Я решал алгебраически: возвел обе части в квадрат, следя за равносильностью преобразований , чтобы не нахватать лишних корней. Там все сводится к уравнению вида (2z-1)(8z^2 - 8z + 1)=0, где сделана замена z=x ^2. Решаем все это в ограничениях |х|=0. Получим те же три корня. Трудов несколько больше, чем с тригонометрической заменой, но нетривиальное знание синуса тройного угла не было моей сильной стороной.
Трудов, конечно, больше,но доведённое до конца алгебраическое решение весьма похвально. Так же,как и отсутствие телячьих восторгов( см. комментарии про изысканных гурманов и т.д.).
Еще есть способ решения - разделить обе части уравнения на икс и внести икс под знак радикала. После чего радикал обозначить другой переменной и выразить икс квадрат через эту переменную. Подставить в уравнение и решить его. Путем несложных манипуляций приходим к произведению простых квадратных уравнений, которые решаем с тем же результатом.
Классное уравнение. До замены sin(t) = x и синуса тройного угла сам догадался (если попытаться найти область определения, то там видно, что x находится в промежутках табличных значений тригонометрических функций), но дальше налажал.
Я решил по другому: Возводим обе части в квадрат: 16x^6-24x^4+9x^2=1-x^2, 16x^6-24x^4+10x^2-1=0, затем подставляем x^2=y, и получаем: 16y^3-24y^2+10y-1=0, 16y^3-8y^2-16y^2+8y+2y-1=0, 8y^2(2y-1)-8y(2y-1)+2y-1=0, (2y-1)(8y^2-8y+1)=0, затем решаем квадратное и линейное уравнения и получаем три корня: y=1/2, y=1/2+-корень из 1/8. Потом извлекаем из каждого возможного значения y квадратный корень, и получаем 6 корней первоначального уравнения. Потом подставляем каждый из них и находим, что подходят только три корня
Любой процесс решения задачи или примера - это преодоление ( конечно, разной интенсивности). Как приятно осознавать, что даже к позднему вечеру голова ещё варит, знания пригождаются, а богатый источник идей и решений в Вашем лице, отлично функционирует. Очень полезно и приятно. Спасибо!
супер! отлично в начале проговаривается целесообразность замены. дальше просто решение. однако синус тройного угла это не для простых смертных. :) Жду задачку с заменой на тангенс....
Конечно,"супержесть" - это для тех,кто ничего не читает, поскольку современные пособия переполнены такими уравнениями. Идея уже давно не нова,а здесь она однозначно прозрачна. Впрочем,польза ролика несомненна и вполне очевидна.
я зачем так сложно? я конечно школу и институт закончил уже давно, но замена х2 на t дает кубическое уравнение, а потом его делим на многочлен (t-1) и там всё легко раскладывается на 3 множителя слева и нолик справа. а далее корни очевидно находятся...
Браво. Я если честно подозревал тригонометрический замес в этом уравнении, но это просто божественно!!!!! Пишу из Беларуси. Я пересмотрел много сборников подготовки к экзамену (у нас это ЦТ), но таких примеров с подробным описанием алгоритма решения я не нашёл
1) сначала возвёл в квадрат; увидел уравнение шестой степени, да ещё и опечатался - оно у меня получилось не бикубическое. Ну нафиг. Но даже если бикубическое, его решить можно, по-моему, только формулой Кардано. Лень вспоминать. 2) сделал ту же самую тригонометрическую подстановку. Но, такой лютой тргонометрии, про синус тройного, я никогда не помнил. Вместо этого, я увидел, что слева стоит 4x*(1-x^2) - x. С учётом подстановки x = sin(alpha) это будет sin(a)*(4 cos^2(a) - 1) = cos(a). Делим обе части на cos(a) (замечая, что случай cos(a) = 0 нас всё равно не интересует), и заменяем cos^2(a) = 1 / (1 + tg^2(a)). Получается t * (4/(1 + t^2) - 1) = 1 (за t я обозначил тангенс). После раскрытия получается кубическое уравнение t^3 + t^2 - 3t + 1 = 0. Корень t = 1 угадывается. Другие два получаются из квадратного уравнения после деления на (t-1).
> _решить можно, по-моему, только формулой Кардано_ "Формулой Кардано" оно сводится к уравнению 2y³ - y = 0 y = 2x² - 1 Но вариант с тангенсами тоже интересный - похоже, вы единственный его предложили.
Solved it brutally by squaring both sides and then replacing x^2 with t in similar fashion like few other colleagues here. Once you find that 2t-1=0, the rest is prety straight forward
@@gerpol1005 square both sides: 16x^6 - 24x^4 + 9x^2 = 1 - x^2 16x^6 - 24x^2 + 10x^2 - 1 = 0 substitute c = 2x^2 2c^3 - 6c^2 + 5c - 1 = 0 using RRT, find that c=1 is a solution this gives you that 2x^2 = 1 is a solution another way to say that is 2x^2 - 1 = 0 or if t=x^2 then 2t - 1 = 0 from there it is straightforward to solve, you just need to factor the expression 2c^3 - 6c^2 + 5c - 1 = 0 using the known root and then use the quadratic method to find all possible values of 2x^2 for which there could be solutions so you get 3 possible values for 2x^2, which means 6 possible values for x. Half of the x values aren't really solutions but half of them are
1) Возводим в квадрат, затем выполняем подстановку: x^2=t. 2) Получаем кубическое уравнение, у которого сразу угадывается корень: t=1/2. (можно и на множители разложить, разбив и сгруппировав слагаемые) 3) Делим "уголком" на t-1/2, получаем квадратное уравнение. 4) Находим "иксы" и проверяем, все ли подходят.
Альтернативное решение стандартное: возвести обе части в квадрат, сделать замену t=2x^2 и получить кубическое уравнение 2t^3-6t^2+5t-1=0, в котором легко подбирается первый корень t=1, далее совсем просто. Лайк за перевод в тригонометрию.
Я решил это уравнение подстановкой 2х=t. В результате получил уравнение: t6-6t4+10t2-4=0. Далее подстановка: t2=z. Далее получаем кубическое уравнение: z3-6z2+10z-4=0.
Проще всё-таки решать sin3t=sin(pi/2-t) там две серии точек с периодом 2pi*n и просто выбрать те что дают разные иксы или просто те т что в промежутке. А серии точек из sin x = sin y это у = х + 2pi*n и у = pi - x + 2pi*m. Хотя предложенное решение тоже не сложное.
Все здешние "прихваты" попробовал, и анализом функции (пришёл лишь к тому, что корня 3-ри, они "плохие", 2 полож., один отрец.) и методом неопр. коэф. крутил (безуспешно), а вот про триг. замену забыл, хотя сразу себе отметил -1≤х≤1.
Задним умом (которым как известно, все сильны) можно так: - Возводим в квадрат, запомнив, что теперь нужна проверка в конце. - Получаем: 16x⁶ - 24x⁴ + 10x² - 1 = 0 - Делаем замену, x² = t > 0 - Получаем: 16t³ - 24t² + 10t - 1 = 0 - "Легко" угадываем корень t = 1/2 :) - Делим в столбик и получаем: 2(t - 1/2)(8t² - 8t + 1) = 0 - Находим оставшиеся корни через дискриминант: t = 1/2, t = (2 + √2)/4, t = (2 - √2)/4 - все > 0. - Возвращаемся к x: x = 1/√2, x = √(2 + √2)/2, x = √(2 - √2)/2 - Делаем проверку, о которой помним с начала, - все подходят.
Возводим в квадрат, получается 16х^6-24х^4+10х^2-1=0; х²=t => 16t³-24t²+10t-1=0; 16t³-16t²-8t²+8t+t-1+t=0 ; 16t²(t-1) -8t(t-1) +(t-1) +t=0; (t-1) (16t²-8t+1) =-t => t-1=t и 16t²-8t+1=-1 или t-1=-t и 16t²-8t+1=1; нет решений или t=1/2 По схеме Горнера мы получаем, что 16t³-24t²+10t-1=(t-1/2) (16t²-16t+2)=0 => t=1/2 или (2+√2) /4 или (2-√2) /4 х=±√2/2 или х=±(√(2+√2) /4) или х=±(√(2-√2) /4) ОДЗ: [-1;-√3/2] u [0;√3/2] => х=√2/2 ; √(2-√2) /2; -√(2+√2) /2 Ур-е не из самых лёгких, пришлось повозиться
"Возводим в квадрат" + "ОДЗ" - если мне не изменяет склероз, то проверка на ОДЗ это мало, если возвели в квадрат нужно делать непосредственную проверку всех корней в конце, ибо возведение в квадрат может добавлять корни.
@@eip10 По моему ошибаетесь (не в данном примере, а в общем случаем). Смотрите, имеем уравнение: x = -2. ОДЗ - вся числовая ось. Возведём в квадрат, x^2 = 4 x = +-2. Корень x = 2 - лишний, приобретённый при возведении в квадрат, но он не противоречит ОДЗ.
@@ВикторИванов-ю7ю дело в том, что вы возводите в квадрат отрицательное число (-2), что и порождает лишний корень. При возведении в квадрат накладывается ограничение неотрицательности обоих частей уравнения, а не только подкоренного выражения (от которого хотим избавиться), в ином случае появятся лишние корни. И при решении того уравнения я такое условие наложил, нашел множество решений и отобрал подходящие корни
А если бы слева были бы коэф-ты не 3,4, а какие-нибудь левые 11,23 - в ответе были бы дикие арксинусы, чтоли? Никогда этого не понимал, со школы. Откуда в чисто алгебраическом уравнении берутся тригонометрические решения...
Что означает «жесть», откуда взялся этот термин? А как получить информацию, что с этой задачей никто не справится? Что за идиотизм? Почему вы везде ищете сенсации, даже в математике? Не возможно честно?
Самая первая строчка, и сразу ошибка. 3х-4х² должно быть больше или равно 0, т.к. именно корень числа не может быть отрицательным, а дальше в квадрат возвести, найти х и посмотреть, подходит ли под условие
Вообще-то речь шла про ОДЗ для x. 3x-4x³ ≥ 0 - условие, при котором данное значение x может быть решением уравнения, а |x| ≤ 1 - при котором обе части уравнения (в частности правая) определены.
@@ИзиБризи-с1х Я тоже не решил. Но, во-первых, все эти ЖЕСТИ - лексика детского сада, а во-вторых, эти ЖЕСТИ появляются в названиях с "завидным" постоянством.
Слово "жесть" явно не такое уж и модное, как вы себе представляете. К тому же автор его не так часто и использует, ещё могу сказать, что даже если бы оно встречалось в каждом видео, в этом не было бы проблемы. Как создатель канала хочет, так и делает, это его право. А вообще это можно расценивать как своеобразное название рубрики канала, потому что есть видео с разным содержанием, и бывает такое, что встречаются подобные по уровню сложности уравнения.
Если возвести левую и правую часть в квадрат, то получим уравнение шестой степени, имеющее шесть действительных корней, поэтому у исходного уравнения комплексным корням взяться неоткуда. С другой стороны, каждое действительное число является также и комплексным (с нулевой мнимой частью). В более старых учебниках писали так: "Если 𝒃 ≠ 0, то комплексное число 𝒂 + 𝒃𝒊 называется _мнимым._ Мнимое число называется _чисто мнимым,_ если 𝒂 = 0". Т.е., например, 2 - действительное число, 2 + 2𝒊 - мнимое, 2𝒊 - чисто мнимое, но при этом все они являются комплексными, т.к. 2 = 2 + 0𝒊 и 2𝒊 = 0 + 2𝒊.
Да вроде через многочлены с подстановкой x^2=t... Далее по схеме Горнера первый корень t=1/2.. А потом уже 8t^2-8t+1=0 и тд.... Ну вообщем как говорится эстеты математики могут обойти дерево примера справа, а могут слева) - то есть два путя! Изредка конечно бывает ишо пути решения - под деревом или сверху над деревом) а также напрямик сквозь дерево 🌴...если конечно оно достаточно толстое то в нем можно сделать дырку или отверстие "в виде хода решения" - ну если конечно сам не "дерево "🌴
Уравнение можно разложить так: 3x-4x^3=sqrt(1-x^2) 16x^6-24x^4+10x^2-1=0 8x^4(2x^2-1)-8x^2(2x^2-1)+2x^2-1=0 (2x^2-1)(8x^4-8x^2-1)=0 (2x^2-1)(x^2-(2+sqrt2)/4)(x^2-(2-sqrt2)/4)=0 дальше смотрим ОДЗ:[-1;-sqrt(3)/2]v[0;sqrt(3)/2] и находим корни
Меня всегда удивляют люди, которые, придумав какой-либо ход решения, не пробуют решить, а следовательно понять получится этим путём или нет, а сразу уверенно пишут комментарий, что так можно.
@@qwepoi1972 почему же, в уравнении 6 степени делается замена на 2x^2, затем уравнение 3 степени: угадываем корень единичку, разбираемся с трехчленом и возвращаемся к замене. Легко. С ОДЗ тоже ничего сложного
Довольно посредственное уравнение. Решил до просмотра, а смотреть не стал, ибо тригонометрию еще не изучал. Ответы совпали. Мое решение: обе части в квадрат (переходим к равносильной системе, накладывая условие неотрицательности на левую часть), проверяем наличие корней в уравнении 6 степени - глухо, делаем замену на 2x^2 - получаем уравнение 3 степени, корень находится, затем по схеме Горнера приходим к квадратному трехчлену - еще два корня, возвращаемся к замене, сверяемся с ОДЗ, условием в системе (ничего запредельного), отбираем корешки и вуаля. 10-15 минут решал в сумме
Я решал алгебраически: возвел обе части в квадрат, следя за равносильностью преобразований , чтобы не нахватать лишних корней. Там все сводится к уравнению вида (2z-1)(8z^2 - 8z + 1)=0, где сделана замена z=x ^2. Решаем все это в ограничениях |х|=0. Получим те же три корня. Трудов несколько больше, чем с тригонометрической заменой, но нетривиальное знание синуса тройного угла не было моей сильной стороной.
Трудов, конечно, больше,но доведённое до конца алгебраическое решение весьма похвально. Так же,как и отсутствие телячьих восторгов( см. комментарии про изысканных гурманов и т.д.).
объясните почему t имеет именно такие ограничения?
Всем привет. Ну и уравнение!Действительно супер жесть.А решение красивое!Мои аплодисменты , Валерий!
Не знаю где сейчас эта труба, но я пытаюсь найти.Поможешь?
Как всегда элегантно и Изящно .Спасибо Валерий
Спасибо за необычный метод.
Еще есть способ решения - разделить обе части уравнения на икс и внести икс под знак радикала. После чего радикал обозначить другой переменной и выразить икс квадрат через эту переменную. Подставить в уравнение и решить его. Путем несложных манипуляций приходим к произведению простых квадратных уравнений, которые решаем с тем же результатом.
Классное уравнение. До замены sin(t) = x и синуса тройного угла сам догадался (если попытаться найти область определения, то там видно, что x находится в промежутках табличных значений тригонометрических функций), но дальше налажал.
Песня! Красивый логический ручеек! Спасибо!
Я решил по другому: Возводим обе части в квадрат: 16x^6-24x^4+9x^2=1-x^2, 16x^6-24x^4+10x^2-1=0, затем подставляем x^2=y, и получаем: 16y^3-24y^2+10y-1=0, 16y^3-8y^2-16y^2+8y+2y-1=0, 8y^2(2y-1)-8y(2y-1)+2y-1=0, (2y-1)(8y^2-8y+1)=0, затем решаем квадратное и линейное уравнения и получаем три корня: y=1/2, y=1/2+-корень из 1/8. Потом извлекаем из каждого возможного значения y квадратный корень, и получаем 6 корней первоначального уравнения. Потом подставляем каждый из них и находим, что подходят только три корня
Любой процесс решения задачи или примера - это преодоление ( конечно, разной интенсивности). Как приятно осознавать, что даже к позднему вечеру голова ещё варит, знания пригождаются, а богатый источник идей и решений в Вашем лице, отлично функционирует. Очень полезно и приятно. Спасибо!
Отлично, способ замечательный
супер! отлично в начале проговаривается целесообразность замены. дальше просто решение. однако синус тройного угла это не для простых смертных. :) Жду задачку с заменой на тангенс....
А разве мы проходим в школе синусы и коссинусы тройного угла?
@@VeronikaBodnar Конечно, проходим
еще не смотрел, но думаю, будет тригонометрическая замена, потому что в правой части -1≤х≤1
потому что ты уже решал подобные уравнения и знаешь про это и никакого интеллекта не существует, есть только опыт.
@@Darkspear1 зачем ты мне пишешь, когда я тебя не спрашивал? поиграй пойди в гонки лучше
@@1luffiz извини что обидел
@@Darkspear1 ок
@@Darkspear1 Согласен
Очень элегантный способ, для утонченных гурманов
Конечно,"супержесть" - это для тех,кто ничего не читает, поскольку современные пособия переполнены такими уравнениями. Идея уже давно не нова,а здесь она однозначно прозрачна. Впрочем,польза ролика несомненна и вполне очевидна.
объясните почему t имеет именно такие ограничения?
я зачем так сложно? я конечно школу и институт закончил уже давно, но замена х2 на t дает кубическое уравнение, а потом его делим на многочлен (t-1) и там всё легко раскладывается на 3 множителя слева и нолик справа. а далее корни очевидно находятся...
Решение понятно! Спасибо большое!
Браво. Я если честно подозревал тригонометрический замес в этом уравнении, но это просто божественно!!!!! Пишу из Беларуси. Я пересмотрел много сборников подготовки к экзамену (у нас это ЦТ), но таких примеров с подробным описанием алгоритма решения я не нашёл
1) сначала возвёл в квадрат; увидел уравнение шестой степени, да ещё и опечатался - оно у меня получилось не бикубическое. Ну нафиг.
Но даже если бикубическое, его решить можно, по-моему, только формулой Кардано. Лень вспоминать.
2) сделал ту же самую тригонометрическую подстановку. Но, такой лютой тргонометрии, про синус тройного, я никогда не помнил. Вместо этого, я увидел, что слева стоит 4x*(1-x^2) - x. С учётом подстановки x = sin(alpha) это будет sin(a)*(4 cos^2(a) - 1) = cos(a).
Делим обе части на cos(a) (замечая, что случай cos(a) = 0 нас всё равно не интересует), и заменяем cos^2(a) = 1 / (1 + tg^2(a)). Получается
t * (4/(1 + t^2) - 1) = 1
(за t я обозначил тангенс). После раскрытия получается кубическое уравнение
t^3 + t^2 - 3t + 1 = 0.
Корень t = 1 угадывается. Другие два получаются из квадратного уравнения после деления на (t-1).
> _решить можно, по-моему, только формулой Кардано_
"Формулой Кардано" оно сводится к уравнению
2y³ - y = 0
y = 2x² - 1
Но вариант с тангенсами тоже интересный - похоже, вы единственный его предложили.
Solved it brutally by squaring both sides and then replacing x^2 with t in similar fashion like few other colleagues here. Once you find that 2t-1=0, the rest is prety straight forward
I did that steps but i cant find 2t-1=0
@@gerpol1005 square both sides:
16x^6 - 24x^4 + 9x^2 = 1 - x^2
16x^6 - 24x^2 + 10x^2 - 1 = 0
substitute c = 2x^2
2c^3 - 6c^2 + 5c - 1 = 0
using RRT, find that c=1 is a solution
this gives you that 2x^2 = 1 is a solution
another way to say that is 2x^2 - 1 = 0
or if t=x^2 then 2t - 1 = 0
from there it is straightforward to solve, you just need to factor the expression 2c^3 - 6c^2 + 5c - 1 = 0 using the known root and then use the quadratic method to find all possible values of 2x^2 for which there could be solutions
so you get 3 possible values for 2x^2, which means 6 possible values for x. Half of the x values aren't really solutions but half of them are
@@armacham thanks
Учусь на втором курсе, смотрел ваши видео будучи ещё 10-классником. щас просто решил поностальгировать, прям уже те беззаботные времена....
Студент,наверно по русскому языку была твёрдая двойка,если пишите щас вместо нужного сейчас.
@@ЕленаЕ-х1з впредь буду стараться избегать таких ошибок, да и уроки у нас на английском, к тому же русский для меня не родной)
Здравствуйте, Валерий. Спасибо за видео , напишите, пожалуйста, свое отчество. Ваши видео использую в своей препод.работе.Спасибо.
Викторович, но это необязательно.
Очень интересно!
1) Возводим в квадрат, затем выполняем подстановку: x^2=t.
2) Получаем кубическое уравнение, у которого сразу угадывается корень: t=1/2.
(можно и на множители разложить, разбив и сгруппировав слагаемые)
3) Делим "уголком" на t-1/2, получаем квадратное уравнение.
4) Находим "иксы" и проверяем, все ли подходят.
Здорово! Даже решение проще и понятнее,чем у Валерия.
Альтернативное решение стандартное: возвести обе части в квадрат, сделать замену t=2x^2 и получить кубическое уравнение 2t^3-6t^2+5t-1=0, в котором легко подбирается первый корень t=1, далее совсем просто. Лайк за перевод в тригонометрию.
Я решил это уравнение подстановкой 2х=t. В результате получил уравнение: t6-6t4+10t2-4=0. Далее подстановка: t2=z. Далее получаем кубическое уравнение: z3-6z2+10z-4=0.
Проще всё-таки решать sin3t=sin(pi/2-t) там две серии точек с периодом 2pi*n и просто выбрать те что дают разные иксы или просто те т что в промежутке. А серии точек из sin x = sin y это у = х + 2pi*n и у = pi - x + 2pi*m. Хотя предложенное решение тоже не сложное.
Очень красивое решение...) Спасибо. Желаю Вам новых, столь же прекрасных, выпусков.)
Отлично!
А в чем или где вы рисуете?
Будет ли защита ответ, если оставить все в тригонометрической форме?
Нестандартная замена. Интересно.
Как всегда очень увлекательно, несмотря на то, что школу я закончил в 94м году.
Замену сделал. А потом застопорилось. Действительно жесть. Спасибо
объясните почему t имеет именно такие ограничения?
Это же не школьный пример? Надеюсь 🥴. Приятно сознавать, что с вашим объяснением и такие задачки понятны 👍
Выключил после того, как в математике появилось букв больше, чем цифр
Все здешние "прихваты" попробовал, и анализом функции (пришёл лишь к тому, что корня 3-ри, они "плохие", 2 полож., один отрец.) и методом неопр. коэф. крутил (безуспешно), а вот про триг. замену забыл, хотя сразу себе отметил -1≤х≤1.
Задним умом (которым как известно, все сильны) можно так:
- Возводим в квадрат, запомнив, что теперь нужна проверка в конце.
- Получаем: 16x⁶ - 24x⁴ + 10x² - 1 = 0
- Делаем замену, x² = t > 0
- Получаем: 16t³ - 24t² + 10t - 1 = 0
- "Легко" угадываем корень t = 1/2 :)
- Делим в столбик и получаем: 2(t - 1/2)(8t² - 8t + 1) = 0
- Находим оставшиеся корни через дискриминант:
t = 1/2, t = (2 + √2)/4, t = (2 - √2)/4 - все > 0.
- Возвращаемся к x:
x = 1/√2, x = √(2 + √2)/2, x = √(2 - √2)/2
- Делаем проверку, о которой помним с начала, - все подходят.
Добрый вечер. Я не поняла почему левое выражение есть синус тройного угла?
По формуле синуса тройного угла. Вывод формулы есть здесь: ruclips.net/video/cB4-irn6hXo/видео.html
Возводим в квадрат, получается 16х^6-24х^4+10х^2-1=0; х²=t => 16t³-24t²+10t-1=0; 16t³-16t²-8t²+8t+t-1+t=0 ; 16t²(t-1) -8t(t-1) +(t-1) +t=0; (t-1) (16t²-8t+1) =-t =>
t-1=t и 16t²-8t+1=-1
или
t-1=-t и 16t²-8t+1=1;
нет решений
или
t=1/2
По схеме Горнера мы получаем, что 16t³-24t²+10t-1=(t-1/2) (16t²-16t+2)=0 =>
t=1/2 или (2+√2) /4 или (2-√2) /4
х=±√2/2 или х=±(√(2+√2) /4) или х=±(√(2-√2) /4)
ОДЗ: [-1;-√3/2] u [0;√3/2] => х=√2/2 ; √(2-√2) /2; -√(2+√2) /2
Ур-е не из самых лёгких, пришлось повозиться
также решил, но для мене оказалось довольно просто. на одном дыхании)
"Возводим в квадрат" + "ОДЗ" - если мне не изменяет склероз, то проверка на ОДЗ это мало, если возвели в квадрат нужно делать непосредственную проверку всех корней в конце, ибо возведение в квадрат может добавлять корни.
@@ВикторИванов-ю7ю они исчезают в следствии проверки ОДЗ, если не ошибаюсь
@@eip10 По моему ошибаетесь (не в данном примере, а в общем случаем). Смотрите, имеем уравнение:
x = -2. ОДЗ - вся числовая ось.
Возведём в квадрат, x^2 = 4 x = +-2. Корень x = 2 - лишний, приобретённый при возведении в квадрат, но он не противоречит ОДЗ.
@@ВикторИванов-ю7ю дело в том, что вы возводите в квадрат отрицательное число (-2), что и порождает лишний корень. При возведении в квадрат накладывается ограничение неотрицательности обоих частей уравнения, а не только подкоренного выражения (от которого хотим избавиться), в ином случае появятся лишние корни. И при решении того уравнения я такое условие наложил, нашел множество решений и отобрал подходящие корни
Отличная штука при приеме на работу в сельскую или районную школу учителем математики. Спасибо
Тройной угол в явной форме записан..намного интереснее, когда подобные выражения нужно сначала выделить, а то совсем очевидно
Можно решить классическим способом путем вынесения общего множителя 2x²-1, либо решением биквадратного уравнения.
Ну продемонстрируйте.
Это не биквадратное. Там возникает 6 степень
Круто!
Объясните, почему 3sin(t) - 4sin^3 (t)= sin3t
Вывод формулы синуса тройного угла есть здесь: ruclips.net/video/cB4-irn6hXo/видео.html
@@ValeryVolkov с тойным углом разобрался, спасибо!
А вот в конце синус половинного ула никак не осилю: почему второй x= корень из двух минус… и т д
Как не любил тригонометрию в школе, больше 20 лет назад, так и теперь не очень)). P.S. Вообще не пригодилась мне. PP.S. Сторож, 42 года(это шутка)😂😂
Как вижу такую правую часть--сразу вижу тригонометрию. Так и сделал, слева получается косинус тройного угла. Дальше уже тригонометрия.
Это какой класс?
Почти сразу увидел 1/√2; к замене на синус пришёл, разглядывая левую часть (1-x² намекнула на тригонометрию).
1) возводим в квадрат:
16x⁶ - 24x⁴ + 10x² - 1 = 0
2) делаем замену 2x² = t:
2t³ - 6t² + 5t - 1 = 0
3) решаем как кубическое с помощью t = y - b/3a = y + 1:
2y³ - y = 0
y⋅(2y² - 1) = 0
или просто дополняя до куба:
2t³ - 6t² + 5t - 1
= (2t³ - 6t² + 6t - 2) - (t - 1)
= 2(t - 1)³ - (t - 1)
= (t - 1)⋅[2(t - 1)² - 1]
Но обычно такие простые способы приходят в голову, когда задача уже решена.
Поделить обе части уравнения на х , t= 1/x^2 , возвести в квадрат , а там по наезженной дороге .
Угу, тоже хороший способ и довольно легко решаемый.
До чего математика докалась, теперь из простого уравнения в триганометрическое, что у авторов на уме
А если бы слева были бы коэф-ты не 3,4, а какие-нибудь левые 11,23 - в ответе были бы дикие арксинусы, чтоли? Никогда этого не понимал, со школы. Откуда в чисто алгебраическом уравнении берутся тригонометрические решения...
Ну тут специально подобрано так походу чтобы сворачивалось в косинус и синус тройного угла
Что означает «жесть», откуда взялся этот термин? А как получить информацию, что с этой задачей никто не справится? Что за идиотизм? Почему вы везде ищете сенсации, даже в математике? Не возможно честно?
как будто ты решил
Он эту задачу своим ученикам загадывал
Журнал «Квант» кто-нибудь читал ?
а как ещё можно решить это уравнение, без тригонометрической подстановки?
Конечно, заменой х^2=t.
Самая первая строчка, и сразу ошибка. 3х-4х² должно быть больше или равно 0, т.к. именно корень числа не может быть отрицательным, а дальше в квадрат возвести, найти х и посмотреть, подходит ли под условие
Вообще-то речь шла про ОДЗ для x. 3x-4x³ ≥ 0 - условие, при котором данное значение x может быть решением уравнения, а |x| ≤ 1 - при котором обе части уравнения (в частности правая) определены.
Я бы не решил в школе 100%, хоть и умеый))))
Валерий, а "ЖЕСТИ" в названиях реально двигают видео? Т.е. Вы в этом реально убедились или просто действуете по модным советам?
Для обычных людей типа меня это точно супержэсть.
@@ИзиБризи-с1х Я тоже не решил. Но, во-первых, все эти ЖЕСТИ - лексика детского сада, а во-вторых, эти ЖЕСТИ появляются в названиях с "завидным" постоянством.
Слово "жесть" явно не такое уж и модное, как вы себе представляете.
К тому же автор его не так часто и использует, ещё могу сказать, что даже если бы оно встречалось в каждом видео, в этом не было бы проблемы. Как создатель канала хочет, так и делает, это его право.
А вообще это можно расценивать как своеобразное название рубрики канала, потому что есть видео с разным содержанием, и бывает такое, что встречаются подобные по уровню сложности уравнения.
@@ВикторИванов-ю7ю это новая реальность, захватившая глупеющий мир. Какой смысл обращать на это внимание?
На меня действует
Когда-то подобный пример попался на математической олимпиаде.
Легко же, сразу видна формула тройного аргумента
Не понятно, вроде в начале была алгебра,резко перешёл на геометрию
да сразу видно что там триг. замена , слева похоже на sin/cos от тройного угла, супер жесть никто не решил ему))
Та Волков просто забагато вимахується.
Чего? Я только в 8 класс поступил, что у вас происходит, вы машину времени создали ?
То есть задача не предполагает комплоексных решений?
Если возвести левую и правую часть в квадрат, то получим уравнение шестой степени, имеющее шесть действительных корней, поэтому у исходного уравнения комплексным корням взяться неоткуда. С другой стороны, каждое действительное число является также и комплексным (с нулевой мнимой частью). В более старых учебниках писали так: "Если 𝒃 ≠ 0, то комплексное число 𝒂 + 𝒃𝒊 называется _мнимым._ Мнимое число называется _чисто мнимым,_ если 𝒂 = 0". Т.е., например, 2 - действительное число, 2 + 2𝒊 - мнимое, 2𝒊 - чисто мнимое, но при этом все они являются комплексными, т.к. 2 = 2 + 0𝒊 и 2𝒊 = 0 + 2𝒊.
Если уравнение предполагает комплексные решения, то это оговаривают в условии и вместо x, чаще всего надо найти z.
@@Samvel_V наоборот. Ровно наобоот Если задача для 7-8-го класса, то в задаче оговаривается что .... А если нет - решайте в общем виде.
@@catBasilio
Валерий говорил в одном видео то, что я написал
@@Samvel_V а я точно должен посмотреть все видео с этого канала?
Взглянув на левую часть, понял, что дело тут пахнет тройным синусом/косинусом. А когда увидел правую часть, сомнений не осталось
Да вроде через многочлены с подстановкой x^2=t... Далее по схеме Горнера первый корень t=1/2.. А потом уже 8t^2-8t+1=0 и тд.... Ну вообщем как говорится эстеты математики могут обойти дерево примера справа, а могут слева) - то есть два путя! Изредка конечно бывает ишо пути решения - под деревом или сверху над деревом) а также напрямик сквозь дерево 🌴...если конечно оно достаточно толстое то в нем можно сделать дырку или отверстие "в виде хода решения" - ну если конечно сам не "дерево "🌴
предлагаю автору решить более интересное уравнение:
6x-8x^3=sqrt(2-2х).
Где тут можно поставить второй лайк?)))
как обычно, все красиво
Вот тибе корни
1x = -3
2x= Кубичиский корень из 4
3x=1 или -1
сложно!
Уравнение можно разложить так:
3x-4x^3=sqrt(1-x^2)
16x^6-24x^4+10x^2-1=0
8x^4(2x^2-1)-8x^2(2x^2-1)+2x^2-1=0
(2x^2-1)(8x^4-8x^2-1)=0
(2x^2-1)(x^2-(2+sqrt2)/4)(x^2-(2-sqrt2)/4)=0
дальше смотрим ОДЗ:[-1;-sqrt(3)/2]v[0;sqrt(3)/2] и находим корни
на самом деле аргумент синуса может быть где угодно, ведь синус всегда не больше 1
Да, но так проще и понятнее
Возводим обе части в квадрат, а потом по формуле Кардано. Ничего сложного 😂😂😂
Ой блин, там уже куб. Я туплю.
@@klepikovmd Всё правильно: относительно 2x² это будет кубическое, которое стандартной заменой 2x² = y + 1 сводится к 2y³ - y = 0.
Капец ...
Я один ничего не понял? (Я в 7 классе)
Решите это уравнение: x⁴+16 = 0.
А что с ним не так? Оно ведь решается устно: x = cis(π(2k+1)/4) = ±(±√2 + 𝕚⋅√2)
Əla
ⰔⰟⰃⰎⰀⰔⰠⰐⰟ.
Надоел
@@ВикторИванов-ю7ю Согласен :)
@@allozovsky Так точно.
@@allozovsky а ты что, знаешь глаголицу?
Не супержэсть, а гипержэсть)
По-моему, легче сделать квадрат в обеих частях
И решить через теорему Горнера
Все три корня уравнения до жути иррациональны, Горнер не спасёт
удачи угадать корни
Меня всегда удивляют люди, которые, придумав какой-либо ход решения, не пробуют решить, а следовательно понять получится этим путём или нет, а сразу уверенно пишут комментарий, что так можно.
@@qwepoi1972 почему же, в уравнении 6 степени делается замена на 2x^2, затем уравнение 3 степени: угадываем корень единичку, разбираемся с трехчленом и возвращаемся к замене. Легко. С ОДЗ тоже ничего сложного
@@andreygoldfine выше
Довольно посредственное уравнение. Решил до просмотра, а смотреть не стал, ибо тригонометрию еще не изучал. Ответы совпали.
Мое решение: обе части в квадрат (переходим к равносильной системе, накладывая условие неотрицательности на левую часть), проверяем наличие корней в уравнении 6 степени - глухо, делаем замену на 2x^2 - получаем уравнение 3 степени, корень находится, затем по схеме Горнера приходим к квадратному трехчлену - еще два корня, возвращаемся к замене, сверяемся с ОДЗ, условием в системе (ничего запредельного), отбираем корешки и вуаля. 10-15 минут решал в сумме
В каком Вы классе?
@@ВикторИванов-ю7ю 1 курс колледжа (техникума), программу 10-11 проходим. Хотя большую часть знаний я получаю в следствии самостоятельного обучения
@@eip10 Странно, тригонометрия - первая тема алгебры 10-11 (у нас была), не считая геометрии.
Спасибо. Тоже начала так решать, но застопорилась на 3-степенном уравнении. Изучаю схему Горнера)
@@ВикторИванов-ю7ю у нас преподаватели сменили порядок тем, вот щас только будем начинать
Майже ніхто не розв'язав, лиш один ти такий розумний. Дизлайк.