EXTREMA mit Nebenbedingungen - LAGRANGE Methode, mehrdimensionale Extremstellen bestimmen
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- Опубликовано: 21 июл 2024
- Extrema mit Nebenbedingungen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man mit der Lagrange Methode Extrema mit Nebenbedingungen bestimmen kann. Wir stellen die Lagrange Funktion auf und bilden die partiellen Ableitungen. Den Gradienten setzen wir gleich Null, um die Kandidaten für die Extremstellen zu finden. Mit der geränderten Matrix bestimmen wir, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Extremstellen unter Nebenbedingungen
0:21 Schritt 1: Nebenbedingung
1:02 Schritt 2: Lagrange-Funktion
3:03 Schritt 3: 1. partielle Ableitungen
4:23 Schritt 4: Extremstellen
7:04 Schritt 5: 2. partielle Ableitungen
8:45 Schritt 6: Geränderte Matrix
10:48 Determinante berechnen
12:59 Bis zum nächsten Video :)
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#Lagrange #Extrema #MathemaTrick
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Die Matrix der zweiten Ableitungen ergibt 4 und ist somit größer als null. Dies ist doch die Bedingung für ein Minimum. Ich habe Werte kleiner und größer als 0,5 eingesetzt und die Bestätigen meine Theorie . Liege ich falsch wenn ja warum, danke
Du bist einfach so unfassbar viel besser als mein BWL Mathe Prof. DANKE
Dankeschön!!
@Richtofen wo studierst du?
@sleezy66haha same
Bestimmt in essen😂
Jetzt habe ich doch noch Hoffnung für meine Analysis Klausur vom Studium, danke! Super erklärt! Ich weiß nicht warum Profs es nicht auch so erklären...:/
Hey Céline, dann wünsche ich dir ganz viel Erfolg bei der Analysis Klausur! :) Du schaffst das!!
same, ich hoff iwie dass des was wird und die videos tragen einen nicht unbeträchtlichen Teil dazu bei, dass ich die Hoffnung noch ned ganz aufgegeben hab haha
Krass... Ich hatte bisher nur deine gymnasial Mathe Videos gesehen... Jetzt kann ich mein gesamtes Physik Studium nochmal durchgehen bis zu dem Punkt wo ich intellektuell in der Mathe ausgestiegen bin und aufgegeben hab. Toll erklärt. Danke dir.
Dankeschön! 🥰
Wegen deinen Videos kann ich in ruhe einschlafen, weil ich Mathe verstanden habe 🙏
Vielen Dank für die Videos! Das Prinzip ist meiner Ansicht nach verständlich rübergebracht worden.
Ich nahm jedoch an, man müsste überprüfen, ob die Eigenwerte der Hessematrix positiv bzw. negativ sind. Bei ersterem Fall wäre die Hessematrix doch positiv definit und es läge ein Minimum vor. Bei letzterem Fall lägen dann doch negative Definitheit und entsprechend ein Maximum vor.
Die Videos sind wirklich genial! Perfekte Vorbereitung für die HM2 am kommenden Wochenende an der TUKL, und danach dann aufn Betze! Bestehen und 3 Punkte das wäre ein super Wochenende! 😃
Warum bei größer 0 ein Maximum? Ich dachte das wäre anders herum.
Wow. Alle deine Videos sind so super. Selbst die Lagrange-Funktion hast du super verständlich gemacht. Vielen Dank.
Brauchte ein Lagrange Video und war so happy, eins von dir zu finden. Du erklärst alles immer super verständlich. Mach weiter so :)
Das ist wirklich mal toll und präzise erklärt. Ich bin damit beruflich vertraut und kann wirklich beurteilen,dass es gut ist. Sehr gut..
Top 👌
Doch dann kamen die Mathe-Profs an die Unis, klatschen dir eine halbe Seite Text hin, sollst daraus eine Konsumfunktion ableiten und die Nebenbedingung mit vielen Parametern lieben sie auch besonders 😂
Was studierst du denn?
haha mein Beileid bro
Woher wissen wir genau, dass 4>0 ein Maximum ist? Ich dachte ursprünglich, dass dies für positiv/negativ definit spricht und man Zeile1/Spalte1 der Matrix betrachten muss, um zu entscheiden, ob es sich um einen HP oder TP handelt. In dem Video zur 3x3 Hesse Matrix wurde dann gesagt, dass dieses gesamte Verfahren bei 0 (Zeile1/Spalte1) nicht funktioniert. Bitte um Aufklärung, danke im Voraus :)
Die Antwort findest du, wenn du über geränderte Hesse-Matrizen nachliest :) das Konzept war mir auch unbekannt
Wir lieben dich
Vielen Dank 🙏🏽 kommt genau zum richtigen Zeitpunkt! 😬
Cool, das freut mich sehr! Hoffe es hat dir geholfen! 😊
Liebe Susanne, danke für das Video, das hat die Theorie echt noch mal verfestigt. Ich würde mich dazu noch sehr über ein Video über mehrdimensionale Extremstellen mit Ungleichheitsnebenbedingungen und die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen freuen.
Gutes und hilfreiches Video aber muss man nicht die eigenwerte berechnen und sagen dass die positiv sind um zu entscheiden ob die Hesse matrix positiv definit ist und um dann die Art der extremstelle herauszufinden?
Danke dir so sehr für diese Videos. Klausur in 2 Wochen und du rettest mir die Analysis Klausur damit🙌
Vielen Dank! Hat mir sehr weitergeholfen :)
Danke sehr! sehr hilfreich und sehr gut erklärt
So ein starkes Video!!! Vielen Dank 🙏
Ich lieb dich ! Du rettest mein Leben !!!!
Danke für die Anmerkung bei 2:20 , habe viel Zeit damit verschwendet, weil ich dachte mein Skript wäre falsch :D
Dankeschön 💜
Danke . Du bist super .
Danke ❤️
Prima erklärt 👍
Danke. Du bringst mich durch den Master 😄
Freut mich sehr! 😍Was studierst du denn?
Wirtschaftswissenschaften an der Fernuni Hagen. Den Stoff muss ich mir selber aneignen und durch deine Videos komme ich super voran. 👍 Du erklärst das sehr verständlich. 😍
@@sunshine-om9ie Wirtschaftswissenschaften im Master und dann noch nie Lagrange benötigt ? Ich studiere BWL im ersten Semester und sogar ich muss das schon können
@@xroadrigiscool3903 Ich studiere Wipäd im Bachelor und hatte das im 1. und jetzt im 3. wieder
@@xroadrigiscool3903 ich hatte das schon im Bachelor, aber das ist 15 Jahre her. 🙈 Mittlerweile bin ich Mama. Das ich da nicht mehr alles auf dem Kasten habe, ist denke ich verständlich. 😉
Hey, könntest du ein Video machen, wo man ein Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen löst, jedoch ohne die Lagrange Methode? Liebe Grüße! :D
Voll geil!!! Ich hab das Alles damals im Kopf mal auf die Schnelle gemacht, aber du erklärst das voll lieb! Danke! Macht mega Spaß!
Moin, vielen Dank für das Video, aber was tu ich, wenn in meiner Ableitung nach x kein x mehr bleibt?
sehr schön erklärt, dankeschön. aber ist bei einer Determinante größer Null nicht ein Minimum gefunden, weil die Matrix positiv definit ist ??
Kannst du bitte auch ein Video über Mannigfaltigkeit machen?
ist es bei der Ermittlung der Determinante nicht sinnvoller, etwaige x, y und λ erstmal drinzulassen und erst hinterher einzusetzen? Jedenfalls dann, wenn man mehrere Kandidaten hat, da man sonst ja pro Kandidat separat die Matrix aufstellen und die Determinante berechnen muss
hey wäre es wenn die Determinante kleiner als null wäre ein Minimum? Ich habe das bei den "normalen" Hessematrizen nämlich immer mit den führenden Hauptminoren begründet und da war zb ein Maximum wenn die führenden Hauptminoren alternierend sind. Das verwirrt mich gerade ein wenig
Hey, dein erster Gedanke ist richtig. Bei det < 0 ist es ein Minimum. Hier musst du also "andersrum" denken, als bei der normalen Hessematrix, da es sich hier auch um die geränderte Hessematrix handelt.
@@maskerade7258 woran erkenne ich dann eine sattelstelle? x=0? Oder auf den ersten matrixeintrag schauen wie bei der hesse Matrix?
Vielen Dank! tolles video!
Dankeschön, freut mich!
Was genau ist denn die Nebenbedingung? einfach der Rand bei der die Funktion begrenzt ist? Bzw. die Funktion ist in dem Bereich der Nebenbedingung definiert und man mus erst im inneren nach extrema suchen und dann noch bei den Randpunkten (und das ist dann was man mit lagrange macht?). Oder hab ich das falsch verstanden?
Aber wie man lagrange berechnet hab ich dank dir jetzt auch verstanden :) mille grazie
Lagrange, war n super Mathematiker...aber das muss ich mir noch mal anschauen...schweer!!!
Was ist wenn ich noch einen Lagrange-Multiplikator in der Matrix habe? Setzte ich für diesen auch schlicht den Wert ein, den ich durch auflösen der am Anfang aufgestellten Gleichungen bekommen kann?
Danke für das Video und schon mal im Voraus für die Antwort. :-D
Genau! Falls du in deiner Matrix am Ende noch x,y oder lamda drin haben solltest, musst du die durch die Zahlen ersetzen, die wir schon als Extremum rausgefunden haben.
@@MathemaTrick Danke Dir! :-D
Ich liebe dich und deine Videos
🥰
Wow, dich hätte ich vor einigen Jahren fürs Studium gut gebrauchen können!
Sorry, dann bin ich wohl bisschen spät dran! 😅
Heya,
ein Video zum Envelope Theorem wäre ganz cool! Findet man auf RUclips auch nicht viel zu.
Die Hesse-Matrix ist in ihrem eigenen System diagonal, die Determinante bleibt beim Übergang erhalten und ist gleich dem Produkt aller drei zweiten Ableitungen (Eigensystem ist orthogonal weil die H. Matrix symmetrisch ist) auf der Diagonale. In unserem Fall sind die Eigenwerte −1±√3 und −2. Zwei sind negativ, einer ist positiv. Daraus können wir noch nicht auf die Existenz von Extremen schließen.
Wir betrachten den Schnittpunkt der Ebene x+y = 1 und des Paraboloids z = 4−x²−y², das offensichtlich an Punkt x = 1/2, y = 1/2 ein Extremum hat.
Welche Software benutzt du ?
was wäre wenn in der gerenderten noch ein lambda vorhanden ist bei der fxx und fyy. NB=x^2+y^2-4=0
💛
Sehr hilfreich 👍🏻
Freut mich! 😊
Hey, theoretisch hätten wir doch auch die 1/2 für x und die 1/2 für y in die Ausgangsfunktion einsetzen können und ebenfalls leichter die Extremstelle berechnen können bzw. den Hochpunkt oder ?
Nein, weil dann ja die Nebenbedinung fehlt. Es geht hier nicht um das absolute Maximum von f(x,y).
Wenn die Determinante am Ende negativ ist, kommt ein Tiefpunkt dabei raus und wenn sie =0 ist ein Sattelpunkt?
Determinante positiv: Maximum,
Determinante negativ: Minimum,
Determinante = 0: Mit diesem Kriterium nicht entscheidbar.
12:06 muss man nicht noch "Hauptminorenkriterium für zwei Variablen und eine Nebenbedingung" berechnen um das urteilen zu können?
Müsste für ein Maximum die Matrix nicht negativ definit sein (det(A)>0 und die geraden Hauptminoren positiv sowie ungeraden negativ)?
Das ist hier anders, da wir jetzt mit Nebenbedingungen die Extremstellen herausfinden wollen
An sich ist bei der Methode alles klar. Aber was passiert, wenn bei den 2. Ableitungen noch ein Lambda ueber bleibt? Dann kann ich zwar meine Punkte einsetzen, bekomme aber Werte in Abhaengigkeit von Lambda?!
Noch ein Nachtrag zu der Neutralleiter-Frage: Auch die Maßeinheiten bei den Nebenbedingungen stimmen nicht überein: IN ist ein Strom mit der Einheit A bei X1^2+R1^2 -Z^2 wäre die Einheit Ohm^2. Muß man da umformen, das auch da ein Strom steht z.B: so : U/(sqrt(X1^2+R1^2) - U/Z. Gäbe noch mehr hässliche Wurzeln... Ach ja und ich hatte j geschrieben, das meint natürlich die Imaginäre Einheit. (Ist aber glaube ich klar). U ist die Spannung der Außenleiter gegen den Neutralleiter 230 V bei uns und Z der Betrag der Impedanz mit der ich belasten will (z.B 230V/16A ). U und Z sind auch reel wie alle Größen (siehe unten). Wie so oft, bereits kleine und einfache Fragestellungen können an die Grenze dessen führen, was man lösen kann. Vielleicht auch ein Problem der eigenen Mathe-Skills. Irgendwie auch eine schöne Aufgabe für Grundlagen Elektrotechnik 1. Da zu scheitern ist nicht schön...
(Minute: 5:07) Man muss die erste Gleichung aber nicht unbedingt nach x auflösen oder?
Also klar, es ist hier am einfachsten - aber ich rechne gerade eine andere Aufgabe, wo es extrem schwer ist. Deshalb die Frage, ob es egal ist wonach ich ableite?
Was für einen Kontext Bezug hat das lamda kannst du vllt bisschen suchen danach und es erklären bitte. Ich habe gehört das in Mikroökonomie bei Optimierungen das + und das - vor dem lamda ne Bedeutung hat
sollte man nicht Kriterium von Sylvester anwenden, falls die det > 0 ?
ich dachte, det = 0 => indefinit,
det > 0 => von Sylvester,
det < 0 => Eigenwerte überprüfen
Das hier bei Lagrange ist ja die „geränderte Hesse-Matrix“, da reicht es die Determinante der Matrix auszurechnen und weiß dann, ob es ein Maximum oder Minimum ist. Wenn du eine normale Hesse-Matrix hast, wenn du Extremstellen ohne Nebenbedingungen finden sollst, dann braucht man die Eigenwerte oder Sylvester.
@@MathemaTrick Danke, dass es dich gibt :)
Ist es möglich, dass die geränderte Matrix indefinit ist?
Megaaa !! aber eine Frage : warum haben wir gesagt : det positiv , dann gilt Unsere Punkt ist eine Hochpunkt ? wobei die erste stelle in Unsere Matrix 0 ist
Hab ich mich auch gefragt
Hi, bei meiner Aufgabe steht, man solle es mit dem Einsetz Verfahren lösen. Ist das dss selbe oder gibt es noch eine Methode?
Wie kommt man bei 6. Auf die kreuzrechnung, das habe ich leider nicht verstanden?🤔
Also auf gut bayrisch: Do legst Di nieda... Wieder super Video!!!!
Dankeschön!
Ich habe eine Frage zu der Nebenbedingung. Falls wir 2x+3y= 20 , heißt das ich müsste /-20 berechnen, damit die - 20 nach Links kommt. und dann die Nebenbedingung 2x+3y-20=0 wird?
Tausend Dank für deine Erklärungen!!! Wie würde Schritt 5 und 6 aussehen, wenn wir zwei Nebenbedingungen hätten?
handelt es sich eigentlich bei 4 am Ende nicht um eine positiv definit bzw. Minimum und nicht Maximum?
Yes
Was sagt die Geränderte Matrix aus, wenn die Determinante = 0 ist ? ist das dann ein Sattelpunkt ?
selbe frage
Hat man beim Mathestudium auch die Herleitung des Lagrange-Ansatzes, also wie Lagrange darauf gekommen ist?
Das ist eigentlich die interessante Seite, die man bei Mathe für Ingenieure weglässt ( weil es Zeit kostet).
glaube schon habe optimierung 2 nicht wirklich zu ende gemacht, ist aber alles sehr technisch und überprüft eher die grundlagen, dass das so geht - nicht wie man drauf kommen könnte. In optimierung 1 geht es eig. zu 100% das simplex verfahren zu begründen aber wirklich begründen wie man drauf kommt ist das auch nicht
Das macht man in Analysis für Mathematiker, ist aber äußerst technisch und bedarf i.d.R. Konzepte aus den Mannigfaltigkeiten. Es geht auch ohne aber dann sind die Beweise super unübersichtlich und ein bissl willkürlich.
ich verstehe nicht, warum bei der Ableitung Lambda nach X bzw. Y gleich 1 und nicht -1 ist.
könntest du noch in einem weiteren Video erklären , wie man den Lagrage-ansatz in Mikroökonomik anwenden, oder Lösungen finden kann??
wenn du die Gleichung x+y-1 nach x (bzw y) ableitest fällt ja alles weg außer der 1 vor dem x (y).
Wow danke
Gerne ☺️
Könnte man die Nebenbedingung auch wie folgt umstellen? 0=1-x-y Bei mir kommt dann nämlich ein anderes Ergebnis raus…
Hallo, wie ist es, wenn meine Nebenbedingung eine Ungleichung ist ?
Könntest du auch bitte den kuhn- tucker-ansatz erklären
Thanks very much for the video, please could you make a video on Integralsätze ; Satzt von Stoke, Green and Gauss
Warum ist bei 4 dann ein Maximum, ich dachte wenn die 2. Ableitung positiv ist, ist es eine Minimalstelle?
ist das nicht ein Minimum wenn die zweite Ableitung größer 0 ist?
Mich verwirrt die Methode mit der du die Definitheit der Hessematrix bestimmt hast. Normal ist doch der erste Hauptminor hier 0, der zweite ist negativ, also eine indefinite Hessematrix was ein Sattelpunkt wäre... ??
Ich habe mir die Funktion einmal plotten lassen. Es ergibt sich tatsächlich ein Maximum. Bei der positiven 2. Ableitung hatte ich zunächst ein Minimum erwartet. Eine positive 2. Ableitung steht ja für eine Linkskrümmung und die wiederum hat einen Tiefpunkt zur Folge.
Der Unterschied ist, dass das hier die zweite Ableitung der Lagrange-Funktion und nicht der ursprünglichen Funktion ist.
Wann wäre es ein Minimum bzw. ein Sattelpunkt?
super video!!!!!!!!!!!
POV: es ist 1:30 Uhr und du schaust dir in den Sommerferien ein Mathevideo an :D
So muss das sein! 😜 Wünsche dir schöne Ferien! 😊
@@MathemaTrick danke danke☀️
Könnten sie bitte ein Video zum Cauchy Produkt erstellen
Anstatt die Hesse-Matrix zu berechnen und die Punkte x,y einzusetzen, kann man die Punkte einfach in die Zielfunktion einsetzen und erhält das selbe Resultat 3,5...
Ehrenfrau ich küss doch dein Herz
👍👍 Top
Danke! :)
Hinr. Bed.: ZWEITE ABLEITUNG größer Null FOLGT MINIMUM. Oder habe ich das falsch in Erinnerung?
das gilt im eindimensionalen also bei einer Variablen, im mehrdimensionalen wie hier im Video ist der Kandidat ein Minimum wenn die Hessematrix der Funktion (alle zweiten partiellen Ableitungen) absolut positiv definit ist.
Hey und was ist wenn die geränderte Matrix = 0 ist? :)
Was, wenn ich 2 Nebenbedingungen habe?
meistens ist es doch so wenn das Ergebnis der Determinate etwas negatives ist es ein Maximum ist, warum ist es hier anderes?
Eine relativ wichtige Sache zur Lagrange Methode fehlt: Stellen, an denen der Gradient der Nebenbedingungsfunktion Null ist (also beide partiellen Ableitungen von g(x,y) sind Null), wird man mit dieser Methode nicht unbedingt finden! Das ist bei dieser Funktion kein Problem, weil beide partiellen Ableitungen von g konstant 1 sind. Aber im Allgemeinen kann man Extremstellen "übersehen", wenn man dies nicht auch überprüft.
Nein, die kritischen Punkte der Nebenbedingungen sind nicht notwendig. Man betrachte das folgende Problem:
min f(x) u.d.N. h(x) ≤ 0, g(x)=0 (1)
Nun gilt folgender Satz:
Wenn x eine lokale Lösung von (1) ist und eine constraint qualification bei x gilt, dann gelten die Karush-Kuhn-Tucker (KKT) Bedingungen:
Es gibt λ und μ s.d.
0=∇L(x, λ, μ) = ∇f(x)+∇h(x)λ+∇g(x)μ
g(x)=0
λ ≥ 0, h(x) ≤ 0, λ^Th(x)=0
Unser Optimierungsproblem ist einfach dann das mit h(x)=0 und f sowie g aus dem Video. Man bemerke, dass die Tatsache, dass die Ungleichungsbedingungen alle konkav sind eine constraint qualification ist. Somit müssen an jedem lokalen Minimum die KKT Bedingungen gelten. Alle potentiellen Kandidaten auszurechnen ist nun einfach das Lösen von ∇L(x,λ,μ)=0
@@imengaginginclown-to-clown9363 Ich stimme zu, dass man das Problem als KKT-Problem mit trivialem h schreiben kann. Allerdings gibt es keine constraint qualification, die nur die Ungleichungsbedingungen betrachtet und die Gleichungsbedingungen ignoriert. Und gerade im Fall ∇g(x,y) = 0 sind keine constraint qualifications erfüllt.
Aufgabenstellung wie im Video:
(A) Finde Extremstellen von f(x,y) unter der Nebenbedingung g(x,y) = 0.
Löst man für L(x,y,λ) = f(x,y)+λg(x,y) das Gleichungssystem ∇L(x,y,λ) = 0, dann findet man Stellen (x,y), an denen die Nebenbedingung erfüllt ist (dritte Koordinate von ∇L(x,y,λ)) und ∇f(x,y) ein skalares Vielfaches von ∇g(x,y) ist (erste beiden Koordinaten). Man kann also keine Kandidatstellen finden, die kritische Punkte von g sind, an denen aber ∇f(x,y) nicht Null ist. Solche Punkte können durchaus Extremstellen von (A) sein.
Beispiel:
Durch g(x,y) = (x²+y²)²+4x(x²+y²)-4y² = 0 wird eine Kardioide beschrieben. Der Punkt (0,0) liegt auf der Kardioide und ist ein kritischer Punkt von g. Bei geeigneter Wahl von f (z.B. f(x,y) = x oder f(x,y) = (x-1)²+y²) liegt bei (0,0) ein lokales oder gar globales Minimum von (A) vor, aber es gibt kein λ mit ∇L(0,0,λ) = 0.
@@taflo1981 stimmt, für die constraint qualification müsste g affin sein. Hab ich nicht mehr so genau im Gedächtnis gehabt.
Du hast mein arsch gerettet 😂
Ich liebe dich
Bin mies durchgefallen, aber danke für die Hilfe tho
Hi wieso ist die Ableitung von -2 = 1? Weil meines wissen wäre die Ableitung von -2=0... wäre super wenn es jemand kurz und schnell erklären könnte
Markier nächstes mal die Stelle im Video, so ist das nicht so einfach.. Hier wird nirgends -2 zu 0 abgeleitet
du bist echt süß hihi
Danke! 😅
Frage: ab Minute 8:30 leitet man Llambda nach x und y ab. Warum bleibt dabei "1" übrig und nicht "-1"? Danke im Voraus :)
Da bei der Ableitung nach x alles wegfällt, wo x nicht vorkommt (in diesem Fall y - 1), d.h. du bildest in diesem Fall die Ableitung von x und die ist 1. Analog dazu dann die Ableitung nach y.
Dachte, das wäre ein Lied von ZZ Top...😉
Danke das du existierst
Am ende wird die determinante ausgerechnet, ich dachte wir brauchen die eigenwerte lamda, nicht ? hilfe :(
Wallah einfach die beste
Sorry, aber das Beispiel ist extrem ungünstig, weil man es komplett ohne Lagrange lösen kann und ich finde, dass man sowas sehen sollte. Du hast f(x,y) = 4-x^2-y^2 und die Nebenbedingung x+y = 1 ; aus der Nebenbedingung folgt: y=1-x; das nun in f(x,y) einsetzen ergibt f(x) = -2x^2+2x+3 . Nun ableiten: fx(x) = -4x+2 und fxx(x) = -4. Aus fx(x) == 0 folgt, dass x = 1/2. Aus fxx(x)=-4 folgt, dass es ein Maximum ist, der Rest ist Einsetzen. Sind gerade mal 5-6 Zeilen zu rechnen ;-)
Und ich dachte immer, Lagrange ist ein Song von ZZ-Top!
Nein nein, das ist eine stelle im Weltraum.
Warum zur Hölle können das die Profs an der Uni nicht genau so gut erklären wie du?!
Tja, Sarah, das hat schon jeder, der studiert hat erfahren. Professoren sind KEINE Lehrer, sondern nur Wissensträger ohne Anspruch, diese Wissen tatsächlich weitergeben zu wollen...
Der Wert von Maximum ist gleich 4 und nicht 3,5