제곱근의 연산 규칙이 궁금했던 분들이라면 꼭 보세요 | 루트 2는 무엇인가 | 데데킨트 칸토어
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- Опубликовано: 20 янв 2024
- 영수의 본질, 본질적 초/중/고 수학 수업
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안녕하세요. 이번 영상에서는 많은 학생들이 잘 외우고는 있지만 왜 성립하는지 그 이유는 잘 모르고 있는 식인 "루트 2 곱하기 루트 3 = 루트 6"에 대해서 이야기해보게 되었습니다.
사실 이것을 증명하는 것은 중학교 단계 혹은 고등학교 단계를 넘어가는 것이기 때문에, 학생들이 이 식이 왜 성립하는지 궁금해는 해도 제대로 설명을 들을 수 없는 것이 현실입니다.
이것을 정확히 알기 위해서는 실수가 무엇인지부터 알아야 하고, 실수의 연산규칙은 또 어떻게 정의되는지를 알아야 하는데 이번 영상에서 그 부분을 다루어보았습니다. 그간 궁금했던 분들에게 도움이 되었으면 좋겠습니다.
(무한소수의 연산 규칙을 소개한 페이지의 링크는 다음과 같습니다: www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/de...)
[무한소수의 곱셈에서 결합법칙이 성립하는 이유]
어떤 무한소수 a, b, c가 있을 때 각 무한소수를 소수점 각 자리에서 잘라서 유한소수를 만들고, 그 수들을 차례대로 a_1, a_2, a_3, .. , b_1, b_2, b_3, ..., c_1, c_2, c_3, ... 라고 하자.
(예를 들어 a=루트 2 이면, a_1 = 1.4, a_2 = 1.41, a_3 = 1.414, ....)
또한 a*b, b*c가 나타내는 무한소수를 각각 d, e라 하고, 그 무한소수를 각 자리에서 잘라서 유한소수를 만들었을 때 그 수들을 각각 d_1, d_2, d_3,..., e_1, e_2, e_3, ... 라고 하자.
결합법칙이 성립한다는 것을 보이려면 (a*b)*c = a*(b*c)를 보여야 하고, 다시 말해 d*c = a*e임을 보여야 한다.
먼저 d*c 는 무한소수의 곱셈 규칙에 따라 d_1*c_1, d_2*c_2, d_3*c_3 ... 가 가까이 가는 무한소수로 정해준다. 그런데 그 무한소수는 (a_1*b_1)*c_1, (a_2*b_2)*c_2, (a_3*b_3)*c_3 ... 가 가까이 가는 무한소수와 같다.
왜냐하면 a_1*b_1, a_2*b_2, a_3*b_3 ... 가 가까이 가는 무한소수와 d_1, d_2, d_3... 가 가까이 가는 무한소수가 같고, (다시 말해 (a_1*b_1) - d_1, (a_2*b_2) - d_2, (a_3*b_3) - d_3 ... 는 0으로 수렴하고,) c_1, c_2, c_3 .... 들은 모두 상한(an upper bound)과 하한(a lower bound)이 있기 때문이다.
마찬가지로 a*e는 무한소수의 곱셈 규칙에 따라 a_1*e_1, a_2*e_2, a_3*e_3 ... 가 가까이 가는 무한소수로 정해주는데, 그 무한소수는 a_1*(b_1*c_1), a_2*(b_2*c_2), a_3*(b_3*c_3) ... 가 가까이 가는 무한소수와 같다.
그런데 유리수의 곱셈에서 결합법칙이 성립하기 때문에 (a_1*b_1)*c_1 = a_1*(b_1*c_1), (a_2*b_2)*c_2 = a_2*(b_2*c_2), (a_3*b_3)*c_3 = a_3*(b_3*c_3) ... 가 성립하고, 따라서 (a_1*b_1)*c_1, (a_2*b_2)*c_2, (a_3*b_3)*c_3 ... 가 가까이 가는 무한소수와 a_1*(b_1*c_1), a_2*(b_2*c_2), a_3*(b_3*c_3) ... 가 가까이 가는 무한소수는 같다.
따라서 d*c = a*e가 성립하고, 최종적으로 (a*b)*c = a*(b*c)가 성립한다.
#제곱근 #실수 #루트2
무한소수의 곱셈에서 결합법칙이 성립하는 이유(증명)를 설명란 하단에 써 놓았으니, 관심있으신 분들은 참고하시면 되겠습니다. 🙂
와 진짜 설명에 빠져들었습니다.. 너무 유익해요 다음에도 이런 영상 많이 찍어주세요!!!!
알아봐주시니 감사합니다 ^^
고등학교를 졸업한지는 한 참이 되었지만 역시 수학의 근본적 원리에 대해서 접근하는 것에는 항상 목마르네요. 어떻게 보면 이런 내용들은 고등학교때 이미 다 깨우쳐야 하는게 맞지만 오로지 수능과 내신만을 위해 존재하는 교육과정으로 인해 원리에 대해서 소극적으로 다루는게 안타깝기는 합니다. 이런 영상이 많이 퍼졌으면 좋겠습니다. 감사합니다.
이렇게 영상을 잘 봐주시고, 영상의 내용까지도 잘 꿰뚫어봐주시는 분들이 많이 있으면 좋겠습니다 ^^
❤❤
좋은 영상 덕분에 다양한 생각들을 하고 갑니다 ^^.
좋은 댓글 덕분에 더욱 힘을 얻습니다 ^^
항상 유익한 영상 감사합니다 :)
영상이 유익합니다. 구독하고 갑니다.
영상 잘 봤습니다.😊😊
감사합니다 🙂
개인적으로 수학은 절대 단순암기가 아니라 원리에 대한 이해가 반드시 동반되어야하는 과목이라고 생각했고 또 그걸 실천하려고 했는데 생각해보니 이런 사소한 것들은 깊게 생각하지 않고 단순암기로 넘어갔었네요
그리고 교환법칙과 결합법칙같은 정말 당연한 명제라고 생각되는 것들도 '증명'이 필요하다는걸 알게 되었네요
유익한 영상 만들어주시고 공유해주셔서 감사합니다!
조만간 채널 정주행 해야겠네요
정성어린 답글 감사드립니다 ^^
영상 감사합니당 덕분에 의문이 풀렸네요
도움이 될 수 있어서 기쁠 뿐입니다 ^^
좋은 영상 잘 봤습니다.
감사합니다!
재밌습니다 ㅎㅎ
감사합니다 ^^
수렴하는 수열을 이용하여 무리수를 정의한 느낌이네요.! 영상 감사합니다.
제대로 보셨네요! 실제로 칸토어는 코시 수열의 동치관계로 무리수를 정의하였습니다 ^^
명료해 졌습니다 감사합니다
우와 기가 막히네요. 감사합니다.
계속 썸네일이 메인에 떠서 봤는데
소숫점 자리수 하나씩 늘려가며 곱하는 개념이 되게 흥미롭네요
실수를 정의는 흥미롭습니다. 물론 가상적인 개념이긴 하지만요 ^^
학창 시절에 문득 임의의 두 실수의 곱셈에 대한 교환/결합 법칙이 왜 성립하는지를 두고 고민한 적이 있는데 자연수의 곱셈에 대해서는 금방 납득할 수 있는 이유를 찾아냈지만 (양의) 유리수에 대해서는 그 이유를 찾기까지 상당히 오랫동안 고민을 해야했습니다. 유리수에 대해서도 결국 이유를 찾긴 했는데 무리수에 대해서는 아무래도 유리수에 적용된 규칙이 유리수가 무리수로 수렴하는 극한에 적용된다는 식으로밖에 추측할 수밖에 없더군요.
깊은 고민을 하셨네요! 무리수가 무엇인지를 정의하지 않았으니 당연히 그들 사이의 교환/결합/분배 법칙이 왜 성립하는지를 끌어낼 수가 없는 것이 당연한 것입니다. 다만 교과서는 그것을 그냥 받아들이는 입장이구요
중딩때 그런갑다 생각햇는데
점차 나이들어 생각해보니
소숫점 끝이 없는 무리수끼리
곱해서 무리수로 표현하는게
가능하나햇습니다 그냥
루트2•루트3으로 표현해야하지
않나..단순히 양변 곱의 증명은
좀 짜맞추기 느낌이 있엇는데
좋은 영상입니다
그 정도 의심을 가지시는 것만 해도 대단한 것입니다 ^^
영상의 핵심은 앞쪽에. 루트2의 정의부터 무한소수와 무한소수의 곱셈으로 계산하는 점이 본질이었네요
결합 교환법칙보다 더 와닿습니다
본질을 정확하게 꿰뚫으셨습니다 ^^
18분 동안 정말 잘 봤습니다 정말 유익하네요 앞으로도 이런 교과서 밖 수학 콘텐츠 많이 올려주세요
구독 박고 갑니다
잘 봐주셔서 감사합니다! 수학 전공한 사람으로서 역할을 하도록 하겠습니다 ^-^
현 중3입니다. 저는 수학을 이런 식으로 생각하고 문재를 풀어내는 것이 정말 재밌어합니다. 이것때문에 수학을 좋아했었구요
하지만 한국에서는 시험이 중요하기 때문에 이런 것들이 중요하지 않은 것처럼 학원애서 하라는 대로 어른들이 하라는 대로 시켜서 따라가는 수학이 정말 맘에 들지 않아요
근데 이런 채널이 있다는 걸 오늘 처음 알았어요 저에게 정말 흥미롭게 느껴지는 채널을 찾아서 기분이 좋네요 흥하세요 열심히 영상 보러 갈게요 😊
응원의 답글 정말 감사합니다! 저도 학생들을 가르치고 있는 선생님의 입장에서 이런 학생을 만나면 기분이 참 좋습니다! 대부분의 학원들이 답을 빨리 찾는 것, 빠른 시간 내에 푸는 것 등만 중요하게 생각하다보니 사고력은 떨어지고 오히려 수학 학습의 본질에서 멀어지고 있거든요. 도움이 되는 영상들 많이 올릴 수 있도록 노력해보겠습니다!
@@mathandenglish ♡
교환법칙과 결합법칙이 성립한다는 것을 실수로 나타낸 수들의 곱으로 알 수 있다고 영상에서 설명하셨는데, 이렇게 예시들이 성립하니 보편적인 성질이 될 것이라고 귀납적으로 생각해도 맞는 해결과정인지 궁금합니다.
예를 든 것은 그야말로 예를 든 것이고, 증명은 늘 수학에서 하듯이 연역적 방법으로 해야 합니다 ^^
이거 진짜 궁금했는데 감사요
영상 정말 잘 보았습니다.~~*^^*
😊데데킨트의 데데킨트컷! 전에 공부하면서 참 흥미로웠답니다. 사실 공부하기 이전까지는 헤어스타일인 줄 알았던~~??^^😅
완비순서체가 유일하다는 정리에 의해 본질적으로 실수를 구성하는 같은 방식이지만, 저는 코시의 완비화에 대해 증명하라는 연습문제를 푼 기억이 있어 코시의 방법도 생각납니다. 거리공간으로 일반화되는 상당히 아름다운 정리지요^^.
친절한 답글 감사드립니다! 저도 데데킨트컷이나 코시수열로 실수의 곱셈을 소개하고 싶은 마음도 있었지만, 아무래도 그것을 짧은 영상에서 소개하는 것은 힘들 것 같고 가장 이해하기 쉬운 무한소수표현으로 소개하게 되었습니다 ^^
지수법칙 (a•b)^n = a^n•b^n은 결합 교환 법칙을 이미 썼기 때문에 지수법칙만 써도 증명은 되지만 연산의 근본은 결합법칙 교환법칙이다. 하지만 둘 중에는 결합법칙이 더 중요하다. 교환법칙이 성립되지 않아도 대수를 할 수 있지만 결합법칙이 성립되지 않으면 아예 할 수 없다.
놀랍게도 non associative algebra라는 분야가 있다고 함
그렇군요. 만들기 나름인 것 같습니다.
일단 이 영상의 답은 썸네일만 보고도 알 수 있는정도네요...영상에서도 언급한걸 보면 본인도 아셨던것같은데요. 이게 당연한게 아니라는 뜻을 전하고 싶었던거라면 루트 사이에 교환법칙과 결합법칙이 왜 성립하는지에 대한 설명을 자세하게 하는게 더 잘 맞았을듯 하네요.
+ 증명 부분에서 결합->교환->결합이 아니고 바로 교환->결합 쓰는게 더 좋지 않을까요?
바로 교환 -> 결합을 어떻게 하신다는 건지 궁금하네요
편의상 루트 떼고 쓰면 (2*3)*(2*3)에서 교환을 써봤자 (2*3)*(3*2)고 결합해도 2*(3*3)*2 라서 (2*2)*(3*3)꼴을 만들어주려면 오히려 더 돌아가야하지 않나요?
윗부분에 쓰신 무리수 사이 교환법칙에 대한 설명을 자세하게 했어야한다는 의견에는 동의해요 그걸 기대하고 영상을 봤는데 그건 그냥 넘겨버려서 이게 뭐지 싶었네요
당연한 게 아니라는 아니라는 것을 전달하는 게 이 영상의 취지입니다. 무한소수 사이의 결합법칙이 성립하는 것은 영상에서 언급했다시피 까다롭습니다. 코시수열의 동치관계를 이용해야 하는데 그렇게 되면 코시수열을 다 설명해야 하고, 그것은 이 영상의 취지와는 맞지 않겠죠.
무한소수의 곱셈에서 결합법칙이 성립하는 이유(증명)를 설명란 하단에 써 놓았으니, 참고하시면 되겠습니다. 교환법칙은 영상 내용만 봐도 잘 알 수 있어서 굳이 써 놓진 않았습니다.
@@sang6. 무한소수의 곱셈에서 결합법칙이 성립하는 이유(증명)를 설명란 하단에 써 놓았으니, 참고하시면 되겠습니다. 교환법칙은 영상 내용만 봐도 잘 알 수 있어서 굳이 써 놓진 않았습니다.
영상 잘 보았습니다.. 목소리가 너무 깔끔하게 녹음되었는데, 혹시 어떤 마이크 사용했는지 알 수 있을까요?
답글 감사합니다! 사실 마이크는 그닥 좋은 것은 아닙니다. 다만 화이트 소음을 없애기 위해서 편집을 많이 했습니다. ^^ (마이크는 www.amazon.com/gp/product/B001R747SG/ref=ppx_yo_dt_b_asin_title_o06_s00?ie=UTF8&psc=1 입니다)
@@mathandenglish 넵 답변 감사~
결국은 대수적 교환, 결합, 분배법칙
수학/수교과는 재미로나마 볼 것은데..........
당연한 과정이지만 비전공자 입장에선 꽤나 지루하게 느끼지 않을까 싶어요.. ㅎㅎㅎ
간만에 학생된 느낌으로다가 잘 봤습니다 :) (저는 전공자입니다!)
걱정해주셔서 감사합니다 ^^;; 사실 재미를 목적으로 만든 채널이 아니라 그런 부분은 괜찮습니다 ㅎㅎ
깔끔하네요.
근본 적인 이유를 위한 계산의 유도 과정이 정말 쉽고 명료합니다.
깔끔한 답변 감사합니다 ^^
이러한 문제를 영상으로 올려주셔서 감사합니다.
한가지 아쉬운점은 나의 생활에 직접적인 연관성을 찾지못한점입니다.
너무많은걸 찾는건지? ㅎㅎㅎ
너무 많은 걸 찾으시기보다는 불가능한 것을 찾는 것이 더 맞는 표현일 것 같습니다 ^^ 수학이라는 것이 고도로 추상된 언어로서 수학자들의 지적유희일 때가 많습니다. 이 영상이 보여주고 있는 것이 그 중 하나입니다
와 이거 중딩때 궁금해 했던건데 신기하네. 고딩땐 왜 전체 미분이 각항을 미분한거랑 같은건지도 궁금했었는데
교과서에선 마지막 방법으로 나와있어요~
재밌다.
루트4×루트9=루트36
이렇게 근호 풀수있는걸
일련의 예로들어 전체에 적용시킬순
없는걸까요?
루트 4, 루트 9, 루트 36 은 모두 각각 2, 3, 6이라는 유리수인데, 무리수와는 다른 존재이기 때문에, 엄밀하게 따지면 그대로 적용시킬 수는 없습니다^^
두 양수 A,B에 대해 A=B와 A²=B²은 동치이므로 세 양수 a,b,c에 대해 a×b=c와 a²×b²=c²도 동치이니, a=루트2 , b=루트 3, c=루트 6 일때 한쪽이 참이니 다른쪽도 참이라 생각하고 들어왔는데 실수의 곱셈에 대해 더 알게 되었네요
a×b=c와 a²×b²=c²가 동치가 되기 위해서는, 바로 실수의 곱셈에서 교환법칙과 결합법칙이라는 가장 기본적인 성질이 성립해야 하는 것인데, 우리는 그냥 그걸 무심코 쓰고 있다는 것이죠. 그걸 바로 데데킨트가 지적했던 것이구요 ^^
이런 이과들의 대화.. 미쳐버리겠다
에ㅣ? 동치미 국물이요?
@@spell_checker ?
아직 중2라서요 그래서 동치가 뭐임? ㄹㅇ 동치미임? 다른건 알겠는데 동치는 아리송하네
안그래도 학교 다니면서 궁금해 했었는데 올려주셔서 감사합니다. 재밌게 보겠습니다😊
궁금증을 조금이라도 풀어드릴 수 있으면 좋겠습니다! 감사합니다 ^^
@@mathandenglish 학교 다니면서도 해결되지 않은 궁금증들이 있는데요. 선생님 수학을 공부한다는 건 무엇인가요? 교과서를 피고, 문제집을 푸는 것이 수학 공부인건가요? 그리고 수학은 오래전부터 쓰였다는데 과거시점에서 방정식이나 함수, 기하학은 왜 쓰였고, 그만큼 쓸모가 있었는지도 궁금합니다!
@@mathandenglish 아 묻는 걸 깜빡했네요 ㅠㅠ.. 질문드려도 될까요..
@@user-rr6ds7gi5w 그럼요 궁금하신 건 얼마든지 물어보셔도 됩니다. 다만 질문이 단순한 질문은 아니라서 시간이 날 때 답변을 드리도록 하겠습니다 ^^
@@user-rr6ds7gi5w 교과서를 읽고, 문제집을 푸는 것도 수학공부의 일종이라고 할 수 있습니다. 그러나 중요한 것은 그것들을 하면서 '왜' 그런지를 늘 논리적으로 생각하고, 그 모티베이션을 생각하는 것입니다. 그냥 공식을 외워서 풀고, 기술을 적용해서 답을 내는 것은 (비록 많은 학생들이 하고 있는 방법이지만) 수학 공부의 본질과는 거리가 매우 먼 것입니다. 우리가 배우고 있는 수학이 시작한 곳이 고대 그리스인데, 고대 그리스는 인간이성을 최고의 가치로 여길 뿐만 아니라 인간 이성을 숭배하는 곳이기도 했습니다 수학은 그런 활동 중에 가장 정점에 있는 활동이고, 그렇기 때문에 수학은 "생각의 종합 예술"이라고 볼 수도 있습니다.
5:07 (빗변의 길이를 반지름으로갖는 원을 그린다치고)
고1 증명단원에서 학생들에게 주어지기에 좋은 예시인 것 같네요
추가하자면 i) ii)로 나눠서 양×양=양 이므로 루트2 x 루트3 > 0 임을 보이는걸 추가해도 좋지 않을까 의견 더해봅니다..! 영상에서 말씀으로는 해주셨지만요^^
이런 것을 증명하라고 해본다면 좋겠지만, 사실 교과과정에서 실수의 정의를 제대로 가르치지 않기 때문에 이것을 증명하는 것이 현실적으로 어렵긴 합니다 ^^
솔직히 루트곱셈은 그저 숫자의 곱셈일 뿐인데 다른 체계를 배우듯 가르치는 느낌이 강하네요..
4×9=36을 초딩때 배우고
2×3=6을 중딩때 어렵게 배우는 느낌...
제가 만들어낸 것이 아니라, 현대 수학이 이렇게 가르치고 있다는 것을 말씀드릴 뿐입니다 ^^
정말 꼼꼼하고 대충넘어가는 일없는 논리적인 풀이법입니다.
그래서 사람들이 수학을 싫어하나봅니다.
거 대충 좀 살아~~~이러면서
저도 제곱해서 교환법칙 결합법칙으로 풀이했지만, 교환법칙과 결합법칙이 왜 성립하는가? 까지의 풀이는 쉽게 설명하지못했을듯합니다.
무한소수의 곱을 정의하는게 핵심이네요 실수니까 당연하다고 넘어가는게 고작일듯. 자연수 정수 유리수/순환소수. 까지는 성립한다고 이해시킬수있지만, 무리수까지 성립한다고 퉁치지말고 무리수인 무한소수의 곱을 정의해서 그 속성으로 교환법칙과 결합법칙이 성립한다고 즉.. 무리수의 교환법칙과 결합법칙이 정의상 유리수의 교환법칙과 결합법칙과 속성이 같다고 한거네요.
동의합니다 ㅎㅎ
루트 2가 소수로 표현할 때 무한 소수로 표현될 수밖에 없지만, 루트2 자체는 유한수 라는 것에 주목해야 합니다
영상에서 언급했지만 현대 수학에서 루트2의 정의 자체가 무한소수입니다. 다른 동등한 표현으로 해도 루트2는 무한이 개입되는 수이구요. (참고해보세요. en.wikipedia.org/wiki/Real_number)
알고리즘으로 들어오게 되었는데요.
보다보니, 궁금한게 루트2의 값이 1.414...으로 가는데... 이게 제곱이 된다고 2가 된다는건...
진짜2이가 되는건가요?
아님 2에 수렴이 된다는걸 의미하는건가요?
듣다보니 무한소수 곱하기 무한소수가 2라는 정수가 된다는게...
지금까지 그냥 당연하다고 생각했는데, 듣다보니 이상해서요.
중요한 질문을 해 주신 것 같습니다. 제가 다른 영상에서(ruclips.net/video/CWyS9UlNslk/видео.html) 언급을 하였지만, 현대 수학에서 실수라는 수는 무한소수로 정의가 됩니다. 2라는 수도 실수로 정의를 하면 2가 아니라 1.9999.... 혹은 2.0000 입니다.
1.414... 라는 루트 2를 무한소수의 곱셈규칙에 따라 제곱을 하면 2.0000.... 혹은 1.9999.... 가 됩니다. 수렴하는 것이 아닙니다. 이것이 매우 이상하죠. 무한이라는 판타지를 수학에 도입해서 그런 것입니다.
이 무한(집합)을 칸토어가 도입할 때, 엄청나게 논란이 많았고 지금도 논란이 끊이지 않습니다. 그리고 또한 무한집합 자체가 역설을 만들어내구요. 이 부분은 제가 또 다른 유튜브 채널에서 자세히 다루려고 하고 있습니다. (ruclips.net/channel/UCtr9n-zCkSc69FcX-LMLy5A
)
이런거 진짜 좋은듯 1+1이 왜 2인지 이런거요
수학이 뭔지 좀 아시는 분 같습니다 ^^
이해가 안되서 3번 봤는데여 핵심은 무리수에서 교환법칙과 결합법칙을 증명하는 것 아닌가요? 결국에 저 명제를 증명하는 식은 그냥 지수법칙 성질 이용해 연산한 거랑 큰 차이를 느끼지 못하겠어요.. 사실상 저 루트를 지수로 올린 것으로 연산하는 게 아닌가요.. 교환법칙과 결합법칙의 증명을 이 영상에서 하신 건 아니죠? 그리고 교환법칙과 결합법칙의 성립 증명이 되면 지수로 표현해 (지수 1/2+1/2)도 같은 거죠?
일단 세번씩이나 보셨다니 감사, 혹은 대단하다는 말씀을 드리고 싶습니다 ^^
당연히 결정적으로는 (ab)^2 = a^2b^2 을 이용해서 증명한 것입니다. 그러나 교환법칙, 결합법칙이 성립하지 않는다면 이 식: (ab)^2 = a^2b^2 은 무용지물입니다. 만약 무리수를 제대로 정의하지 않은채로 왜 무리수 사이에서 교환, 결합법칙이 성립하냐고 물어본다면 사실 할말이 없습니다. 그냥 그렇다고 생각하겠다는 것 외에는요. 그러나 이 영상에서 한 것과 같이 무리수가 무엇인지 구체적으로 정의하고, 그들 사이의 곱셈이 무엇인지를 정해주면 그 때는 무리수 사이에서 교환, 결합법칙이 성립하는 것을 증명할 수가 있게 됩니다. 참고로 무한소수의 곱셈에서 교환법칙이 성립하는 것을 증명하는 것은 쉽고, 이 영상에서 간략히 언급했습니다. 결합법칙은 조금 까다로운데, 그 부분은 영상의 설명란에 써 놓았으니 참고하시면 되겠습니다 ^^
음...
루트2를 2^1/2승
루트3을 3^1/2승
르트6을 6^1/2승 으로 만들고 계산하면 안되나요?
2^1/2승 곱하기 3^1/2승은
(2×3)^1/2승이 되고
2×3=6이니까
6^1/2승이 되고
이게 다시 루트6이 되는거...
이리 하면 안되나요?
결합법칙과 교환법칙이 성립한다는 조건이 필요합니다. 무리수에 왜 그런 법칙이 성립하는지를 설명하는 내용의 영상이지요 ^^
수학과 전공인데 귀엽네요💬ㅋㅋㅋㅋㅋ
사전에 교환법칙과 결합법칙이 성립함을 알려주고 마지막처럼 나오는게 교과서인데.. 흠... 가르칠때 다른건가??
왜 교환법칙과 결합법칙이 성립하는지를 증명하는 것이 이 영상의 취지입니다. 물론 그것을 증명하기 위해서는 무리수가 무엇인지부터 제대로 정의를 해야겠죠. 그것을 19세기 말에 칸토어와 데데킨트가 한 것이구요.
문과 졸업한지 30년이 넘었는데, 이해가 쏙쏙 됩니다
그때도 한끝발 날리셨나봅니다 ^^
안녕하세요.
루트의 정의에 의해 2가 된다는 말이 이해가 잘 안됩니다.
저는
1. 2*2=4
2.루트4*루트4=4=루트16
그래서 자연수의 곱과 같다고 이해하고 넘어갔습니다.
루트 4, 루트 2 이런 수들은 모두 정의상 제곱해서 4가 되는 양수, 제곱해서 2가 되는 양수들입니다. 제곱해서 4가 되는 양수야 2라는 자연수가 있지만, 제곱해서 2가 되는 수는 유리수 중에는 없습니다. 따라서 이런 수는 만들어내야 하는 것이죠. 그 만들어낸 수가 바로 무한소수 1.414213... 입니다. 그런데 우리가 수를 만들게 되면 늘 그 새로 만들어진 수들 사이에 사칙연산을 정의해줘야 하는데, 특별히 곱셈 사이에서 결합법칙이 성립을 해야 (ab)^2 = a^2 b^2 이 성립을 합니다. 이 식이 성립을 할 수만 있다면 루트 2의 제곱은 그 정의상 2가 되기 때문에, 우리가 원하는 결론을 얻을 수 있다는 것이죠. 특별한 답글은 아니고 영상에 있는 내용을 다시 말씀드렸을 뿐입니다 ^^
(참고로 쉬운 내용이 결코 아닙니다. 쉬운 내용이라면 중고등학교 교과서에서 이미 설명을 했을 것이고, 저도 "교과서는 말해주지 않는"이라는 제목의 썸네일을 만들지는 않았을테니까요 )
안녕하세요. 혹시 판서하신 프로그램명 여쭤봐도 될까요?
아이패드에서 notability 라는 앱을 사용하고 있습니다 ^^
선생님!! 궁금한게 있는데요 마이너스 b분의 a랑 b분의 마이너스 a랑 같은건가요?? 같다면 그 이유는 뭔가요?
매우 좋은 질문 주셨네요 ^^ a/(-b) = a*(1/(-b))이고, (-a)/b = (-a)*(1/b) 라고 할 수 있습니다. 여기서 1/(-b)는 (-b)의 역수, 1/b는 b의 역수입니다.) 이 때, a*(1/(-b)) = c, (-a)*(1/b) = d 라고 한다면 우리는 c = d 임을 증명하면 됩니다.
일단 a*(1/(-b)) = c이기 때문에 a = (-b)*c, 또 (-a)*(1/b) = d이기 때문에 -a = b *d가 성립을 하는 것을 알 수 있습니다.
그런데 (-b)*c + b*c = ((-b) + b) * c = 0 * c =0 이고,
(-b)*c = a 이기 때문에 b*c = -a 가 성립을 합니다.
이것을 -a = b *d 라는 식과 연립을 시키면 -a = b *d = b * c가 되는 것을 알게 되고, b *d = b * c의 양변에 b의 역수인 1/b를 곱해주면 c = d 라는 것을 얻게 됩니다. 따라서 a/(-b) = (-a)/b 가 된다는 것을 알 수 있습니다 ^^
@@mathandenglish선생님 그러면 사람들이 b분의 마이너스a를 적을때 마이너스를 b분의 a 왼쪽 가운데에 쓰기도하던데 b분의 마이너스a와 마이너스b분의 a는 같은것이므로 b분의 a 왼쪽 가운데에 있는 마이너스를 분모에 옮겨도 되고 분자에 옮겨도 되는 거겠네요?
@@user-wv1cw9ik5e 엄밀히 말하면 -(a/b)는 또 다른 것입니다. -(a/b)의 정확한 뜻은 a/b와 더해서 0이 되는 수입니다.
아까 위에서 (-a)/b = d라고 두었고, 이제 a/b =e 라고 한다면, -a = b * d, a = b * e 이므로 0 -a + a = b * d + b * e = b * (d + e) 가 되고, b 가 0이 아니므로 d + e = 0이 됩니다.
한편 -(a/b) = f라고 한다면 a/b + -(a/b) = 0 이기 때문에 f + e = 0 이 되죠. 따라서 d = f 가 성립을 합니다.
지금 질문하신 내용은 추후에 제가 영상으로 한번 제작해보도록 하겠습니다 ^^
@@mathandenglish영상으로 올려주신다니 정말 감사합니다!!
4×9=36 이고 2×3=6이니까 정도만 생각했는데 생각보다 심오하네요...
그니까 이게 제곱해서 2랑 3이 되는 수 1.4xxx나 1.7xxx을 보기 편하게 하려고 2랑 3에 루트를 씌었을 뿐인데 마치 자연수처럼 루트 안 숫자들이 계산되는 게 신기해서 증명하는 내용 아닌가요?
제곱을 하면 된다느니 엉뚱한 소리 하는 사람들 뭐지
정확하게 보셨습니다. 이해 못하시는 분들은 어쩔 수 없습니다. ^^
역시 수학은 외우는게 아니라 이해하면서 공부해야한다는걸 잘 느끼고갑니다
선생님 왜 루트2가 제곱해서 2가 되는 '양수' 인건가요? 단순히 루트의 정의인건가요?
네 맞습니다. 루트 2 의 정의 자체가 제곱해서 2가 되는 양수입니다 물론 그 실체는 영상에서 말한대로 제곱해서 2가 되는 무한소수입니다.
ab=c라면 a^2*b^2=c^2 이듯 당연한게 아닌가..? 역은 마이너스가 있긴한데 그건 논외로 치고
당연한 것이 아니라는 것을 설명하는 것이 이 영상의 취지입니다 ^^
결합법칙과 교환법칙은 공리로 보는 것이 맞지 않을까요?
공리라고 하는 것 역시 사람들이 정해주는 것이기 때문에 그렇게 생각하실 수도 있는데, 현대 수학에서는 공리라고 하는 것(ZFC 공리계 )이 따로 정해져 있기 때문에 그렇게 할 수는 없습니다. 따라서 나머지 것들은 증명을 해야 하는 것이죠 ^^ (참고해보세요: ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B2%B4%EB%A5%B4%EB%A9%9C%EB%A1%9C-%ED%94%84%EB%A0%9D%EC%BC%88_%EC%A7%91%ED%95%A9%EB%A1%A0)
@@mathandenglish 그렇군요. 체(field)의 원소로 결합법칙과 교환법칙을 만족하는 것은 공리처럼 생각했습니다. 무리수를 체의 원소로 보기 이전에 무한소수로 보아서 직접 증명을 보이는 방법이 있을 수도 있었네요. 생각해본 적 없는 주제인데 흥미로운 영상이었습니다!
@@lunarrabbit4199 사실 말씀하신 것은 체(field)라는 대수적 구조의 정의의 일부라고 보시는 게 더 정확한 표현일 것 같습니다. 현대 수학에서 수학의 공리는 집합론으로 표현이되고, 자연수, 정수, 유리수, 실수, 그리고 그들의 사칙연산 모두 집합과 그 기호를 이용해서 정의를 하는 것이구요. 실수 집합 같은 경우 그것들이 체(field)의 정의를 만족하다보니 실수체라고 부르게 됩니다.
아주쉬운데.. 제곱을해서 루트를 벗기면 깔끔한거 아닌가요? 이제 영상보며 답을 확인하겟습니다.
원래 사실은 그 정도로 간단한 문제는 아닙니다 ^^
저 식이 성립하려면 먼저 실수 전체에서 교환법칙, 결합법칙이 성립한다는 것을 증명해야 한다
Exactly! 정확하십니다! :)
실수의 개념에 관하여 실수하면 곤란하고
허수의 개념을 학습함에 있어 헛것을 보면 안됨..
루트4 × 루트9 는 루트 36입니다
즉 2 × 3 은 6 이 됩니다
그러므로 루트곱하기 루트는 참이됩니다
핵심은 결합법칙과 교환법칙이 가능한가입니다. 그렇지 않으면 19세기에 데데킨트가 이것을 본인이 인류 역사상 처음으로 증명했다고 할리가 없죠.
이왕 쉽게 써주신김에
마지막에 그냥 6이라고만 쓸게 아니라 (루트6)제곱이렇게 표시했다면 더 좋았을거 같네요.
뭔가 조금 더 마무리를 잘 썼으면 좋았을 것 같긴 한데, 저 영상을 마무리를 지을 때 거의 지쳐있었던 것 같습니다. 허접해보이긴 해도 저 영상의 대본을 쓰고 편집하고, 완성하기까지 최소 10시간은 걸렸던 것 같습니다 ^^;;;
@@mathandenglish 고생하셧습니다.
@@MsTuring 잘 봐 주시는 분들이 계셔서 충분히 시간을 투자할만 한 것 같습니다 ^^
연산자의 정의가 수의 정의에 앞선다는 것을 데데킨트와 칸토어가 다시 '정의'한 거라고 표현하는 게 좀더 좋을듯하네요.
음.. 그렇진 않은 것 같은데요. 데데킨트의 논문인 continuity and irrational numbers 를 보면, 실수와 실수의 연산을 같이 정의하고 있습니다.
해석학1강... least upper bound... cut... 윽 머리가
와 진짜 어디에 물어봐도 못 듣던 대답이었습니다. 증명보다 그 과정이 정말 유익한 영상이네요.. 꼭 떡상하세요
유익이 되셨다니 저에게도 보람이 됩니다. 감사합니다 ^^
저는 지수법칙으로 증명했는데 이건 어떻게 생각하세요?
(ab)^n = a^n b^n 이라는 지수법칙이 성립하려면 교환, 결합 법칙이 성립한다는 것을 증명해야 합니다. ^^
선생님 루트 -7 곱하기 루트 -7을 루트 49로 계산하면 안되는 이유가 뭔가요?
루트 마이너스7은 허수니까요 루트7 곱하기 i의 형태니까요.
루트는 제곱근중에 양수라는 약속이 있습니다
루트 -7은 루트 2와는 또 다른 종류의 수입니다. 허수라고 하죠. 먼저 루트 -7이 무엇인지부터 제대로 따져봐야 하고, 또 그들 사이의 곱셈과 연산 규칙은 새롭게 정의가 되기 때문에, 루트 -7 곱하기 루트 -7이 루트 49가 되는지 역시 새롭게 따져봐야 합니다. 참고로 조만간 허수에 대해서 한번 다룰 예정입니다 ^^
i^2=-1이라고 정의 했어요
제곱해서 -7이 되는 수를 제곱했는데 7이 나오면 안되잖아요? 그래서 연산 규칙이 다른거겠죠?
구 루트가 같은값이어야 하니까
근데, 지수 법칙으로도 쉽게 설명되지않아요?
root 2 = 2^(1/2), root 3 = 3^(1/2) 이므로 같은 지수 분 법칙에 의거해 2^(1/2) * 3^(1/2) = (2 * 3)^(1/2) = 6^(1/2) = root 6
(ab)^2 = a^2 * b^2 가 되려면 곱셉의 교환, 결합법칙이 성립해야 가능합니다. 따라서 무리수의 교환, 결합법칙이 성립하는지를 확인하는 작업이 필요하고, 그렇게 하려면 무리수 사이의 곱셈이 어떻게 정의되어있는지를 알아야 하죠 ^^
결과가 root 6 되는것보다 왜 교환결합분배 법칙이 성립하는가가 더 어려운데.. 신기한 설명이네요
아직 안보긴 했지만 루트는 1/2승과 같음을 이용하면
2^1/2*3^1/2, 지수법칙을 이용하면
(2*3)^1/2=6^1/2=루트6임을 알수있져..
그보단 조금 더 근본적인 문제입니다. 여유가 되면 한번 봐보셔도 좋을듯 합니다 ^^
이런 사람들이 수학을 하는거구나...ㄷㄷ
아무리 생각해도 수학자들은 천재들 중에 천재들입니다. 그런 사람들이 만들어놓은 것을 모든 사람들이 공부하려고 하니 어려울 수 밖에 없는 것 같습니다.
아직 안봤는데
a^2=2
b^2=3
이라 하면
(ab)^2=6
ab(즉 루트2 * 루트3)=6
이런식으로도 가능한가여?
시간되실 때 한번 봐보시는 것을 추천드립니다 ^^
자연과학이 아닌 공대에 왔다는 사실에 감사한다..... 자연과학대학에 다니는 분들...존경....
앗 그런가요? 그래도 재밌지 않나요? ^^;;;
√a × √b =√a×b (a, b는 어떤 수 ?)
질문이신가요?
@@mathandenglish 네
@@user-wd9cc8kj1l 결론만 얘기하면 맞는 명제입니다. 증명은 영상 내용을 참고하시면 됩니다. 물론 a, b가 0이상의 실수라는 전제하에서요 ^^
4:04 0은 아니지않나요
0도 무한소수로 표현됩니다. (-1).9999999.... 이런 식이라고 보시면 됩니다. 제가 링크 첨부한 www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/decimals.html 를 참고하시면 됩니다. ^^
애초에 루트는 1/2 승이기때문에 지수법칙으로 성립하는거아님?
지수법칙이 성립하려면 먼저 결합법칙과 교환법칙이 성립한다는 조건이 필요합니다. 무리수에 왜 그런 법칙이 성립하는지를 설명하는 내용의 영상이지요 ^^
그냥 양변에 제곱해보면 끝나는거 아닌가요…??
그렇게 하려면 무리수 사이에 교환법칙과 결합법칙이 성립해야만 가능한 것인데, 그 부분을 설명하는 것이 이 영상의 취지입니다 ^^
그냥 양 등식에 제곱을 해주면 쉽게 증명할 수 있지 않나요?
그렇게 하려면 무리수 사이에 교환법칙과 결합법칙이 성립해야만 가능한 것인데, 그 부분을 설명하는 것이 이 영상의 취지입니다 ^^
루트2 × 루트3이 루트6인 이유를
루트2 × 루트3 = 루트6
= 루트2×3 = 루트6
= 루트6 = 루트6
이렇게 설명하면 안되나요?
결합법칙과 교환법칙이 성립한다는 조건이 필요합니다. 무리수에 왜 그런 법칙이 성립하는지를 설명하는 내용의 영상이니, 시간되실 때 한번 봐보세요 ^^
4:07 유리수 1이 왜 0.99999.... 인가요?
간단히 말하면 정의입니다 ^^ 아마도 이런 말을 들어보신 적이 없을 것 같아서 제가 이전에 찍어놓은 영상을 한번 봐보시길 추천드립니다:
"1=0 9999⋯ 에 대해 제대로 설명해드립니다" ruclips.net/video/CWyS9UlNslk/видео.html
@@mathandenglish 감사합니다. 1=0.99999 인것은 영상을 통해 알게되었지만 1.0000과 1이 다른 이유를 잘 모르겠습니다😅
제가 초등학생때 배웠던 수학은 소수점 밑의 0은 없엔다고 기억하는데 그에 따르면 1.0000과 1은 같은것이 아닌가요?
@@user-dd5ld7fc2e 1이라고 하는 것은 자연수로서의 1을 말하는 것이고, 실수로서의 1은 무한소수이므로 무한소수 형식으로 쓰게 됩니다. 말씀하신 것처럼 1은 무한소수로서 1.00000....으로도 쓸 수도 있습니다. 다시 말해 1의 무한소수 표현방식은 0.99999....으로도 쓸 수 있고, 1.00000....으로 쓸 수 있는데 둘은 같은 것으로 정해줍니다. 마치 유리수에서 2/2와 3/3이 모두 1의 유리수 표현인 것과 같습니다.
제가 말씀드리는 것은 현대수학의 표현방식을 말씀드리는 것인데, 이것을 보면 수학이라는 것이 자연스러운 것이 아니라 인위적인 산물이라는 것을 알게 됩니다. 물론 초등학생들한테 이런 것을 설명하는 것은 쉽지 않기 때문에 당연히 어느 정도 단순화 시켜서 가르칠 수 밖에 없죠 ^^
공교육의 무능함을 일깨워주는 영상
이렇게 말씀해주시는 분도 계시지만, 또 한편으로는 제게 교과서를 다시 잘 읽어보라고 하시는 분들도 더러 계시니 참 현실은 아이러니합니다 ^^ㅎㅎ
양변을 제곱하면 되잖아..
교환법칙과 결합법칙이 성립해야 가능한 것인데, 무리수에서 왜 그게 성립하는지를 설명하는 영상입니다 ^^
1.414··· * 1.732··· = 2.449이기 때문임다
무한소수라 하나씩 계산해서 확인할 길은 없습니다 ㅎ
그냥 양변을 제곱하면 되는거 아닌가?
결합법칙과 교환법칙이 성립한다는 조건이 필요합니다. 무리수에 왜 그런 법칙이 성립하는지를 설명하는 내용의 영상이니, 시간되실 때 한번 봐보세요 ^^
너 일일이 모든 케이스 제곱해서 증명할래?
(√2)×(√3)=√(2×√3²)=√6
?
이게 자명하지 않다는 것이 이 영상의 취지입니다. 루트2가 무엇인가요? ^^
양쪽에 루트2 루트3을 꼽해주면 6 = 루트6 * 루트2 *루트3 고로 루트2 * 루트3은 루트6이다...인걸로 보이는데...일부러 저렇게 무리수를 억지로 동원해서 증명하다니...수학자들은 너무 심신한듯;
수학자들이 왜 이런 활동들을 굳이 하고 있는 것인지.. 어찌보면 말씀하신 것에 힌트가 있습니다. 결코 심심해서 하는 것은 아니겠죠. 수학이 진리의 본체(a body of truths)라고 생각하니 저런 무리한 행동을 하는 것이죠. 이미 우리는 무리수에 익숙해져버려서 아무 느낌도 없지만 사실 무리수야말로 '무리'한 개념입니다. :)
@@mathandenglish ㅎㅎㅎ 심심하다는건 농담 같은 진담이었습니다. 심심함 + 궁금함이 모든 지식의 시작이 아닐까 하는...
@@man791212 네 저도 그런 뜻으로 받아들였습니다! ^^ㅎㅎ 그러나 제가 한마디 더 덧붙이고 싶은 것은, (제가 수학역사나 과학역사를 공부해본 결과) 수학자들의 열정(?)은 단지 심심함 + 궁금함 정도가 아니라 수학에 대한 종교적 열정이었다는 것입니다. 이 부분은 제 또 다른 유튜브 채널(ruclips.net/channel/UCtr9n-zCkSc69FcX-LMLy5A )에서 말씀드리고 있으니 관심있으시면 참고해주시면 되겠습니다. :)
이게 수학이지 ㅋㅋ
R3 × R3 = R3ㆍ3 = R9 = 3
어떤 뜻일까요? ^^
@@mathandenglish
루트3×루트3=루트9=3
으로 빗대어 증명 한거쥬 ~
@@20Korea24 ㅎㅎ 그것보단 좀 깊은 뜻이 있습니다 ^^
@@mathandenglish 저도
그렇게 생각합니다.
루트는 연산자 이지요??
시그마는 연산자가 아니고.
연산자라는 말을 통해 무슨 뜻을 전달하고 싶으신지 궁금합니다 ^^
1.414 x 1.732 이정도 곱하면 대충 루트6 나올거 같던데...;;
정곡을 잘 짚으셨습니다. 대부분의 문명권에서는 저 정도면 만족을 하고 넘어가는데, 그리스 수학은 그게 만족이 안 되는 사람들이거든요 ;;;
수학에선 그게 안통하는게 문제임 아무리 완벽한 실험결과가 있어도 증명이 없으면 참으로 볼수 없어서
2^0.5×3^0.5=(2×3)^0.5?
에이, 그 정도 내용이면 영상 안 만들죠 ^^;;
봐도 먼 소린지 모르겠다
어려운 얘깁니다 ^^ 최대한 쉽게 얘기하려 했지만요
@@mathandenglish 수학이라는 언어와는 연이 없는 것 같네요 어릴때부터
@@wushein (혹시 그러시다면) 너무 자책하지 않으셔도 됩니다 ^^;; 수학을 쉬워하는 사람을 한번도 본적이 없거든요. 그리고 아마 조금 더 잘 가르쳐준 사람이 있었다면 좀 나았을 수는 있을 거에요.
루트니깐 양변을 제곱하면 되는거 아닌가.. 영상내용은 잘 몰겠음.
결합법칙과 교환법칙이 성립한다는 조건이 필요합니다. 무리수에 왜 그런 법칙이 성립하는지를 설명하는 내용의 영상이니, 시간되실 때 한번 봐보세요 ^^
그냥 제곱갈기면 되는데
그걸 그냥 할 수 없다는 것이 데데킨트의 주장이고, 이 영상의 취지이죠 ^^
아 글쿤요 그냥썸네일만보고 생각을말한거라ㅋㅋ
@@ThemeNew 그렇군요 ㅎㅎ 시간될 때 한번 봐보세요 ^^