Благодаря этому каналу всей душой полюбил математику! Смотрю, наверное, с начала 9-ого класса, а сейчас уже скоро выпускаюсь из 11-ого...) Спасибо автору за такой интересный контент!
В формуле на 6:47 можно свернуть в знаменателе квадрат суммы, вынести квадрат за дробь, разделить числитель и знаменатель на √r_n. Получим r_n = [1/(1+1/√r_n)]^2, откуда выражение для r_n и его доказательство становятся очевидными
Я решил задачу через инверсию. Думаю, было бы здорово осветить эту тему подробнее в последующих видео. Если сделать инверсию относительно окружности радиусом 2 с центром в точке касания правой окружности и нижней прямой, то: нижняя прямая перейдёт в себя, правая окружность перейдёт в прямую сверху, параллельную нижней на расстоянии 2, левая окружность перейдёт в себя, последующие уменьшающиеся окружности перейдут в последовательные окружности одинаковых радиусов 1, находящиеся одна за другой слева от левой, касаясь друг друга, а также верхней и нижней параллельных прямых. По теореме Пифагора квадрат расстояния до центра k-й окружности будет равен 1 + 4 k^2. Далее можно вычислить, что окружность радиуса 1 на расстоянии d от центра инверсии с радиусом 2 преобразуется в окружность с радиусом 4/(d^2-1) и площадью pi * (4 / (d^2 - 1))^2. Поэтому нам нужно подставить вместо d^2 выше полученную формулу и просуммировать для всех k. Четвёрки и единица очевидно сокращаются, оставляя нам ряд 1/k^4, который уже разбирался на канале и навен pi^4/90. В итоге имеем для площади pi^5/90.
Какая шикарная задача и восхитительный разбор! Как классно год начинается! А вот такой вопрос -- есть ли на канале задачки на ситуацию, когда метод индукции оказывается ошибочным? Т.е. вроде бы идет четкая последовательность, но она где-то далеко ломается и реальная последовательность сложнее, чем казалась на первый взгляд. Понятно, что когда формула заранее известна, то и "подводные камни" тоже можно заметить, но бывает же что формула только ищется.. 🙂СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 🙂
Ну что скажу: у нас бесконечная убывающая, причём с конечным значением 1 - это наглядно видно, если отсечь вертикальной касательной на стыке. Но я не знаток последовательностей - плохо всё помню.
Рассмотрим ПДСК, в которой наша прямая это ось Х. Центры окружностей очевидно находятся в точках с координатами (-1,1) и (1,1). Соответственно для них легко восстановить уравнения. (x+1)²+(y-1)²=1 и (x-1)²+(y-1)²=1. Наша задача найти площадь области между окружностями точке (0,1)) и выше оси Х от -1 до 1 по Х. Эта площадь равна удвоенной площади от -1 до 0 по Х. Которую можно найти соответственно определенным интегралом от -1 до 0 от функции которая задаёт правый нижний квадрант окружности. Но т.к. функция содержит в себе квадраты переменных х и у, возможно уместнее считать такой интеграл в полярных координатах или даже выписать область, которая нам нужна и посчитать двойной интеграл по этой области от тождественной единицы. Из результата отнять 2(π⁵/90-π), т.к. π⁵/90 учитывает площадь большой окружности радиуса 1
Честно говоря, до того, как начал решать, думал, что π будет в степент 3. Пришлось исписать обратные стороны парочки направлений, сидя в очереди в больнице, но это того стоило. Получилось π ζ(4) = π^5/90. Сейчас узнаем, был ли я прав
Ха, тоже мне задача, никакого практического применения. Нет чтоб посчитать расход теста на верхний и нижний слой пельменей изготовленных на форме с шестигранными прорезями, чтоб при формировании пельмешек толщина теста была одинакова с выпуклой и ровной сторон - чтоб вкуснее былою
Благодаря этому каналу всей душой полюбил математику! Смотрю, наверное, с начала 9-ого класса, а сейчас уже скоро выпускаюсь из 11-ого...) Спасибо автору за такой интересный контент!
я-то думал, почему новый ролик задерживается, а он оказывается ждал пишного подписчика.
так и было :)
В формуле на 6:47 можно свернуть в знаменателе квадрат суммы, вынести квадрат за дробь, разделить числитель и знаменатель на √r_n. Получим r_n = [1/(1+1/√r_n)]^2, откуда выражение для r_n и его доказательство становятся очевидными
А не надо было R(n) находить, вот так бы и писали: 1/√R(n+1) = 1/√R(n) + 1
Я решил задачу через инверсию. Думаю, было бы здорово осветить эту тему подробнее в последующих видео.
Если сделать инверсию относительно окружности радиусом 2 с центром в точке касания правой окружности и нижней прямой, то: нижняя прямая перейдёт в себя, правая окружность перейдёт в прямую сверху, параллельную нижней на расстоянии 2, левая окружность перейдёт в себя, последующие уменьшающиеся окружности перейдут в последовательные окружности одинаковых радиусов 1, находящиеся одна за другой слева от левой, касаясь друг друга, а также верхней и нижней параллельных прямых. По теореме Пифагора квадрат расстояния до центра k-й окружности будет равен 1 + 4 k^2. Далее можно вычислить, что окружность радиуса 1 на расстоянии d от центра инверсии с радиусом 2 преобразуется в окружность с радиусом 4/(d^2-1) и площадью pi * (4 / (d^2 - 1))^2. Поэтому нам нужно подставить вместо d^2 выше полученную формулу и просуммировать для всех k. Четвёрки и единица очевидно сокращаются, оставляя нам ряд 1/k^4, который уже разбирался на канале и навен pi^4/90. В итоге имеем для площади pi^5/90.
какие хитрые способы :)
вроде и простая, но не менее красивая задача. спасибо, что вы есть
Посмотрел с интересом и удовольствием. Спасибо автору!
Спасибо вам огромное!
Во первых просто шикарный сюжет, а во вторых увидел себя в списке подписчиков ^_^
Ваш канал абсолютный шедевр, очень интересная задача, спасибо огромное 🙏🙏🙏🙏🙏
Приятная задачка. Надо в десмос-геометрии бахнуть.
Очень красиво!!!
Интересная задачка =)
Ну как же это красиво
Классно!)
Какая шикарная задача и восхитительный разбор! Как классно год начинается! А вот такой вопрос -- есть ли на канале задачки на ситуацию, когда метод индукции оказывается ошибочным? Т.е. вроде бы идет четкая последовательность, но она где-то далеко ломается и реальная последовательность сложнее, чем казалась на первый взгляд. Понятно, что когда формула заранее известна, то и "подводные камни" тоже можно заметить, но бывает же что формула только ищется.. 🙂СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 🙂
Не бывает ошибок в методе индукции.
Thanks a lot
Моя ставка была на степень от 1 до 2 включительно. Не сыграла ставка)
Такое ощущение, что пи будет в кубе
у меня ощущение что пи^3/89.... хотя нет /90, точно
У меня больше ощущение, что пи должно быть в степени е или что-то типа того🤔
Ну что скажу: у нас бесконечная убывающая, причём с конечным значением 1 - это наглядно видно, если отсечь вертикальной касательной на стыке. Но я не знаток последовательностей - плохо всё помню.
Красивая задача
Интересно, какой ответ будет будет для такой же задачи в объёме?
Если будем искать объём, а вместо окружностей будут сферы.
у этой задачи есть ещё много обобщений и чем дальше, тем сложнее. в Википедии статью можно найти, ищется по "круги Форда".
Красота
Как интересно, получается что сумма бесконечних площадей равна сумме ряда обратных квадратов (Ряд Эйлера), которая сходится к pi^2/6.
красивое
1:04 Может быть, π будет всё-таки в степени 0?
0:23 таки обЕих!
думаю, что-то вроде pi^3/2
Интересно к чему стремится площадь не закрашенных частей?
Рассмотрим ПДСК, в которой наша прямая это ось Х. Центры окружностей очевидно находятся в точках с координатами (-1,1) и (1,1). Соответственно для них легко восстановить уравнения.
(x+1)²+(y-1)²=1 и (x-1)²+(y-1)²=1. Наша задача найти площадь области между окружностями точке (0,1)) и выше оси Х от -1 до 1 по Х. Эта площадь равна удвоенной площади от -1 до 0 по Х. Которую можно найти соответственно определенным интегралом от -1 до 0 от функции которая задаёт правый нижний квадрант окружности. Но т.к. функция содержит в себе квадраты переменных х и у, возможно уместнее считать такой интеграл в полярных координатах или даже выписать область, которая нам нужна и посчитать двойной интеграл по этой области от тождественной единицы.
Из результата отнять 2(π⁵/90-π), т.к. π⁵/90 учитывает площадь большой окружности радиуса 1
Честно говоря, до того, как начал решать, думал, что π будет в степент 3. Пришлось исписать обратные стороны парочки направлений, сидя в очереди в больнице, но это того стоило. Получилось π ζ(4) = π^5/90. Сейчас узнаем, был ли я прав
А у Вас есть контент не на Ютубе?
нет.
новые видео сейчас выложены еще здесь: boosty.to/hmath
@Hmath Спасибо большое. Здесь не тормозит.
как все совпало!!!
Ха, тоже мне задача, никакого практического применения. Нет чтоб посчитать расход теста на верхний и нижний слой пельменей изготовленных на форме с шестигранными прорезями, чтоб при формировании пельмешек толщина теста была одинакова с выпуклой и ровной сторон - чтоб вкуснее былою