Супер ЖЕСТЬ для продвинутых: x^5+(6-x)^5=1056
HTML-код
- Опубликовано: 29 ноя 2019
- Решите уравнение: x^5+(6-x)^5=1056.
Поддержать Проект: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Новая Группа ВКонтакте: volkovvalery
Почта: uroki64@mail.ru
Разность n-х степеней здесь: • Вывод формулы для разн...
Решение конечно прикольно, но это как апендицит вырезать со спины
Замена х=3+t. Раскрывая скобки получаем биквадратное уравнение t⁴+18*t²-19=0. Корни t²=1, t²=-19. x=2;4;3±i√19
правильно. давай везде комплексные числа приплетать. а то фраза "нет корней" звучит не полной. нужно всегда дополнять, что именно в ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЛАХ их нет 😁😁😁
В этом ей богу больше смысла.
@@icedragonroyal4550 Рівняння 4-ї степені, згідно основної теореми алгебри, повинно мати 4 комплексних кореня, що в принципі і було показано.
Я думал , что единственный к такому додумался(хотя это было несложно), пока не глянул в коментарии
Ничего себе) Я когда решал, точно такой же заменой делал) Думал в комент написать, а тут уже) И комплексные не забыл. Меня сначала смутили 4 корня, а потом я понял, что там 5 степень в 0 вырождается)
Сдаю информатику, у меня прям рефлексом было разбить 1056 на 1024 и 32. Ну а дальше я думаю все видно...
да, +
Да я так и решил сам, без раскрытия диких скобок. Х^5+(6-Х)^5=2^5+2^5*2^5; пусть 6-х=у, тогда х^5+у^5=2^5+4^5; получаем систему из двух простых уравнений:1){х^5=2^5;у^5=4^5} Откуда х=2,у=4,(6-х)=4,х=2 и второе уравнение 2) {х^5=4^5;у^5=2^5} Откуда х=4,у=2,(6-х)=2,х=4 ОТВЕТ: Х=2 либо Х=4
@@johnsmith-ou2nv это правда, но тут нет доказательства полноты - того что не может быть других решений
@@GelesGames ну хз, тут подругому даже не предполагаю как, тут мах два уравнения либо так либо так, третьего не дано
@@johnsmith-ou2nv это неравносильный переход
Супер ЖЕСТЬ для продвинутых:
Перед началом попробуйте его решить. Класс👍
За попытку палкой в лоб никто не ударит. К тому же, в случае успеха будешь считать себя продвинутым
я продвинутый, если предположил, что x=2?
Дельтарун?
Если сразу сделать замену y = x-3 и раскрыть степени, то получится намного быстрее и красивее
Это тот самый (редкий) случай, который решается простым подбором за 1 мин) два в пятой = 32, четыре в пятой = 1024, 32 + 1024 = 1056
А потом докажите, что других корней у этого равнения нету.
@@5434345 сам доказывай, он не обязан
@@dis5422 в смысле "не обязан"? у уравнения 5 степени может быть до 5 действительных корней
это то же самое, что решать квадратное уравнение x^2-x=0 и при этом сказать "х=0 - очевидный корень, И ВСЕ О_О"
Андрей Яковлев,
Если не быть дупелем, то наличие максимум двух корней доказывается элементарно. Берётся производная левой части управления и определяется единственная стационарная точка x= 3. Также по знаку производной легко проверяется, что слева от этой точки функция монотонно убывает, а справа растет. Далее сравнивается значение F (3) с 1056 и устанавливается наличие у исходного уравнения ровно двух корней.
В чем интуитивно прав тезка Иванков, так это в том, что если бы у уравнения были иррациональные корни, то методом автора его все равно решить было проблематично.
вообще-то хватило 10 секунд. причем, последние 9 - на проверку версии )
Спасибо ! Очень наглядно и доступно для учеников средней школы. Именно пошаговое преобразование для решения очень важно ,чтобы успешно работать с подобными заданиями.
По-моему, это жёсткий троллинг подписчиков, со стороны уважаемого Валерия.
Ясно, что исходное уравнение -- уравнение четвертой степени, потому что х^5 после раскрытия скобок сократится. А если сделать замену х=t+3, то оно получится и биквадратным, потому что члены при нечётных степенях t сократятся.
А чему может научить математическая эквилибристика, я не очень понимаю))
Будет ролик с простым решением?)
Зато весело, смотришь с довольным лицом на это и думаешь вот наворотил я. какой молодец))))
Почему у тебя после раскрытия скобок -x^5 и х^5 сокращаются? Там же минус нет?
Михаил Егоров минус, потому и сокращается. Поскольку степень нечетная, минус можно вынести.
x^5+(6-x)^5=x^5 - (x-6)^5= x^5- (x^5 +(...)x^4 +... (...)x^3 + ... )
Уже понятно, x^5 сокращается.
Какие там коэффициенты не принципиально.
Ну, или так, через биномиальные коэффициенты:
(6-x)^5=-x^5 + 5*6 x^4 - 10*6^2 x^3 + 10*6^3* x^2 - 5*6^4 x + 6^5= -x^5 + 30 x^4 - 360 x^3 + 2160 x^2 - 6480 x + 7776
.
x^5+(6-x)^5-1056=0
раскрываем скобки:
x^5-x^5 + 30 x^4 - 360 x^3 + 2160 x^2 - 6480 x + 7776-1056=0
икс в пятой сокращается, остается уравнение четвертой степени.
30 x^4 - 360 x^3 + 2160 x^2 - 6480 x + 7776-1056=0
30 x^4 - 360 x^3 + 2160 x^2 - 6480 x + 6720=0
Вопрос, что с этим добром делать дальше.
Уравнения четвертой степени в школьную программу не входят.
@@KirillBon спасибо за ответ (но я все равно ничего не понял)
@@user-pu9xf8ty3i что именно не понятно, спрашивайте, не бойтесь.
Давайте совсем по простому.
Возьмем тот же пример, но с первой степенью.
x+(6-x)
Если скобки раскрыть, x сократится.
И так с любой НЕЧЕТНОЙ степенью (третьей, пятой, седьмой, и.т.д)
Можно проще.
замена x = 3-y
Получаем f(y) = (3-y)^5 + (3+y)^5 = 1056
Очевидно что f(y) = f(-y). Если y0 - решение, то -y0 - тоже. Будем искать решения при y > 0 (y=0 не подходит)
(3+y)^5 - 1056 = -(3-y)^5 = -(y-3)^5 - слева возрастает, справа убывает => решение одно
2^5 = 32; 3^5 = 243; 4^5 = 1024. 1056 - 4^5 = 32 = 2^5
1056 = 4^5 + 2^5 => y = 1 (и y = -1)
x = 2 и 4
-(3-у)^5 = -(у-3)^5 rly?
спасибо, тут я еще и Бином Ньютона выучил. Способ из видео для меня оказался слишком сложным
Круто и просто👍
@@m1xalis- я бы сказал не совсем даже и понятный.
Решение понятно! Благодарю за то, что продвинулась))
Шикарно. Большой лайк и подписка. Решение точно. Но есть еще вариант решения в комментах. Думаю, эта задачка вовсе не жесть -- просто красива в плане симметрии :)).
Ее здесь многие так и решили, а именно (вставляю решение): замена t=x-3; замена именно такая, чтобы была симметрия и взаимные сокращение после раскрытия по биному Ньютона; далее получаем после раскрытия по биному: (5t^4*3+10t^2*3^3+3^5)*2=1056; остальные слагаемые взаимно сокращаются; делим на 6: 5t^4+90t^2+81=176 или t^4+18t^2-19=0; D/4=9^2+19=100; t^2=-9+/-sqrt100=-9+/-10; t^2=1; (комплекс. корни отбрасываем); t=+/-1 и, наконец, x=t+3=4;2. Задачка всё же красивая, но вовсе не жесть. Уровень ЕГЭ.
И еще простой вариант решения: легко видеть корни 2 и 4. Стало быть, делаем замену на t=x-3 и делим многочлен после замены на (t-1)(t+1), ибо делить на (x-2)(x-4) исходный многочлен чуток муторнее. Короче, делим t^4+18t^2-19 на t^2-1 (по сути, такое простое деление в уме можно сделать) и получаем t^2+19=0. Т.е. больше корней вещ-х нет. [Если комплексные нужны, то находим и их: x=t+3=3+/-(sqrt19)i]
Много терпения и изобретательности надо на решение. 2 подставы. Жестяная жесть!
Очередной раз спасибо Ютуба,смотрю и наслаждаюсь,здорово!!!
Как по мне , замена x=t+3, дальше раскрытие (t+3)^5 и использование этого для раскрития (3-t)^5 дальше сложив получаем биквадратное уравнение. Даже не зная бинома Ньютона легко возвести в 5 степень
Да, да. И получаем после раскрытия по Биному: 5t^4*3*2+10t^2*3^3*2+3^5*2=1056; остальные слагаемые взаимно сокращаются; делим на 6: 5t^4+90t^2+81=176 или t^4+18t^2-19=0; D/4=9^2+19=100; t^2=-9+/-sqrt100=-9+/-10; t^2=1 (комплекс. корни отбрасываем); t=+/-1 и, наконец, x=t+3=4;2. Вот и всё. Ок, задачка всё же красивая. Люблю симметрию. Большой лайк автору канала!
@@lookatthisview6004 В уравнении вида (х-а)^n +(x-b)^n=C делается замена х+(-а-b)/2=t.
Спасибо за великолепный разбор!
С удовольствием смотрю Ваши решения, очень хороший тренинг для мозга.
Неплохо, неплохо, хоть что-то свое( не видел у других) и не слишком простое. Лайка заслуживает
Очень интересное и познавательное видео! Спасибо!!!
Спасибо, очень интересное и познавательное видео!
Огромное Спасибо за решение.
*Комплексные корни* тоже подходят
x = 3+sqrt(19)*i
x = 3-sqrt(19)*i
Даже забыл про поправки к конституции... Тронут
1.В исходном уравнении переносим всё в лево раскрываем скобки приравниваем к нулю.
2. Разложим на множители, получаем:
30(x-2)(x-4)(x²-6x+28)=0
3. Скобки приравниваем к нулю, получаем x=2, x=4, третья скобка корней не имеет.
А может сразу ответ записать?
Разложение на множители надо видеть, а тут даже множителей не видно
Спасибо
@@yellow_arrow3258 можно с помощью теоремы безу и схемы Горнера.
Я знаю математический лайфхак связанный с 5 степенью поэтому 6^5 не подходило. Перебором дошел до 1024+32.
А это пятая степень .значит подходят только два числа 2 и 4
Конечно! Первое что сделал вычел 1024, ну а когда 32 получил, все стало ясно
А комплексные корни где?
@@nikolayuvarov2181 А нигде, потому как 5-я степень. От i никак не избавитесь.
@@valerykolesnikov3724 степень четвёртая.
@@user-er6zr1tm3i вроде в школе учили, что стееень уравнения определяется по максимальной степени переменной
Хотя икс тут в пятой степени и по идее корней должно было быть пять, но из-за того что пятая степень икса сокращается при открытии скобок и соотвественно корней 4. В процессе решения вроде все корни и нашли. Два действительных два комплексных.
Мне кажется, не все хорошо понимают, почему "будет удобно" производить те или иные преобразования. Было бы неплохо оговориться, что вы сводите уравнение к виду, где будет встречаться только xy. Тогда ваши неочевидные преобразования обретают четкую направленность и смысл.
Вот и я не понял почему разделили на 5, а главное что разделили на 5? Ведь в правой части 0
Впринципе, я тоже угадал сразу, но прикол таких задач не в том чтобы подобрать, а по возможности решить, хотя с производной тоже понравилось) просто корни такие что можно угадать)
С самого начала знал про 3±i✓19', жаль не рассмотрели
Вот это экшн!!!! Лихо, адреналин зашкаливает =)))
У нас в Сербии есть множество умных математиков, но нет такого методичества как у вас.
Это удивительно. Просто поэтического.
Жаль что у меня нет авторизации для учения нашей детей на том уровне. По моему мнению наша литература по математики и классической механики енигматическая и по тому большинство нашей тальентнвой детей попадает.
Большое спасибо уважаемый господин Валерий Волков
(Прошу прощения за долгий ком.)
Можно решить проще, если заметить симметрию и сделать замену на t+3. Откуда сразу получаем биквадратное уравнение.
Можно сделать замену х = 3 - t, тогда 6 - х = 3 + t. Если теперь это подставить в уравнение, получим: (3 - t}^5 + (3 + t}^5 = 1056. Или (t + 3}^5 - ( t - 3}^5 = 1056. Если теперь раскрыть скобки, то получим биквадратное уравнение.
Я тоже так решил)
Я тоже
А еще есть корни x= 3-i√19 и х= 3+i√19, комплексные корни))
Как ты посмел опередить меня !
Степень пятая должен быть ещё один!
@@vladimirzadiran5609 не совсем, тут степень сокращается, так что 4 корня, 2 действительных и 2 комплексных
Блин, из простой задачи сделали такое сложное решение... Можно было сразу заметить, что левое выражение симметрично относительно x=3 и сделать сдвиг туда, таким образом симметризовав уравнение. Получится биквадрат с очевидным решением.
P.S. Судя по комментариям, многие решали таким же способом. Молодцы!
Я с тобой согласен) Мне не сразу, но после записи как суммы 5 степеней тоже бросилась в глаза симметрия x и (x-6), и тут уже прямо школьный опыт говорит сделать замену t=x-3)))
А вы представьте как этот умник преподаёт ученикам.
@@user-xg8su2ge3o Зате він вважає себе "продвинутым ".
Я её в уме решил. Я заметил, что 1056 = 1024 + 32 = 4^5 + 2^5. И всего то. Конечно это не гарантирует того, что других корней нет, но всё же оказалось правильным))0)
Вот из-за таких способов решения заданий части С на ЕГЭ люди потом и удивляются, почему всё решил, а баллов за задание - ноль.
@@dmxumrrk332 это был рофл...
Проверить что нет других корней, кроме этих несложно. Раскрыть скобки в левой части, 1056 перенести влево, привести подобные слагаемые. Далее, или проанализировать полученную функцию на монотонность и убедиться, что только 2 пересечения графика с осью Х, или, что ещё проще, разделить полученный многочлен на х-2 и х-4 и понять, что у полученного в остатке многочлена нет действительных корней.
Спасибо, было очень интересно разобрать такое новароченное уравнение😁
Спасибо. Интересно.
Соглашусь с каментами насчет замены х=3+t, единственное что хочется добавить, это что функция симметрична относительно вертикальной прямой х=3, это видно из ее уравнения, поэтому и стоит "сдвинуть" ее заменой. Полученное биквадратное уравнение легко решается по т. Виетта.
..... СПАСИБО! 👍
Мне понравилось решение, спасибо!
Спасибо за разбор! Графическим способом удобнее, но это не мои домыслы, это в принципе так есть. Найти производную функции в левой части уравнения, её нули, из этого функция имеет один экстремум в конкретном случае, и слева/справа от него убывает/возрастает на промежутках от минус/плюс бесконечности до значения в точке экстремум, вертикальных асимптот нет, что её минимум в точке экстремума меньше значения константы правой части, а значит имеет всего 2 точки пересечения с прямой y=1056. Корни можно найти подстановкой, доказав, что их ровно два. Ещё что-то забыл, ведь школу 11 лет назад окончил... Функция непрерывна, определена для всех x, ну в общем, эль класико.
Но вот что я заметил: эта функция симметрична относительно x=3, и корни уравнения, если константа больше минимума, будут всегда симметричны относительно этой прямой. А как это называется? Функция вроде бы сама не чётная, но относительно x=3 чётная. Как её назвать и как это использовать вот что интересно))
Чётко!🔥
МОЛОДЕЦ. СПАСИБО.
Спасибо!
А ещё такое уравнение можно методом Гаусса решить. И имеет смысл заострить внимание на том, почему у свиду уравнения 5й степени всего четыре решения вместо пяти.
Потому что это не уравнение пятой степени. x^5 сокращается, если раскрыть скобки.
а я всё сижу и думаю: где же пятый корень??
Решил буквально за полминуты. Прикинул какое число в пятой степени будет близко к 1056, это 4, отнял получил 32 тоесть 2^5 и всё
А доказывать что нет других действительных корней кто будет?
как же вы уже заебали, унтерменши
@@iTrololo666 ну я пытаюсь понять, какой ещё может быть корень, когда все весьма очевидно. Если взять числа больше 4, то мы получим громадную разницу между левой частью и правой. И ответа в 4 знака не будет точно.
Точто вы нашли и написали я умнажая и минусовав в голове понял что правельно, но точто он решел дохрена иксуигрик я вообще нехера непонимаю, а мне 35лет, по ходу я дураком умру
Поклоняешься богам вычислительной математики?!
исследовать функцию на монотонность, у нее только один экстремум, и тот минимум. в точке 3. Далее слева и справа подбором корни в точках 2 и 4.
Топ круто молодец)
Находим производную, точка экстремума: х=3, f(3) = 2 * 3^5 = 486 < 1056, значит решения ровно 2: если f(a) - решение, то и f(6-a) - тоже решение, в силу симметрии. Подбираем х=2 - решение, значит и х=4 - тоже. Вот и оба решения. Просто. Быстро. Оч стандартно
Очень нужное и жизненное уравнение. Именно на таких уравнениях лучше всего объяснять школьникам красоту математеки и ее нужность в дальнейшей жизни.
Чтобы не долго "убивать" желание учиться, а мгновенно, одним уравнением! Я имею в виду школьников обычных школ!
Люблю математику конечно, но это уравнение нужность математики никак школьникам не раскроет, это просто банальное нахождение неизвестной переменной, ради того чтоб знать какое за ней скрывается число. Это скорее убьёт в них желание учиться своей сложностью (ну в большинстве из них), лучше показывать достижения математики на примере реальных вещей. Ведь математика это фундаментальная наука, благодаря ней сделаны большинство вещей, привычных нам.
Это надо было все так усложнить 😂
Пришлось математику со школы вспомнить, чтоб понять, что меня так смущает >_
Делаем постановку x=2*y
Получаем y^5+(3-y)^5=33.
Решение y=1 и y=2. Переводим x=4 и x=2.
Зачем такое длинное решение?
Ааа, какая сложная задача, лучше пойду пива бахну и дальше буду деградировать!
И в дотку покатать или CS.
А кто вам сказал, что вы развиваетесь на этих видосах? Тут 2 варианта:
1) или вы сами все поняли, что делает видос бесполезным.
2) вам видос открыл глаза на решение, и он оказался полезным, но это не сделало вас умнее даже на 0.001% Вы просто получили знание, которое будете применять в похожих ситуациях, практически, механическая память. Никакой речи об умственном развитии не идёт.
Я решил быстрее, чем автор:
x^5+(6-x)^5=1056
Если х=1, то 1^5+(6-1)^5=1+3125=3126;
Если х>1>=2, то 2^5+(6-2)^5=32+1024=1056.
Ответ: x=2.
@@aleksandr-1978 а 4 где, а если бы пример подобрали так, что ответ включал корни квадратные?
@@llllNEOllllchannel Математические задания хорошо прокачивают соображалку, если вникать в суть
Красиво!
Отличное уравнение.
Срасибо....очень хорошая методика
Спасибо! да, действительно жесть, но главное теперь понятен метод и подход к такому вот виду задачь
Интересно. Можно методом подбора, но это пример для любого значения.
По-моему, можно и не в "лоб" решать, а окольными путями. Исследовав записанную в левой части ур-я функцию, определим, что её график подобен параболе с одной точкой минимума, равного нулю, при x = 3, относительно которой она симметрична (являясь при этом положительной на всей области определения, кроме точки минимума). А значит, число корней исходного уравнения - ДВА.
Далее. Предположим наличие в уравнении ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ. Как можно оценить, положительным числом возведённым в 5-ю степень, дающим БЛИЖАЙШЕЕ к правой части уравнения число является 4 (1032). Подставив его в ур-е, увидим, что оно обратилось в тождество. - Ура!!! Мы почти подбором нащупали ПЕРВЫЙ корень ур-я.
Но помня о симметричности функции из левой части ур-я, радостно понимаем, что и при х = 2 всё должно "сойтись". - Проверяем и убеждаемся, что это так и есть.
Вот и всё. х1 = 4, х2 = 2.😀
Действительно жесть!
Ответ: 4. Цифры небольшие. Решил методом подбора. Старый, добрый проверенный метод. Как и сложные функции по точкам строить) На тестах помогает
ну-с, методом подбора зачастую можно упустить корни. вот вы, например, не учли x=2.
@@user-ip8qq1rl5m Да, я начал с 6 и пошёл вниз. Нашёл ответ и успокоился. Даже не думал, что может быть и не один. Но посмотрев решение, однозначно скажу, что я бы не решил её даже в лучшие математические годы
Спасибо! Если не секрет, Ваши ученики решают задания такой сложности, и, если решают, то чем Вы их кормите?!
Ватрушками конечно
Мельдонием.
Да тут просто. В таких задачах главное правильную замену подобрать
@@vladoss4643 не обязательно... этот пример решается легко путем элементарного подбора значений х при которых х в 5 степени близко к 1056... это 4 в 5 й степени 1024... и оставшееся 32 это 2 в 5 степени... отсюда и два подбираемых ответа х1 = 2, х2 = 4.
@@eminemin7527 У меня более универсальный подход. Хотя, конечно, в этой задаче так тоже можно сделать.
Хочу предложить немного другое решение. Кажется, что оно более простое.
Исходное уравнение поделить на 6^5. Пусть t = x / 6
Получаю t^5 + (1 -t)^5 = 1056 /(6^5)
Следующая замена t = k + 1/2 ; 1 - t =1/ 2 - k
Получаю (k + 1/2)^5 - (k - 1/2)^5 = 11 / 81 (по биному Ньютона видно, что останутся только ЧЕТНЫЕ степени k , то есть задача свелась просто к решению биквадратного уравнения, "подняться" до x, зная k не составит труда)
3-х=t, x=3-t, раскрыть скобки, получится биквадратное уравнение, ответ:4,2, спасибо автору за удовольствие применить приемы, редко используемые!
Посмотрев ваше решение,мой Дед сказал,что вы решили очень длинно и самое главное бесмысленно!.На вопрос почему он ответил,что тень появляется одновременно со светом
Корни 2 и 4 находятся как делители свободного члена. Далее исследуем функцию f(x)=x^5 + (6-x)^5. Получаем один экстремум - глобальный минимум x=3. При x3 - строго возрастает, а это значит, что с прямой f(x) = 1056 может быть не больше двух точек пересечения, и мы их сразу нашли, а других решений, кроме 2 и 4, нет.
А мне было проще раскрыть по биному Ньютона, потом по схеме Горнера найти корень 2 и потом 4 :)
Впрочем, Ваш метод очень красивый!
А не проще было подстановкой цифры сделать вместо икса, попробовал 3 нет попробовал 4 да. Что за маразм искать какие то сложные пути решения
@@afganezz Нужно доказать все возможные корни математически ну или графически, а не подбором подогнать ответ
@@vipercrn кому нужно
Eto uravnenie 4 stepeni.. Gde ostalnye 2 kornya (soglasno osnovnoy teoremy algebry)?... ili tam est' povtoryayuschiesya korni? Ili esche 2 kompleksnyh? Davaite eto pokazhem! Spasibo...
Сдавал ЕГЭ 12 лет назад.
Такие уравнения там были в части В. В то время неплохо с ними справлялся. Сейчас уже к сожалению не сумел)
Хотя в ходе решения видишь, что все это знакомо.
понравилось!
забавно, что я решил её подбором за 12 секунд.
мне вспомнился вступительный экзамен, где на таком и ловили- дали задачу с решением типа х=117/157, что любого абитуриента повергло бы в шок, потому что решение нестандартное. На этом и ловили
Заметим нечетная степень 1-го слагаемого больше 0, значит х>0;
Правую часть 1056 представим в виде 5 степени.
Не получается. Тогда берем минимальное выражение 5 степени.
Это 1024 = 4^5 степени
остаток тоже 5 степень числа 2
Итого 1056=1024+32
1056=4^5+2^5
Попробуем преобразовать правую часть по подобию левой части
1056=(6-2)^5+(6-4)^5
Уравняем с левой частью.
Х^5+(6-Х)^5=(6-2)^5+(6-4)^5
Так как левая часть тоже состоит из двух схожих частей, значит
Решения
Х^5=(6-2)^5 или
(6-Х)^5=(6-2)^5
То есть х=4 или х=2.
Принцип решения - решения в малых числах, практически метод подбора, так как степень 5 здесь не рассматривается как реальное возведение е в степень
Сначала подумал 1056 можно как 1024+32 писать и там уже все ясно. Но потом вы показывали пример для любого значения👍
Вот случай повторить бином Ньютона. Поскольку 6^5-1056 делится на 30, то можно смело все поделить и получится вполне легко раскладываемое на множители выражение. Видно и действительные, и комплексные корни. Если пользоваться формулами комбинаторики, то калькулятор не понадобится)
Супер!
Приведенное решение очень полезно для обучения всяким преобразованиям, решениям систем уравнений, но для конкретной задачи какое-то... скучное. Во-первых, как уже многие заметили, можно упростить преобразования сделав замену t=3-x, и раскрыв скобки. Но это тоже как-то неинтересно. А если там не пятая степень, а пятнадцатая (при другом числе в правой части уравнения, конечно), что тогда?
Предлагаю такое решение.
1. За несколько секунд приходит понимание, что 1056=1024+32, соответственно х=4 или х=2.
2. Исследуем функцию - левую часть уравнения - с помощью производной. Она вычисляется элементарно и равна 0 только в точке 3. Соответственно фу-я убывает на (-оо;3] и возрастает на [3;+оо). Значит более двух решений данное уравнение иметь не может.
3. Ответ: 2, 4.
P.S. Понятно, что такое решение основано на том, что корни видны сразу, а это может быть и не так. Но с другой стороны, интересно придумать более быстрое решение в конкретной ситуации, когда ответ очевиден, а возиться после этого с кучей скобок нет никакого желания.
Годно
Уравнение не простое, даже слишком. Я не заметил замену, как Вы, поэтому пошел напрямик, то есть раскрыл скобки и при приведение подобных слагаемых вывел, что х⁴-12х³+72х²-216х+224=0
И как вы говорили в каком-то из роликов, что это можно решить методом неопределённых коэффициентов. Мне, конечно, повезло, раз числа оказались целыми, но я выяснил, что а=с=-6 , а b=28 , d=8 или b=8, d=28 ( тут без разницы, так как а=с) и получил х=4 или 2 . Это не считая комплексные корни.
Ответ : 2;4
Эту идею я почерпнул из другого Вашего сайта. Удивительно, что здесь Вы ее обошли.
Подстановка: x = 3+y, отсюда 6-x = 3-y. Применяем формулу бинома
(3±y)⁵ = 3⁵ ± 5⋅3⁴⋅y + 10⋅3³⋅y² ± 10⋅3²⋅y³ + 5⋅3⋅y⁴ ± y⁵
После сложения слогаемые с нечетными степенями y взаимно уничтожаются и получаем
2⋅3⁵ + 20⋅3³⋅y² + 10⋅3⋅y⁴ = 1056
Для упрощения вычислений делим обе части на 6:
3⁴ + 10⋅3²⋅y² + 5⋅y⁴ = 176 или 81 + 90 y² + 5 y⁴ = 1056
Переносим свободный член влево, приводим подобные, делим на 5, получаем биквадратное уравнение:
y⁴ + 18 y² - 19 = 0, которое решается подстановкой t = y².
Корни уравнения 1 и -19. Отсюда y² = 1 => y = ±1 или y =±i√19 , откуда x₁ = 4, x₂ = 2, x₃ =3+ i√19, x₄ =3 -i√19
Ez bizony igazán nehéz példa. Pedig csak egyszerű átalakítások vannak benne.
красота)
Класс!
Крутой способ замены, на экзамене обязательно подсунут
А в чем проблема построить график функции, вместо всего этого извращения?) Очевидно, что при больших значениях x (положительных или отрицательных) график будет расходиться в разные стороны - это легко доказать.
Какая нафиг функция? Если ты в этом понимаешь-делай,но можно этот пример решить быстрее,если внимательно посмотреть на число 1056.
@@user-fr1zy8ms5f тебя графики рисовать в школе не учили с осями x и y?))
функция y = x^5 + (6-x)^5 - 1056 - строим график и ищем такие значения x, при которых y будет равен нулю. Очевидно, что при больших положительных или больших отрицательных значениях x, график будет стремиться в плюс или минус бесконечность.
Est' prosche reshenie: Predstavit' 1056 kak 2^5+4^5. x^5-2^5=4^5-(6-x)^5, predstavit' kak raznosti 5 stepeni; vynositsja (x-2) a dal'she prosto.
👍👍👍
Виртуозно сделано.
Это почему нет корней от первого уравнения, что в Вашем видео? Есть. Просто они комплексные: 3 + i√19, 3 - i√19.
Неужели продвинутый уровень не подразумевает знания комплексных чисел? :)
Я начинал решать иначе:
Раскрыл скобки и перенёс 1056 влево. Таким образом избавился от пятой степени. Получил: 30x^4 - 360x^3 + 2160x^2 - 6480x + 6720 =0
Поделил это выражение на 30 и получил симпатичное уравнение 4-й степени: x^4 - 12x^3 + 72x^2 - 216x + 224 =0
.......................................................
По схеме Горнера подбираем делитель как один из сомножителей свободного члена 224. Например, подходит 4. Поэтому полученное уравнение четвертой степени делим на (x - 4). Получаем:
(x - 4)(x^3 - 8x^2 + 40x - 56) =0
С полученным кубическим многочленом поступаем аналогично. Теперь подходит 2. Делим уравнение на (x -2):
(x - 4)(x - 2)(x^2 - 6x + 28) = 0
...............................................
Приравниваем все сомножители к нулю, решаем новые уравнения.
Первые два дадут действительные корни: 4 и 2, а квадратное уравнение два комплексных: -(-6)/2 + √((6/2)^2 - 28) = 3 + √(-19) = 3 + i√(19) и 3 - i√(19).
Ещё одно решение может быть и таким.
Имеем алгебраическое уравнение четвёртого порядка с целочисленными
рациональными коэффициентами. Предположим, что некоторые корни
рациональны и пусть корень x* > 0. Тогда для этого корня имеем:
x*^5 + (6 - x*)^5 = 1056.
Следовательно, (6 - x*)^5 < 1056. Извлекая из обеих частей этого
неравенства корень пятой степени, получим что для x* необходимо
выполнение неравенства: (6 - x*) < 1056^(1/5). Заметим, что 5^5 = 3125 <
1056, а 1056 > 4^5=1024. Поэтому имеем право потребовать: (6 - x*) < 5 при
x* > 0. Остаётся только проверить, что корни x1 = 2 и x2 = 4
удовлетворяют нашему уравнению.
Предположим, что x* < 0. Обозначим -y* =x*, где y* > 0. Тогда для y*
должно быть выполнено: -y*^5 + (6 + y*)^5 = 1056. Заметим, что если
раскрыть (6 + y*)^5 по формуле бинома Ньютона, то все члены
биномиальной суммы окажутся больше нуля. При этом пятые степени y*
в левой части нашего равенства будут взаимно уничтожены, а
свободный член левой части получит значение 6^5 = 7776. Если теперь
перенести в левую часть число 1056 со знаком минус, то становится
очевидно, что левая часть никак не может равняться нулю, поскольку
7776 - 1056 > 0.
Следовательно, отрицательных корней здесь не имеем.
Ничего себе.......
Красиво.
С виду кажется, что уравнение 5-й степени. А на самом деле 4-й. Но я его решал методом подбора. Сначала подставил x=3 - не сходится. Тогда x=4 - сходится. И в силу симметрии относительно тройки подходит также x=2.
Но у уравнения 4-й степени должно быть 4 корня. Попробуем подставить 3+i или сопряжённый 3-i.
6^5+5*6^4(-x)+10*6^3(-x)^2+10*6^2(-x)^3+5*6(-x)^4 = 1056
(3+i)^2=(8+6i) ; (3+i)^3=(18+26i) ; (3+i)^4=(28+96i)
7776-6480(3+i)+2160(8+6i)-360(28+26i)+30(28+96i) =
=7776-19440+6480-10080+840-6480i+12960i-9360i+2880i =
= 7776-19440+6480-10080+840 = -14424. Ответ не сошёлся - видимо, я где-то сбился со счёта. А может, он неправильный. Ну и фиг с ним. Странно, что мнимая часть обнулилась, как должно быть в правильном ответе.
Замена t = x-3 приводит к биквадратному уравнению после раскрытия по биному
интересно, это в любом уравнении большой степени подобным способом можно степень понизить ?
Легко заметить что корни 2 и 4. А дальше дело техники
Задача-супер!В школе о таких не рассказывают
Можно проще. Вместо замены сразу можно на глазок построить графики и увидеть что пересечения где-то в начале, т.к из-за степеней дробная часть даст иррациональный ответ иксы точно целые, дальше просто в уме посчитать что один перебор, два идеально, а при четырех получится та же пара чисел.
1056 = 4^5 + 2^5. Ответ 4; 2 ;)
Где доказательство, что другие R не подходят?
@@user-er6zr1tm3i симметричное относительно 3 уравнение пятой степени имеет 4 корня. Т.к. число справа больше 2*3^5, значит есть 2 действительных корня. Хотя то, что правая часть раскладывается по степеням двойки, конечно, случайность. Решение типа "можно заметить, что..."
Отличная задачка!Я её немного по-другому решил, но и этот вариант отличный!! Школу закончил в 76-м прошлого века.
Задач тем хороша, что громоздкое решение приводит к простенькому и очевидному ответу. Но оно того стоит! За что я уважаю автора, так это за его многоэтажные решения.
Вот это солидная задача
Спасибо. А как этот метод называется?
Легендарный математический метод “заметим, что...„