Was ist eine Reihe? Partialsummen, Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen.
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- Опубликовано: 20 июл 2024
- Eine Reihe ist einfach nur eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Definiert ist sie als Folge der n-ten Partialsummen. Darum ist jede Reihe gleich eine Zahlenfolge. Was es genau mit Partialsummen, der Konvergenz und der absoluten Konvergenz von Reihen auf sich hat und wann das Vertauschen von Summanden zu unterschiedlichen Ergebnissen führen kann, erfährst du in diesem Video!
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Inhalt:
0:00 Was ist eine Reihe?
0:44 Definition Partialsumme
2:24 Definition Reihe (Folge der n-ten Partialsumme)
3:58 Epsilon n0 Kriterium für den Grenzwert einer Reihe
5:03 Absolute Konvergenz
5:57 Beispiel für konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe (Alternierende harmonische Reihe)
7:05 Riemannscher Umordnungssatz
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Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Finde es total gut, dass du in deinen Videos am Anfang keine Begrüßungsreden schwingst, sondern unmittelbar anfängst zu erklären, das stört mich bei anderen RUclipsrn immer, besonders wenn man mehrere Videos hintereinander schaut! Deine Art zu erklären ist auch sehr gut verständlich und die Themen fürs Studium wirklich genau treffend gewählt, danke MathePeter!!
Vielen Dank! Geht mir genauso mit anderen RUclipsrn. Die Leute wollen Content sehen und nicht ihre Zeit verschwenden. Darum bring ich die Dinge auf den Punkt!
MathePeter hat wahrscheinlich mehr Wissen vermittelt als jeder hochbezahlte Dozent, ohne dafür einen Cent zu verlangen. Hut ab!
Die Aufgabe eines Dozenten ist auch nicht die Wissenvermitlugn sonder die Forschung
Du rettest mein studium DANKE!!!
Peter ist ehrlich so ein Held
Danke für deinen unermüdlichen Einsatz, Peter! Mach weiter so.
Ja endlich sind die Mathe Lehrer da ,die ich in der Schule nie hatte .Vor allem stimmt deine Energie Peter. Das wird mich weiter bringen in der Programmiersprache Danke!
Dank deinen Videos skippe ich jede Vorlesung und lerne meine Folien und Übungen einfach durch deine Videos 😂 spart mir sehr viel zeit und stress! Danke 🙏
Peter, du bist absolut der Beste! Danke für die tolle Erklärung.
Hallo, ich bereite mich gerade aufs Physikstudium vor, und nach diesem Video war ich schon begeistert von Reihen :)
Du bringst das echt cool mit Energie und Begeisterung rüber, dass man gleich Lust auf mehr bekommt :) Danke!!! (auch für die gute Erklärung)
Du bist mein Held, Peter!
Vielen lieben Dank! :)
Von der mathematischen Kompetenz her gesehen sind Deine Videos eh über jeden Zweifel erhaben ... aber sie sind didaktisch so hervorragend aufbereitet und vorgetragen, dass sie auch mir als Mathematiker immer wieder beim Ansehen Spaß machen.
Es würde mich freuen und sehr interessieren, wenn Du Dich einmal den hyperreellen Zahlen in Verbindung mit der Differentialrechnung in einem Deiner zukünftigen Videos widmen könntest ... also ein wenig Einblick in die Nichtstandard-Analysis gäbest. Das liest sich jetzt zwar hier in diesem schlulmathematischen Kontext wenig esoterisch, ist's aber nicht ... ; denn gerade die Probleme des Infinitesimalen lassen sich mit der NonStadAna erheblich anschaulicher darstellen und lösen.
Vielen Dank, freut mich besonders so ein Lob von einem Mathematiker Kollegen zu bekommen!
Kannst du gute Quellen zur NonStadAna empfehlen? Denke mal spätestens Mitte nächsten Jahres kann ich was schönes dazu machen :)
Ich werde Dir in den nächsten Tagen ein PDF über Deine Mailadresse zusenden. Es sind dann ungefähr 70 Seiten (eine Zusammenstellung praxisbezogener Artikel verschiedener didaktisch orientierter Mathematiker) von Dir zu lesen/zu studieren, ... Artikel, die eine Einführung in die Problematik mit Lösungsansätzen bieten. Gruß HGE
Hammer! Nehme mir Weihnachten mal die Zeit reinzuschauen :)
Er stemmt genauso viele Mathe-Probleme weg, wie Gewichte :D #easy
Wirkich top typ bin echt dankbar für deine Motivation und deinen Einsatz in den videos!!
Der Typ rettet mir mein Leben. Einfach nur eine Legende
Unglaublich gutes Video, vielen lieben Dank für Ihre Arbeit!!
Top erklärt ! Danke !
Vielen Dank! Sehr hilfreich und motivierend.
Küsschen aufs Nüsschen, du machst einen tollen Job!
wirklich gut. Danke!
ohhh yaa endlich eine ganz einfache Erklärung, danke sehr mach weiter so *__*
Genau das was ich wissen wollte. Perfekt
Danke Mathepeter!
absoluter hammer!
Nice Erklärungen. Sehr klar und einfach dargestellt. Gibtn Like und n Abo
tolles video :)
Das Semester ist jetzt schon gerettet
Junge was ein Ehrenmann
Wann kommt denn das nächste Video? Hätte mega mäßig Bock drauf zu erfahren, warum man die Glieder umordnen kann und dann was anderes rauskommt.
Diesen Sonntag!
@@MathePeter Cool! :D
Bester Mann rettest mathe
Bester Mann
Danke!!!!!
Bester Kanal
danke broo
Mal ne Frage... hat zwar nichts hier mit zu tun aber ja :D
Wenn ich jetzt ne Funktion hab welche ein binom darstellt, dann könnte ich das ja wenn ich es ableiten möchte einmal "auflösen" und dann ableiten ODER es stellt eben auch eine verkettete Funktion da welche sich über die Kettenregel ableiten lässt.
Was ich jetzt fragen möchte ist, ob es egal ist, ob ich einfach die kettenregel nehme anstatt da groß mit nem binom rumzuhantieren?
Vielen danke für die Antwort!
Beide Methoden sind korrekt. Bei Binomen bietet sich die Kettenregel aber besonders an, da sich dann nach dem Ableiten die Nullstellen der Ableitung gut ablesen lassen.
#Ehrenmann 🤙🤙
Hey Peter,
Danke für deine Videos! Ich stehe bei Reihen immer wieder auf dem Schlauch, weil immer gesagt wird, dass eine Reihe eine spezielle Folge ist und du definierst eine Reihe ja auch als Folge der Partialsummen (Minute 3:00). Aber die Reihe ist doch nur die Summe der Folgenglieder der ursprünglichen Folge, oder nicht? z.B.:
Definieren wir eine Folge an als an=n. D.h. Die Folge besteht aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, …
Die erste Partialsummen ist also 1. die zweite Partialsummen 1+2=3, die dritte Partialsumme 1+2+3=6 usw. D.h. die FOLGE der Partialsummen ist doch 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …
Aber die Reihe ist nach meinem Verständnis einfach die Folge an unendlich aufsummiert, also 1+2+3+4+5+… Und das ist doch keine Folge, also keine geordnete Liste an Zahlen, sondern einfach eine Summe?
Auch auf Wikipedia steht z.B. „Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind.“, aber stimmt das wirklich? Eine Folge ist doch eben sozusagen eine geordnete Liste an Zahlen. Und wenn eine Reihe tatsächlich die Folge ihrer Partialsummen wäre, würde die Definition von Konvergenz „Man sagt, die Reihe konvergiert gegen einen Grenzwert a ∈ R (oder C), wenn die Folge ihrer Partialsummen gegen a konvergiert.“ doch keinen Sinn ergeben? wenn „Reihe“ und „Folge der Partialsummen“ Synonym wären, stünde da ja „eine Reihe ist konvergent, wenn eine Reihe konvergent ist.“
Ich komme da überhaupt nicht weiter und weiß nicht, ob ich einen kompletten Knoten im Kopf habe, oder ob tatsächlich an den verschiedensten Stellen im Internet nicht genau genug zwischen diesen Begriffen unterschieden wird und es tatsächlich falsch ist dass eine Reihe die Folge ihrer Partialsummen ist, weil eine Reihe einfach keine Folge ist, sondern eine unendliche Summe…
Falls du mir hier weiterhelfen könntest, wäre ich dir unendlich dankbar 🙏
Du hast vollkommen Recht, der Begriff "Reihe" wird einfach nicht einheitlich verwendet. Per Definition ist sie die "Folge der Partialsummen", weil wir dadurch wieder die gesamte Theorie von Folgen darauf anwenden können. Aber umgangssprachlich verwenden wir den Begriff der Reihe auch einfach für die Summe selbst. Das ist so ähnlich wie man auch manchmal f(x) als Funktion bezeichnet, obwohl f die Funktion ist und f(x) nur die Zuordnungsvorschrift von f.
@@MathePeter danke für deine Antwort, das hilft mir sehr 🙏
Der Bereich des Laufindex der Partialsummenfolge hängt von der Bildungsvorschrift ab richtig? Also welcher Zahlenmenge "n" zugeordnet wird. Beispielsweise der Menge der natürlichen Zahlen ohne oder mit der Null etc.
Genau. Du kannst den Buchstaben aber auch jederzeit ändern.
danke
Falls zwei Partialsummenfolgen unbedingt konvergent sind, müsste es doch eigentlich möglich sein, auf diese die Grenzwertsätze für konvergente Zahlenfolgen anzuwenden. Ist nur so ´ne Vermutung. Kannst du mir dazu vielleicht ein paar Infos geben?
Wenn du mit Grenzwertsätzen die Rechenregeln für Zahlenfolgen meinst, dann ja. Begründung: Eine Reihe ist per Definition die Folge ihrer Partialsummen.
Wenn ich das Bildungsgesetz für folgende unendliche Reihe aufstellen möchte: 1 /1*2 hoch 1 + 1/3* 2 hoch 3 + 1/5*2 hoch 5 + 1/7*2 hoch 7 . . .
Erhalte ich f(n) = 1/ (2n+1) * 2 hoch (2n+1) für n von Null bis Unendlich.
Ist auch f(n) = 1/ (2n-1) * 2 hoch (2n-1) genauso richtig für n von Eins bis Unendlich? Also muss ich einfach den Def.-Bereich für n entsprechend definieren? Danke!!
Was du vorschlägst, nennt sich Indexverschiebung. Das ist erlaubt. Jedes n wird um eins verringert und dafür fängt n bei einem Zähler später an.
etwas zur komplexen analysis wer toll :)
Hab mal damit angefangen: ruclips.net/video/UC_ZTbDVWTM/видео.html
Hallo, ich steh leider völlig auf dem Schlauch bei diesem Thema. Kann mir vielleicht jemand erklären was MathePeter ab 2:30 erklärt? Meint er: "Das 1. Glied der Zahlenfolge ist die nullte Partialsumme a_0, das nächste Glied dieser Zahlenfolge ist die erste Partialsumme a_0 + a_1 [...] a_0 + a_1 + a_2." ist gleich s1+s2+s3 = a_0 + a_0 + a_1 + a_0 + a_1 + a_2 +... , denn genauso hört es sich für mich an, macht aber keinen Sinn für mich. Falls es tatsächlich so ist wie beschrieben, wäre eine Erklärung super hilfreich.
Und ist mit Reihe = Folge Sn, eine Reihe ist das n-te Folgeglied der Folge Sn gemeint? Weil eine Reihe ist doch nichts weiter als eine unendliche Summe, aber eine Folge ist lediglich eine Abfolge von Folgenglieder.
Lieben Dank im Voraus!! LG
Genau wie ichs im Video gesagt habe: Eine Reihe (=unendliche Summe) ist die Folge ihrer Partialsummen. Sollte auch so in eurem Skript stehen, wenns sauber definiert wurde. Edit: Und nein: die Folgeglieder von a_k werden nicht mehrfach addiert, denn es steht ja nirgends die Summe der Sn.
Aber Reihen können doch auch endlich sein oder nicht? Habe schon mal den Ausdruck "endliche Reihe" irgendwo gesehen. Oder ist das mathematisch gesehen falsch und es handelt sich dabei wirklich nur um Partialsumme?
Genau, eine endliche Reihe ist einfach nur die entsprechende Partialsumme.
@@MathePeter danke dir für die schnelle Antwort 😊🌺 also "endliche Reihe" ist dann ein falscher oder ungenauer Ausdruck?
Es ist einfach ein neuer Name dafür. Ich finde ihn gar nicht so schlecht, weil er ja ganz intuitiv beschreibt, was gemeint ist.
@@MathePeter noch mal vielen Dank, bist der beste ^^
Ist eine Reihe jetzt eine Summe oder eine Folge?
Beides. Eine Reihe ist (1) eine Summe mit unendlich vielen Summanden und (2) eine Folge der Partialsummen.
mir hat die frage auch lange kopfzerbrechen bereitet, bis ich auf das gestoßen bin: de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Reihe#Ist_eine_Reihe_eine_Zahl_oder_eine_Folge%3F Erklärt die verwirrung