Достаточно просто возвести обе части в степень √2. Слева получим 9, справа 2 в степени √6. Очевидно, что 9 больше. Так как число √6 меньше даже 3, а двойка и в кубе дает только 8, а двойка в нашей степени √6 будет даже меньше 8.
20 лет, как окончил школу. Помню, как решал задачу какую-то по геометрии у доски. Решил, оочень оригинально. В несколько действий, вместо одного. Запомнил фразу педагога: " Из Питера в Москву через Анадырь, Сыктывкар и деревню Кошмаровку" 😆 😆
Вот именно, что задача простая. Не нужно мудрить. Изящное решение с возведением в степень корень из двух. Менее изящное с примерным подсчётом. Корень из 2 примерно равен 1,4, корень из 3 - 1,7. Возведем в 10 степень обе части. Получаем 3 в степени 14 и 2 в степени 17. 2 в степени 17 = 128 * 1024 - примерно равно 130 тысяч. 3 в степени 14 - это 9 в степени 7. Это значение меньше 10 млн (10 в степени 7), но больше 2 млн (8 в степени 7 или 2 в степени 21 = 2 * 1024 * 1024). Полученные значения отличаются более чем в 10 раз, значит погрешность округление степени до 1 знака после запятой, на результат влиять не может. Потому что даже если мы округлим вверх корень из 3 до 1,8 получится примерно 265 тысяч, что всё ещё в 10 раз меньше левой части. А у автора как обычно монументально, но долго. И, соответственно, не применимо в реальной жизни.
Разделила обе части на 2^sqrt(2), слева получится 1,5 в степени больше 1, а справа 2 в степени меньше, чем 0,5. Первое число заведомо больше 1,5, второе заведомо меньше (корень из двух меньше 1,5).
@@vaskov1270, почему нельзя? Насколько я помню, a^c * b^c = (a * b)^c, по крайней мере для целых c точно. Я на память не помню, но вроде бы это свойство сохраняется и для вещественных показателей.
@bumboni мы знаем, что на данном промежутке любая показательная функция монотонно возрастает. Мы знаем, что функция с большим основанием на этом промежутке возрастает быстрее. У нас больше и основание и показатель, так что это математически корректно, просто, возможно, требует дополнительных пояснений.
Может быть для общности следует исследовать две функции: y=x^sqrt(x-1) и y=(x-1)^sqrt(x) )? В данном конкретном примере не следует проводить такие громоздкие исследования, а воспользоваться свойствами степеней. Представьте, что это задание выполняет учащийся обыкновенной школы...
Валера! Перемудрил! Олимпиадную, но всё-таки довольно простую задачу для восьмого класса неуместно решаешь ``инструментами`` десятого класса. Для решения достаточно было возвести левую и правую часть в степень √6. В результате потребуется сравнить 9^√3 и 8^√2. Сравниваем основания -- слева больше! Сравниваем степени -- опять слева больше. Для чисел больше +1 --- бОльшее число в бОльшей степени всегда больше мЕньшего числа в мЕньшей степени. Следовательно, ставим знак БОЛЬШЕ! ВОТ И ВСЁ!!! ;-). (Кто из восьмиклассников знает логарифмы?!?!?!)
Задача решается намного проще. Представим наши числа в виде: (3^2)^(1:(2^0.5) ) и (2^3)^(1:(3^0.5)) или a^b и c^d Теперь сравниваем a и c и отдельно b и d Очевидно . что а больше с и b больше d . Поэтому a^b больше c^d.
Ответ очевиден, но метода анализа толкова! Всем комментаторам : Принцип жизни - любите не только красивых и умных женщин, музыку, поэзию, прозу, цветы, хорошую пищу, но в первую очередь ---- А Н А Л И З !!!! Спасибо
Как говорится каждый прав в своем роде.Но,я согласен с некоторыми,которые обратили внимание на саму методику решения подобных задач! Сравнительный анализ мощная штучка! Будьте здоровы!
Возведем обе части в степень √2. Тогда слева получим 3 в степени 2, что дает 9. Справа получим 2 в степени √6. Разложим левую часть на множители 2×4,5. Поделим обе части на 2. Получим 4,5 v 1 в степени √6. Но 1 в любой степени равно 1. А следовательно 4,5 > 1 и 3 в степени √2 больше 2 в степени √3
через тетрацию (возведение степени в степень) просто решается (она уже есть в условии, степень корень из двух это тетрация 2 в степени 1/2, а корень из трех это тетрация 3 в степени 1/2), тогда тетрируем оба числа в 2 и получаем 3 в квадрате и 2 в кубе, 9>8.
Не лучше ли применить мажорирование: log2(3)>3/2 т.к.3>2**(3/2)=2✓2. А 3/2>✓(3/2)т.к.1.5>1. Непонятно, какие образовательные цели ставит автор. Если научить исследовать функции, то пример должен исключать простое решение выше.
Да, можно было проще с данными конкретными числами, но рассуждение автора пригодится для общего случая. Особенно понравился формат видео. Что это за прога, с помощью которой можно такое представление делать?
Валерий, благодарим Вас за отличные объяснения и просим: пожалуйста, научите нас решать задачи на состаавление квадратного уравнения (для восьмого класса. Про бассейны или про сравнение скоростей)
Извлечём квадратный корень из обеих частей. Получаем sqrt(3)^sqrt(2) V sqrt(2)^sqrt(3). Получим сравнение вида a^b V b^a. Для решения возведём обе части в степень 1/(ab). Получим два значения функции x^(1/x). Эта функция имеет один максимум в точке e: при xe она убывает. Поскольку и sqrt(2), и sqrt(3) меньше e, то левая часть больше. В принципе, можно почти все эти примеры привести к этой функции и любой такой пример решить в уме, главное привести всё к виду x^(1/x), и посмотреть, с какой стороны мы от e.
возводим оба выражения в степень корень(6), слева 9 в степени корень(3), справа 8 в степени корень(2), слева очевидно больше, так как там и показатель и основание степени больше
На заметку молодой хозяйке: шуруп вбитый в стену молотком держится лучше, чем гвоздь, закрученный в ту же стену отвёрткой. Предлагать возвести обе части в степень не буду.
Было предложено с той же идеей -без ошибки (попадание в 9 и 4 ): Mikhail Tatmyshevskiy 11 месяцев назад Заменяем левую сторону меньшим числом 3^1,4, а правую большим числом 2^1,8. Возводим обе стороны в 5 степень - получаем 3^7 и 2^9. Первое из этих слагаемых, очевидно, больше, т.к. 3^7 > 3^6 = 9^3 > 8^3 =2^9
@@Ymro "( 3^(2^(1/2)) )^6 не равно 3^((1/2)*6) " А и не должно быть равно. Главное знак сравнения не меняется. Хотя конечно это не очевидно, но что-то мне подсказывает. Кроме того делать 3^0.5^6 нельзя так как функция начинает убывать из-за старшего показателя степени. Он меньше 1.
А можно Вам задачку (с районной олимп прошлого века) Не решил, но до сих пор интересно: определить веса разновесов, чтоб взвесить товары от 1 до 40 кг. Каково мин число их должно быть? спасибо
А если обе части возвести в корень из трёх, то с одной стороны 8 то есть 3 в квадрате -1 , а в другой три в степени (произведение коня из двух на произведение корня из трёх, что явно больше двух. ) Получается, что правая часть больше левой даже по двум причинам :)
Я может быть.тупой вопрос задаю, но нельзя было 3∧√2 типо стрелочка вверх 2∧√3 просто возвести их степени в 2 степень? типо получилось бы: 3∧√2∧2 и 2∧√3∧2 , далее 3∧2 и 2∧3, ну а тут все элементарно.
Нет. У тебя не отдельные корни в квадрат возносятся, а выражения целиком: (3∧√2)∧2 и (2∧√3)∧2, т.е 9∧√2 и 4∧√3, что бесполезно... Проще уже в степень √2
@@Kurama.00 , я не про 2∧√3 3∧√2 возводить в 2 степень, а степень этих чисел возводить в степень, я не знаю как корректно это записать, у меня нет такого знака на телефоне, но это по типу 3∧√2∧2, то есть я степень возвожу в степень, это можно делать, но я хз на сколько это корректно в этом моменте и почему так не сделали.
@@Kurama.00 , я не вел речь о выражении по типу: （3∧√2）∧2 Я вел речь о выражении, по типу : 3∧√2∧2 , то есть степень 3 в степени корня из 2 , который находиться во 2 степени.
По своему опыту имею, что возведя обе части в некоторую степень, решение можно не только потерять, но и усложнить. 3^(2^(1/2))____2^(3^(1/2)) 2^(1/2)*log(2, 3)____3^(1/2) 2*log(2, 3)____6^(1/2) log(2, 9)____6^(1/2) И получаем 6^(1/2) < 3 < log(2, 9)
Добрый день. А возможен такой способ: логарифмируем оба выражения ( натуральный логарифм), затем ещё раз,т.е. ln(√2ln3) и ln(√3ln2),преобразовываем, получаем 1/2(ln2+2ln3)= 0,5 ln18; 1/2(ln3+2ln2)=0,5ln12. Очевидно первое выражение больше второго, следовательно 3^√2 больше.
Я решал более "прямым" способом. Воспользуемся тем, что 1,4 < sqrt(2) < 1,5 и 1,7 < sqrt(3) < 1,8 (если нам это не дано, это можно доказать). Если мы хотим доказать, что 3^sqrt(2) > 2^sqrt(3), то левое число нужно заменить его нижней оценкой, а правое - верхней. Тогда нужно доказать неравенство 3^1,4 > 2^1,8 Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные: 3^(7/5) > 2^(9/5) Возведём в 5-ю степень 3^7 > 2^9 Тут уже можно аккуратно посчитать и показать, что левое число действительно больше, но можно продолжить. Заменим левую часть меньшим числом 3^6. Если получится верное неравенство, то предыдущее тем более было верно: 3^6 > 2^9 Извлечём корень 3-й степени: 3^2 > 2^3 9 > 8 Получили верное неравенство. Можно доказать и в обратном порядке: Запишем очевидное неравенство: 9 > 8 3^2 > 2^3 Возведём в 3-ю степень: 3^6 > 2^9 Если мы левую часть, которая больше, заменим на ещё большее число, то неравенство тем более останется верным: 3^7 > 2^9 Возведём в степень 1/5: 3^(7/5) > 2^(9/5) 3^1,4 > 2^1,8 Поскольку 1,4 < sqrt(2), а 1,8 > sqrt(3), то если мы увеличим левую часть и уменьшим правую, то неравенство останется верным: 3^sqrt(2) > 2^sqrt(3) Получили то, что хотели доказать.
что больше: корень квадратный из двух или корень кубический из трёх? (в общем случае ситуация когда показатель корня равен подкоренному выражению; легко оценить когда 3 и больше; а вот когда одно число меньше е а другое больше е - непонятно, как сравнивать)
Вы серьезно? Такие сложные вычисления с производными и логарифмами, оно конечно правильно, но зачем? Мы можем оценить корень из двух с точностью до десятых, простым извлечением корня из 200, что меньше 14, но больше 15. Тоесть по сути нужно как минимум узнать, когда 3^х становится больше 4, спойлер чуть больше, чем при 1.25. Правда когда я это в уме делал я оценивал верхнюю границу, и там совсем просто 3^1.5=^(3/2) это корень из 27, что уже больше чем 5, и только когда я начал писать я понял чтотответ надо подбивать правильно. И кстати я нашел вариант проще, так как нам достаточно, чтобы 3^1.4 было больше 4, а 3^1.4= 3×3^2/5, то по сути нам достаточно чтобы 3×3^2/5 было больше 4, а значит нужно чтобы 9^1/5 было больше 1.(3), или 1.(3)^5 было меньше 9, естественно что 1.(3) возводить в степень не удобно, но можно взять приближенное, которое удобно возводить и которое больше заданного. Опять же самое удобное это 1.5=3/2. 3^5/2^5= 243/32 , да можно и не считать 243 меньше чем 320-32, а так как мы сравниваем с 9, то этого достаточно, чтобы сказать, что 1.5^5 меньше 9, так что 1.(3) ^5 тем более меньше 9, значит 1.(3) меньше 9^1/5, следовательно 4 меньше, чем 3*3^2/5= 3^1.4. Короче даже грубая оценка 3^корень из 2 больше 4
Куда проще. Извлекает квадратные корни из обоих частей. Получим сравнение а^в и в^а где аэто корень из 3 в это корень из 2. Поскольку и в меньше е, а^в>в^а. Левая часть больше. Вот и всё
а у меня вопрос,можно 3 замениь 9 ,а 2 _4ой,как бы 9 в степени корень 4 и 4 в степени корень 9,это не замена,но схитрить.вроде получается,что левая часть больше
Меня в школе учили употреблять знаки ? и ¿ : a ? b эквивалентно b ¿ a 3^sqrt(2) ? 2^sqrt(3) Осталось формально записать решение от Alexei P. Возводим в степень sqrt(2)>1 3^2 ? 2^sqrt(6) 9 > 8 = 2^3 = 2^sqrt(9) > 2^sqrt(6), потому что 2>1 и 9>6. Всё.
Автор перемудрил на ровном месте. Классный вариант предложен в комментариях. Возведите в степень 6 обе части. И сравните два целых числа 4 и 9. Ежу понятно что больше
Valery Volkov, похоже у вас есть ошибка в решении. Сначала вы нашли, что f'(1)>0, а дальше f'(2)=0 Значит функция не возрастает монотонно и есть еще экстремум до 3, раз в 1 >0, а в 2 =0, а в 3 снова >0
Здравствуйте. Есть ли для таких номеров общее решение параметрического вида? Например, (чисто условно говоря), если y > x в (?) раз, но не более чем в (?) раз, то y^x > x^y
Общее решение есть, вывод из которого следующий: если оба числа (x,y) находятся "по одну сторону" от экспоненты {т.е. (x,y) >=e или (x,y) 4^3 (4 "дальше" от экспоненты, чем 3) Б) 2.5^2>2^2.5 (2 "дальше от экспоненты, чем 2.5) ** Экспонента в степени любого числа (не равного себе самой) *ВСЕГДА* больше, чем это число в степени экспоненты *** Если числа находятся "по разные стороны" от экспоненты, то там *сложнее:* в некотором смысле там тоже работает вышеуказанное условие, но "дальность" уже не арифметическая (т.е. не просто разность между числами и экспонентой), кроме того, возможно равенство при "равноудалённости" от экспоненты: примеры: А) 2^4=4^2 (2 и 4 "равноудалены от экспоненты); Поскольку 4 "равноудалено" с числом 2 от экспоненты, то мы можем проверить вышесказанное, взяв число 3 ("ближе" к экспоненте, чем 4, а значит и "ближе", чем 2) Б) 2^35^2 (5 "дальше" от экспоненты, чем 2)
@@rodriguez4809: Вы можете пойти дальше и *ДОКАЗАТЬ* вышеописанное! a^b V b^a, a>1 и b>1 => a^b>1 и b^a>1 => если взять корень (любой степени) от a^b и b^a, неравенство не изменится. Возьмём корень степени (a*b), т.е. возведём в степень 1/(a*b) обе стороны, тогда: (a^b)^(1/(a*b)) V (b^a)^(1/(a*b)) a^(b/(a*b)) V b^(a/(a*b) a^(1/a) V b^(1/b) *ТО ЕСТЬ* нам надо посмотреть, *КАК* изменяется функция x^(1/x) при её увеличении или уменьшении !!! Возьмите производную от x^(1/x), найдите экстремумы функции и посмотрите, на каких участках она повышается и понижается. Расскажите, что получилось :)
ещё один вариант: по оценке 3^(14/10) > 2^(18/10), так как 3^7 > 2^9. Отсюда по цепочке 3 в степени корень из 2 > 3^(14/10) > 2^(18/10) > 2 в степени корень из 3 Авторское решение красивое, но слишком сложное. Производная здесь не обязательна
Я кнш не про в математике, но ответ очевиден. Представим что нужно сравнить 3^2 и 2^3, значит и. Ну и очевидно 3^2>2^3, 3^(√2)>2^(√3), так как мы работаем с маленькими числам, то и погрешность вычислений будет минимальна и не столь критична в данном случае. Можете кнш осудить меня, ну я понимаю насколько мой ответ является глупым)
Сложное о простом: возвели в корень из двух получили: 9 и 2 в степени корень из 6, кторый не более 2 в степени 2,5. Теперь даже если вместо 9 взять 2 в степени 3 и возвести в степень 10 обе части, то получим 2 в степени 30 и 2 в степени 25. Ежу понятно: первое число больше второго. Зачем все так усложнять? Устная задачка.
Можно было бы "продолжить" ; автор сего комментария уже сделал это (путём проверки на маленькой счётной машинке(коль "цепь доказательств" "для случая , приведенного в данном видеоролике позади"?) ; вот что интересное получилось у автора сего комментария : 4^√3>3^√4(11.035...>9 ("что тут думать"?) ; 5^√4>4√5 (25>22.294...(опять-таки "что-тут думать"?) ; тогда..."чуточку пропустим" до тех пор , покуда "неравенство"> будет с последующими разами сокращаться , а затем даже поменяется на "неравенство"< : 8^√7
Премного благодарен за ответ. Кстати, мною ("не математиком" вовсе) ранее выпустились два видеоролика , касающиеся "в какой-то мере вот этих самых тем" : Характерные особенности функции у=х^(х-1)/(х-1)^х ("Америку я не открыл" ; просто заметил : 3 в степени 2.29/2.29 в степени 3.29 примерно равно единице (1.001...); Максимальное значение функции y=x в степени 1/х (при х=e)--- (получилось максимальное значение 1.444...)... Второй из двух вышеупомянутых более существенный , как мною понято(?) ; просмотров тот и другой почти не имеет (математики же могут выпустить "получше моих"?)...
Если честно, не очень разбираюсь в логарифмах, так что вот мой способ: Возводим обе части в квадрат, получаем 3^2 v 2^3, то-есть 9 v 8 => 3^(2^0.5) > 2^(3^0.5)
Достаточно просто возвести обе части в степень √2.
Слева получим 9, справа 2 в степени √6.
Очевидно, что 9 больше. Так как число √6 меньше даже 3, а двойка и в кубе дает только 8, а двойка в нашей степени √6 будет даже меньше 8.
Самое разумное и простое
возводить в иррациональную степень нас не учили
Стоит для начала доказать, что мы можем возводить в иррациональную степень
@@alesharofl371 где иррациональность? 2в степени 1,4?
Вернее 3 в степени 1,4
Это задача не на результат, а на ход мысли, на исследование функции. Мне нравится.
20 лет, как окончил школу. Помню, как решал задачу какую-то по геометрии у доски. Решил, оочень оригинально. В несколько действий, вместо одного. Запомнил фразу педагога: " Из Питера в Москву через Анадырь, Сыктывкар и деревню Кошмаровку" 😆 😆
Показан универсальный способ решения подобных задач, не всегда таких простых, Лайк
Вот именно, что задача простая. Не нужно мудрить.
Изящное решение с возведением в степень корень из двух.
Менее изящное с примерным подсчётом. Корень из 2 примерно равен 1,4, корень из 3 - 1,7. Возведем в 10 степень обе части. Получаем 3 в степени 14 и 2 в степени 17. 2 в степени 17 = 128 * 1024 - примерно равно 130 тысяч. 3 в степени 14 - это 9 в степени 7. Это значение меньше 10 млн (10 в степени 7), но больше 2 млн (8 в степени 7 или 2 в степени 21 = 2 * 1024 * 1024). Полученные значения отличаются более чем в 10 раз, значит погрешность округление степени до 1 знака после запятой, на результат влиять не может.
Потому что даже если мы округлим вверх корень из 3 до 1,8 получится примерно 265 тысяч, что всё ещё в 10 раз меньше левой части.
А у автора как обычно монументально, но долго. И, соответственно, не применимо в реальной жизни.
люблю, когда из пушки по воробьям. чувствуется мощь науки
😅
Пример того, как можно перемудрить на пустом месте.
Абсолютно
Я тоже думаю что из мухи 🐘 сделали
Да это точно . Мне кажется решение намного проще. Ненадо никаких производных. Особенно для тех, кто этого не знает.
Согласен
@@ivansakovich7653 з
«Мы выяснили, то нам нужно. В принципе этого достаточно» - Валерий Волков
Спасибо!!! Приятно узнать новые приемы при решении таких задач!
Вы указали на универсальный метод решения подобных задач. Спасибо за подробный разбор.
Как обычно, пержде чем смотреть разбор я не буду ставить на паузу и пробовать решить самостоятельно))
Показан замечательный метод, как придумать нужную функцию, исследовать на критические точки, очень красиво! А пример показан простой специально.
Автор не усложнил ,просто числа легкие ,теперь попробуйте сравнить пи^е и е^пи .На что домножать не ясно ,а способом автора это сделать очень легко.
Как понимать выражение: число в степени ПИ=3,14.....?
@@aleksandrpanteleiev4256 точно также как в степени корень из 2, оба числа иррациональны
Легко... Правильнее сказать "возможно"
Е в степени Пи больше.
e^π>π^e.
e^x≥x^e
Разделила обе части на 2^sqrt(2), слева получится 1,5 в степени больше 1, а справа 2 в степени меньше, чем 0,5. Первое число заведомо больше 1,5, второе заведомо меньше (корень из двух меньше 1,5).
Нельзя сокращать при делении если основания разные
@@vaskov1270, почему нельзя? Насколько я помню, a^c * b^c = (a * b)^c, по крайней мере для целых c точно. Я на память не помню, но вроде бы это свойство сохраняется и для вещественных показателей.
Очень доступно объяснено. Давно не решала задачи такого типа. Приятно было вспомнить. Српсибо
Возведем обе части в степень корень из 3. Тогда нужно сравнить 3^(V6) и 8. Так как V6>V4=2, то 3^(V6)>3^2=9>8, то есть 3^(V2)>2^(V3).
А если обе части возвести в квадрат,ведь обе части полажительные?
ностальгия....
когда-то это для меня было как песня, как стих, как музыка
ушел в химию, педагогику, рекламу.
жаль
А не проще всё возвести в степень √6? Получилось бы 9^√3 и 8^√2. Первое, очевидно, больше.
@bumboni является, если мы докажем, что функция f(x) =x^√6 монотонно возрастает, что довольно просто
@bumboni тогда большему значению аргумента соответствует большее значение функции
@bumboni мы знаем, что на данном промежутке любая показательная функция монотонно возрастает. Мы знаем, что функция с большим основанием на этом промежутке возрастает быстрее. У нас больше и основание и показатель, так что это математически корректно, просто, возможно, требует дополнительных пояснений.
ばにゃチャネル Является
Очень хорошо, это самое короткое доказательство, т.к. х в степени 1/6 (как и в любой положительной степени) монотонно возрастающая функция при х>0.
Может быть для общности следует исследовать две функции: y=x^sqrt(x-1) и y=(x-1)^sqrt(x) )? В данном конкретном примере не следует проводить такие громоздкие исследования, а воспользоваться свойствами степеней. Представьте, что это задание выполняет учащийся обыкновенной школы...
Валера! Перемудрил! Олимпиадную, но всё-таки довольно простую задачу для восьмого класса неуместно решаешь ``инструментами`` десятого класса. Для решения достаточно было возвести левую и правую часть в степень √6. В результате потребуется сравнить 9^√3 и 8^√2. Сравниваем основания -- слева больше! Сравниваем степени -- опять слева больше. Для чисел больше +1 --- бОльшее число в бОльшей степени всегда больше мЕньшего числа в мЕньшей степени. Следовательно, ставим знак БОЛЬШЕ! ВОТ И ВСЁ!!! ;-). (Кто из восьмиклассников знает логарифмы?!?!?!)
Задача решается намного проще. Представим наши числа в виде: (3^2)^(1:(2^0.5) ) и (2^3)^(1:(3^0.5)) или a^b и c^d
Теперь сравниваем a и c и отдельно b и d
Очевидно . что а больше с и b больше d . Поэтому a^b больше c^d.
Ответ очевиден, но метода анализа толкова! Всем комментаторам : Принцип жизни - любите не только красивых и умных женщин, музыку, поэзию, прозу, цветы, хорошую пищу, но в первую очередь ---- А Н А Л И З !!!! Спасибо
Как говорится каждый прав в своем роде.Но,я согласен с некоторыми,которые обратили внимание на саму методику решения подобных задач! Сравнительный анализ мощная штучка! Будьте здоровы!
Es una belleza de demostración ... Y Nuevamente entendí todo.👍
Нужно обе части возвести в степень корень из двух. После чего всё становится очевидным: левое число больше правого.
Ок, а что если 999^√1000 и 1000^√999.
Что больше? ;)
@@Максим-п9д3п калькулятор...
Круто. Вспомнил школьную алгебру. Понравился ваш формат видео.
Возведем обе части в степень √2.
Тогда слева получим 3 в степени 2, что дает 9.
Справа получим 2 в степени √6.
Разложим левую часть на множители 2×4,5.
Поделим обе части на 2.
Получим 4,5 v 1 в степени √6.
Но 1 в любой степени равно 1.
А следовательно 4,5 > 1 и 3 в степени √2 больше 2 в степени √3
В тот момент, когда Вы начали в производную подставлять точку 2, я забыл изначальную цель видео.
через тетрацию (возведение степени в степень) просто решается (она уже есть в условии, степень корень из двух это тетрация 2 в степени 1/2, а корень из трех это тетрация 3 в степени 1/2), тогда тетрируем оба числа в 2 и получаем 3 в квадрате и 2 в кубе, 9>8.
Не лучше ли применить мажорирование: log2(3)>3/2 т.к.3>2**(3/2)=2✓2. А 3/2>✓(3/2)т.к.1.5>1.
Непонятно, какие образовательные цели ставит автор. Если научить исследовать функции, то пример должен исключать простое решение выше.
Лучше было рассмотреть задачу: Что больше? e^pi V pi^e. С используемым аппаратом в данном видео. Хотя в интернете уже есть разборы такой проблемы.
Спасибо ! Решение понятно , сам бы не дошёл.
Делал так:
3^корень 2 = 3^(1/2)
2^корень 3 = 2^(1/3)
Получим:
3^(1/2) v 2^(1/3)
Возведем обе части в 6 степень:
3^(1/2 * 6) v 2^(1/3 * 6)
3^3 v 2^2
27 v 4
27 > 4
Ответ: 3^корень 2 > 2^корень 3
Да, можно было проще с данными конкретными числами, но рассуждение автора пригодится для общего случая. Особенно понравился формат видео. Что это за прога, с помощью которой можно такое представление делать?
Разрешите поинтересоваться: на чем Вы так красиво рисуете?
Этот ответ виден на вскидку, приблизительно, огород городить можно там , где действительно нужно.
Возведи в квадрат обе части, получи ответ.
Валерий, благодарим Вас за отличные объяснения и просим: пожалуйста, научите нас решать задачи на состаавление квадратного уравнения (для восьмого класса. Про бассейны или про сравнение скоростей)
Извлечём квадратный корень из обеих частей. Получаем sqrt(3)^sqrt(2) V sqrt(2)^sqrt(3). Получим сравнение вида a^b V b^a. Для решения возведём обе части в степень 1/(ab). Получим два значения функции x^(1/x). Эта функция имеет один максимум в точке e: при xe она убывает. Поскольку и sqrt(2), и sqrt(3) меньше e, то левая часть больше. В принципе, можно почти все эти примеры привести к этой функции и любой такой пример решить в уме, главное привести всё к виду x^(1/x), и посмотреть, с какой стороны мы от e.
возводим оба выражения в степень корень(6),
слева 9 в степени корень(3),
справа 8 в степени корень(2),
слева очевидно больше, так как там и показатель и основание степени больше
Интересно, я не побывал решить, но выглядит не стандартно
На заметку молодой хозяйке: шуруп вбитый в стену молотком держится лучше, чем гвоздь, закрученный в ту же стену отвёрткой.
Предлагать возвести обе части в степень не буду.
Или проще
9 v 2^√6 < 2^√9 = 8
9 > 8
не факт. факт- забить легче.
Возвести в 6 степень. Основания больше 1 следовательно знак сравнения не поменяется. Приходим к сравнению 3^3 V 2^2 > 9>4 3^(1/2) > 2^(1/3)
( 3^(2^(1/2)) )^6 не равно 3^((1/2)*6)
Было предложено с той же идеей -без ошибки (попадание в 9 и 4 ):
Mikhail Tatmyshevskiy
11 месяцев назад
Заменяем левую сторону меньшим числом 3^1,4, а правую большим числом 2^1,8. Возводим обе стороны в 5 степень - получаем 3^7 и 2^9. Первое из этих слагаемых, очевидно, больше, т.к. 3^7 > 3^6 = 9^3 > 8^3 =2^9
@@Ymro "( 3^(2^(1/2)) )^6 не равно 3^((1/2)*6) " А и не должно быть равно. Главное знак сравнения не меняется. Хотя конечно это не очевидно, но что-то мне подсказывает.
Кроме того делать 3^0.5^6 нельзя так как функция начинает убывать из-за старшего показателя степени. Он меньше 1.
@@БиоМех " что-то мне подсказывает" - но это не математическое обоснование.
Спасибо, интересно
Если возвести обе части неравенства в степень√2, то получим в левой части 9, а в правой2^√ 6. Т.к.√6 2^√ 6, а отсюда 3^√2> 2^√3.
да этот метод лучше
Наслаждаюсь Вашими разборами. Истинное удовольствие. Поступать (мне) никуда не надо, т.к. пенс...))
А можно Вам задачку (с районной олимп прошлого века) Не решил, но до сих пор интересно: определить веса разновесов, чтоб взвесить товары от 1 до 40 кг. Каково мин число их должно быть? спасибо
Вы иногда усложняете простые вещи.Возведите обе части в корень из двух(sqr2),а дальше все упрощается.
А если обе части возвести в корень из трёх, то с одной стороны 8 то есть 3 в квадрате -1 , а в другой три в степени (произведение коня из двух на произведение корня из трёх, что явно больше двух. ) Получается, что правая часть больше левой даже по двум причинам :)
В данной конкретной ситуации проще всего было в √2 возвести обе части и практически готовый ответ получить
Я конечно извиняюсь но более лёгкого способа нет?
Я посмотрел до конца и меня настигла мысль в процессе " мы вообще то решаем !
Более легкий способ умножить степени на корень из 2
Слева будет 9 а справа будет цифра 2 корень из 6 т.е n
Если кому интересно, то такое неравенство можно было решить за пару секунд: чьё основание ближе к e, то и больше(для неравенств вида а^b v b^a)
Очень интересный факт
Факт крутой, но можно было и другими лёгкими способами решить, автор зачем-то усложнил.
Только это надо еще доказать) Кстати, неплохая идея - рассмотреть общий случай, для любого основания.
@@vkarpinsky вроде на blackpenredpen доказывали именно это.
@@JackFastGame , автор делает достаточно подробные разборы, что делает низкий порог для просмотра его видео
Я может быть.тупой вопрос задаю, но нельзя было
3∧√2 типо стрелочка вверх 2∧√3 просто возвести их степени в 2 степень? типо получилось бы:
3∧√2∧2 и 2∧√3∧2 , далее
3∧2 и 2∧3, ну а тут все элементарно.
Нет. У тебя не отдельные корни в квадрат возносятся, а выражения целиком: (3∧√2)∧2 и (2∧√3)∧2, т.е 9∧√2 и 4∧√3, что бесполезно... Проще уже в степень √2
@@Kurama.00 , я не про 2∧√3 3∧√2 возводить в 2 степень, а степень этих чисел возводить в степень, я не знаю как корректно это записать, у меня нет такого знака на телефоне, но это по типу 3∧√2∧2, то есть я степень возвожу в степень, это можно делать, но я хз на сколько это корректно в этом моменте и почему так не сделали.
@@Kurama.00 , я не вел речь о выражении по типу:
（3∧√2）∧2
Я вел речь о выражении, по типу :
3∧√2∧2 , то есть степень 3 в степени корня из 2 , который находиться во 2 степени.
@@Kurama.00 , на калькуляторе это все работает, я хз почему это применить нельзя
Да, нас такому вообще не учили. Но как интересно!
По своему опыту имею, что возведя обе части в некоторую степень, решение можно не только потерять, но и усложнить.
3^(2^(1/2))____2^(3^(1/2))
2^(1/2)*log(2, 3)____3^(1/2)
2*log(2, 3)____6^(1/2)
log(2, 9)____6^(1/2)
И получаем
6^(1/2) < 3 < log(2, 9)
3^√2≠2^√3
представим, что 2^√32^√34. =>3^√2>2^√3
Добрый день.
А возможен такой способ:
логарифмируем оба выражения ( натуральный логарифм), затем ещё раз,т.е. ln(√2ln3) и ln(√3ln2),преобразовываем, получаем 1/2(ln2+2ln3)= 0,5 ln18; 1/2(ln3+2ln2)=0,5ln12.
Очевидно первое выражение больше второго, следовательно 3^√2 больше.
Есть один вопрос на оси вы написали 8 и 8/... . Если 8 разделить на что-то то как получим больше 8 ?
Всё очень сильно усложнил. Ожидал какой-то яркий финал, но автор ничем не удивил. Нужно показывать простые и быстрые решения. Вот это очень интересно.
Sergey Smirnov но в школе заставят решать так же как и он. Это вам не хухры мухры,надо нам мозги вынести
@@ЖасминЭкзамены У меня такое не решали. Решали только базовые задачи да и всё.
Let 3^root2=x*2^root3
if x
Я решал более "прямым" способом.
Воспользуемся тем, что 1,4 < sqrt(2) < 1,5 и 1,7 < sqrt(3) < 1,8 (если нам это не дано, это можно доказать).
Если мы хотим доказать, что 3^sqrt(2) > 2^sqrt(3), то левое число нужно заменить его нижней оценкой, а правое - верхней.
Тогда нужно доказать неравенство 3^1,4 > 2^1,8
Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:
3^(7/5) > 2^(9/5)
Возведём в 5-ю степень
3^7 > 2^9
Тут уже можно аккуратно посчитать и показать, что левое число действительно больше, но можно продолжить.
Заменим левую часть меньшим числом 3^6. Если получится верное неравенство, то предыдущее тем более было верно:
3^6 > 2^9
Извлечём корень 3-й степени:
3^2 > 2^3
9 > 8
Получили верное неравенство.
Можно доказать и в обратном порядке:
Запишем очевидное неравенство:
9 > 8
3^2 > 2^3
Возведём в 3-ю степень:
3^6 > 2^9
Если мы левую часть, которая больше, заменим на ещё большее число, то неравенство тем более останется верным:
3^7 > 2^9
Возведём в степень 1/5:
3^(7/5) > 2^(9/5)
3^1,4 > 2^1,8
Поскольку 1,4 < sqrt(2), а 1,8 > sqrt(3), то если мы увеличим левую часть и уменьшим правую, то неравенство останется верным:
3^sqrt(2) > 2^sqrt(3)
Получили то, что хотели доказать.
что больше: корень квадратный из двух или корень кубический из трёх? (в общем случае ситуация когда показатель корня равен подкоренному выражению; легко оценить когда 3 и больше; а вот когда одно число меньше е а другое больше е - непонятно, как сравнивать)
Поледний раз в 94 году сдавал это. Легче стало , понял что еще помню.Прям вскипел...:)
А где можно порешать такие задачи?
Я думаю, что достаточно сравнить [3^(2^0,5)]^(2^0,5)=3^2=9 и [2^(3^0,5)]^(2^0,5)=2^(6^0,5)8=>3^(2^0,5)>2^(3^0,5).
Да, но исследование функции так украсило задание...) Не хотела показаться эстетствующей особой, но, кажется, именно так и вышло...(
Хотелось бы простого объяснения 😫. Ожидание и реальность
Интересно также рассмотреть случай:
√3^√2 или √2^√3
хотя по сути тут то же самое)
да. обе части возводим в квадрат и приходим к уже рассмотренной задаче.
Очевидно, первое больше
Вы серьезно? Такие сложные вычисления с производными и логарифмами, оно конечно правильно, но зачем? Мы можем оценить корень из двух с точностью до десятых, простым извлечением корня из 200, что меньше 14, но больше 15. Тоесть по сути нужно как минимум узнать, когда 3^х становится больше 4, спойлер чуть больше, чем при 1.25.
Правда когда я это в уме делал я оценивал верхнюю границу, и там совсем просто 3^1.5=^(3/2) это корень из 27, что уже больше чем 5, и только когда я начал писать я понял чтотответ надо подбивать правильно.
И кстати я нашел вариант проще, так как нам достаточно, чтобы 3^1.4 было больше 4, а 3^1.4= 3×3^2/5, то по сути нам достаточно чтобы 3×3^2/5 было больше 4, а значит нужно чтобы 9^1/5 было больше 1.(3), или 1.(3)^5 было меньше 9, естественно что 1.(3) возводить в степень не удобно, но можно взять приближенное, которое удобно возводить и которое больше заданного. Опять же самое удобное это 1.5=3/2. 3^5/2^5= 243/32 , да можно и не считать 243 меньше чем 320-32, а так как мы сравниваем с 9, то этого достаточно, чтобы сказать, что 1.5^5 меньше 9, так что 1.(3) ^5 тем более меньше 9, значит 1.(3) меньше 9^1/5, следовательно 4 меньше, чем 3*3^2/5= 3^1.4. Короче даже грубая оценка 3^корень из 2 больше 4
...
чем не понятней , тем научней . это как ехать в мосву через пекин или имея спички пытаться добыть огонь палкой о палку .
Сейчас из Украины в Москву лететь через Париж или Вильнюс или Пекин...
Интересно, а если корни в начале сделать в степени х , и решить, с какого х левая часть станет меньше правой...
спасибо. применяем все знания)))
Это шедевр:)
Куда проще. Извлекает квадратные корни из обоих частей. Получим сравнение а^в и в^а где аэто корень из 3 в это корень из 2. Поскольку и в меньше е, а^в>в^а. Левая часть больше. Вот и всё
а у меня вопрос,можно 3 замениь 9 ,а 2 _4ой,как бы 9 в степени корень 4 и 4 в степени корень 9,это не замена,но схитрить.вроде получается,что левая часть больше
Корень из двух= 1,4 где то, тоесть 3 в степени 1.4= примерно 4,2
Корень из трех= где то 1.7
2 в степепени 1.7 даже до 4 не доходит. Вот и все
Меня в школе учили употреблять знаки ? и ¿ : a ? b эквивалентно b ¿ a
3^sqrt(2) ? 2^sqrt(3)
Осталось формально записать решение от Alexei P. Возводим в степень sqrt(2)>1
3^2 ? 2^sqrt(6)
9 > 8 = 2^3 = 2^sqrt(9) > 2^sqrt(6), потому что 2>1 и 9>6. Всё.
Автор перемудрил на ровном месте. Классный вариант предложен в комментариях. Возведите в степень 6 обе части.
И сравните два целых числа 4 и 9. Ежу понятно что больше
если возвести в степень 6, то неравенство примет вид: 3^(6*sqrt(2)) V 2^(6*sqrt(3))
(кстати, хорошее решение привела "Алания Крокодилоа" чуть выше)
Для меня сложновато объяснение Валерия! Возведение в квадрат просто, но без рассуждений! Спасибо!
А нельзя было расписать корни как степень числа и переумножить? Тип корень из 2 как 2 в степени 1/2?
Люблю коллекционировать разные методы решения одной задачи. 😋
Предлагаю бартер.
Интересно как бы решал этот примерчик Л. Эйлер?
Valery Volkov, похоже у вас есть ошибка в решении. Сначала вы нашли, что f'(1)>0, а дальше f'(2)=0 Значит функция не возрастает монотонно и есть еще экстремум до 3, раз в 1 >0, а в 2 =0, а в 3 снова >0
В решении задачи найдено значение производной f ' (1), а не значение функции f(1).
Достаточно обе части возвести в квадрат, получим левая часть больше правой, то есть, 9 больше 8.
Неа, если возвести в квадрат получится 3^(2*√2) V 2^(2*√3), или же 9^√2 V 8^√3
Здравствуйте. Есть ли для таких номеров общее решение параметрического вида? Например, (чисто условно говоря), если y > x в (?) раз, но не более чем в (?) раз, то y^x > x^y
Общее решение есть, вывод из которого следующий: если оба числа (x,y) находятся "по одну сторону" от экспоненты {т.е. (x,y) >=e или (x,y) 4^3 (4 "дальше" от экспоненты, чем 3)
Б) 2.5^2>2^2.5 (2 "дальше от экспоненты, чем 2.5)
** Экспонента в степени любого числа (не равного себе самой) *ВСЕГДА* больше, чем это число в степени экспоненты
*** Если числа находятся "по разные стороны" от экспоненты, то там *сложнее:* в некотором смысле там тоже работает вышеуказанное условие, но "дальность" уже не арифметическая (т.е. не просто разность между числами и экспонентой), кроме того, возможно равенство при "равноудалённости" от экспоненты: примеры:
А) 2^4=4^2 (2 и 4 "равноудалены от экспоненты);
Поскольку 4 "равноудалено" с числом 2 от экспоненты, то мы можем проверить вышесказанное, взяв число 3 ("ближе" к экспоненте, чем 4, а значит и "ближе", чем 2)
Б) 2^35^2 (5 "дальше" от экспоненты, чем 2)
@@vicvic2413 Преогромное спасибо!
@@rodriguez4809: Вы можете пойти дальше и *ДОКАЗАТЬ* вышеописанное!
a^b V b^a, a>1 и b>1 => a^b>1 и b^a>1 => если взять корень (любой степени) от a^b и b^a, неравенство не изменится. Возьмём корень степени (a*b), т.е. возведём в степень 1/(a*b) обе стороны, тогда:
(a^b)^(1/(a*b)) V (b^a)^(1/(a*b))
a^(b/(a*b)) V b^(a/(a*b)
a^(1/a) V b^(1/b)
*ТО ЕСТЬ* нам надо посмотреть, *КАК* изменяется функция x^(1/x) при её увеличении или уменьшении !!!
Возьмите производную от x^(1/x), найдите экстремумы функции и посмотрите, на каких участках она повышается и понижается. Расскажите, что получилось :)
Можно проще
логарифмируем обе части
log3(3^√2)Vlog3(2^√3)
√2V√3*log3(2)
√2>=log3(2)
А это можно решить как в предыдущем примере возвести в корень 3 юю степень
Решения всегда слишком мудрые)))
ещё один вариант: по оценке 3^(14/10) > 2^(18/10), так как 3^7 > 2^9. Отсюда по цепочке 3 в степени корень из 2 > 3^(14/10) > 2^(18/10) > 2 в степени корень из 3
Авторское решение красивое, но слишком сложное. Производная здесь не обязательна
Легко найти решение графически
Возведение в иррациональную степень - равносильный переход?
Можно просто возвести обе части в степень (корень из 6)
Правильно! Молодец!
Я кнш не про в математике, но ответ очевиден. Представим что нужно сравнить 3^2 и 2^3, значит и. Ну и очевидно 3^2>2^3, 3^(√2)>2^(√3), так как мы работаем с маленькими числам, то и погрешность вычислений будет минимальна и не столь критична в данном случае. Можете кнш осудить меня, ну я понимаю насколько мой ответ является глупым)
В школе показывали такое решение как универсальную теорему при х > 0
(х+1)^√х > х^√(х+1)
Видимо, 8^(√7) тоже больше, чем 7^(√8), если полагаться на данную "универсальную теорему"?
@@patrickbateman9022 :thumbup
с какого времени появилась так математика
Надо было всего лишь возвести обе части в степень √3 и заметить, что √ 6 больше чем корень √ 4, и сразу получить, что 9>8.
5:41, а почему, когда мы 1/(2*sqrt(2)*sqrt(x)) домножили на x*ln(2)*2*sqrt(2), у вас получилось НЕ (x*ln(2))/sqrt(x), а sqrt(x)*ln(2)?
Потому что это одно и тоже
Спасибо!🌺
Сложное о простом: возвели в корень из двух получили: 9 и 2 в степени корень из 6, кторый не более 2 в степени 2,5. Теперь даже если вместо 9 взять 2 в степени 3 и возвести в степень 10 обе части, то получим 2 в степени 30 и 2 в степени 25. Ежу понятно: первое число больше второго. Зачем все так усложнять? Устная задачка.
Решается элемент арно если взять отношение этих чисел и это отношение возвести в любую степень, сразу получаем, что больше
И где это применить кроме самой математики? Прав был Нобель.
Можно было бы "продолжить" ; автор сего комментария уже сделал это (путём проверки на маленькой счётной машинке(коль "цепь доказательств" "для
случая , приведенного в данном видеоролике позади"?) ; вот что интересное получилось у автора сего комментария :
4^√3>3^√4(11.035...>9 ("что тут думать"?) ;
5^√4>4√5 (25>22.294...(опять-таки "что-тут думать"?) ;
тогда..."чуточку пропустим" до тех пор , покуда "неравенство"> будет с последующими разами сокращаться , а
затем даже поменяется на "неравенство"< :
8^√7
Этот волшебный переход происходит в числе е. А оно аккуратно между корнями из 7 и 8
Премного благодарен за ответ.
Кстати, мною ("не математиком" вовсе) ранее выпустились два видеоролика , касающиеся "в какой-то мере вот этих самых тем" :
Характерные особенности функции у=х^(х-1)/(х-1)^х
("Америку я не открыл" ; просто заметил :
3 в степени 2.29/2.29 в степени 3.29 примерно равно единице (1.001...);
Максимальное значение функции y=x в степени 1/х (при х=e)---
(получилось максимальное значение 1.444...)...
Второй из двух вышеупомянутых более существенный , как мною понято(?) ; просмотров тот и другой почти не имеет (математики же могут выпустить "получше моих"?)...
Если честно, не очень разбираюсь в логарифмах, так что вот мой способ:
Возводим обе части в квадрат, получаем 3^2 v 2^3, то-есть 9 v 8 => 3^(2^0.5) > 2^(3^0.5)
Возможно можно возвести обе части в квадрат 9>8