Проверим, что x=0 не является решением. Делим на x² обе части. (х+1+1/x)²=3(x²+1+1/x²) Обозначим *t=x+1/x* (t+1)²=3(t²-1) (t+1)(t+1-3(t-1))=0 (t+1)(-2t+4)=0 t1=-1, t2=2 Возвращаясь к замене, получаем из t1 нет решений, из t2 следует x=1
Не нужно ничего придумывать. Проще всего возвести в квадрат левую часть, раскрыть скобки в правой части, перенести все слагаемые в левую часть уравнения. Привести подобные. Разложить на множители левую часть. Группировкой это делается очень просто. Далее- очевидно.
Спасибо за решение. Я решил немного по-другому. Как показалось немного легче визуально. К правой части прибавил и отнял x^2, что после ряда действий привело к разности квадратов в правой части. Один множитель разности квадратов правой части и полностью левая часть уравнения оказались одинаковыми(за искл.степени). Ну и т.д.
В левой части мы видим квадрат некоей суммы. Вычтем её удвоенное и добавим единицу. Тогда в правой части мы тоже вычтем её удвоенное и добавим единицу. Тогда слева полный квадрат разности, приводим подобные, справа то же приводим подобные. Переносим все в левую часть и получаем элементарное уравнение. Четыре действия получается!
Дано возвратное уравнение, которое сводится к квадратному, поэтому делим на x^2, пусть t=x+1/x, тогда t^2=x^2+2+1/x^2, x^2+1/x^2=t^2-2. В левой части (x+1+1/x)^2=(t+1)^2=t^2+2t+1, в правой 3(x^2+1/x^2)=3(t^2-2+1)=3(t^2-1)=3t^2-3, значит, t^2+2t+1=3t^2-3, 2t^2-2t-4=0, t^2-t-2=0, (t-2)(t+1)=0, t=2 или t=-1. x+1/x=2, x^2-2x+1=0, (x-1)^2=0, x=1. x+1/x=-1, x^2+x+1=0, x=(-1+-i*sqrt(3))/2. Ответ: x=1 или x=(-1+-i*sqrt(3))/2.
I haven't read the comments (I don't understand Russian), and therefore I'm not sure this method has been suggested by any of the comments: (x²+x+1)²=3(x⁴+x²+1) -- (i) x⁴+x²+1 can be written as (x⁴+2x²+1)-x²=(x²+1)²-x² using (a²-b²)=(a+b)(a-b), (x²+1)²-x²=(x²+1+x)(x²+1-x) i.e, (x²+1)²=(x²+x+1)(x²-x+1) Thus, (i) transforms to: (x²+x+1)²=3(x²+x+1)(x²-x+1) i.e, (x²+x+1)²-3(x²+x+1)(x²-x+1)=0 Factoring (x²+x+1) out, we get: (x²+x+1)[(x²+x+1)-3(x²-x+1)]=0 (x²+x+1)(x²+x+1-3x²+3x-3)=0 i.e, (x²+x+1)(-2x²+4x-2)=0 i.e, -2(x²+x+1)(x²-2x+1)=0 i.e, -2(x²+x+1)(x-1)²=0 The only real solution arises from (x-1)²=0 Thus, x=1
Ну что ж Вы так) тут же неравенство о средних в явном виде a=1 b=x c=x^2 тогда правая часть всегда больше или равна левой и равенство достигается когда каждый из элементов равен друг другу x^2=x=1 откуда x=1 единственное решение
Если не ошибаюсь, то Карл Гаусс когда-то доказал, что любой многочлен n-го порядка имеет n корней. Было бы крайне интересно, если бы Вы в качестве бонуса находили все решения. Понятно, что это уходит в комплексную плоскость и к школьному курсу не всегда относится, ну хотя бы отдельную рубрику сделать на эту тему. А?
Гораздо проще, если возвести в квадрат левую часть, представив квадрат как квадрат суммы слагаемых x^2 и (x+1), перенести все влево, после приведения подобных, получаем -2x^4+2x^3+2x-2=0 Или 2x^3(1-x)-2(1-x)=0 Далее 2(x^3-1)(1-x)=0 Отсюда x=1.
Попробовал разделить правую часть без тройки на левую без квадрата и таки получилось поделить нацело. Сократил на общий множитель (который всегда положительный), оставшееся перенес в одну сторону и решил.
Можно решить в разы проще В правой части уравнения преобразуем выражение в скобке к выражению x^4 + x^2 + 1= x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) Перепишем равенство (x^2+x+1)^2 = 3(x^2-x+1)(x^2+x+1) Далее разделим обе части на (x^2+x+1) (можем это сделать так как Д < 0) и решаем простое квадратное уравнение (x^2+x+1) = 3(x^2-x+1)
Есть еще вариант решения: сначала заметим, что в скобках у нас неполные квадраты суммы, значит, можно попробовать довести их до суммы кубов: (X^2+X+1)^2 = 3(X^4+X^2+1) =0 Левая часть: (X^2+X+1)^2 *(X-1)^2 = (X^2+X+1)^2 *(X-1)*(X-1) Правая часть 3(X^4+X^2+1)*(X^2-1) = 3(X^4+X^2+1)*(X-1)*(X+1) Теперь чтобы приравнять левую и правую часть по условию исходного уравнения, домножим левую часть на X+1, а правую на X-1: (X^2+X+1)^2 *(X-1)*(X-1)*(X+1)= 3(X^4+X^2+1)*(X-1)*(X+1)*(X-1) Свернем кубы: (X^3-1)^2 *(X+1)= 3(X^6-1)*(X-1) Разложим X^6-1 как разность квадратов и поделим обе части на X^3-1: (X^3-1)^2 *(X+1)= 3(X^3-1)*(X^3+1)*(X-1) (X^3-1)*(X^3-1) *(X+1)= 3(X^3-1)*(X^3+1)*(X-1) (X^3-1) *(X+1)= 3(X^3+1)*(X-1) Распишем разность кубов: (X-1) *(X^2+X+1)*(X+1)= 3(X+1)*(X^2-X+1)(X-1) Поделим обе части на (Х+1)*(Х-1): X^2+X+1=3(X^2-X+1) X^2+X+1=3X^2-3X+3 2X^2-4X+2=0 X^2-2X+1=0 (Х-1)^2=0 X=1
Да чего там решать то... Корень равный один виден с самого начала. Потом раскрываем скобки, из полученного многочлена выделяется общий множитель (x - 1) а дальше с многочленом третьей степени... Возможно там есть вариант быстро доказать отсутствие иных корней... Честно сказать, не знаю как.
Решение - Неявное !!!!!!!! Как получилось,,, перенисти,,, справой стороны влевую без деления и прировнять это к "0" ( это с четвертой на пятую строчку решения ) Жду " Обьяснения " То же почти все решаю в уме и выписываю на бумаге промежуточные решения ... НО , Но ... НО у вас поучительный канал .........................😈😈😈
Я решал так: [x^2+(x+1)]^2-3[x^4+x^2+1]=0 x^4+2x^3+2x^2+x^2+2x+1-3x^4-3x^2-3=0 -2x^4+2x^3+2x-2=0 (x^3)(-2x+2)+2x-2=0 (x^3)(-2x+2)-1(-2x+2)=0 |:(-2) (x^3-1)(x-1)=0 x^3-1=0 или x-1=0 x^3=1 или x=1 ⇒ x=1 Ответ: x=1. Может быть, не самое быстрое решение, но у меня получилось! Не ожидал от себя.
Красивое разложение на множители. Большое Спасибо за решение.
Проверим, что x=0 не является решением. Делим на x² обе части.
(х+1+1/x)²=3(x²+1+1/x²)
Обозначим *t=x+1/x*
(t+1)²=3(t²-1)
(t+1)(t+1-3(t-1))=0
(t+1)(-2t+4)=0
t1=-1, t2=2
Возвращаясь к замене, получаем из t1 нет решений, из t2 следует x=1
да.
Очень правильно!!!
И зачем это? Просто можно было подставить
Не нужно ничего придумывать. Проще всего возвести в квадрат левую часть, раскрыть скобки в правой части, перенести все слагаемые в левую часть уравнения. Привести подобные. Разложить на множители левую часть. Группировкой это делается очень просто. Далее- очевидно.
Спасибо, с удовольствием смотрела ролик. Сказочно и мудро
Спасибо за решение. Я решил немного по-другому. Как показалось немного легче визуально. К правой части прибавил и отнял x^2, что после ряда действий привело к разности квадратов в правой части. Один множитель разности квадратов правой части и полностью левая часть уравнения оказались одинаковыми(за искл.степени). Ну и т.д.
Как всегда, чётко и понятно. Спасибо. Палец вверх :-)!
Спасибо, что не даёт мозгам простаивать! Продолжайте! Спасибо за видео!
В левой части мы видим квадрат некоей суммы. Вычтем её удвоенное и добавим единицу. Тогда в правой части мы тоже вычтем её удвоенное и добавим единицу. Тогда слева полный квадрат разности, приводим подобные, справа то же приводим подобные. Переносим все в левую часть и получаем элементарное уравнение. Четыре действия получается!
Красивое И Оригинальное Решение
Дано возвратное уравнение, которое сводится к квадратному, поэтому делим на x^2, пусть t=x+1/x, тогда t^2=x^2+2+1/x^2, x^2+1/x^2=t^2-2. В левой части (x+1+1/x)^2=(t+1)^2=t^2+2t+1, в правой 3(x^2+1/x^2)=3(t^2-2+1)=3(t^2-1)=3t^2-3, значит, t^2+2t+1=3t^2-3, 2t^2-2t-4=0, t^2-t-2=0, (t-2)(t+1)=0, t=2 или t=-1. x+1/x=2, x^2-2x+1=0, (x-1)^2=0, x=1. x+1/x=-1, x^2+x+1=0, x=(-1+-i*sqrt(3))/2. Ответ: x=1 или x=(-1+-i*sqrt(3))/2.
Очень хорошее решение! Я решал другим методом, но ответ тот же!
I haven't read the comments (I don't understand Russian), and therefore I'm not sure this method has been suggested by any of the comments:
(x²+x+1)²=3(x⁴+x²+1) -- (i)
x⁴+x²+1 can be written as (x⁴+2x²+1)-x²=(x²+1)²-x²
using (a²-b²)=(a+b)(a-b),
(x²+1)²-x²=(x²+1+x)(x²+1-x)
i.e, (x²+1)²=(x²+x+1)(x²-x+1)
Thus, (i) transforms to:
(x²+x+1)²=3(x²+x+1)(x²-x+1)
i.e, (x²+x+1)²-3(x²+x+1)(x²-x+1)=0
Factoring (x²+x+1) out, we get:
(x²+x+1)[(x²+x+1)-3(x²-x+1)]=0
(x²+x+1)(x²+x+1-3x²+3x-3)=0
i.e, (x²+x+1)(-2x²+4x-2)=0
i.e, -2(x²+x+1)(x²-2x+1)=0
i.e, -2(x²+x+1)(x-1)²=0
The only real solution arises from (x-1)²=0
Thus, x=1
OMG, I only from 6 class, 1 quastion, how?! It is the Hi mathematic?
Sorry, my English bed, I know. I am from Russia.
Ну что ж Вы так) тут же неравенство о средних в явном виде a=1 b=x c=x^2 тогда правая часть всегда больше или равна левой и равенство достигается когда каждый из элементов равен друг другу x^2=x=1 откуда x=1 единственное решение
Если не ошибаюсь, то Карл Гаусс когда-то доказал, что любой многочлен n-го порядка имеет n корней.
Было бы крайне интересно, если бы Вы в качестве бонуса находили все решения. Понятно, что это уходит в комплексную плоскость и к школьному курсу не всегда относится, ну хотя бы отдельную рубрику сделать на эту тему. А?
Решается быстрее если правую часть разделить на (без квадрата) левую часть
Можно умножить обе части на (х2 - 1) и воспользоваться формулой разности кубов: решается в 4 строки
Нельзя так. В этом случае появится побочный корень x = -1.
Гораздо проще, если возвести в квадрат левую часть, представив квадрат как квадрат суммы слагаемых x^2 и (x+1), перенести все влево, после приведения подобных, получаем -2x^4+2x^3+2x-2=0
Или 2x^3(1-x)-2(1-x)=0
Далее 2(x^3-1)(1-x)=0
Отсюда x=1.
Очень красиво!
Попробовал разделить правую часть без тройки на левую без квадрата и таки получилось поделить нацело. Сократил на общий множитель (который всегда положительный), оставшееся перенес в одну сторону и решил.
Можно решить в разы проще
В правой части уравнения преобразуем выражение в скобке к выражению
x^4 + x^2 + 1= x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)
Перепишем равенство (x^2+x+1)^2 = 3(x^2-x+1)(x^2+x+1)
Далее разделим обе части на (x^2+x+1) (можем это сделать так как Д < 0) и решаем простое квадратное уравнение
(x^2+x+1) = 3(x^2-x+1)
Есть еще вариант решения: сначала заметим, что в скобках у нас неполные квадраты суммы, значит, можно попробовать довести их до суммы кубов:
(X^2+X+1)^2 = 3(X^4+X^2+1) =0
Левая часть: (X^2+X+1)^2 *(X-1)^2 = (X^2+X+1)^2 *(X-1)*(X-1)
Правая часть 3(X^4+X^2+1)*(X^2-1) = 3(X^4+X^2+1)*(X-1)*(X+1)
Теперь чтобы приравнять левую и правую часть по условию исходного уравнения, домножим левую часть на X+1, а правую на X-1:
(X^2+X+1)^2 *(X-1)*(X-1)*(X+1)= 3(X^4+X^2+1)*(X-1)*(X+1)*(X-1)
Свернем кубы:
(X^3-1)^2 *(X+1)= 3(X^6-1)*(X-1)
Разложим X^6-1 как разность квадратов и поделим обе части на X^3-1:
(X^3-1)^2 *(X+1)= 3(X^3-1)*(X^3+1)*(X-1)
(X^3-1)*(X^3-1) *(X+1)= 3(X^3-1)*(X^3+1)*(X-1)
(X^3-1) *(X+1)= 3(X^3+1)*(X-1)
Распишем разность кубов:
(X-1) *(X^2+X+1)*(X+1)= 3(X+1)*(X^2-X+1)(X-1)
Поделим обе части на (Х+1)*(Х-1):
X^2+X+1=3(X^2-X+1)
X^2+X+1=3X^2-3X+3
2X^2-4X+2=0
X^2-2X+1=0
(Х-1)^2=0
X=1
ух ты! отлично!!!
Да чего там решать то... Корень равный один виден с самого начала. Потом раскрываем скобки, из полученного многочлена выделяется общий множитель (x - 1) а дальше с многочленом третьей степени... Возможно там есть вариант быстро доказать отсутствие иных корней...
Честно сказать, не знаю как.
У многочлена нечетной степени всегда есть корень. В данном случае - тоже 1. И уже у получившегося квадратного трехчлена корней нет.
Сложная задача - красивый ответ, класс!
Можно решить гораздо легче, если считать х+1 как одно число в правой части для раскрытия квадрата
Графически легче,но так элегантнее
Всё решается просто, на уровне знания степеней. Дискриминант вовсе не нужен. И решение одно х=1
Спасибо! Буду знать, а вообще-то очень жаль: так красиво выглядит решение...
А почему Вы не заменили x^2+x+1 на t, было бы интереснее
Посмотрел на превью - ответ 1 даже не считая. Найс задачи, профессор
Круто!
А я доводил до разности кубов. Потом возникла сумма кубов. Но всё сократилось. Остался только x=1.
Gd morning Sir, answer sharing. X=1,(-1+3i)/2,(-1-3i)/2
Sir I beg to pardon please demonstrate in English, Thanks
Тот момент когда решил подбором...
нашел 1 корень, а дальше проще грубо нарисовать график и получить, что решение одно.
Решение - Неявное !!!!!!!!
Как получилось,,, перенисти,,, справой стороны влевую без деления и прировнять это к "0" ( это с четвертой на пятую строчку решения )
Жду " Обьяснения "
То же почти все решаю в уме и выписываю на бумаге промежуточные решения ...
НО , Но ... НО у вас поучительный канал .........................😈😈😈
На x^2 поделить левую и правую часть уравнения, убедившись, что x = 0 не решение
Понятно что не решение, 0 чисто физически быть не может)
Супер
Я слишком стар для этого, раскрыл скобки, всё посокращал, выделил общий множитель (Х-1) осталось (Х^3-1) вуаля
А я пошёл раскрывать скобки и переносить в левую часть, в результате пришлось гуглить формулу разности кубов😅 Но до ответа дошёл
Я бы тоже так сделал
Ничего не понял
Можно было все возвести в квадрат, а потом решить как обычное квадратное уравнение при (abc) 2🤦🏻♂️ но нет надо паровозом в длину решать
Я решал так:
[x^2+(x+1)]^2-3[x^4+x^2+1]=0
x^4+2x^3+2x^2+x^2+2x+1-3x^4-3x^2-3=0
-2x^4+2x^3+2x-2=0
(x^3)(-2x+2)+2x-2=0
(x^3)(-2x+2)-1(-2x+2)=0 |:(-2)
(x^3-1)(x-1)=0
x^3-1=0 или x-1=0
x^3=1 или x=1 ⇒ x=1
Ответ: x=1.
Может быть, не самое быстрое решение, но у меня получилось! Не ожидал от себя.
В уме решил, получил 1
Пф, да это элементарное уравнение для 8го класса. Я его решил за 2 минуты гораздо более простым способом
Такая кажущаяся сложная задача решается так просто. Объяснение очень понятное и доступное!
хммм.... чот я так мельком взглянул на уравнение и подумал - х=1 .... и вот те на - верно.... !
Жуть!!!
Блин
Первый