Универсальный способ решения симметрических систем с тремя неизвестными
HTML-код
- Опубликовано: 7 сен 2024
- Уникальный способ умножения • Таблица умножения боль...
Поддержать: donationalerts....
Telegram: t.me/volkov_te...
Группа ВК: volkovv...
Instagram: / volkovege
Почта: uroki64@mail.ru
Как разложить на множители: a^3+b^3+c^3-3abc
• Разложить на множители...
Сразу глаз видит, что в ответе 1 и 0, в различных комбинациях)))
Каким образом?
@@user-gx2fg2ll1j уже столько перерешано, столько уравнений повидал. Да и методом подбора тут несложно. По системе видно, что корни - целые числа.
@@wozzeck8831 Понятно. Уж не буду спрашивать каким образом "По системе видно, что корни - целые числа".
@@user-gx2fg2ll1j ну это очевидно, едрен батон, не стоит усложнять себе жизнь, когда можно сделать все проще. Были бы там не единицы, да, стоило бы подумать. А когда все так на поверхности...
Да, правда, это как-то интуитивно понятно)
Достаточно было получить тройку (1,0,0) и, учитываю симметрию относительно любых перестановок x,y,z в симметрической системе уравнений, получить остальные два решения (0,1,0) и (0,0,1).
А где доказательство, что это единственные тройки решений?
Система замен это теорема Виета для кубического уравнения)
Верно: так и нужно решать!
В целом, после того, как мы получили систему, в которой найдены xy+yz+zx и xyz, можно рассмотреть кубическое уравнение t^3+pt^2+qt+r=0 с корнями x,y,z, где p=-(x+y+z), q=xy+yz+xz, r=-xyz и после этого получить уравнение t^3-t^2=0, откуда t=0 или t=1, ну а дальше в ответ записываем все комбинации из чисел 0 и 1. В конкретном примере, конечно, все проще, так как xyz=0
Стандартная замена для трёх переменных. Спасибо за решение.
Спасибо вам от имени всех школьников, особенно дистанционников.
Спасибо большое Учитель.классная система и её решение.
можно увидеть корни с двумя нулями и единицей и доказать, что других решений не существует: числа все положительные, так как если допустить обратное, уравнение с квадратами каждого числа никак не может одновременно выполняться с уравнениями с кубами или без степеней. ясно также и то, что каждое из чисел не больше единицы (опять таки из уравнения с квадратами). тогда выходит, что корни, при которых x + y + z =1 никак не могут подойти к x^3 + y^3 + z^3 = 1, если x,y,z принадлежит (0;1), так как куб каждый из этих корней просто уменьшит. получается, что единственное возможное решение - комбинация двух нулей и единицы.
Еще как могут одновременно выполняться уравнение с квадратами и с кубами ИЛИ без степеней при отрицателных переменных. Например для первых двух уравнений существует бесконечное кол-во отрицательных корней: (0.55 - 0.05√77; 0.55 + 0.05√77; -0.1) для примера.
Добавить надо, что числа не только из [-1;1], но и не меньше нуля.
Весьма интересно. Спасибо.
Валерий, я понимаю, что у вас очень подробные объяснения, чтобы даже двоишники отдуплили) Но в данном примере, имхо, система уравнений, к которой приходим в конце, очевидна прямо с самого начала без ручки и бумаги и замен переменных.
Т.к. квадрат суммы равен сумме квадратов по условию ( (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2, т.к. они равны 1), то из этого следует, что то, на что они отличаются 2(xy + yz + zx) равно 0. Аналогично принимая это во внимание и что куб суммы равен сумме кубов по условию (может чуть сильнее поразмыслив) следует xyz=0. Ну может последнее утверждение многим потребует просто раскрыть куб суммы чтобы понять, но замены переменных не требуются)
Я ее решал уже, так что написал комментарий до того, как посмотрел) Но лайк поставить не забыл)
Как всегда великолепно. Спасибо
Грамотное решение. Автор молодец, однозначно лайк👍
Долгое доказательство очевидного решения
Отлично!🌺
Спасибо!
Очень понятно ,но после урока дай задачку или несколько задач для польного усвоения таких задач.Мой любимый канал.
Просто и понятно.
Нужно доказать что ответ это не иррациональные числа и не дроби, дальше подбирам целые положительные и нули
Olloh sizdan rozi bo'lsin Valeriy aka
Решил в уме за 5 - 10 с, как только увидел. Но очень понравились подстановки. Спасибо!
Когда я был студентом, то поспорил с преподавателем. Я сказал, что смогу найти общее решение подобных систем только не ограничиваясь количеством уравнений в системе) Если кто-то изучал комбинаторику, то вот вам задача)
@@ruiiiiner Мое решение сводилось к одному уравнению n-ой степени, а если степень больше 4, то точный ответ мы найти не можем) Т. е. я проиграл) Но преподаватель мне 5 поставил за семестр)
@@ruiiiiner на 1
Спасибо!🌺
Класс!
Спасибо. Этот способ помог решить сегодня систему, которую коллега прислала
Интересно как выглядит решение такой системы графически?
На множині дійсних чисел в українських школах цю задачу розв'язують усно, навіть без першого рівняння. З другого рівняння випливає, що у ньому всі доданки зліва не перевищують 1. Але тоді доданки третього рівняння не більші відповідних доданків другого. Але їх сума також 1, то вони рівні відповідним доданкам другого рівняння, що можливо лише за умови, що вони дорівнюють або 1, або 0. Зрозуміло що 1 має бути один раз, а 0 - двічі. Перше рівняння такий набір також задовольняє.
Подібні міркування пройдуть і для аналогічних систем з більшою кількістю рівнянь та невідомих і сумами вищих степенів.
А от, чи Волков справився би з ними своїм способом я не впевнений, хоч і знаю, як методом симетричних многочленів це зробити.
Попробуйте решить систему:
X + y. + z. = 1
X*3+y*3+z*3=1
x*5+y*5+z*5=1
Это несколько сложнее, но гораздо интересней. Те же самые симметричные полиномы.
Ответ: x=2cos(Пи/7), y=2cos(3Пи/7), z=2cos(5Пи/7).
Первое уравнение описывает плоскость, проходящую через точки A(1,0,0), B (0,1,0) и C(0,0,1). Второе - сферу радиуса 1 с центром в начале координат. Эта сфера пересекает плоскость по окружности, проходящей через те же точки ABC. Как выглядит третья фигура, представляю не очень, но скорее всего, точки A, B, C единственные общие с плоскостью и сферой.
Плохо, что логику по сути, школьник постигает на курсах математики и она не идёт самостоятельным предметом. Зато школьная программа забита самим ненужным мусором.
Топ
Красиво
На множині дійсних чисел цю задачу розв'язують усно, навіть без першого рівняння. З другого рівняння випливає, що у ньому всі доданки зліва не перевищують 1. Але тоді доданки третього рівняння не більші відповідних доданків другого. Але їх сума також 1, то вони рівні відповідним доданкам другого рівняння, що можливо лише за умови, що вони дорівнюють або 1, або 0. Зрозуміло що 1 має бути один раз, а 0 - двічі. Перше рівняння такий набір також задовольняє.
Вы покажите общий способ представления любого симметрического многочлена с помощью элементарных симметрических многочленов, полезно будет.
В данном случае, если обозначить u=x+y+z, v=xy+xz+yz, w=xyz, то x³+y³+z³=u³+auv+bw.
При x=y=z=1 получим: u=3, v=3, w=1, 27+9a+b=3, 9a+b=-24.
При x=y=1, z=0 получим: u=2, v=1, w=0, 8+2a=2, a=-3. Тогда b=-24-9*(-3)=3.
Поэтому x³+y³+z³=u³-3uv+3w.
Ну, я сделал точно такие же замены. Правда кубы выразил через куб трехчлена, откуда получается ещё более простое уравнение после замены uv-w=0. Ну и после обратной замены можно не рассматривать три случая xyz=0, а из равенства u=w=0 получить xy+yz+zx=xyz, которое легко раскладывается на множители, xy+yz+zx-xyz=x(y+z)+yz-xyz=x(1-x)+yz(1-x)=(1-x)(x+yz)=0, так как y+z=1-x из первого уравнения системы. И здесь уже достаточно рассмотреть два случая, а не три, когда x=1 и x=yz. Если x=1, то y+z=yz=0, откуда y=-z, -z^2=0 => y=0, z=0. Если x=-yz, то xyz=-x^2=0 => x=0 => yz=0. x+y+z-1=y+z-1-yz=(1-z)(y-1)=0, откуда либо z=1, либо y=1. Зная, что yz=0, то либо y=0, z=1, либо y=1, z=0. Суммируя всё вышесказанное, получаем три ответа: (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
ДЯКУЮ
Решил почти так же, но третье уравнение преобразовал иным способом.
Путём непосредственного раскрытия скобок: (x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3xy² + 3y²z + 3yz² + 3x²z + 3xz² + 6xyz.
Перегруппируем это таким образом: (x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3xy² + 3xyz + 3y²z + 3yz² + 3xyz + 3x²z + 3xz² + 3xyz - 3xyz
Вынесем там где можно утроенные попарные произведения за скобки: (x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3xy(x + y + z) + 3yz(x + y + z) + 3xz(x + y + z) - 3xyz =
= x³ + y³ + z³ + 3(x + y + z)(xy + yz + xz) - 3xyz.
С учётом подстановок получаем: u³ = 1 + 3uv - 3w
После определения u, v и w удобно рассмотреть кубическое уравнение: t³ - ut² + vt - w = 0. Его корнями будут x, y, z, взятые во всевозможных перестановках.
Cox sagol
Так как система симметрическая то, наверное, достаточно найти только одно решение, а два остальных следует автоматически?
Можно вообще не решать, а доказать, что нет решений, кроме тривиальных.Легко показать, что если три числа из системы ненулевые, то два из них положительные, а третье отрицательное. Теперь вычтем из третьего уравнения второе и придём к противоречию с условием.
И где Вы находите?! Красиво!
Неправильная задача. Если неизвестные числа обозначаются разными буквами, то подразумевается, что эти числа - разные. По-другому быть не должно. Если х=0 и у=0, то это либо х, либо у, а не так, что и х и у. Нельзя такие задачи придумывать.
Если предполагать, что х может равняться у или z и так далее, то можно далеко зайти. Либо такие подлянки (самое мягкое слово выбрал) надо заранее обговаривать, либо не выставлять такие задачи.
Это, случайно, не задачи из старых журналов "Квант"?)
Помню, там были похожие задачи с системами
Такого типа системы предлагались абитуриентам на вступительных экзаменах в вузы до того, как придумали ЕГЭ.
@@ValeryVolkov хах) Я поступал в универ именно в тот год, когда ввели ЗНО)) Если бы я поступил годом раньше и мне дали бы такую задачу, то хрен бы я ее решил)
@@ValeryVolkov Хватит сказки рассказывать. Когда я поступал, вступительные задания по математике на матфак были примерно такие же, какие сегодня на ЕГЭ, без экономических задачек разве что и не припомню чтобы была стереометрия.
@@nikitakipriyanov7260 была стереометрия. В КГУ поступала в 1972. Экономических и на теорию чисел не было. Параметры тоже были.
Спасибо. Решил примерно так же, но ваши подстановки сокращают вычисления. А это много - меньше шансов описаться.
Тут удалось сыграть на том,что w оказалось равно 0.
Если нет,то пришлось бы решать кубичное уравнение.
Сомневаюсь,что его в общем виде удалось бы решить.
Для алгебраических уравнений до четвёртой степени включительно есть методы решения в общем виде.
Я одно не понял. Почему переменные x, y, z могут быть одинаковыми?
В других видео вы говорите, что раз переменные разные, то и их значения разные. Почему здесь не так?
Чем дальше от школьных извращений, тем меньше понимаю зачем. Теорема о симметрических многочленах
Почему у разных переменных х у z есть одинаковые значения в тройке ответов???
Bravo!
Бомба, а не система.
То чувство, когда решил систему в уме, а не вот это вот всё 🤣
Одно дело подобрать решение в уме, другое - доказать, что других решений нет (иррациональных, например). Сможете в уме? Я - нет.
@@user-wf3zv7ds3b я примерно это же проделал в уме а заодно представил себе пересечение плоскости (первое уравнение) сферы (второе) и "угловатой поверхностий" третье.
@@barackobama2910 Кстати, да, я про плоскость и сферу не подумал.
Валерий, здравствуйте! Прошу вашей помощи с решением системы из двух уравнений 1-e: y * (x^3 - y^3) = 7, 2-e: y * (x^2 + y^2) = 5. Одно решение очевидно - (2,1) , поэтому срабатывает подстановка x = y+1. Но решить ее в общем виде никак не получается, посему обращаюсь к Вам. С уважением!
Спасибо за разбор. Но здесь можно оттолкнуться от логических рассуждений. А именно :
1. Сумма любых иррациональных чисел будет недробной тогда и только тогда, когда они равны 0 или 1 по модулю. Почему иррациональных потому что можно представить данную систему, как иррациональную, подставив вместо кубов переменные.
2. Получается 2 варианта: 1+0+0 в разных перестановках, или 1-1+1 в разных перестановках. Второй вариант не подходит, так как при квадратах теряются минуса.
3. Остаётся только вариант первый, значит ответ : (1;0;0), (0;1;0) и (0;0;1)
> 1. Сумма любых иррациональных чисел будет недробной тогда и только тогда, когда они равны 0 или 1 по модулю.
Это неверно. Например, sqrt(2) - иррациональное, по модулю больше 1, 1-sqrt(2) - иррациональное, по модулю меньше 1. Их сумма sqrt(2) + (1-sqrt(2)) = 1 - целое. Если хотите три положительных числа - легко, например, sqrt(2)/4 ≈ 0.354, sqrt(2)/3 ≈ 0.471 и 1- 7*sqrt(2)/12 ≈ 0.175 в сумме равны 1.
А следовательно, и остальные ваши рассуждения также неверны. Вы угадали некоторые корни, но не доказали, что других нет.
@@nikitakipriyanov7260 вы взяли за основу доказательства вашей правоты квадратный корень. Я же имел ввиду и квадратный и кубический. Чтобы проще было понять. Возьмите за переменную x^3=a. Будет ясно, что и первая строка системы и вторая будут иррациональными корнями с целым числом в сумме. Потому так скажу, что здесь интуитивно корни видны и понятны. Если бы была система построена иначе, как-то сложнее, то согласился бы. Но не в данном случае. Здесь же всё очевидно, и усложнять решение нет необходимости.
@@nikitakipriyanov7260 и насчёт вашего примера... Вы же видите глазами, что х, у, z принадлежат промежутку [0;1]. Это очевидно по второй строке системы. Но вы не найдёте ни одной пары и уж тем более тройки иррациональных подкоренных чисел, дающих в сумме 1. Это ясно так же как и нельзя делить на 0.
@@Postoronnim-VV "Интуитивно", "это очевидно", "это так же ясно, как" и тому подобное - это очень здорово, возможно, действительно очевидно и ясно, но увы, за доказательство это не сойдёт, и ни на какой олимпиаде, ни тем более на ЕГЭ вы баллов за это не получите, а статью в научный журнал с подобными свидетельствами вам рецензенты просто вернут с предложением доработать. К тому же, вы даже этого в исходном тексте не написали, а написали только одно явно неверное "очевидное" утверждение.
А всё просто. Надо доказывать. Точка.
Добавлю. Интуиция имеет право основываться на неверном утверждении. Мышление - не математика, ассоциативные ряды неверность утверждения не ломает (а иногда, наоборот, даже стимулирует). В данном случае действительно неверное утверждение помогает быстро угадать ответ, я вполне допускаю, так с вами и было. Надо понимать, что это случайность, так бывает далеко не всегда. Важно, что каким бы способом вы сами ни пришли к ответу, когда вы будете показывать решение другим, это уже математика и решение уже нужно будет обосновывать строго.
> Но вы не найдёте ни одной пары и уж тем более тройки иррациональных подкоренных чисел, дающих в сумме 1.
Совершенно не понимаю, что вы имеете ввиду. Вам привели примеры, когда два или три иррациональных числа в сумме дают рациональные. Или вам необходимо, чтобы они все были на интервале от 0 до 1? Такие примеры тоже нетрудно найти.
> Я же имел ввиду и квадратный и кубический.
Я правильно понял, вы утверждаете, что сумма иррациональных чисел, сумма их квадратов и кубов не может быть целым числом одновременно?
Вот вам система:
x+y+z=1
x²+y²+z²=5
x³+y³+z³=4
Все три числа x, y, z более чем иррациональные. И их сумма, сумма квадратов и сумма кубов более чем целые. Скажу больше - сумма этих чисел, возведённых в любую целую степень, будет целым.
Может я недостаточно хорошо понял вашу мысль. Но если это так, то это только потому, что вы недостаточно хорошо пытались её донести.
так и решила
(1, 0, 0) и др. подобные тройки.
РЕШИЛ БЫСТРО. ПЛАСТИКОВЫЕ ТАПОЧКИ ДЛЯ ДУША СТОЯТ СТО РУБЛЕЙ И НОСЯТСЯ МНОГО ЛЕТ. СКОЛЬКО КУПИШЬ ТАПОЧЕК ИСЛИ ПРОДАШЬ ПАРУ ЛЕТНЕЙ ДОРОГУЩЕЙ ОБУВИ.
Что считать дорогой обувью.
200, 500 или 1500 дол.?
Как это решение совместить с молотком и напильником?
Хорошее решение.Но...
Меня заинтересовало,может ли эта система иметь комплексные корни.
И я обозначил y и z через комплексно сопряжённые a+bi и a-bi.
В этом случае сумма этих чисел,сумма квадратов и сумма кубов будет действительным числом.
Дальше для a получилось 3 корня.
a=0,a=1/2 и a=0.6
К сожалению,последние два значения не подходят.
Ну,а дальше получается b=0 и x=1.
Ну и в силу симметрии 3 решения.
С одного взгляда видно корни:
1, 0, 0
0, 1, 0
0, 0, 1
Слишком длинное решение. Не проще ли было показать, что кроме корней, один из которых равен 1, а остальные - нули, решений нет?
ну покажи
0:47 - 1:05
@@TheMopsR На множині дійсних чисел цю задачу розв'язують усно, навіть без першого рівняння. З другого рівняння випливає, що у ньому всі доданки зліва не перевищують 1. Але тоді доданки третього рівняння не більші відповідних доданків другого. Але їх сума також 1, то вони рівні відповідним доданкам другого рівняння, що можливо лише за умови, що вони дорівнюють або 1, або 0. Зрозуміло що 1 має бути один раз, а 0 - двічі. Перше рівняння такий набір також задовольняє.
Na doroqe smotrel vashi zadaci doskanalno ne bilo vremeni xoroshie zadaci odnu otpravlyu ya
Плохая задача, противоречит элементарной логике, воспитывает идиотов.
А что с решением, в котором х=-a, y=a, z=1?
А что за QR код?
Это ссылка на Donationalerts для желающих поддержать канал.
Вот мне одному что ли понятно из системы сразу без решения ее что х равен 1, либо у равен 1 , либо z равен 1 , соответственно другие переменные по нулям ? Зачем решать то , что сразу видно????
Зачем нужен qr код?
Это ссылка на Donationalerts для желающих поддержать канал.
Система не имеет границ. Даже хаотичная постановка степеней не повлияет на результат)
Ребята, привет! На моем канале видео для вас 😀 советы первокурсникам!)
Интересно, а можно ли это как то графически решить?
Можно, но не все понимают что такое x^3 + y^3 + z^3 = 1
Изначально понятно что одна из переменных равна 1,остальные -0.Без вариантов.За доказательство "пять"
161//24.08.2020. Дела-а-а...
Тот момент когда решение нашел решение быстрее автора, потому что чисто догадаться можно что одно число 1 равно а два других 0
Здорово, а ещё вам нужно быстрее автора доказать, что других решений не может быть.
@@nikitakipriyanov7260 их не может быть по причине того что все переменные возрастают по степени, соответственно здесь может быть только одно решение
Дубльву
Eşli ishetsa celie reshenie eto ort vektori v prostranstve (1;0;0)(0;1;0)(0;0;1
1;0;0. Это же и так ясно. И зачем такое сложное решение? Одна фраза в начале ролика была правильной, а все остальное - трата времени.
Я один называю “W” дабл-ю?
А как Вы сами думаете?
В математике используют латинский алфавит, согласно которому буква W произносится как дубль-вэ.
@@ValeryVolkov Самое смешное, что прочтение "u" как "у" или "a" как "а", "b" как "бэ", "c" как "цэ" и т.д., вопросов не вызывает, а вот на "w" регулярно просыпаются "англоговорящие" :)
@@ValeryVolkov Валерий! Кстати, к Вам такой вопрос! Почему, когда речь идёт о новых переменных в уравнениях, чаще вводят буквы z, t, u, v, w. Ведь есть куда проще - а, в, с, d! А вероятность этих букв ничтожно мала)) 😆 за свою жизнь ни разу не услышал «введём новую переменную а» 😆
@@user-gx2fg2ll1j это точно, особенно «интересны» варианты таких букв как q, j))) 😆
До этих подстановок не додумался, но сразу увидел (1; 1; 1)
Ыыы, можно было просто угадать, одна переменная единичка, две другие 0... Ну и да, совместная система 3ей степени, 3 решения.
Спасибо!