Quotientenkriterium | Konvergenz/Divergenz von Reihen bestimmen
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- Опубликовано: 22 июл 2024
- Mit dem Quotientenkriterium kann bei einigen Reihen bestimmt werden, ob sie konvergieren oder divergieren. Aus welchen 3 Schritten es besteht, welche Fehler dabei häufig passieren und woran du erkennen kannst, dass sich das Quotientenkriterium anbietet, erfährst du hier!
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Inhalt:
0:00 Was ist das Quotientenkriterium?
0:20 3 Schritte beim Quotientenkriterium + Auswertung
3:02 Gegenbeispiel
3:50 Beispielaufgabe
8:05 Zusammenfassung
8:15 #WERBUNG
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
![Sean Rii, Karyon, Sharzkii - Taungule [My Love] (Official Music Video)](http://i.ytimg.com/vi/eJoMuypbSzQ/mqdefault.jpg)
In der Schule immer Daniel jung geguckt, im Studium Mathe Peter. Beste Leben
Mathe Peter ist bei weitem besser. Der Daniel Jung redet mir viel zu oft um den heißen Brei herum und kommt nicht auf den eigentlichen punkt.
@@skahww1036 Würde ich jetzt nicht so scharf formulieren. Ich mag beide. Aber MathePeter ist definitiv spitze, bin froh, dass ich ihn entdeckt habe.
Ich schau beide, aber Daniel hat selten Beispiele für die Anwendung von fortgeschritteneren Sachen.
Daniel ist oft sehr theoretisch, bei Mathe Peter ist es oft anschaulicher. Ist eine Frage womit man besser klar kommt.
@@neptun2810 Peter hat die Theorie auch dabei, aber halt Beispiele dazu.
Besser erklären kann man es nicht! Vielen dank 🙏
Besser gehts nicht - DANKE ! Bitte bleib weiterhin dabei so ausführlich zu erklären
PS: Durch deine positive Ausstrahlung macht es doch gleich viel mehr spaß :)
Das freut mich!! Sag Bescheid, wenn ich mal weiter helfen kann! :)
MathePeter Danke ☺️
Das Problem bei meinem Prof ist, dass er sehr grobschrittig vorgeht, dadurch kann man ihm nur schwer Folgen wenn er versucht Dinge zu erklären. Dieses Video ist zum Glück der absolute Gegenteil. Die Beispielsaufgabe wurde hervorragend erklärt und dafür kann ich mich nur bedanken, weil ich das Thema jetzt auch endlich verstanden habe :b
Perfekt! Du solltest mit Daniel Jung eine Mathe-Allianz bilden :D
der moment wenn du zum kommilitonen sagst dass das meistgeguckte yt video eh besser ist als die vorlesung und der der prof hinter dir steht und nur leise weg geht :(
Extrem gutes und verständliches Video, danke.
Auch hier wieder: spitze Video, könnte es mir besser gar nicht vorstellen. Auch die Erklärung zum Doppelbruch auflösen/umschreiben - einfach super hilfreich, genial und simpel erklärt. Hilft mir wirklich mega weiter. Danke! Bitte weiter so!!!
Weltklasse! Zielgerichtet und glasklar!
Du hilfst mir echt so sehr weiter, vielen Dank!!!
Ich muss wirklich sagen! Du machst das echt super...👍🏽 schön schritt für schritt! Ich bin sehr gut mitgekommen. Mach weiter so ☺️.
Einfach nur perfekt. Deine Videos motivieren zum lernen :D. Mach weiter so.
Thx du hast mir damit in meinem Leben echt weitergeholfen!!!!
Verständlich und simpel erklärt wie es sein sollte!
Extrem gut and anschaulich erklärt!
Hat mir sehr weitergeholfen, vielen Dank =)
Top Video, dass einzige was ich im Video gern noch hätte wäre ein zweites Beispiel, damit es man direkt nochmal selbst probieren kann.
Anfang des neuen Semesters kommen mal Themenbezogene Livestreams. Da können wir uns mal eine Stunde lang mit Aufgaben zu dem Thema beschäftigen. Was sagst du dazu?
mit dir macht mir Mathe wieder spaß
top! super verständlich und man kann alles super erkennen
Geisteskrank man du bist so geil. Dieses gesamte Reihen folgen thena hat mich echt belastet, du hast mit deiner Übersicht und allem sehe geholfen, auch Jahre später. Danke danke danke bester Mann 💯💯💯🍀🍀🍀
Wow wirklich super erklärt! Jedenfalls besser als mein Prof 😅Vielen Dank.
Ich bin dir unendlich dankbar! endlich mal verstanden:)
einer der wenigen youtuber bei dem ich wirklich jedes video Like
Sehr gut erklärt, danke!
sehr schönes video, ein tutorial zum leibniz-kriterium wäre auch noch richtig toll :D
Echt sehr gut erklärt!!
Super Video Danke!
Extrem gutes Video, besonders das Kürzen der ^k Terme und das Ausklammern der höchsten Potenz, sind sehr hilfreich gewesen!
Danke, super hilfreich!
Hast mich gerettet, danke dir! :D
Vielen Dank! Alles super erkennen 📈
super, DANKE !!!!!
Mathepeter, der Mann, der Studenten das Leben rettet xD
Danke Peter
Super Erklärung
Gerade mim studium angefangen voll lost aber du rettest mich
Vielen Dank
vielen Dank! :)
Du bist so ein geiler Typ!
Simple und konsequent. Warum geht das in der Uni nicht so
danke für das Video, kannst du auch ein Video für das Leibnizkriterium machen?
Ja super Idee, das Video fehlt noch in der Playlist.
@@MathePeter tatsache
Gilt das auch mit Vorfaktor (-1)^n , das man das wegstreichen kann ? Danke für die Antwort im voraus ! :)
Wegstreichen nicht. Aber durch den Betrag wird er zu 1 und eine "*1" kannst du auch weglassen.
Danke, dass du meinem Kumpel Christoph geholfen hast
Bei der Potenzreihe (-(x-1)^k)/2k soll konvergenz nachgewisen werden, ich komme auf( (x-1)*k)/ k+1 mit Konvergenzkriterium, also unendlich/unendlich? Kann ich dann z.b. L´hospital benutzen um auf x-1/1 zu kommen? oder wie würde es da weitergehen?
Wurzelkriterium kann dir helfen den Konvergenzradius zu bestimmen.
2 Wochen vor meiner Mathe1 Klausur, danke!!! Ich schätze das sehr. (Reihen sind das ekligste Thema meiner Meinung nach)
Ja das sehen viele so. Danke dir, vielleicht sollte ich mehr Videos dazu machen :)
Von Grenzwerte bis Stetigkeit ist echt alles Mist, Mann! :(
Die Summe aus dem Video startet ja bei k = 2. Kann man da dann auch so einfach das Quotientenkriterium anwenden ohne irgendwas zu verändern am Laufindex?
Ja genau, denn mit dem Quotientenkriterium prüfst du ja nur auf Konvergenz, also ob die Reihe genau einen endlichen Wert annimmt oder nicht. Ob da jetzt eine endliche Anzahl an Summanden dazukommt oder nicht, das ändert zwar was am Grenzwert selbst, falls es einen gibt, aber nicht an der Tatsache, DASS es einen Grenzwert gibt :)
Würde die harmonische Reihe mit s
Nein, das Quotientenkriterium liefert die Kennzahl 1, weshalb wir keine Aussage damit treffen können. Um die Konvergenz/Divergenz der harmonischen Reihe zu beweisen, kannst du z.B. das Verdichtungskriterium verwenden oder das Integralvergleichskriterium.
Hammermäßig
Ist die Beispielreihe dann auch absolut konvergent? Weil man ja schaut ob der Betrag von a_n+1 / a_n kleiner als 1 ist?
Richtig, es handelt sich um absolute Konvergenz. Begründung ist der Betrag.
Gilt das Quotientenkriterium und die anderen Konvergenzkriterien auch bei Folgen, oder wie macht man das genau bei Folgen?
Nein nur für Reihen.
❤️
Danke für das Video. Ich habe nur noch eine Frage. Die Harmonische reihe erfüllt doch auch das quotientenkriterium (1/k) divergiert aber. Also der Limes ist 1 und da hast du gesagt weiß man es nicht. heißt es dass man nur den limes beachten soll und nicht die tatsächliche Zahl schätze ich mal.
Was meinst du damit, dass die harmonische Reihe das Quotientenkriterium "erfüllt"? Die Kennzahl berechnet sich zu 1. Das ist NICHT der Grenzwert der Reihe. Da die Kennzahl gleich 1 ist, kann mit diesem Kriterium keine Aussage über die Konvergenz/Divergenz getroffen werden.
Was ist der unterschied wenn ich mit dem limsup/liminf statt nur mit lim arbeite?
Der limsup und liminf berechnet Häufungspunkte. Wenn es mehr als einen Häufungspunkt gibt, existiert kein Grenzwert, also lim. Wenn aber ein Grenzwert existiert, dann ist lim identisch mit limsup und liminf.
Bester Mathe Peter
Kann man diesen Kriterium auch bei Potenzreihen mit komplexen Zahlen benutzen?
Ja.
@@MathePeter Danke!
Danke für das Video !!! Ich habe 1/4 rausbekommen, indem ich k+2 ausgeklammert habe. Ist das auch richtig?
Ich hab auch 1/4, scheint geklappt zu haben :)
Laut Wikipedia soll wenn Q >= 1 ist, die Reihe divergent sein. Wir haben aktuell eine Aufgabe die nachdem Quotient. divergieren würde, nach den Majoranten. konvegiert sie. Das wiederspricht aktuell gegen allem was ich bisher gelernt habe über Reihen und deren Konvergenz.
Die Aufgabe ist: 12/n^5.
Laut Quotientenkriterium konvergiert eine Reihe, wenn Q1. Das steht auch bei Wikipedia. Bei Q=1 kann keine Aussage getroffen werden, weil es Beispiele gibt, bei denen die Reihe dann konvergiert, aber auch Beispiele, bei denen die Reihe dann divergiert.
Edit: Für deine Beispielaufgabe Reihe von 12/n^5 brauchst du nicht mal das Majorantenkriterium. Das ist eine harmonische Reihe mit s=5. Da s>1 konvergiert die Reihe. Das kannst du sogar direkt beweise mit dem Verdichtungskriterium, wenn ihr das behandelt habt.
danke mathepeter
Hast du dich versprochen bei 5:58? Wird doch größer für jedes k>-2 oder nicht? @MathePeter
Was genau meinst du? Die Glieder der Zahlenfolge sind allesamt positiv und die Zahlenfolge selbst ist streng monoton fallend. Die Folge der Partialsummen ist streng monoton wachsend bis hin zum Grenzwert, den wir hier aber nicht ausrechnen.
Was passiert wenn bei dem Quotientenkriterium 1 kleiner 1 rauskommt ?
Wenn beim Grenzwert eine 1 rauskommt, dann kannst du keine Aussage mit diesem Kriterium treffen.
Ich hätte eine Frage. Was ist wenn ich 0 oder unendlich herausbekomme? Gibt das dann keine Aussage oder schon? Danke schonmal :)
0 ist kleiner 1, also folgt (absolute) Konvergenz. Und unendlich ist größer 1, also folgt Divergenz :)
MathePeter. Super, vielen Dank für die schnelle Antwort !
Unter einem Kommentar hat mal jemand behauptet, dass du soagr besser bist als Mathe mit Daniel Jung. Es ist echt schwer den Mann zu überbieten, aber du schaffst es; Hut ab!
Meine Frage wäre allerdings, was wäre wenn in deinem Beispiel bei 6:00 im Nenner 4(k+2)^k stehen würde?
Explizit sieht meine Aufgabe nämlich wie folgt aus:
3K[4+(1/K)]^-K
Wäre auch super cool wenn du so ein Video machen könntest wo z.B. der cos mit auftaucht z.B.: cos(KX)
Würde bei 6:00 im Nenner 4(k+2)^k stehen, geht der Nenner stärker gegen Unendlich, als der Zähler, damit ist der Grenzwert 0. Reihe konvergiert. Bei deinem Beispiel würde ich das Wurzelkriterium nehmen. Einfach die k-te Wurzel ziehen und dann k gegen unendlich laufen lassen. k.Wurzel(k) geht gegen 1 und 4+1/k geht gegen 4. Damit hast du im Grenzwert 1/4 < 1 Konvergenz.
Was ist, wenn beim Quotientenkriterium =0 herauskommt?
Null ist kleiner 1, also folgerst du "absolute Konvergenz".
was ist aber wenn meine reihe nicht bei 0 anfängt sondern n=1 oder 2
Dann ändert das nichts am Konvergenzverhalten, weil endlich viele Summanden nicht dafür verantwortlich sind, ob die Reihe bis in die Unendlichkeit weiter wächst oder nicht.
Ist es gewollt, dass der Erklärungsabschnitt "3 Schritte beim Wurzelkriterium" genannt ist?
Nein ist es nicht, danke dir! Habs geändert :)
Schon nach den ersten 3 Minuten verstanden, was mein Prof in 1,5h versucht hat zu erklären....
Bei 8:52 auf Wurzelkriterium umgeschaltet :D
Kleiner Gastauftritt haha
hübscher Bart :D
Hätte man bei der Beispielaufgabe auf den Grenzwert mit Hospital ausrechnen können? Wäre doch einfacher gewesen 😅
Darf man leider nicht, weil es um Zahlenfolgen geht. Ableitungen sind hier nicht definiert, also dürfen wir auch nicht mit L'Hospital arbeiten. Es ist grundsätzlich ein Unterschied, ob du den Grenzwert von Zahlenfolgen oder Funktionen betrachtest.
@@MathePeter Mist ich dachte gerade, ich hätte einen Geheimtrick herausgefunden. Aber dafür habe ich herausgefunden, dass ich keine Ahnung habe 😂
Rechnerisch klappt das sogar, man muss es nur noch begründen, dass man die natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen einbettet, die Rechnung ausführt und sich dann wieder zurückzieht auf die natürlichen Zahlen. Aber die meisten Dozenten akzeptieren das nicht und du müsstest erst mit Hilfe des Sturas klagen... Machs lieber wie im Video xD
Junge Junge danke ehrlich. Unis lieben es ja einfache Sachverhalte Komplex darzustellen... Was wäre hier der Grenzwert ?
Der Wert der Reihe im Video ist 13/36. Ausrechnen lässt sich das mit Hilfe von Potenzreihen.
DorFuchs, MathePeter und Daniel Jung. Ein unschlagbares Triumvirat der Mathematik.
Davhte vor diesem Video immer, "k.A." steht für "keine Ahnung", nicht für "keine Aussage" xD
Ja k.A. 😂