함수의 그래프의 평행이동에 대한 제대로 된 설명 | 함수와 그래프를 잘 모르시는 분들은 꼭 보세요!
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- Опубликовано: 26 авг 2024
- 영수의 본질, 본질적 초/중/고 수학 수업
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여러분 안녕하세요. 이번 영상에서는 함수와 그래프에 대한 부분을 다루어보았습니다. 중학교 교과 과정을 공부하다보면 여러가지 수학적 개념들을 마주치게 되는데, 특히 함수 부분에 갔을 때 좌절을 경험하는 학생들이 많습니다. 그도 그럴 것이 함수라는 개념도 쉽지는 않지만 그것이 그래프라는 기하학적 개념과 합쳐지기 때문이죠. 그렇기 때문에 상당수의 학생들이 함수와 관련된 부분을 외우게 되는 경우가 많은데, 오늘 영상의 주제인 함수의 그래프의 평행이동에 관한 부분도 그러한 부분 중 하나입니다. 오늘 영상을 통해서 이 부분에 대한 이해뿐 아니라 함수와 그래프가 무엇인지에 대해서도 확실히 이해하실 수 있으면 좋겠습니다.
#함수 #그래프 #평행이동
![[ODE Ep.4] 완전미분방정식의 해는 이렇게 생겼습니다.](/img/1.gif)
13:10 ~ 13:45 부분에서 질문이 있습니다. 좌표평면에서는 가로축을 x축이라 부르고 세로축을 y축이라 부릅니다. 제가 함수에서 그래프로 넘어갈 때 유독 이해가 안됐던 부분도 이부분인데요. x와 y의 세계에서 a와 b라는 변수를 도입해도 되나? 싶은 의문점이 있었습니다. x와 y의 관계식과 a와 b의 관계식은 마치 다른 세계에 있는 두 그래프라는 느낌을 받았어요. 그래서 '통상적으로' a와 b의 관계식을 x와 y의 관계식으로 바꾼다는 논리가 쉽사리 납득되지가 않았습니다. 다시 좌표 얘기로 돌아와서, 현재 제 지식만으로 좌표를 설명해보겠습니다 '좌표평면'이란 가로축은 집합 X={x l x는실수 전체}이며, 세로축은 집합 Y={y l y는실수 전체}로써 구성된다,,, 그리고 여기서 집합 A와 B 역시 구성 원소가 같은 듯 합니다. 가로축은 집합 A={a l a는실수 전체}이며, 세로축은 집합 B={b l b는실수 전체}로써 좌표를 구성하기 때문에, 좌표 x,y와 좌표 a,b의 구성 원소는 같다. 그러므로 둘은 '같은 좌표값'을 뜻하므로 b-2=(a-3)^2-2(a-3)+2 를 y-2=(x-3)^2-2(x-3)+2 라고 바꿀 수 있는 것이다! 라고 생각해도 될까요? 아니면 제가 잘못된 접근으로 좌표와 그래프를 이해하고 있는 걸까요?
함수라는 것은 대응관계라고 보시면 됩니다. x, y, a, b 와 같은 문자는 중요한 것은 아니고, 그냥 input 과 output의 관계를 기술한 것인데, x, y 같은 문자를 쓰고 있을 뿐이죠. 실제로 정의역과 공역이 {1, 2, 3}일 때, 1에 3을 대응시키고, 2에 1을 대응시키고, 3을 2 대응시키는 것과 같이 하나씩 임의로 대응관계를 정해주는 함수의 경우 x, y라는 문자 자체로 그 함수를 묘사할 수가 없습니다. x, y는 그냥 보조도구일 뿐입니다.
또한 그래프 역시 굳이 x, y 축이라는 특별한 이름이 필요 없습니다. 그냥 input과 output을 좌표평면에 나타낸 것이라고 생각하시면 될 것 같습니다. ^^
와...
오호...
그렇다면 이차함수 y=ax^2+bx+c 랑 직선 y=mx+n 에 대해서 물어보고 싶습니다. 예를 들어 이 두 식을 ax^2+bx+c=mx+n 라고 둔다고 하면 이 식의 의미는 x의 값과 y의 값이 동시에 일치하는 경우가 해가 된다는 말처럼 들렸어요. 사실 여기서 제가 제일 이해 안되는 부분은 이렇습니다. x는 독립변수, y는 종속변수 인가요? 그렇다면 y=ax^2+bx+c 에서 쓰인 y1 과 y=mx+n 에서 y2는 서로 다른 y 인가요? 제 말은 이 y가 서로 다른 식에 종속되어 있는데 '같다고' 표현해도 되는 건가요? 왜냐하면 y=y로 식을 '연립'(? 아직 연립의 뜻이 뭔진 잘 모르겠습니다만)한다고는 하는데... 일단은 이 y의 정체에 대해 저는 궁금합니다.
두 번째로는 ax^2+(b-m)x+(c-n)=0 ,,, 이걸 판별식을 통해서 이차함수와 직선의 교점의 개수를 알 수 있다는데 조금 난해하게 다가옵니다... 여기서 제가 이미 추측하고 있는 사실이 하나 있는데 이차식을 완전제곱식으로 바꿨을 때 꼭짓점의 y좌표가 -( b^2-4ac/4a ) 라는 사실을 알 수 있고 a가 양수고 판별식 b^2-4ac가 음수라면 y의 꼭짓점이 양수가 되니까 x축으로부터 붕 뜨게 되고 x축과 만나는 교점의 개수가 없다는 사실을 압니다.
그런데 ax^2+(b-m)x+(c-n)=0 이 경우에서는 직선 mx+b 가 기울어져 있고 저에게 복잡하고 이해가 안되게 다가옵니다. ax^2+(b-m)x+(c-n)=0. 이 식을 완전제곱식으로 바꿔도 봤는데 꼭짓점 x의 좌표가 -{(b-m)/2a},,, 꼭짓점 y의 좌표가 -{ (b-m)^2-4a(c-n)/4a } 이 나오더라고요. 음. 아직 저한텐 이해가 안되지만, 이 꼭짓점의 식이 의미하는 걸 알면 왜 ax^2+(b-m)x+(c-n)=0 에서 판별식이 교점를 의미하는지 알 수 있지 않을까 생각하고 있습니다.
모쪼록 저한테 있어 ax^2+bx+c=mx+n 이 되었든 ax^2+bx+cmx+n 이 되었든 y를 이해해야 납득이 될 것 같은데 참 어렵게 다가오네요
쉽지 않은 개념입니다. 이 부분은 방정식과, 함수, 그래프의 정확한 개념을 이해할 뿐 아니라 그것들이 서로 어떻게 연관이 되는지를 제대로 이해하고 있어야 확실히 이해할 수 있는 개념입니다. 댓글로 말씀드리기는 좀 힘들고, 제가 예전에 찍었다가 비공개 처리해놓은 영상이 있는데 참고하시라고 잠시 공개 처리해드릴테니 한번 참고해보시면 도움이 조금 되실 것입니다. ruclips.net/video/88jX8jBbv3U/видео.html
참고로, 말씀하신 부분을 정확하게 설명한 것은 아니고 그것의 준비과정 정도라고 생각하시면 될 것 같고, 해당 질문 부분은 제가 시간이 되는 대로 영상을 제작할 예정입니다. ^^
@@mathandenglish 영상 잘 봤습니다 감사합니다! 근, 최솟값, 꼭짓점 이런 개념들이 서로 유기적으로 연결되어 있는 것이 정말 재밌네요. 정말 흥미롭습니다.
이거와 관련해서 왜 y=ax^2+bx+c 꼴의 이차함수 식을 y=a(x-h)^2+k 꼴로 바꾸면 (h,k)가 항상 꼭지점을 그리는 지도 알려주실 수 있나요?
제곱의 특성 때문에 그렇습니다. 그렇게 바꾸는 이유는 제곱의 특성이 실수 범위 내에서는 0 이거나 양수이므로 (x-h) = 0 일 때 제곱이 0 이 되고 이 때가 항상 y 는 최소값 또는 최대값 k 가 되게 됩니다.
언제 최소값이 되고 언제 최대값이 되는지는 a 를 고려해서 생각해보시면 답을 찾으실 수 있으실겁니다.
크게 보면 이차 방정식도 두개의 방법으로 풀이가 나눠지게 되는데요. 곱셈의 특성을 이용한 방법 (인수분해를 하는 이유입니다), 두번째 방법은 제곱을 이용하는 방법입니다.
생각보다 제곱의 특성을 이용하는 경우가 여기 저기 많아서 제곱은 0 이거나 양수인 걸 고려하시면 많은 최대 최소값 문제가 이해가능합니다.
꼭짓점이라는 것은 기하학의 용어입니다. 이 영상에서 설명했던 바와 같이 기하학에서의 용어들이 함수와 어떻게 연관이 되는지를 이해하셔야 하는데, 이차함수의 그래프를 그리면 가장 아래로 내려가있거나 혹은 가장 위로 올라가 있는 부분이 생깁니다. 그 부분을 바로 꼭짓점이라고 정해주는 것입니다.
그렇다면 꼭짓점은 어디에서 생길까요? HK-pg1kl님이 댓글 남겨주신 것처럼, x=h인 부분에서 발생하게 됩니다. 따라서 우리는 (h, k)라는 좌표를 가지는 점이 함수의 그래프의 꼭짓점이 된다는 것을 알 수 있습니다.
해당 영상이 평행이동 관련 영상인 만큼, 다음과 같이 생각해도 괜찮은 근거이지 않을까요? y=a(x)^2의 그래프의 꼭짓점이 (0,0)임은 그래프를 직접 그려봄으로써 바로 확인이 가능한 사실인데, 함수 y=a{(x-h)^2}+k 는 y=a(x)^2의 그래프를 x축방향으로 h만큼, y축방향으로 k만큼 평행이동 시킨 그래프이니, 꼭짓점도 (0,0)에서 (h,k)로 같이 평행이동될 것이므로 함수 y=a{(x-h)^2}+k의 그래프의 꼭짓점은 언제나 항상 (h,k)이다 라고도 설명할 수 있을 것 같습니다.