Логарифмирование не поможет ★ Сделано в СССР ★ Показательно-степенное уравнение 10^(x-x^2 )=x^x
HTML-код
- Опубликовано: 28 сен 2024
- ✔ 2 миллиона просмотров ★ • Таблица умножения боль...
@arinablog
Поддержать: donationalerts....
Telegram: t.me/volkov_te...
Группа ВК: volkovv...
Instagram: / volkovege
Почта: uroki64@mail.ru
Показательно-степенное уравнение 10^(x-x^2 )=x^x
Прошло долгих 7 лет, как я наткнулся на этот канал с целью подготовиться к тогда ещё ГИА, и вот уже и бакалавриат подошёл к концу, а я все ещё смотрю данный канал и жду новых видео :)
на кого училитесь?
@@TurboGamasek228 на специальность "Прикладная механика" - на инженера в собирательном смысле слове )
@@Gennadi149 приятно было читать твой комментарий) Желаю тебе успеха в работе и в жизни.
Первый IBM-совместимый комп я увидел в 1988 в уральском политехе. Первый свой ноут IBM-A30 я купил в 2000-ом году. Я через телефон/АДСЛ был подключен к инету за несколько лет до того, как youtobe появился. А данный канал нашел только год назад - и не жалею. Он мне не нужен, но он мне нравится. Валерий - упертый, но настоящий.
Я бы, всё-таки, еще графики функций lg(x) и 1-x нарисовал - так оно красивей и наглядней. :)
Собственно это и есть графический способ решения, как никак.
А решать подбором - чувствовать себя первоклассником
да конечно) прологарифмировал и нарисовал графики - вся задача. и не надо никакого метода подбора и поиска других корней
@@alexnikola7520 да я так и решил.Как раз хотел написать но опередили
@@alexnikola7520 так нарисовать графики это лишь особым образом угадать корень. Сама по себе единственность пересечения эскизов графиков функций не является строгим доказательством.
Особенно понравился момент с убывающей и возрастающей функциями! Спектр решаемых мной задач расширяется и все благодаря вам!
Как всегда изящно и ошеломительно просто! Спасибо!
Я из СССР, при поступлении в 1975г. штудировала Сканави. Сейчас Сканави на чердаке. Огромное спасибо.
Откуда известно, что это из Сканави?
СКАНАВИ -хороший задачник! Задачи каждого раздела с тремя степенями сложности предлагались
Да! Сканави это вещь. Как тренажерный зал, только для мозгов. С тремя уровнями сложности
Сканави издал сборник задач по основным разделам математики. Я тоже готовился к экзаменам по этой книге. У меня есть даже решебник к этим заданиям. Особенно мне нравится геометрические задачи с применением тригонометрии, сама тригонометрия, параметры, алгебраические выражения, ур-я и нер-ва.
Лучше б подарили кому-нибудь.
Логарифмируем, пацаны
Просто и легко решил за минуту. Причём без двойного переноса туда-сюда.
Как только мы получили равенство x - x² = x lg x, то в силу того, что x > 0 (а следовательно, x ≠ 0), мы можем сократить на x и сразу получить уравнение 1 - x = lg x, которое уже и решаем методами исследования функций и подбора.
Сокращение на x напрашивалось сразу без переноса
@@edgar6792 да. Осталось лишь доказать, что мы вправе так сделать, что крайне элементарно и совершенно очевидно.
Привет Валерий. Действительно отличная задача. Спасибо вам!
Мощно и красиво!
Берём исходное уравнение.
1) Угадываем х =1.
2) При 0 < x < 1 левая часть больше 1, т.к. слева 10 в положительной степени, а правая часть меньше 1, т.к. справа число меньшее 1 в положительной степени.
3) При x > 1 левая часть меньше 1, правая - больше.
Из 2 и 3 следует, что других решений нет.
А я подумал о единице в первое мгновение, посмотрев на равенство)))с
Решила точно также, как вы, пользуясь логикой
Спасибо !!
Для решения подобных уравнений в аналитическом виде в последнее время модно применять функцию Ламберта.
Решить можно было без аналитического исследования. 1-x-lgx=0. 1 = lgx +lg(10^x). 1 = lg(x*10^x). x*10^x = 10. При х10. При х = 1 решение есть. И никаких графиков и анализа функции на возрастание/убывание не требуется.
Так это по сути тоже самое, при x1. Т. е. сделанные вами выводы следуют напрямую из свойств данных функций.
Не особо то проще проводить хоть и не сложные, но манипуляции, а потом ещё рассматривать три случая для x вместо того, чтобы просто представить в голове графики логарифмической и линейной функций :)
@@Gennadi149 голову на листок не напишешь :)
@@МаксимЧалый-щ7к разница в том, что аналитическое решение подразумевает под собой знание производной функции и строгое обоснование почему она больше нуля, а в данном случае я могу лишь воспользоваться заменой х =1+dx
@@ДенисАфанасьев-з8р Можно было у изначального уравнения рассмотреть три случая. Если x=1, то 10^(1-1^2)=10^0=1=1^1, значит x=1 корень. Если x>1, то x^x>1, x^2>x, значит 10^(x-x^2)
Спасибо Вам большое!
без логарифмов можно обойтись: так как если решения существуют, то все они будут иметь вид 10^n, где n - рациональное число, то есть X = 10^n. Заменяем X на 10^n. Дальше группировка и, наконец, получаем, что 10^n = 1 - n. А дальше как в ролике: обе функции монотонны, одна возрастает, вторая убывает => одно решение при n = 0, а значит X = 10^0 = 1.
Обожаю ваш канал :)
Да, интересно использование принцип в возрастанию и убывания функции... Можно определить, как поиск 0. Наверное любую задачу стоит начинать так.
Как обычно
Хакаято вроде как сложная хрень
А в итоге ответ 1
поэтому везде, где нужен только ответ, но я не знал, как решать - я писал 0 или 1 в ответах. Прокатывало с завидной регулярностью
А ответ был тривиальный. 1. Всё.
Интуитивно подумал что 1, решил еще на превью. Но доказать что будет 1 сложнее, чем догадаться
@@ilyas3981 доказать просто - подставить 1 в формулу. а вот _показать_ решение, что ты не с балды его придумал - это другое...
я решил еще по картинке на превью) вернее, это мозг решал без моего участия))
@@shlemkin А теперь докажи, что это единственный корень=))
Спасибо.
Не шарю в математике, но оч интересно :)
По-моему более наглядно перегруппировать последнее уравнение как
x + lg(x) = 1
и рассмотреть три случая:
* 0
Браво!
Спасибо за то, что вы делаете
10^(x-xx) = x^x
10^x(1-x)=x^x
Возводим обе части в степень 1/x
10^(x-1)=x
10/10^x=x
10x/10^x=1
Очевидно, что x=1, т.к. уравнение имеет только одно действительное решение при x принадлежащее еденице (метод подбора).
Почему ноль не может быть?
@@nepocarlsen2451 х в степени х. Нельзя 0 брать. Нельзя возводить в нулевую степени 0 :(
2 в нулевой степени это как 2 в первой степени делённое на 2 в первой, т. е. 2/2=1.
И если также 0 в нулевой сделать, получится 0/0 что нельзя, так что вот
@@АлиАскеров-е5г чтобы вы знали, любое число в нулевой степени это единица. Поэтому 10⁰ и 0⁰ будет 1=1
@@nepocarlsen2451 если предел справа к 0 функции х^х посчитать то тогда да, но предел функции и значение функции тут не совпадают) Я вам как учитель говорю, сверху я написал простое арифметическое доказательство
Уравнение вида 1 - х = lgX можно решить и графически.
Математика - без рисунков
@@DmitryKrechet эмм... нет
@@springyoutube2856 да. Только аналитика, как завещал покойный Конев Виктор Васильевич
Отлично
Хм, а я вот решил по-другому🤔
Из обоих частей можно извлечь корень степени x.
В итоге получилось (10/10^x)=x
Ну и дальше построение графиков и приход к выводу, что пересечение у них только в одном месте : x=1🤷♂️
Спасибо за интересное решение!
Спасибо за видео!
Как всегда, на высоте
функция Ламберта в помощь👽
Супер задача! Как раз проверяет умение аналитически мыслить.
Но если 2 функции были либо убываюшими, либо возрастаюшими, то решений могло быть бесконечно много.
Но тут суть именно в этом, что одна возрастает, другая убывает
Уникальное решение 💪😄👌
Долго боялся смотреть это видео. Сейчас спьяну открыл, поставив на паузу, и решил в уме. Вот мой алгоритм решения:
10^(x-x^2) = 10^(x(1-x))
Преобразуем полученное выражение свойству степеней
10^(x-x^2) = (10^(1-x))^x
Подставляем полученное выражение в изначальное равенство
(10^(1-x))^x = x^x
Показатели степеней одинаковые -- сокращаем их
10^(1-x) = x
Еще раз преобразовываем по свойству степеней
10^(1-x) = 10^-1 * 10^x = 1/10 & 10^x
Откуда получаем равенство
10^x = 10x
Выполняя те же действия с графиками, получаем единственную точку пересечения - это 1. И никаких логарифмов
В конце, помимо доказательства возрастания и убывания функций, необходимо доказать их монотонность, это так же необходимое условие для существования только одного корня.
На ночь глядя посмотрел из любопытства этот ролик , думал сойду с ума
Можно обойтись и без логарифмирования: возведем обе части в степень 1/x (мы можем это сделать, так как обе стороны положительны и x не равен 0): (10^(x(1-x)))^(1/x)=(x^x)^(1/x), 10^(1-x)=x, левая часть монотонно убывает, правая монотонно возрастает, т. е. уравнение имеет максимум 1 корень, который легко подбирается - x=1
А в левой части в показатели степени икс вынести за скобки, не? Получаем: 10^x(1-x)=x^x, то есть (10^(1-x))^x=x^x, а, значит, раз x>0, 10^1-x=x, и далее по логарифму🤔
А нарисовать линии можно ? И где то, как то там, определиться ? Верю, верю, верю.
То есть, чтобы придумать такую задачу нужно написать: 10 в степени 1-1 = 1 в степени 1. Потом заменить едbницу на X и задача готова! 😀😇
Класс !
я человек простой - просто начал с единицы )))))
Я решил интуитивно за одну секунду )
Вообще-то, если чуть-чуть выйти за рамки школьной математики, 0 входит в область определения исходного уравнения и является корнем ( lim(x^x) при x->0 = 1 ).
Число 1 явно подходит
С самого начала видно после определения одз, что в левой части функция убывает а в правой возрастает на всех допустимых значениях х. Потому корень всего один. И самое простое, к чему можно привести равенство при подборе, так это 1=1. Тем самым, чтобы из 10 сделать 1, нужно добиться нулевой степени. Откуда х-x^2 =0 при х>0
Остаётся только х=1
Всё гораздо проще
Можно было у изначального уравнения рассмотреть три случая. Если x=1, то 10^(1-1^2)=10^0=1=1^1, значит x=1 корень. Если x>1, то x^x>1, x^2>x, значит 10^(x-x^2)
Почему именно 1?
@@allayar7 логически взял
Почему х=0 не подходит? Равенство ведь верное.
Я бы решала графически. Корень х=1 появляется еще при вычислении точек для построения графиков.
Ну, я, честно, сразу нашел корень 1, но расписать, конечно, не так просто, как кажется
Всё тоже самое можно сказать про исходное уровнение - сразу видно, что решение = 1 и что других корней нет из-за строгого возрастания одной части и убывания другой, логарифмирования не требуется.
Я решил сразу методом подбора, не преобразовывая уравнение. получил то же.
ты получит один корень, не зная общее их количество
ответ нашел подбором сек за 15. остальное не вспомнил как делать
Согласен, подбором намного быстрее, тупо подставляешь 1 и все сходится! Если 2 и более ставим, то слева будет в отриц степень уходить, а справа к бесконечности!
Нетрудно заметить что
если 01 то наоборот.... При х =1 обе части равны 1. Поэтому x=1 есть единственное решение
Для тех, кто в комментах пишет что-то типа "на кой все это". Я выпускался в 77-м. Два последних класса у нас была углубленная математика, 9 часов в неделю. Сканави - силища! После полутора месяцев мучений я, далеко не последний ученик, смог переступить через "у меня не получается!". Именно работа над собой и заложила фундамент для окончания физмата с отличием. Если человек не видит красоту в таких уравнениях, не стоит заходить на страничку. Колумб оркрыл Америку не для того, чтобы завезти в Европу табак. Сканави создал свой задачник не для тех, кому "на кой'". Спасибо авторам!
Исходное уравнение тождественно уравнению 10^(1-x) = x;
при x > 1 равенство не соблюдается,
остается диапазон (0; 1] (по условию x>0)
теоретически решение может быть дробным, но любое дробное значение тоже не будет удовлетворять исходному уравнению. Остается 1.
Я методом постановки просто подставил 1 и готово) все решилось
Поможет метод подбора)
Можно было просто задаться областью определения и проанализировать: функции справа и слева при x>1 и 0
x>0 - область определения x^x. При 0x^x. При x>1 10^(x-x^2)
Если я ничего не напутал, то можно извлечь корень из неотрец. прав. и левой части без потери корней. Извлечём корень x-степени, тогда будем иметь дело с 10/x = 10^x и исследовать эти ф-ции или воспользоваться функцией Ламберта.
Пытался решать так (10^(x-1)) ^x=x^x отсюда (т.к x>0) 10^(x-1) =x и дальше исследуем показательную и линейную функцию. По сути тоже самое, но зато логарифмировать не надо. Это решение оправдало бы название ролика
смотрю с интересом и вспоминаю как в школе считал эти расчеты бесполезными так и сейчас в бухгалтерии мне эти логарифмы ни разу не пригодились.... просто за зря тройки получал...
Кстати кстати кстати, это уравнение можно решить логарифмированием до конца. Ответ получился такой-же. Ведь там выходит: x-x^2=xlog(10)x, всё уравнение нужно сократить на x, тогда: 1-x=log(10)x, переносим переменные в левой, без переменных в право, тогда: log(10)x + x=1,выражаем x через логарифм с основанием 10,выходит: log(10)x+log(10)10^x=1. По свойству логарифма выходит: log(10)10^x×x=1. Соответственно:
x×x=1
x^2=1
x=1
Надеюсь что кто-то прочтёт
@@huntershadowly172 Строго говоря, это свойство вытекает из теоремы о единственности корня уравнения. Так что этот способ ничем не лучше приведенного.
Тэйлор log(1 + a) = a
Заменяем x = 1 + a
Следовательно 1 - x = 1 -(1+a)= -a
Заменяем log(x)=log(1+a)=a
Получаем уравнение -а = а 》》》 2*а = 0 》》》 a=0 》》》 x = 1 + a = 1
Преобразовать к виду 10\10^x=x можно без логарифмирования и затем исследовать обе функции.
Не понял, почему тут в комментариях восторгов столько.
Решение методом подбора удивило. При минимальном изменении начального условия вместо единицы получится какой-нибудь корень из трех. Подбирайте.
А на каком основании вы утверждаете, что x>0??
Я который с самого начала подставил один и получил ответ🗿
Ахах, тоже самое
А можно ли применять метод мажорант после логарифмирования?
Божественный подбор!
0 же тоже подходит, разве нет?
Х строго больше нуля
O método gráfico para resolução de equações tem me ajudado muito. A calculadora HP-50G tem resolvido meus problemas, mas sou da moda antiga e faço questão de lançar mão de meu bloco de papel milimetrado e faço manualmente. Muito obrigado ao excelente mestre russo, um povo de conhecimento matemático impar. Meu livro de calculo é o N. Piskounov
Русскому?🤨😇
Отлично!!!! Спасибо я решал похоже уравнение в 1983 году физ. Мат. Школе №1 в городе Баку
Можно и без метода подбора.
1=x+lgx
1=lg10^x × x
10=10^x × x
10=e^In10×x × x
10×In10=e^In10×x ×In10×x
W(10×In10)=W(e^In10×x ×In10×x )
W(e^In10 × In10)=In10 × x
In10=In10 × x
x=1
По крайней мере я так сделал,а по другому мне лень стало решать.
У меня появился вопрос такого характера:"А что за буква W в решении и за что она отвечает?"
@@ДенисАфанасьев-з8р, функция Ламберта.
Ну допустим: W(e^f(x) × f(x))= f(x)
Можешь почитать в инете про эту функцию
@@ДенисАфанасьев-з8р W-функция Ламберта. Вводится как обратная к функции y=x*exp(x). Т.е. если y=x*exp(x), то x = W(y).
L'équation est plus simple que la traduction...
С первого раза угадал
Зачем ето можна сразу посмотреть на значения функций в равенстве, при х меньше 1 левая часть больше 1 а правая меньше 1,когда х больше 1левая меньше 1 а правая больше равенство не возможное,как итог оно возможно только тогда когда х равно 1
x=0+ подходит, то есть предел со стороны положительных х.
Прошу прощения за оффтоп,но интересно,как бы выглядело решение с точки зрения единой математики,которой ещё нет.
Логарифмирование все-таки помогло
Я даже не знаю сдал бы экзамен или нет, но моя логика была без логарифмов. т.к. есть условие что х больше 0. я просто подумал что любое число в нулевой степени равно 1. и 1 в 1 степени равное единице.
Решил за две секунды
зачем решать то что нафиг не нужно.
Подбором сразу нашёл 1, но вот доказать единственность не знал как, вообще думал, что есть ещё корни
Есть, x=0.
@@KirillBon
1) в условии x > 0
2) 0^0 - неопределённость. lim_x_0(x^x) = 1, но это другая история.
@@ВикторИванов-ю7ю
1) условие для того и добавлено, что бы школьники не лезли туда, где они ничего не понимают. Замените это условие на -inf
@@ВикторИванов-ю7ю , и еще, "неопределенность" - это как раз история про пределы. А a^0=1 для любого а, включая 0, это как раз определённость.
@@ВикторИванов-ю7ю ,
ну и ради интереса, решите почти такое же уравнение 10^(x-x^2-0.1)=x^x
10=x^1/1-x
10^1-x=x
Дальше кажется все очевидно...
Мне не очевидно.
@@think_logically_ А что тут не ясно, только при x=1 равенство является верным...
@@Evgeni4Ivanov Но x может оказаться дробным.
целый экран математической писанины для того что бы узнать что х =1, хотя если применять логику, то "х" в степенях уравнивает значения если нулевая степень (х-х2 = 0) и если сам число независимо от степени это 1 (1 в любой степени это 1)
А я решил другим способом. Выражение справа можно представить как частное 10^X/10^x^x. Получаем (10/10^х)^х=х^х. 10/10^х=х. Х*10^х=10. Х=1
без ограничения x > 0 будет еще одно решение решение x = 0;
Если вместо 10 будет другое число, будет тоже х=1
А почему до сих про нету формул для подобных ситуаций?
Если подставить единицу в исходное уравнение вместо х, то равенство будет неверным или я чего-то не понимаю..
10^(1-1^2)=1^1
10^0=1^1
1=1
Решил устно честно
А я логически подумал и решил подругому. Странно что для такого простенького уравнения так усложнять надо.
Да методом подстановки.
Чтобы 10 в определённой степени было равно этой же степени в квадрате - возможно только одно решение. Если х=1. Ну по моему это настолько очевидно, что профессором математики быть для этого не обязательно.
И тогда само собой 10 в нулевой равно 1 в первой степени.
Зачем всё так усложнять?)
Неужели кто-то использует это в повседневной жизни? Ну кроме реальных учёных, или профессоров?
Решил без логарифмов, просто взял из левой и правой частей корень из х, и так как 10^(x-x^2)=10^x(1-x), то получим 10^(1-x)=x
или 10/(10^x)=x
10=x*10^x
Откуда очевидно x=1
почему "0" не подходит?
Я один просто посмотрел на превью и подобрал ответ?
Последнее уравнение можно было решить графически.
Я один подставил единицу и у меня получилось
То есть 0 тоже является корнем уравнения, если бы не ограничения.
Почему 0 не подходит?10в нулевой степени=1 и 0в нулевой степени тоже1