Taylorpolynom (Lagrange-) Restgliedabschätzung + Beispiel: Kleinwinkelnäherung
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- Опубликовано: 8 июл 2024
- Mit der Taylorentwicklung lassen sich Funktionen innerhalb eines bestimmten Bereichs durch eine Potenzreihe ausdrücken. Wird die Entwicklung ab einem Summanden abgebrochen, ist das entstehende Taylorpolynom im Vergleich zur Ausgangsfunktion fehlerhaft. Dieser Fehler kann durch ein Restglied angegeben und abgeschätzt werden.
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Inhalt:
0:00 Zerlegung einer Funktion in Taylorpolynom + Restglied
0:43 Lagrangesches Restglied
1:33 Was bedeutet das xi?
2:20 f(x)=sin(x), x0=0, n=2
4:34 Beispiel: Kleinwinkelnäherung (sin(x)≈x)
7:39 Restgliedabschätzung, Absoluter Fehler
11:00 Relativer Fehler
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Muss sagen: Habe deinen Kanal erst vor wenigen Tagen entdeckt und bin total begeistert.
Wesentlich verständlicher als Jung und umfangreicher und extrem viel weniger nervig als simple Maths ^^
Kann den Hype um Simpleclub echt nicht verstehen
@@ludwigunna-colper6858 same. Und immer dieses pseudolustige und dieses betont lässige. Dabei erklären ihre Videos oft echt schlecht lol
Very true für Mathe, aber deren Bio Kanal Ist nice
Du machst die mit Abstand am besten Mathetutorials auf youtube. Du erklärst sehr anschaulich und tauchst in die Materie ein und gibst nicht nur einen kurzen Überblick. Ich bin dafür wirklich dankbar
Danke für das Lob!
Ehren Peter
Perfekt erklärt. Konnte Schritt für Schritt meine Aufgabe lösen. Diese zusätzlichen Nebeninformationen, wie z.B. die Kleinwinkelnäherung, sind wirklich toll eingebaut. Man versteht jetzt wie es alles miteinander zusammenhängt. Dickes Lob! :)
Wie er einfach in einem Satz erklärt was bei mir tagelang für Verwirrung gesorgt hat ❤❤❤
0 dislikes... ein statement!
Haben die Hater nur übersehen, beschreien wir es nicht haha
du kannst sehr gut erklären !!! DANKE
Super erklärt! Danke!
Ich kann die Stimme vom Daniel nicht mehr hören :D
Der arme Daniel xD Aber ja ein wenig Abwechslung ist nie verkehrt.
Genial, die Überleitung zur Kleinwinkelnäherung ist super
Du erklärst wirklich super, deutlich besser als andere (RUclipsr)! Nun habe ich alles verstanden. Danke!
Unglaublich gut erklärt. Danke!
Dein Aufbau zum Problem ist einfach top. Kann dann easy in das Problem gehen.
So ein geiler Typ! Du hast viel mehr views verdient :)
Boah sehr gemeine Aufgabe, wenn man sich die Funktion in der Klausur unter Zeitdruck nicht gut vorstellen kann, aber sehr gut und einfach erklärt!
Danke, toll wie motiviert du durch das Video geleitest. Ich habe alles sehr gut verstanden.
Peter wandelt eine Funktion in eine Geschichte und das ist warum ich seine Videos so sehr mag
Wirklich klasse!!! Kann locker mit anderen beliebten youtubern mithalten
10/10 Erklärung, tausend mal besser als mein Professor, ich habe sofort alles verstanden!
Super Auftreten, extremst klassentauglich
Ich nachdem ich das ganze nach dem ersten Mal anschaun verstanden hab: @4:12
Wenn in der Vorlesung quasi 1:30 h verschwendet wurden und alles so logisch ist ^
freut mich sehr, wenn du es hier besser verstanden hast!
MathePeter du bist mein Ritter/Retter in goldener Rüstung
Tausendster Like. Bilanz: 100% Zufriedenheit
Du rettest immer wieder aufs neue den Tag :)
Geiles Video, super verständlich erklärt. Kann nur hoffen, dass wenn ich nochmal ein Thema nicht verstanden habe, dass du ein Video dazu gemacht hast.
Hast durch dieses Video ein Abo verdient.
Mach weiter so bro 👍🏼
Ein sehr hilfreiches Video! Danke!
hervorragend erklärt, danke Dir.
Wunderbar! Vielen vielen Dank ❤️❤️
10/10, das war echt perfekt erklärt
Sehr toll erklärt. Danke
Der Hammer 👌👍weiter so und Vielen Dank hat mir sehr geholfen!!!!!!!
Sehr schön erklärt, Dankesehr :)
Die ersten drei Glieder des Taylorpolynoms geben eine gute Näherung für sin(x) (bis Winkel von +-30 Grad), allerdings muss stets im Bogenmaß gerechnet werden.
Sehr gut erklärt
Sehr strong, danké!
adam anlattiktan sonra beynim daha da yandi danke schön :)
super gut wie immer
Super Video! Mach weiter so👍
wird gemacht! Danke
Brauch eig jemd Hilfe bei der Wahl des Tafelwerkes? Kann gern mal meins vorstellen.
Ich fände es gut, wenn du dein Tafelwerk mal vorstellen würdest 🙃
Danke Peter
Danke!
weiter so !
Eine Maschine
Du bist eine Maschineeeeeeeeeeee!!!!!!
⚙️🚀
wow super video
MathePeter bester Mann lo
nice
danke dir, ich hab morgen ana klausur, sehr hilfreich bruder
Viel Erfolg!
Macher 💪
eine schöne Schrift hast du :)
Zum relativen Fehler am Ende: Ist das dann auch der größte relative Fehler? bzw. wie würde man den größten relativen Fehler bestimmen?
Vielen dank für deine vielen hilfreichen Videos! Vielleicht kannst du mir weiterhelfen, funktioniert die Taylorentwicklung multivariater Funktionen analog hierzu, kann ich also einfach die Summe der einzelnen Partialableitungen pro Taylorpolynom verwenden?
Beste Grüße
Bei mehreren Variablen sieht die Formel für die Taylorentwicklung ein bisschen komplizierter aus, weil du ja auch noch alle gemischten Ableitungen betrachten musst. Meist gibts dafür aber einen Trick: Wenn du in einer Funktion mit mehreren Variablen die einzelnen Variablen multiplikativ trennen kannst, wie z.B. bei f(x,y)=g(x)*h(y), dann kannst du von g(x) und von h(y) die Taylorreihen einzeln bestimmen, wie wir das hier gemacht haben und dann einfach miteinander multiplizieren. Zusammenfassen lassen sich dann die Produkte einfach über die Cauchyproduktformel. Ein anderer Trick wäre die Potenzreihen bekannter Reihen zu verwenden, wie bei e^(x^y) einfach in die Potenzreihe von e^x an die Stelle von dem x jetzt ein x^y schreiben. Anderer Klassiker dabei ist die geometrische Reihe. Auf jeden Fall vielen Dank für deine Frage, ich glaub dazu sollte ich mal ein Video machen. Wenn du Unterstützung bei einem Beispiel brauchst, dann schicks gern mal und wir machen das am Freitag im Livestream :)
Wenn in einer Aufgabe steht ich soll unter Verwendung des Taylorpolynom 2.Ordnung einen Näherungswert für die 3 Wurzel aus e (in Bruch) ohne Taschenrechner ermitteln, muss ich also das Restglied berechnen bzw. ermitteln oder ?
Eigentlich brauchst du nur eine Funktion, in die ein x-Wert eingesetzt die "3 Wurzel aus e (in Bruch)" ergibt. Von dieser Funktion bestimmst du das Taylorpolynom 2. Ordnung und setzt dort den entsprechenden x-Wert ein, schon hast du deine gewünschte Näherung. Ich kann dir allerdings nicht helfen, weil ich nicht verstehe, was du mit "3 Wurzel aus e (in Bruch)" meinst.
Danke für das informative Video. Wie viele andere Kommentare bereits richtig erwähnen, erklärst du unglaublich gut und verständlich. Mich würde noch interessieren, warum man den Fehler nur durch das nächste Glied abschätzen kann. Beispielsweise kann der Fehler doch noch größer sein, indem man das (n+2) Glied noch dazunimmt? Wie ist das zu verstehen?
Danke nochmals :)
Vielen Dank!! Den Fehler kannst du auch auf andere Weise abschätzen. Allerdings wird er dadurch nicht größer. Der Fehler geht sogar gegen Null für n gegen unendlich.
Lieber Peter,
Was kann ich beim relativen Fehler machen, wenn gerade mein verwendetes x, welches den Term maximal macht, an einer Nullstelle der eigentlichen Funktion ist?
Bsp.: f(x)=sin(pi*x) auf dem Intervall x von 0 bis 1, einer Entwicklungsstelle von x=0.25 und einem Polynom vom Grad 2.
Liebe Grüße
Dann ist der relative Fehler unendlich groß. Ist für die Interpretation sehr unangenehm, aber da können wir ja nichts für.
@@MathePeter vielen Dank für die schnelle Antwort :)
Hallo ich habe einw Frage,
Lernt man sowas eigentlich in Abitur oder an der Uni?
Ich mache gerade mein Fachabitur, aber wir lernen echt ganz wenig mathe.
Ich möchte später unbedingt Mathe Stundieren, da ich Mathe liebe.
Aber die Frage ist: reicht das Wissen nach dem Fachabitur für einen erfolgreichen Studium?
Natürlich will ich Mathe studieren, egal wie schwer es ist, weil ich daran glaube, das ich das schafe....ABER gibt es eigentlich Mathe-Studenten, die nur Fachabitur haben?
Ich danke dir für deine sehr hilfreiche Videos.
Beste Grüße
Ich bin überzeugt es ist egal mit welchem Vorwissen du in das Studium startest, solange du mit wahrer Leidenschaft dabei bist!
In der Schule wird das leider nicht wirklich klar, aber Mathematik ist eine Sprache. Jedes Axiom und jede Definition ist eine neue Vokabel, jedes Lemma und jeder Satz eine logische Zusammensetzung von Vokabeln. Anders als z.B. im Englischunterricht dauert es in der Mathematik wesentlich länger eine neue Vokabel zu lernen. Rechnungen gibt es vielleicht auch mal zwischendurch, aber nur um zu prüfen, ob du die Vokabeln auch wirklich verstanden hast. Das eigentliche Handwerk ist es mit diesen Vokabeln ganze Sätze zu bilden und logische Schlussfolgerungen zu ziehen.
Viele denken leider, dass es im Mathestudium um Rechnen gehen würde. Wenn dir Rechnen leicht fällt, ist das am Anfang zwar noch vom Vorteil, weil du dich besser auf das Lernen der Vokabeln konzentrieren kannst, aber die Gefahr ist dann groß sehr leichtsinnig zu werden. Viele sind dann ab dem 2. oder 3. Semester jemandem hinterher, der von Anfang an mit Leidenschaft und Freude über die Sprache der Natur nachdenkt und es liebt damit zu arbeiten.
Ein letzter Tipp: Wenn du dich entscheidest Mathematik zu studieren, dann hinterfrage ALLES. Glaube deinen Professoren kein einziges Wort, bis du nicht von ganzem Herzen davon überzeugt bist. Suche immer und überall den Widerspruch und nimm dir so viel Zeit für ein Problem, wie lange es auch immer dauert. Mathematik zu studieren ist eine Lebensentscheidung, du wirst die Welt mit anderen Augen sehen.
MathePeter :
Ok danke schön für deine Tipps und deine schnelle Antwort. 🙂
Gerne!
Wenns noch aktuell ist: Hab mein Studium auch nur mit Fachabi angefangen, wenn du allerdings dran bleibst ist das kein Problem zu schaffen, das wichtigste ist in dem Fall von Anfang an alles neue direkt zu üben bis man es kann. Hatte die gleichen Gedanken, letztendlich ist Fleiß das was entscheidet ob du es schaffst oder nicht.
Danke für die Erklärung. Aber ich verstehe nicht wie du bei T2: X gefunden hast. Ich meine T2 ist der Taylorpolynom zweite grad. Und wenn ich das letzte Video richtig verstanden habe sollten wir 0 bekommen denn die zweite Ableitung ist 0 oder ??
Ja genau zweite Ableitung vom Sinus an der Stelle x0=0 ist wieder 0. Darum ist T2(x) = 0/0!*(x-0)^0 + 1/1!*(x-0)^1+0/2!*(x-0)^2 = x.
Hi Peter:) zunächst muss ich Dir einmal sagen, dass ich Deine Videos wirklich sehr gut finde und sie mir unglaublich weiterhelfen! Dankeschön:)) Bei diesem Video verstehe ich allerdings eine Sache nicht. Wie kommst Du darauf, dass das Taylorpolynom 2. Grades = x ist? Wenn ich mir die ausgerechnete Taylorreihe vom Sinus aus dem letzten Video angucke: (-1)^m/(2m+1)!*x^2m+1 und diese nun von 0 bis 2 aufsummiere, dann bekomm ich raus: x - x^3/3! + x^5/5!. Und diesen Term kann man doch nicht zu x zusammenfassen. Vielleichht könntest Du oder auch gerne jemand anders mir das kurz erklären, wie man darauf kommt?
Die Form (-1)^m/(2m+1)!*x^2m+1 besagt ja, dass es nur ungerade Potenzen gibt, weil ja auch der Sinus eine ungerade Funktion ist. Die geraden Potenzen haben alle als Vorfaktor eine 0, darum tauchen sie nicht auf. Das heißt aber nicht, dass sie nicht existieren. Wenn du bis m=2 alle Summanden aufsummierst, dann bist du also beim Taylorpolynom 5. Grades, weil ja x^5 drin vorkommt. Das ist aber auch identisch mit dem Taylorpolynom 6. Grades, weil du das 0/6!*x^6 dir einfach dazu denken kannst. Für m=0 hast du nur den Summanden x, also das Taylorpolynom 1. Grades. Das ist aber auch gleichzeitig das Taylorpolynom 2. Grades, weil du dir die Geraden Potenzen mit einer Null als Vorfaktor wieder dazudenken kannst, also 0/0!*x^0 + 1/1!*x^1 + 0/2!*x^2.
Hey Peter, erst mal ein großes Lob für deine Videos! Sehr gut und verständlich.
Mich würde interessieren wie du all das gelernt hast, also wie du mit skripten gearbeitet hast, wie dein Uni alltag aussah und welche Hilfsmittel du genutzt hast? Wie schafft man es, innerhalb einer Woche z.b, Alles über differenzierbarkeit, Ableitungsregeln,Differentation von Umkehrfunktionen, den Mittelwertsatz und die Regeln von l'hospital zu lernen und auch zu verstehen während einem die Übungsblätter im Nacken sitzen und man noch 5 andere Module hat die zeit benötigen? Videos sind eine Hilfe aber hast du tipps wie du z.B Mathe gelernt hast ?
Danke!
Hey Thomas, ich hab an einer TU vor meinem Mathe Studium erst noch BWL studiert. Erst als ich nach 4 Semestern gemerkt hab, dass ich gern mit Mathe weiter machen will, hab ich beides parallel studiert. Im BWL Studium gabs 4 Mathemodulen, alles zu den Grundlagen von Analysis, Linearer Algebra, Numerik, Optimierung, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Das heißt ich hatte schon mal 2 Jahre Vorlauf, in denen ich praktisch alle Rechnungen drauf hatte, die auch Ingenieure können müssen, darum konnte ich mich dann im Mathe Studium aufs Wesentliche konzentrieren. Außerdem hab ich ab dem dritten Semester auch jede Woche Tutorien und später Übungen geleitet, das ist ja auch noch mal extra Training. Und das ist meiner Meinung nach der entscheidende Punkt. Ich denke je mehr Zeit man rein steckt, desto mehr kommt am Ende bei raus. Ich hab praktisch nur noch Mathe gemacht. 3-4 Tage die Woche von morgens bis Abends nahezu nichts anderes als alles durchgerechnet, Gedanken gemacht, Rechnungen mit Theorie abgeglichen, alternative Rechenwege probiert, versucht die eleganteste Lösung zu finden,... Und nach 2 Jahren hat dann mein Mathe Studium angefangen. Die Professorin meinte mal: "Wenn Sie nur 10% von dem Verstehen, was ich hier erkläre, bin ich glücklich." Ich wär auch glücklich gewesen, wenn ich nur einen Bruchteil von den 10% verstanden hätte... Also obwohl ich alles perfekt rechnen konnte, hab ich gemerkt wo ich mit dem wirklichen Verständnis stehe. Hab ja schon mal bei Null angefangen, also los gings: War in jeder Vorlesung und Übung aufmerksam und hab mich auch nie geschämt Fragen zu stellen. Ich hab absolut alles hinterfragt, was die Professoren und Übungsleiter gesagt haben. Hab überall nach Widersprüchen gesucht, versucht mir alles grafisch zu veranschaulichen, alle Definitionen gelernt wie Vokabeln, geübt mich mit diesen Vokabeln auszudrücken, Sätze gelernt, bewiesen kreuz und quer. Aus dem folgt das, aus dem folgt das, was ist notwendig, was ist hinreichend, dieses und jenes ist äquivalent. Jeden Beweis aus jeder Richtung in jede Richtung durchgekaut und wieder alles in Frage gestellt und wieder und wieder und wieder. Ich hatte fast 1 Jahr durchgängig Kopfschmerzen und hab sogar geträumt ich werd von riesigen Integralzeichen verprügelt. Einmal bin ich spät Abends vor Erschöpfung fast umgekippt beim Versuch einen Beweis zu führen, bin dann um 4 Uhr morgens aufgewacht, weil mit im Traum die Beweisidee erschienen ist. War eine kranke Zeit, aber ich habe es geliebt. Ich wollte, dass es nie wieder aufhört, weil es mich richtig glücklich gemacht hat.
Aber lange Rede kurzer Sinn. Alle Dozenten meinten immer, dass man mindestens 1 Monat für ein Modul braucht, um es zu bestehen. Am Ende des Semesters hab ich pro Modul nur genau 1 Woche gebraucht, um nahezu immer Bestnoten zu kassieren. Denke aber, dass die ganze Vorarbeit + die vier Semester BWL Mathe da einiges an Arbeit abgenommen haben. Und man darf auch nicht vernachlässigen, welchen Einfluss der Austausch mit den Kommilitonen hatte. Die eigenen Ideen mussten ja auch gegenüber jeder Kritik standhalten und man wollte auch immer schneller und eleganter und einfacher auf eine Lösung oder einen Beweis kommen als die anderen. Meiner Meinung nach ist die stärkste treibende Kraft, dass man es gern macht :)
@@MathePeter wow ok erst mal vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort:) ich denke dann ist es wohl nötig mathe einfach erst mal die höchste Priorität zu geben und nicht aufzugeben, denn ich will mathe verstehen und weis auch ich werde es.Mit der Kommunikation ist es dieses semester etwas schwierig aber auch daran werde ich arbeiten sobald es wieder möglich ist. Bis dahin helfen deine Videos sehr !! Danke und msch weiter so.
Genau einfach dran bleiben! Hard work beats talent if talent doesn`t work hard 💪
Eine Frage vlt kennst du dich aus würdest du eine gute FH mit einem guten Ruf empfehlen oder eine TU
Das kommt auf dich selbst und deine zukünftigen Pläne an. Das Studium selbst ist ein Witz, man ackert sich ab für ein lächerliches Stück Papier. Viel wichtiger ist, wie sehr du in der Zeit selbst an dir und deinen Herausforderungen wächst.
Willst du Naturwissenschaften studieren, später in der Forschung tätig sein, wissenschaftlich Arbeiten und die Gesellschaft mit einem Beitrag voran bringen? Dann geh zur Uni.
Willst du schnell ein Stück Papier, auf dem steht "Studium", willst du dich irgendwo anstellen zu lassen oder vlt selbst eine Firma gründen, Praxiserfahrung sammeln und eigentlich nur eine "bessere Ausbildung" machen, um Geld zu verdienen, dann geh zur FH.
Ist natürlich auch von der Uni und FH abhängig, aber das sind meine Eindrücke der letzten Jahre.
@@MathePeter danke dir sehr für deine Zeit und Mühe. Ich hab dank dir einiges geschafft bleibe einfach so ich wünsche dir immerhin viel Erfolg und Glück im Leben 😉👍
mathe peter ist king
Wo ist denn jetzt das Generalrezept was Herr Jung versprochen hatte??
Ich glaube die Reihenfolge der Maximumsbestimmung muss andersrum sein oder? Das xi-Maximum kann ja noch x-abhaengig sein, sodass man erst nach dem xi-maximum das x-maximum bestimmen kann. Oder bin ich bloed?
Aber das xi liegt doch zwischen x und x0. Wie willst du denn das xi Maximum bestimmen, ohne den x-Wert zu kennen?
Was wäre denn mein Intervall auf dem ich das Maximum über \xi suche, wenn x0 = 5 und ich x im Intervall [2,10] betrachte? Btw super video.
Das Restglied wird bzgl. x maximal groß, wenn (x-x0)^(n+1) maximal wird. Also bei dem x-Wert, der am weitesten von x0=5 weg liegt. Das ist bei dir x=10. Und damit liegt das \xi zwischen 5 und 10.
@@MathePeter Super, ja das macht Sinn. Danke Dir.
Kurze Frage,
warum muss die Ableitung einen Wert haben und darf nicht gleich 0 sein? Liegt es daran, dass es immer ein Restwert gibt und wenn dieser 0 ist, dann keinen Fehler ergibt?
Die Ableitung kann schon zu Null werden. Der Fehler ist nur das maximale, was das Restglied annehmen kann. Das ist in der Regel nicht Null.
Hab den relativen Fehler ausgerechnet und der wäre in dem Fall als Bruch dargestellt 1/6*(pi/36)^3 /sin(pi/36) und dies ergibt 0,0727, womit der relative Fehler bei 0,0727= 7,27% liegt und nicht bei bei 0,017% bzw 0,00017, könntets du das mal gegenrechnen
Danke
ups hab Gradmaß verwendet komme auch auf das Ergebnis
Sehr cool!
Warum will ich denn genau Xi auch noch maximieren? Was für eine aussage macht den die max. stelle von xi?
Einfach aus praktischen Gründen. Ziel eine Worst Case Abschätzung. "Was ist das schlimmste, was überhaupt passieren kann?" Da will man als Antwort eine feste Zahl raus haben, die nichts mehr mit x oder xi zu tun hat. Man will sagen: "Im schlimmsten Fall gibt es eine Abweichung um [Zahl]".
Wäre super wenn du nochmal antworten kannst. Ich verstehe nicht warum überhaupt ein Xi gebraucht wird denn die fehlergröße die durch r(x) ausgesagt wird ist doch nur von x abhängig oder?
Ich antworte bis deine Fragen beantwortet sind haha. Das Xi ist vom x abhängig, weil es sich ja zwischen x und x0 befindet. Umgekehrt ist das x also auch vom Xi abhängig. Vielleicht ist das für dich eine gute Merkregel, warum bei der Maximierung über x auch über xi maximiert werden soll?
steht die Formel eigentlich irgendwo in der Formelsammlung
Ja in meinem Tafelwerk stehts drin.
ist es einfacher mit dem restgield das maximale im intervall zu finden als von der funktion - dem tylor polynom ?
Worum gehts genau? Das Maximum der Funktion oder das maximale Konvergenzintervall bei der Taylorreihe oder das maximum des Fehlers auf einem Intervall?
@@MathePeter maximum des Fehlers 😅
Wenn du die Funktion durch das Taylorpolynom annäherst, passiert ein Fehler. Wenn ein x-Intervall vorgegeben ist, kannst du den Fehler auf dem Intervall abschätzen.
@@MathePeter ja aber kann man auch f(x) minus T(x)? Oder ist es mit dem Restglied einfacher abzuschätzen ?
Geht beides, weil f(x) - T(x) = R(x) das Restglied ist. Allerdings bist du mit einer groben Abschätzung schneller, wenn du gleich mit dem Restglied arbeitest.
Bei mir steht sowas.
"Bestimmen Sie eine obere Schranke für den Fehler der Approximation von f(x) mitells T2[f, x0](x)
an der Stelle x = 2."
Könntest du mir verraten wie ich da in etwa vorgehe? Habe ja kein Intervall sondern nur eine einzige Stelle. Sollte leichter sein oder?
In dem Fall ist wahrscheinlich die Funktion selbst beschränkt, stimmts? Geht es da zufällig um sin(x) oder cos(x)?
@@MathePeter Jep, f:(0,unendlich) -> R mit f(x) = sin(x) / x
Mein gegebenes x0 ist x0 = 1
Habe f', f'', f''' gebildet und f'(x0) usw bestimmt.
Dann Bis zum 2ten Taylorpolynom alles gebildet.
Aber mit der Fehlerabschätzung habe ich so meine Probleme
Also in dem Fall brauche ich doch die dritte Ableitung, um dieses Restglied zu bestimmen, richtig?
Im Video habe ich ein ganzes Intervall an x-Werten vorgegeben, in deiner Aufgabe ist es etwas leichter, weil der konkrete Wert x=2 vorgegeben ist. Wenn du den einsetzt, hast du nur noch für das Restglied über: R2=(3*sin(t)-t*cos(t))/t^4. Jetzt kannst du dir überlegen für welches t diese Funktion maximal wird. Manchmal sind Professoren aber auch faul und machen nur irgendeine Abschätzung nach oben, oft weit über dem Maximum. Das ist auch eigentlich nebensächlich, weil man nur irgend eine obere Grenze wissen will. Ziel ist die Aussage: "Der Fehler kann nicht schlimmer werden als..."
@@MathePeter Cool danke dir, Peter
ich habe eine Aufgabe : Taylorentwicklungs 2. grades im Entwicklungspunkt 1. für xlogx. ich soll Annäherung f(1,2) ausrechnen und Restglied abschätzen. ich habe Schwierigkeiten mit Annäherung wie kann ich das machen?
Zuerst brauchst du das Taylorpolynom 2. Grades. Berechnen kannst du es wie in diesem Video: ruclips.net/video/ELPvMyhNrz8/видео.html
In das Taylorpolynom 2. Grades T2(x)=x-1+1/2*(x-1)^2 setzt du deine 1,2 ein und hast eine Annäherung für f(1,2). Um das Restglied R2(x)=-1/6*1/xi^2*(x-1)^3 abzuschätzen, setzt du für x den selben Wert ein, den du auch in der Annäherung benutzt hast, also x=1,2. Jetzt musst du dich nur noch Fragen, für welches xi der Restterm |R2(1,2)|=1/750*1/xi^2 maximal groß wird. Fertig :)
danke schön :)
Gerne!
@@MathePeter bei mir kommt die zweite Grad -sinx . wenn du null ersetzt, dann kommt raus null. die zwite Ableitung von sinx ist - sinx
Die Notation bei ca 10:00 ist nicht ganz korrekt oder? Weil wenn bereits das Maximum davorsteht ist ja dann das kleiner gleich nicht mehr nötig
Grundsätzlich aber auch nicht verkehrt. Und es fängt den Fall ab, dass kein Maximum existiert, sondern nur ein Supremum.
top, nix auszusetzen :^)
freut mich sehr! hoffe konnte dir weiter helfen
Hab das Gefühl am ende das mit dem relativen Fehler wurde etwas schnell gemacht, wäre gut die Idee dahinter noch etwas ausführlicher zu erklären!
Ansonsten gutes Video!
Ist taylorpolynom 2. Grades nicht -sin(x)? Und damit 0
Ein Taylorpolynom vom Grad n hat n+1 Summanden, weil es alle Grade unter sich beinhaltet. Das Taylorpolynom 2. Grades ist also nur das Taylorpolynom 1. Grades mit einem weiteren Summanden addiert. In unserem Fall die von dir gemeinte Null. Darum ist das TP 2. Grades gleich dem TP 1. Grades in diesem Beispiel. Das hätte man sich aber auch vorher überlegen können, weil der Sinus eine ungerade Funktion ist.
Küsschen
In der Definition des Restglieds steht laut meiner Vorlesung und auch laut Wikipedia nur n! nicht (n+1)!
Dann muss es sich um ein anderes Restglied handeln. Beim n-ten Restglied von Lagrange steht definitiv ein (n+1)!. Das steht zumindest bei Wikipedia und in jedem Skript und Lehrbuch der Analysis, dass ich je zu dem Thema gelesen hab.
In meiner Furmelsammlung steht leider R(x) = f^(n+1)(x0+thetha*(x-x0))/(n+1)! * (x-x_0)^(n+1), d.h. im Parameter der dritten Ableitung ist noch ein x, also f'''(thetha*x). Deine Furmel stimmt allerdings mit der von Wikipedia überein, daher denke ich das mein Furmelbuch eine Abweichung des Lagranschen Restglieds verwendet - werde nun deine verwenden damit kann ich einfacher rechnen
Für xi=x0+theta*(x-x0) mit theta€[0,1] sind beide identisch. Nur dass auf deine Schreibweise die Anmerkung "xi zwischen x und x0" schon in der Formel mit drin steckt.
@@MathePeter Danke! Jetzt macht's Sinn :-)
Ich habe für
f(x) = 1/x
a = x_0 = 1
Taylor-Polynom 2. Ordnung: T_2(x) = x² - 3x + 3
mal das Restglied berechnet:
R_2(x) = -1/ξ^4 * (x-1)^3
Dann habe ich die Rechnung aus dem Video gemacht für x ∈ [1; 1,2] (weil 1,2 vom Graphen her ganz gut approximiert aussah).
Ich habe dann für x = 1,2 eingesetzt, weil dann der Term maximal wird und für ξ = 1, ξ ∈ [1; 1,2].
Damit habe ich dann R_2(1,2) = 1/125 ≈ 0.008
Dann habe ich test halber gerechnet:
| f(1,2) - T_2(1,2) | = 1
/150 ≈ 0.00666666666667
R_2(1,2) > | f(1,2) - T_2(1,2) |
0.008 > 0.00666666666667
Meine Frage wäre:
Warum ist der Wert von R_2(1,2) nicht gleich der Differenz der beiden Funktionswerte? Ich meine, R_2(1,2) gibt ja den maximal möglichen Fehler an bei x=1,2. Aber durch den Betrag der Differenz der Funktionswerte kriegt man ja den tatsächlichen Fehler an der Stelle x=1,2 raus, welcher ja nicht gleich dem Wert von R_2(1,2) ist.
Was ist da falsch? Oder muss das so?
Sehr gut, alles richtig gemacht! Nur kurz zur Auswertung: Der Wert 1/125 ist nicht R2(1.2), sondern "max max |R2(1.2)|". Es gilt zwar R2(x) = f(x)-T2(x), aber nur für EINEN von x abhängigen Wert für ξ, nicht für alle. Durch das mehrfache Maximieren und Nach-oben-Abschätzen, wird der Wert natürlich mindestens so groß, in der Regel größer, als R2(x). Das war ja das Ziel: Eine Worst Case Abschätzung für dieses x-Intervall :)
12:10 also 0,000110762/sin(pi/36) oder andersrum?
Genau!
Wie wählt man das X0 wenn das nicht schon gegeben ist ?
Einfach eins ausdenken, wenn keine weiteren Informationen gegeben sind. Es gibt im Allgemeinen keine festen Regeln für die Wahl des x0.
@@MathePeter achso, war das nicht so, dass man einen x0 wählen muss, der nah am x ist?
Nein, das x ist ja eine Variable Zahl. Das x0 ist sogar maßgeblich beteiligt am Konvergenzradius der Taylorreihe, wie ichs am Beispiel der Taylorreihe von f(x) = 1/x gezeigt habe.
@@MathePeter danke für die Antwort
Aber der Fehler ist doch der ganze Rest der Taylorreihe, also alle Glieder von n+1 bis unendlich. Warum nimmt man nur den Term mit n+1 als Restglied?
Richtig! Lagrange hat jetzt aber zusätzlich noch beweisen können, dass es eine Zahl ξ gibt (die abhängig von x ist und sich zwischen x und x0 befindet), bei der der Term R_n(x) identisch ist mit der Summe der fehlenden unendlich vielen Summanden. Wie gesagt immer abhängig vom ξ. An einer anderen Stelle x, kann ξ auch einen anderen Wert annehmen.
EDIT: Den Beweis kann ich gern man in einem anderen Video zeigen. Hier erst mal nur wie man die Restgliedabschätzung durchführt.
@@MathePeter Ah, ok, vielen Dank für die Antwort!
Gilt die Kleinwinkelannäherung nicht beim sin und tan, also sin(x)=tan(x) bei kleinen Winkeln
Das Taylorpolynom 2. Ordnung vom tan(x) in x0=0 ist ebenfalls nur x. Da also beide nur x als Taylorpolynom haben können sie für kleine Winkel auch einfach gleichgesetzt werden, im Sinne von sin(x)≈x≈tan(x), also sin(x)≈tan(x).
@@MathePeter aso okay vielen dank!
MathePeter = MatheGott
Die 2 Dislikes sind von SimpleClub
MathePeter > Daniel Jung - Change my mind
Restgliedberechnung sollte ich mal meiner Freundin beibringen, damit sie ungefähr abschätzen kann ob es noch eine Runde gibt :D
"langrange" spricht man "langrongsch" aus, ist französisch :D
Vergangenheitspeter war diesbezüglich ein bisschen dumm 😂
"Ksi" ist bis jetzt das hässlichste Symbol in Mathe, der mir untergelaufen ist xD
Hahaha seh ich genauso! xD
Schon wieder Lagransch ! remakeeeeeee
😂
leider völlig unverständlich erklärt andere videos super
Es ist mir klar dass man so eine Spitzenleistung nicht nur aus Nächstenliebe herausbringt. aber das Video wurde von 5 Werbespots unterbrochen.
Sry das macht RUclips. Selbst wenn ich die Monetarisierung deaktiviere, schaltet RUclips Werbung. Das liegt an der Plattform, nicht an meinem Kanal.
Danke !