sagen, was ich dir genauer erklären soll?
Super erklärt, danke. Hier ein Kaffe für dich xs
Vielen lieben Dank für deine Unterstützung!! 🥰
Wo ist der Unterschied von "Abrunden und +1" und Aufrunden?
Für den (unwahrscheinlichen) Fall, dass es sich um eine ganze Zahl handelt.
@@MathePeter Ah vielen Dank
Peter du bist king
Jesus segne dich
6:17 ich verstehe nicht, warum man das Aufrunden nicht benutzen darf.
Was ich meine, kann ich im folgenden Beispiel aufführen:
aufrunden von pi ist 4 und abrunden von pi und dann + 1 ist auch 3+1=4. also warum sollen wir das abrunden statt aufrunden benutzen.
Danke im Voraus und danke auch für deine Mühe. du bist echt Matheretter
Den Unterschied machen die ganzen Zahlen. Wenn du z.B. die Zahl 3 aufrundest, bleibst es 3. Wenn du allerdings 3 abrundest und "+1" rechnest, ergibt das eine 4.
gibt es irgendwo gute übungsbeispile für das Grenzverhalten von Folgen Meister
Ja in meinem Online Kurs "Folgen, Reihen und Differenzengleichungen", den ich unter dem Video verlinkt hab :)
Was ist mit uneigentlicher Konvergenz :)
Das ist ein anderer Begriff für "bestimmte Divergenz". Ich persönlich mag "uneigentliche Konvergenz" nicht so sehr, weil man dann denken könnte, es liegt Konvergenz vor. In manchen Bereichen ist es aber sinnvoll die reellen Zahlen zu erweitern bzgl ±∞. In diesem Fall ist der Begriff "uneigentliche Konvergenz" sogar ziemlich passend. Das muss aber vorher definiert sein und ist die Ausnahme.
Wenn da aber steht , dass überhaupt einen Grenzwert gibt bei geometrischen Folgen, was muss ich dann machen?
So wie es im Video gemacht wird. Der Grenzwert der geometrischen Folge für |q|
@@MathePeter ich kann doch nicht für den Grenzwert 0 einsetzen, wenn ich noch weiß, ob es überhaupt einen Grenzwert gibt, oder?
Du kannst ihn ja unter Vorbehalt einsetzen und dann zeigen, dass die Definition für diesen Wert gilt. Also musste es der Grenzwert sein.
@@MathePeter Danke sehr
ist es eigentlich immer so, dass eine Folge (wenn sie einen Grenzwert hat) ihren Grenzwert zwar annähert aber nie erreicht?
Klassiker:
=< 1/n> = ...
nähert sich zwar der 0 immer weiter an, also in jeder epsilon Umgebung sind fast alle Glieder der Folge, erreicht sie aber nie. Ist das immer so ?
ansonsten, wie immer sehr gutes Video 😄😄
Die konstante Folge an=1 erreicht ihren Grenzwert 😁
@@MathePeter okay 😂
sorry ich meinte natürlich nicht konstante Folgen
Dann nicht 😜
@@MathePeter also alle nicht-konstanten Folgen erreichen nie ihren Grenzwert?
In dem Kommentar von John Wolf (vor 8 Monaten; du kannst Str+F drücken und den Namen dann so suchen) meintest du ja
"Für n gegen unendlich kann die Ungleichung dann nicht mehr jeden noch so kleinen €-Wert unterschreiten."
Damit ist ja folgendes gemeint
lim(n→∞) n < lim(n→∞)〖ln(1-ε)/ln(1/2) 〗
und dann würde informell sowas da stehen
∞ < ln(1-ε)/ln(1/2)
und das ist für kein ε erfüllt und besonders nicht für ein beliebig kleines. Deswegen kann 1 auch kein Grenzwert sein. Wäre das so richtig?
Wohingegen bei
lim(n→∞)n > lim(n→∞)〖ln(ε)/ln(1/2) 〗
bekommt man
∞ > ln(ε)/ln(1/2)
und das wäre für jedes noch so kleine ε erfüllt, weswegen 0 auch der Grenzwert ist. So wäre das oder? Bzw. könnte man so argumentieren?
So ähnlich 😅
@@MathePeter wie wäre es denn richtig? 😧
Erst mal musst du die Monotonie klären, dann den Betrag richtig auflösen und demzufolge auch das Relationszeichen anpassen. Darauf baust du ja deine gesamte Argumentation auf.
@@MathePeter Wenn ich (fälschlicherweise) sage, dass (1/2)^n den Grenzwert 1 hätte und dann so umformen würde, würde ich ja folgendes erhalten
1-(1/2)^n < ε
Die Ungleichung dann nach n umstellen
n < ln(1-ε)/ln(1/2)
Und zu dieser Ungleichung meintest du
"Für beliebig kleine ε-Werte wird die obere Grenze für das n aber immer weiter runter gesetzt. Für n gegen unendlich kann die Ungleichung dann nicht mehr jeden noch so kleinen ε-Wert unterschreiten. 1 Kann kein Grenzwert sein."
Und das was du hier gesagt hast, dachte ich könnte ich so mit
lim(n→∞) n < lim(n→∞)〖ln(1-ε)/ln(1/2) 〗...
beschreiben. Also wie in meinem Kommentar ganz oben. Aber das ist so nicht korrekt?
Ich dachte mir nämlich, wenn ich folgendes mache
lim(n→∞) |(1/2)^n-0| < lim(n→∞) ε
bekomme ich ja
|0-0|< ε
0< ε
Und das ist ja eine wahre Aussage, weil wir das so Vorausgesetzt haben. Wenn ich nun Äquivalenzumformungen der Ungleichung durchführe muss ja immernoch eine wahre Aussage dastehen. Das heißt
∞ > ln(ε)/ln(1/2)
ist ja eine wahre Aussage, weswegen 0 der Grenzwert ist. Wohingegen
∞ < ln(1-ε)/ln(1/2)
keine wahre Aussage ist und deswegen 1 auch kein Grenzwert sein kann. Macht das Sinn?
ich küss dein bart nochmal
Bart gefällt das.
Warum rundet man bei der Gaußklammer ab und rechnet + 1, anstatt einfach mit der Gaußklammer aufzurunden? Das ist ja das Gleiche oder?
Nicht bei ganzen Zahlen. Da machts einen Unterschied.
Aufrunden finde ich eleganter mit -(-x). Wobei () := Gausklammer.
Das Problem machen hier die ganzen Zahlen. In diesem Fall muss das n0 eins größer sein.
Wer denkt sich sowas wie Epsilon aus... Dient nur um zu nerven ohne witz. Ich verstehe es leider immer noch nicht, zu frustrierend
Ist tatsächlich die einfachste und eleganteste Definition. Zum Glück brauchst du sie aber auch nicht verstehen, wenn du nur Grenzwerte ausrechnen willst.
Ich war anfangs nur frustriert weil ich Epsilon nicht verstehen konnte, habe es jetzt aber endlich mit mühe verstanden hahah. Eine kliene Frage hätte ich, warum gibt es hier bei dem Betrag eigentlich keine Fallunterscheidung hier? Und ist das +1 am ende bei 6:15 Immer notwendig?
Das im Betrag ist bei dem Beispiel hier immer positiv, darum keine Fallunterscheidung. Und das "+1" bei 6:15 kommt zustande, weil das n ja größer sein soll als der Term auf der rechten Seite. Darum abrunden und "+1" rechnen, um das erste n zu erhalten, das größer ist als ln(E)/ln(1/2).
besser als daniel jung
Nein, wenn eine Folge nur einen Häufungspunkt hat, muss das nicht der Grenzwert der Folge sein, weil die Folge nicht konvergieren muss.
Beachte die Videobeschreibung:
0:09 "Hat eine Zahlenfolge nur genau einen Häufungspunkt, nennt man ihn auch Grenzwert", gilt nur für die erweiterten reellen Zahlen, also wenn ±∞ als (uneigentliche) Häufungspunkte zugelassen sind. Bsp: a_n = (1+(-1)^n))*n hat keinen Grenzwert, weil sie mit 0 und +∞ insgesamt zwei Häufungspunkte hat.
@@MathePeter Mal schnell kompaktifiziert, gell? 😉
Anders ließ sich die im Video festgebrannte Aussage nicht retten 😂
@@MathePeter Hauptsache gerettet 😉
@@Mathemarius Hauptsache richtig informiert. Ist ja kein Kanal für mein Ego, sondern um einen sinnvollen Beitrag zu leisten.
abrunden und +1 müsste doch das gleiche sein wie aufrunden....
Nicht bei ganzen Zahlen.
@@MathePeter Das leuchtet mir noch nicht ganz ein. Beim Runden einer ganzen Zahl, kommt doch wieder die gleiche ganze Zahl heraus und beim Runden von reellen Zahlen sollte das doch auch passen? Hast Du vielleicht ein Beispiel, wo es nicht hinkommt?
@@goddamndragon3117 wenn wir epsilon so wählen, dass ln(epsilon)/ln(1/2)=2 ist. Dann ist wegen „abrunden & +1“ das n0 gleich 3. Beim Aufrunden wäre n0 aber eine 2 geblieben. Das wäre aber nicht genug, weil die epsilon Schranke nicht nur erreicht, sondern insgesamt unterschritten werden muss. Wegen dem „
@@MathePeter Ok, jetzt ergibt es Sinn. Vielen Dank!
HIHIHIHA!
Korrektur: „Wenn es nur einen Häufungspunkt gibt, dann ist das der Grenzwert“ ist im Allgemeinen falsch. Die Umkehrung „Konvergiert die Reihe, ist der Grenzwert der einzige Häufungspunkt“ wäre korrekt. Gegenbeispiel: die Folge a(n)=1 für n ungerade und a(n)=1/2 für n gerade hat den Häufungspunkt 0, aber der ist nicht der Grenzwert :)
Die Aussage hab ich in der Videobeschreibung schon korrigiert. Sie gilt nur für die erweiterten reellen Zahlen, also wenn ±∞ als (uneigentliche) Häufungspunkte zugelassen sind. Bsp: a_n = (1+(-1)^n))*n hat keinen Grenzwert, weil sie mit 0 und +∞ insgesamt zwei Häufungspunkte hat.
Dein Gegenbeispiel "die Folge a(n)=1 für n ungerade und a(n)=1/2 für n gerade hat den Häufungspunkt 0" versteh ich nicht ganz. Hast du dich vielleicht vertippt? Denn so hat die Folge ja zwei Häufungspunkte, die 1 und die 1/2 und damit keinen Grenzwert nach der Aussage im Video.
Mein Fehler, da hätte ich in die Beschreibung schauen sollen. Und ja du hast recht, ich meinte a_n=n für n ungerade 😄
Ist auch ein ziemlich gutes Beispiel 😄
Ja leider ist es in den Vids nicht immer möglich sich zu 100% korrekt auszudrücken. Manchmal merkt man erst danach eine kleine Ungenauigkeit. Weil es aber zu keinem vertretbaren Arbeitsaufwand im Verhältnis steht die Vids zu löschen und noch mal neu zu drehen, mach ich dann in den wenigen Vids, wo es mal passiert, einfach die Korrektur in der Beschreibung.
für schüler leider nichts :/
Für interessierte Schüler schon, nur nichts für Schulniveau 😂