Konvergenzradius, Konvergenzintervall, Konvergenzbereich bestimmen, u.a. Formel von Cauchy-Hadamard
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- Опубликовано: 21 июл 2024
- Der Konvergenzradius ist eine Eigenschaft von Potenzreihen. Er gibt an, wie weit du dich von der Entwicklungsstelle x0 entfernen kannst, bis die Konvergenzeigenschaften verloren gehen. Außerdem beinhaltet er auch Informationen über die Konvergenzgeschwindigkeit innerhalb des Konvergenzbereichs, bzw. des Konvergenzintervalls. Wie du den Konvergenzradius einfach und schnell bestimmen kannst, erfährst du in diesem Video!
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Inhalt:
0:00 Intro
0:20 Formel von Cauchy-Hadamard (Herleitung)
4:23 Beispiel 1: Reihe x^n/(n*2^n)
9:07 Beispiel 2: Reihe (x-2)^(2n)/(5+(-1)^n)^(2n)
13:52 Beispiel 3: Sinusfunktion, Reihe (-1)^n/(2n+1)! * x^(2n+1)
19:53 Outro
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
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sehr cool, Peter! Diese Videoschnipsel sind ungemein hilfreich. Studiere als "alter Sack" in Altersteilzeit Mathe im 2. Semester und da ist noch alles sehr abstrakt. Da unterstützen deine Videos und machen den Stoff anschaulich. Gute Arbeit - vielen Dank!
Also Peter, als Ersti im Ingenieursstudium kann ich wirklich nur Danke sagen, deine Videos sagen mehr als 1000 Vorlesungen! 😍
Wow ich habe es genau heute in meiner Vorlesung gehabt und instant kommt dazu ein perfektes Video von dir. VIelen lieben Dank!
Ich wollte nur kurz sagen, dass es richtig satisfying ist, wie du schreibst!!
Danke für das Video
Fettes Danke, sehr hilfreich, auch in diesem Jahr. Hab mir noch nie ein so langes Video von Anfang bis Ende angesehen.
Ich hau meine ganzen Vorlesungsmitschriften in die Tonne und schreib hier mit, Danke für deinen Einsatz du hast so absolut Talent für sowas
Haha vielen Dank! Behalt die Unterlagen ruhig noch ein bisschen. Am Ende der Playlist hier machen einige Dinge vielleicht mehr Sinn 😄
Perfekt vor der anstehenden Klausur 👀🙏🏼
Muss heute Konvergenzradien berechnen. Besseres timing geht nicht.
Vielen vielen dank, deine Videos haben mir wirklich viel geholfen
wollte dir nur mal danken, dass du diese videos machst, dadurch kann man schnell die themen lernen, die man für die klausur braucht, morgen klausur XD, nochmals danke
Cooler Name, wie bist du auf ihn gekommen?
Hey Peter😊🙋♂️ Danke dir. Sehr gut erklärt. Weiter so👍
Ehrenpeter
Einfach perfekt erklärt
Cauchy-Hadamard gut erklärt, danke!
danke dir!
Gutes Video, danke!
Hallo. Erstmal top Video 👍🏻 kann ich auch die Formel von Cauchy Hadamard verwenden wenn ich statt x -x0 auch x +x0 habe? Oder geht das nicht?
Danke dir. LG
Ja klar das geht. Wenn du sowas hast wie x+5, dann ist das x0=-5 also hat einfach nur gändertes Vorzeichen.
@@MathePeter top danke!👍🏻👍🏻
Danke Peter, viel besser als beim Daniel :)
Schade, genau sowas hab ich gesucht vor der Klausur letzten Mittwoch 🙃
Habs leider erst jetzt geschafft, hoffe ist trotzdem gut gelaufen 😅
Du siehst sehr gut aus ♥
Weiter So! Hut ab 3>
Starkes Video
der Mathe Petää ist einfach Numero Uno !
Super Video wie immer, habe nur eine Frage: Wenn ich für einen Randpunkt des Intervalls die Reihe (-1)^n * 1/n^2 als Ergebnis bekomme, konvergiert oder divergiert die Reihe dann in diesem Punkt? Konnte im Internet leider nicht's finden, ob die Reihe divergent oder konvergent ist, meine Vermutung wäre divergent, weil es ja die alternierende "Version" von der Reihe 1/n^2 ist, die ja konvergent ist. LG =)
Grundsätzlich gilt: Wenn eine Reihe konvergiert, dann wird sie weiterhin konvergieren, wenn du innerhalb der Summe noch mit (-1)^n multiplizierst. Einfach weil eine notwendige Bedingung für die Konvergenz ist, dass die Folge, die summiert wird, eine Nullfolge ist, den Rest übernimmt das Leibnizkriterium: Wenn die Folge, die an (-1)^n multipliziert wird, eine (monotone) Nullfolge ist, dann konvergiert die Reihe.
@@MathePeter Stimmt, macht Sinn, vielen Dank!! :)
Morgen HöMaII Klausur! Ich und Konvergenzen sind eindeutig auf dem Kriegsfuß, sehr unangenehmes Thema^^
Wird schon, probier mal diese Herangehensweise an ein paar Aufgaben aus. Wird schon klappen mit der Prüfung, viel Erfolg! :)
Wie bist du bei dem ersten beispiel auf die 1 für das x im zähler gekommen?
Die Formel von Cauchy-Hadarmard sagt ja, dass nur von der Zahlenfolge, die an das (x-x0)^n dran multipliziert wird, die n-te Wurzel gezogen werden soll. Darum hab ich das x^n außen vor gelassen. Im Beispiel danach zeig ich aber, dass es allgemein schlauer ist das x mit einzubeziehen und am Ende nach x umzustellen.
Könntest du bitte ein Video über die Leontief Inverse machen ? 😊
Das kommt alles noch, aktuell hab ich aber andere Projekte :)
super video danke!!
Sehr gerne!
Es wäre noch gut zu wissen gewesen, wie man mit dem x beim QK am Ende vor geht, wenn n nicht gegen null geht
Wenn noch ein x vorkommt, dann ist das eine Betragsungleichung. Wie sich die auflösen lassen, habe ich in anderen Videos erklärt :)
sehr gutes Video. Muss aber irgendwie sagen, dass ich in deinen videos fast alles immer verstehe aber bei uns im Analysis Kurs (Mathestudium) kommen fast immer irgendwelche Sonderfälle dran, bei denen ich trotzdem nicht weiß wie ich vorgehen soll, vielleicht sollte ich einfach abbrechen. 😁
Haha nein keine Sorge nicht abbrechen 😂
Einfach weiter kämpfen, das wird schon!
@@MathePeter Super Video!
Hab noch nicht ganz verstanden, was das Konvergenzintervall genau aussagt. Beudetet es dass, die Reihe gegen einen Wert innerhalb des Intervall konvergiert oder bedeutet es, wenn man für x einen Wert aus dem Intervall einsetzt, dass dann die Reihe konvergiert?
Danke
Hallo MathePeter, ich studiere Maschinenbau und habe totale Probleme mit der Fourierreihe, kannst du eventuell helfen?
Eventuell könnten wir ja in nem Discord drüber sprechen wenn möglich
Hab mit dem Thema auch Probleme.
Ich hoffe ich komme bald dazu Videos zu machen. Schickt mir doch mal eure Aufgaben zu Fourierreihen, mit denen ihr Problem habt per Mail. Vlt schaffe ich darauf in Videos einzugehen.
@@MathePeter Vielen Dank!
Muss die Summe um den Konvergenzradius berechnen zu dürfen immer bei 0 losgehen? Eigentlich ist der Startpunkt doch eigentlich unabhängig vom Wurzelkriterium und dem limes n gegen unendlich oder?
Der Startpunkt hat einen entscheidenden Einfluss auf den Konvergenzradius. Schau dir mal mein Video zur Taylorreihe von f(x)=1/x an. Da findest du was super Spannendes: ruclips.net/video/JtPoHGBStYk/видео.html
❤
Hi, kurze Frage, ist Konvergenz von Potenzreihen das gleiche wie konvergenzradius?
Die Potenzreihe konvergiert innerhalb des Konvergenzradius.
Was mach ich denn, wenn dort steht (..)^(2n+1) es sind ja offensichtlich alle ungeraden, wie gehe ich aber vor ?
Auch ganz einfach mit dem Quotientenkriterium mit der gesamten Funktionenfolge, die in der Reihe steht, also inkl. x.
@@MathePeter achso sorry, meinte es so:
((3^i)/(2i+1))*x^(2i+1)
Oder ist das schon so richtig
Übrigens: vielen Dank für die vielen guten Videos. Oft schaue ich mir die Videos für weitere Unterstützung an!
Danke dir, das freut mich! Du kannst hier mit dem Quotientenkriterium oder dem Wurzelkriterium arbeiten; das Endergebnis dieser beiden Rechnungen muss kleiner sein als 1. Umgestellt nach x ergibt, dass |x|
ich liebe dich
06:03 Woher wissen wir, dass x0 = 0 ist?
Weil in der Summe stand x^n. Der Term ist im Allgemeinen aber immer (x-x0)^n, darum muss x0 hier 0 sein.
THATS WHY HES THE GOAT THEEEEE GOOOOOOAT
Okqy dann hier nochmal. Hatte eine Aufgabe vorliegen den Konvergenzradius einer Reihe zu berechnen ( (x-a)^i/i^i ) mit i=1 und a E R. Habe das Wrz. Krit. Genommen und bin auch einen Radius R^(-1) = 0 gekommen was man auch als R = (0)^(-1) schreiben kann aber warum ist R = unendlich als Lösung richtig ? Den 0^(-1) ist ja wie 1/0 was ja nicht definiert ist...
Du hast alles richtig gerechnet. Im Grenzfall wird hier "1/0" = ∞ gesetzt. Einfach weil der Konvergenzradius per Definition das Supremum aller Normen |x-a| ist. Die können aber scheinbar unendlich groß werden, weil der Grenzwert des Wurzelkriteriums immer kleiner ist als 1 und damit liegt für alle reellen Zahlen x absolute Konvergenz vor.
@@MathePeter Aha okay, ist also eine Festlegung das 1/0 = unendlich
Ja.
Hammer wie Werkzeug
🔨
Gilt die Definition des Konvergenzradius auch wenn zum Beispiel alle geraden Glieder 0 sind?
Du meinst so wie in Beispiel 3? Ja die Formel von Cauchy und Hadamard ist immer anwendbar.
@@MathePeter Danke.
Ehrenpeter 🙏
Interessant, dass bei Beispiel 2 (9:09) das Quotientenkriterium nicht funktioniert!
Es würde funktionieren, wenn wir die Funktionenfolge in gerade und ungerade Summanden zerlegen, also jedes n durch ein 2m und ein 2m+1 ersetzen, beide Summanden addieren und die gesamte Summe von m=0 bis unendlich laufen lassen. Die Funktionenfolge (mit den geraden und ungeraden Summanden) lässt sich dann mit dem Quotientenkriterium untersuchen, das ist allerdings super ekelhaft.
Teamo
Hallo MathePeter, zum Beispiel 2: wie genau bist du auf diese unterscheidung bei an gekommen mit den geraden und ungeraden ns? Und hast du beim wurzelkriterium nach dem Ziehen der Wurzel im Nenner die Betragsstriche weggelassen, da es wegen dem Quadrat ohnehin positiv ist?
Wegen dem Exponenten 2n gibt es nur gerade Potenzen. Darum müssen die ungeraden Potenzen den Faktor 0 haben, sonst würden sie ja auch vorkommen. Für die geraden Potenzen kann man dann einfach n durch n/2 ersetzen.
Laurentreihen wären auch cool.
Ich auch.
ehremNN