Potenzreihen bestimmen, Taylorreihen analytischer Funktionen | Eigenschaften + alle Grundfunktionen
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- Опубликовано: 20 июл 2024
- Potenzreihen sind unglaublich mächtige und zugleich grundlegende Werkzeuge der Mathematik. Sie helfen unter anderem beim Lösen nicht-elementarer Integrale, beim Approximieren von Funktionen, Differenzen- und Differentialgleichungen zu lösen oder auch die Welt der reellen Zahlen intuitiv auf die Welt der komplexen Zahlen zu erweitern. Was Potenzreihen sind, welche Eigenschaften sie haben und wie die Potenzreihenentwicklung aller Grundfunktionen aussieht, erfährst du in diesem Video!
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Inhalt:
0:00 Intro
0:23 Was sind Potenzreihen?
1:42 (Reell-) Analytische Funktionen + Eigenschaften
3:56 f(x) = 1/(1-x) (Rationale Funktionen)
5:45 f(x) = ln(1+x) (Logarithmus Funktion)
10:27 f(x) = e^x (Exponentialfunktion)
13:05 f(x) = cos(x) und f(x) = sin(x) (Trigonometrische Funktionen)
14:45 f(x) = (1+x)^α (Binomische Reihe, inkl. Wurzelfunktion)
17:24 Weitere Potenzreihen bzw. Taylorreihen
18:13 Überleitung zur Konvergenz von Potenzreihen
18:52 Outro
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
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Mit deinen Videos bringst du viele Studenten in Fächern mit Matheanteilen gut weiter, ich selber habe in diesem Semester Grundlagen der Stochastik.
Mach weiter so und du hilfst noch vielen weiteren Studenten. Dafür sei dir ein großes Dankeschön gegönnt
Es macht mir auch mega Spaß, ich bleib dran! :)
Ganz ehrlich, ich war bis vor wenigen Tagen so verzweifelt weil ich nichts verstanden hatte. Bücher setzen vieles voraus und Dozent hatte mich schon Mitte des Semesters abgehängt. Großes Lob an deine Videos. In meinen Augen erklärt es auf RUclips keiner besser als du. Falls ich die Klausur bestehen sollte, dann nur wegen dir!
Und hast du bestanden?
@@Sessy3 Tatsächlich ja :) ist aber schon etwas her jetzt.
2:22 Das geniale ist doch, dass du immer Zusammenhänge herstellt und genug Hintergrundwissen vermittelst. Du machst genauso soviel Theorie, dass es gar nicht wie Theorie rüberkommt. 👏👏👏 Obwohl deine Videos etwas lang sind, sind sie perfekt für das, was man daraus lernt. 🙌🙌🙌 lg Nawid
Vielen lieben Dank! Das ist genau, was ich hoffe zu erreichen 😊
perfekte Ergänzung zu meinen Mathe Vorlesungen, du bist der Hammer
Danke dir hat sehr weitergeholfen:)
Das Video ist btw echt mega! Du rettest mir gerade mein Studium 🤣😊🫶
Sehr gern haha
Vielen Dank für deine Videos! Ein bisschen zu den Verschiedenen Mittelwertsätzen der Analysis wäre Toll. (Nullstellensatz, Satz von Rolle etc) :)
Super Video!
Super gewählte Beispiele
Du bist echt klasse
Das einzig mächtige hier, bist du.
Gibt es schon ein Video über Fourierreihen? Wäre super hilfreich ^^
Noch nicht, ich komm einfach nicht dazu 😂
omg du hast mir viele Ableitungen erspart!!! Wie macht man Taylorentwicklungen von verketteten Funktionen? kannst du vielleicht ein Beispiel machen? Lieb dich!
Danke freut mich! 😊 Du kannst wie im Beispiel die verkettete Funktion einsetzen. Wie bei e^(x^2) die Funktion x^2 in die Potenzreihe der e-Funktion einsetzen.
@@MathePeter alles klar, ich hab das versucht, aber hat irgendwie nicht funktioniert bei mir. Vielleicht hab ich mich irgendwo vertan 🥲
Bei welcher Aufgabe?
@@MathePeterbei der Aufgabe f(x)= cos(pi/(2+2x)) zuerst cos(x) entwickeln, dann die innere Entwicklung einsetzen. Das um den Punkt pi/2 und bis zum grad 3
Super Video.
Eine Frage habe ich aber zu den e-Funktionen - Was wenn die e-Funktion so aussieht: g(x)=(e^(x-1))+1? Was muss ich dann mit der "+1" machen?
Vielen Dank im Voraus!
Du addierst die Potenzreihen von e^(x-1) und 1. Da 1 von sich selbst seine Potenzreihe ist, bleibt einfach die +1 stehen.
Hi, danke für das Video. Bei uns ist die e- Funktion komplex und um die stelle a, ich weiß nicht, wie ich da weiterkomme, in unserem skript finde ich auch nichts, da zuvor immer um 0 entwickelt wurde :D
Du kannst einfach statt dem x ein (x-a) schreiben und für x auch beliebige komplexe Argumente zulassen.
In der schule bei mir werden polynome, ganzrationale funktionen genannt, da du polynome und rationale funktionen genannt hast, denke ich das sind unterschiedliche, daher meine frage, was ich mir unter rationale funktionen vorstellen kann?
Rationale Funktionen können auch beliebige Brüche aus Poylnomen P(x)/Q(x) sein. Die ganzrationalen Funktionen (=Poylnome) sind eine Teilmenge der rationalen Funktionen. Darum hätte ich sie eigentlich nicht extra aufzählen müssen, aber ich wollte es trotzdem klar rausstellen, weil die Potenzreihen der rationalen Funktionen unendliche Reihen sind und die Potenzreihen von ganzrationalen Funktionen endliche Reihen.
@@MathePeter ok, also sind ratinale funktionen einfach nur, entweder polynome bzw ganrationale oder gebrochenrationale funktionen!?
Genau, entweder sind sie ganz oder gebrochen 😄
@@MathePeter Ich hätte da noch ne frage, welche allerdings nicht so viel mit Potenzreihen zu tun hat, allerdings als du Verkettungen erwähntest fiel sie mir wieder ein.
Und zwar sollten wir in der Schule Polynome so verschieben, dass sie Punktsymmetrisch zum Ursprung wurden, allerdings anstatt eine neue funktion g(x)=f(x−a)+b zu definieren, dachte ich man könnte die Funktion doch mit einem Vektor X̅=(a, b)ᵀ verknüpfen, denn in Schulbüchern wird die Verschiebung auch meistens mit Pfeilen dargestelt. Bei X̅⋅f(x) erhält man nach der syntax ja nur eine skalare multiplikation und da fragte ich mich ob es legitim ist dies, sofern diese darstellung existiert, (X̅∘ f)(x) zu schreiben?
Du könntest die Funktion f parametrisieren durch (t,f(t)) und dann mit einer Koordinatentransformation verschieben. Im Endeffekt ist es aber nur das, was ihr in der Schule gemacht habt.
Aber wie kann man denn zb ln(2) aus der Potenzreihe des ln folgern, wenn man durch gliedweises Integrieren den Definitionsbereich auf (-1,1) einschränkt?
Der Definitionsbereich hat sich auf (-1,1] erweitert, die 1 selbst ist jetzt auch im Definitionsbereich, weil die Reihe für x=1 konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Das hab ich aber alles in 9:22 erklärt.
eine frage nicht bezüglich dieses videos: du hast bisher noch nicht zu Partielle Differentialgleichungen (PDE) gemacht oder habe ich was übersehen?
Leider noch nicht, aber die kommen auf jeden Fall auch noch!
@@MathePeter ok danke fürs antworten. dann werde ich hoffentlich für die Prüfung auch ohne die tollen Videos von dir auskommen.
Guten Tag MathePeter. deine Videos wirken gut erklärt. Leider checke ich gar nichts. Mathe 1 wurde online bestanden und jetzt schreibe ich in exakt 2 Wochen Mathe 2. wie soll cih das schaffen? hast du da ratschläge oder bestimmte videos die ich mir angucken sollte? bsp taylorreihe verstehe ich aber die ganzen umformung bis zum richtigen ergebnis mache ich immer falsch. was tun?
danke
Wichtig ist dir selbst klar zu machen, wo die wesentlichen Probleme sind. Liegt es am grundlegenden Verständnis, was für Ideen dahinter stecken? Dafür ist z.B. das Video hier da und du kannst auch jederzeit bis ins Detail alles nachfragen. Wenn es an gewissen Grundkenntnissen scheitert, dann schau dir meine Grundlagen Videos an. Beginne am Anfang mit Grundrechenarten, Bruchrechnung, Ausklammern, Ausmultiplizieren, Binomischen Formeln,... Du musst üben üben üben. Mach jetzt den ganzen Tag bis zur Prüfung nichts anderes als Mathe und stell Fragen, wenn was unklar ist. Kannst alles fragen. Los gehts!!
@@MathePeterDanke für die Antwort! ja denke es liegt am grundlegenden Verständnis, bei z.b gebrochen rationalen Funktionen die etwas länger sind, welchen Schritt ich zuerst machen soll etc. aber werde mir dann mal die empfohlenen Videos angucken, besten Dank!
Kurze Frage: warum dürfen wir bei g(x)=x*e^(x^2) einfach die Taylorreihe einsetzen? (12:24)
Ist die n-te Ableitung f^(n) von e^(x^2) nicht = 2^n *e^(x^2) ?
Nein, das ist nicht die n-te Ableitung, weil du immer noch auf die innere Ableitung achten musst.
@@MathePeter alles klar, dankeschön! 🫶
Das Thema ist für Anfänger komplex. Hier klasse erklärt. Aber nach 9 Minuten Video (dreimal angefangen) und 4 Werbeunterbrechungen, musste ich aufgeben. Habe jedes Mal den Faden verloren und von neu anfangen müssen. Aber da waren wieder die ständige Werbeunterbrechungen, sogar Damenbinden waren dabei. So was kostet Geld, ist mir klar, aber übertreiben sollte man auch nicht.
Für die Werbung bin ich nicht verantwortlich. Verstehe nicht, warum mir das ständig irgendwer schreiben muss. Selbst wenn ich den Monetarisieren-Button deaktiviere, schaltet RUclips Werbung (beteiligt mich dann nur nicht mehr dran). Es liegt an dieser Plattform hier, nicht an mir.
ich hätte gedacht, Du bekommst etwas dafür. RUclips verdient dann kräftig auf deine Kosten. Auf alle Fälle, haben die doppelt gewonnen. Ich habe mich entschlossen das Premium zu abonnieren. Die Häufigkeit der Werbung auf deine Videos war nicht zumutbar und die sind i.d.T. die beste deutschsprachige Videos für Mathe auf RUclips und für mich das Geld wert. Danke dafür. (Eigentlich müsste sich RUclips auch bei Dir bedanken).
Ich bekomme auch einen kleinen Teil von den riesigen Werbeeinnahmen, die RUclips verdient. Aber wenn ich mich bewusst dagegen entscheide, einen winzigen Teil abzubekommen, schaltet RUclips trotzdem die Werbung. Das ist halt das Geschäftsmodell dieser Plattform hier.
Ist das Mathematik für Wirtschaftsinformatiker?
Könnte sein.
PS: Habe das Video doch noch bis zum Ende geschafft. Nach 9 (oder waren doch 10? oder gar 11?) Werbeunterbrechungen. Habe fast 1 Stunde für das Video gebraucht.
Brauchst du mir nicht erzählen, ich schalte nicht die Werbung. Das macht RUclips.
Achtung, jumpscare bei 0:22
😂