역설 위에 세워진 기하학 (feat. 무리수 파이의 실체)
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- Опубликовано: 11 фев 2025
- 영수의 본질, 본질적 초/중/고 수학 수업
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안녕하세요. 이번 영상에서는 기하학에서 파이와 같은 무리수가 왜 발생하는지를 다루어보았습니다.
대부분의 사람들이 수학을 배우면서 처음 접하게 되는 무리수가 파이일 것이고, 그 이후에는 피타고라스 정리 등을 배우면서 루트 2와 같은 무리수를 배우게 되는데, 도대체 무리수의 존재를 어떻게 생각해야 하는지를 모르는 경우가 허다할 것이라고 생각합니다. 그것은 저 역시도 마찬가지였기에, 오랜 시간 동안의 수학 및 수학 역사/철학 공부를 알게 된 사실을 토대로 이번 영상을 찍어보았습니다.
무리수와 기하학의 본질에 한 걸음 가까이 가는 계기가 되었으면 좋겠습니다. 감사합니다. ^^
#무리수, #파이, #기하학
인간의 사유가 참 대단하네요, 뒤늦게 수학공부하는 입장으로서 이런 본질적은 영상으로인해 조금이나마 수학 공부를 꾸준히 해 나갈 원동력을 얻고 갑니다. 감사합니다 ^^
도움이 되셨다니 기쁠 뿐 입니다! 제가 최근에 새로 개설한 채널도 있으니 관심있으시면 영상 봐보셔도 좋을 것 같습니다 ^^ (www.youtube.com/@truthnfoundation )
본인은 수학을 전공하지도 않고 평소에 수학을 생각해 본 적도 없는 사람인데...최근에 이상한 의문이 들었던 것 중의 하나가 바로 "점"의 정체였습니다. "점" 뿐만 아니라 "선"도 마찬가지고 면적, 공간도 마찬가지지요. 도무지 실체가 있는 것인가?' 라는 의심이 들어서 한가한 때는 궁리에 궁리를 했더랬습니다.
그런데 선생님의 강의를 들으니 이제야 좀 실마리가 풀리는 것 같습니다. 정말 재미있습니다.
우리가 처음 수학을 배울 때, 정말 이것부터 배웠어야 하는가 싶어요.
이렇게 중요한 점..선...수....이런 기초적인 개념에 대한 아무런 지식도 없이 덜컥 연산부터하고 넓이를 구하고....문제만 풀어대는 기계만 만들어 내고 결국 수학은 재미없고 지루한 "일"이 되어 버린 것이 아닌가 합니다. 앞으로도 좋은 강의 만들어주시면 후학들에게 큰 도움이 될 것 같습니다. ^^
저 역시도 학창 시절에 수학을 배울 때 이런 부분을 조금도 배우지 못했습니다. 공교롭게 수학에 관심을 가지고 수학을 전공하면서 이런 부분을 조금 더 찾아보게 되었습니다. 이 부분은 사실 수학과에서 배우는 것이라기보다는 수학철학을 공부하는 분야에서 다루는 내용이기도한데, 굉장히 중요한 부분이라고 저는 생각합니다. 말씀하신대로 이런 부분을 계속해서 짚어나가려고 합니다 ^^ 답글 감사합니다
실체는 있잖아요
나무를 사각형으로 만들면 그게 실체 아닌가요
동그랗게 만들면 그것이 실체고
@@un-kim. 실체는 말씀하신 대로둥근모양의 나무, 사각형 모양의 나무입니다. 그런데 그리스 기하학에서는 소위 "완벽한" 원, 사각형 등을 생각하고 있죠. 그 "완벽한" 원, 사각형은 선의 두께가 없는 환상의 존재입니다.
예를 들어, 빨간 스카프, 빨간 지붕 이런 건 있겠지만 완벽한 "빨감" 이란 것이 저 어딘가에 있다고 하는 것과 같습니다. 이게 플라톤의 이데아의 개념인데, 판타지 같은 생각이죠.
직관적으로 점이라는걸 연상할때 물리적인 점의 모습을 떠올리기에 직관적 모순이 발생하기는 하지만 수학적 대상이라는게 꼭 현실을 정확히 반영해야하는건가 라는 생각도 듭니다. 추상적인 개념역시 현실을 이해하는 도구로 쓰일 수 있지 않을까요? 고대부터 넓이를 설명하기 위해 만들어진 파이나 루트역시 필요에 의해 기호로 만들고 실수 체계에 억지로 집어넣었다는건 이해가됩니다.
물론 우리가 사는 물리적 세계의 관점으로 저런 무리수들은 정체를 정확히 알 수 없어도 적어도 수학세계에서 저것들은 코시극한이나 데데킨트절단같은 어떠한 수학적 논리를 만족하였기에 실수에 속할 수 있었던것이고 적어도 그 추상적 개념들은 현실을 완벽히 반영하진 않아도 현실을 모델링하고 설명하는 도구로써는 작동하는게 아닐까요?
미적분 등으로 물리적 현실세계의 많은 문명이 바뀌었잖아요. 수학이라는게 꼭 물리적 현실의 토대위에서 세워져야지만 진리인건가 하는 의문이 듭니다. 그럼 물리적 세상은 의심의여지없는 진리인건가 생각도 들고요. 없는것이 있다라는게 모순처럼 느껴질 순 있지만 그게 꼭 수학에서 무리수 뿐인건가 싶어요. 다른 추상적 개념들도 논리적으로 일관된다면 수학에 사용될 수 있을텐데요. 수학이 반드시 물리적 현실을 반영해야될까요? 직관적 모순에 이질감이 드는것도 우리가 물리적세계에 적응했기에 드는 감정이 아닐까요? 적어도 추상적 개념들을 이용해 논리를 전개하여 물리적 세계에 유용함을 안겨준다면 수학이 세상의 진리라는 말은 잘못된 말이라고 할지언정 그 유용함은 인정하는게 맞지 않나라는 생각이 듭니다.
수학지식이 많지않아서 수학적으로 적절한 예시는 잘 못들겠지만 본질님이 말하시는 부분은 수학보다는 형이상학적인 부분에 중점을 두시는게 아닌가 하는 생각도 들어요. 적절한 예시인지는 모르겠지만 예컨데 이미지트레이닝의 경우 현실의 물리적 상황의 한계로 많은 수술경험을 얻지 못하는 의사가 이미지트레이닝으로 이 성인남자 마네킹이나 동물 혹은 그냥 상상 등으로 이부분을 개복해서 이부분을 꿰메고 등등 이미지 트레이닝을 한다면 실제적인 물리적 사람은 아니더라도 그것으로 인해 현실의 환자와 마주할 때 실용적인 장점을 얻을 수 있다면 그게 단순히 상상이기에 가치없는 판타지로 보기엔 무리가 있지않나 싶어요.
굳이 수학 뿐 아니라 우리가 사는 물리적 현실을 완벽하게 나타내는게 무엇이 있을까 생각해보니 딱히 답이 떠오르진 않아요. 우리가 주관을 완전히 벗어나 객관화가 되어 제3자로서 존재론적인 사유를 할 수 있기는 할까요? 신이 있다면,평행우주라면,외계인의 시뮬레이션이라면 등등 우리가 정확히 알 수는 없어도 만약 어떠한 초월적 존재가 존재한다면 적어도 인간에게 그 영역에 대해선 접근을 못하게 막아놓은 금기같은 구역이 아닐까요? 그런 의미에서 수학 뿐 아니라 모든것이 허구라는것 보다는 우리 의지로 태어나지도 않은,정체도 알 수 없는 이런 물리적 세계를 부분적으로나마 이해하는데 도움을 주는 창의적인 도구정도로 받아들이는게 좋지 않을까 하는 생각도 듭니다.
수학유튜브인데 저도모르게 철학적인 고민을 하게 되네요.
답글을 길게 남기셔서 제 답변이 쓰신 모든 부분을 커버할 수 있을지는 모르겠지만 한번 써보겠습니다.
1. 일단 저는 수학의 유용함을 부정하지는 않습니다. 특히 자연과학을 하는데 있어서 수학은 매우 유용한 도구로 사용되고 있습니다.
2. 저는 수학의 논리가 판타지라고 얘기하는 것은 아닙니다. 수학을 발전시켜 온 수학자들은 인류 역사 속에서 보기 드문 천재들입니다. 그들이 만들어놓은 수학체계도 엄청난 체계를 자랑합니다. 제가 수학이 판타지라고 말하는 것은 수학의 논리적 체계가 아니라 수학적 대상들입니다. 예를 들어, 소설의 경우 스토리가 아무리 탄탄하더라도 등장인물이 허구이기 때문에 소설은 여전히 소설일뿐입니다.
3. 제가 수학을 철학이나 형이상학으로 끌어들이는 것이 아니라, 수학 자체가 철학이나 심지어 종교와 뗄레야 뗄수 없는 분야입니다. 왜냐하면 만약 수학자들이 '수학은 그냥 게임 규칙일 뿐이다'(물론 그렇게 말하는 사람들도 있습니다)라고 한다면 아무 문제가 생기지 않을 것입니다. 그러나 대부분의 수학자들은 수학을 그 정도로 여기는 것이 아니라 진실 혹은 진리와 매우 관련이 깊다고 생각해왔습니다.
제가 1번에서 수학이 자연과학을 하는데 매우 유용한 도구로 사용되고 있다고 하였는데, 이는 자연이 수학적으로 이루어져있기 때문이 아니라, 수학자들이 자연을 의도적으로 수학화시켰기 때문입니다. 그 결과로 현재 세상은 수학화가 되었고, 수학이 현실을 다루는 매우 유용한 도구로 사용되고 있습니다.
그렇다면 그들이 자연을 수학화시킨 이유는 무엇인가.. 를 추적해들어가면, 그들이 수학에 대한 깊은 신앙심을 가지고 있었기 때문이라는 것입니다. 즉, 비록 말씀하신 그로텐디크나 폰노이만과 같은 현대수학자들을 거론하지 않더라도, 이미 플라톤, 피타고라스, 케플러, 뉴턴, 갈릴레오 모두 신을 거론하고 믿었던 사람들입니다. 그리고 그들이 믿는 신은 (저마다 조금씩 다를 수는 있어도) 세계를 수학적으로 설계한 수학의 신입니다. 그런 수학의 신, 혹은 그런 신에 의해 설계된 자연을 믿었기 때문에 그들은 세상을 수학화해 나간 것입니다. ('신'이라고 불린다고 같은 신이 아니라 저마다 특징이 다르고 다 다른 주장을 하고 있다는 것을 참고하시면 좋을 것 같습니다.)
4. 그렇다면 제가 하려는 것은 무엇이냐 하면, 저는 오히려 수학을 진리와 진실의 위치에서 그야말로 본연의 위치, 즉 인간의 개념적 도구의 위치로 가져다놓으려는 것입니다. 말씀하셨다시피 수학은 추상적 도구입니다. 그런데 추상적 도구라는 것은 수학만 있는 것은 아닙니다. 가장 쉽게는 우리가 사용하는 언어가 추상적 도구입니다. 언어는 현실에 있는 어떤 대상을 가리치는 것이죠. 그렇기 때문에 언어를 사용하여 현실에서 일어나는 어떤 현상을 정확하게 기술하는 도구로 사용할 수 있습니다. 그런데 언어는 얼마든지 잘못 사용될 수도 있고, 과장 및 왜곡도 가능합니다. 그리고 심지어 언어로 소설과 판타지를 쓸 수도 있습니다. 언어가 현실에서 추상화된 개념이라고 해서, 이런 것들까지 사실이라고 할 수는 없겠죠.
수학도 마찬가지입니다. 수학이 현실의 대상들로부터 추상화된 개념들을 다루고 있다면 그것들이 현실에 있는 무언가를 가리키는 개념이 될 때 수학적 대상들이 적어도 사실을 기술하는 도구가 될 수 있습니다. 그렇다면 수학이 얼마나 현실을 잘 반영하는지는 현실과 비교를 해 보아야 할 것입니다. 그것은 일괄적으로 이야기할 수가 없고, 각각의 수학의 문장들 (statements)마다 다를 것입니다. 심지어 1/2라는 숫자 역시도 완벽한 1/2을 말한다면 그것에 해당하는 현실의 대상은 없습니다. 예를 들어, '완벽한' 빨간색 사과라는 것이 없는 것과 같이요.
문제는 제가 제 영상에서 많이 이야기했듯이 수학의 아주 기본적인 요소들, 점, 선, 면과 같은 것들 그리고 무리수와 같은 것들이 현실의 대상에 대응되는 것 자체가 없습니다. 따라서 수학은 본질적으로 사실을 다룰 수 없는 한계를 가지고 있는 도구입니다.
5. 이런 상황을 고려할 때, 수학자들이 수학을 진실 혹은 진리라고 생각하는 것은 그들의 신념일 뿐이라는 것입니다. 사실 아시겠지만 수학을 사용하여 과학자들은 온갖 소설을 많이 쓰고 있습니다. 만유인력, 빅뱅이론 등 인간이 알 수 없는 영역이 분명히 있음에도 불구하고 그들은 그것을 진실인 것처럼 이야기하고 있습니다. 인간의 기원, 세상의 크기 등등과 같은 것들은 결코 인간이 알 수 없는 부분이고 결국은 인간은 믿음에 의존할 수 밖에 없습니다. 안타깝게도 현대인들은 '수학이 진실이다'라는 색안경을 이미 끼고 있어서 진실을 보기가 매우 힘들죠.
@@mathandenglish 정독했고 확실히 전달하고자 하는 요지를 이해한것 같습니다. 상세하고 친절한 답변 감사합니다. 이해도가 계속 올라가는 느낌이 많이 듭니다.
@@정제이슨-i1f 구체적인 예들은 Truth & Foundation을 통해 얘기해나갈 예정입니다. 작업이 쉽지 않다보니 오래 걸리네요 ^^
갑자기 궁금해졌는데 5분쯤 설명에서 어떤건 유리수,어떤건 무리수로 수렴하는지 정확한 구분법은 없나요?
지금 생각할 수 있는 건, 일괄적인 기준은 없는 것 같습니다. case by case일 것 같구요. 예를 들어, 십진소수들의 수열의 경우 순환하는 마디가 있으면 반드시 유리수로 수렴을 하는 반면, 파이 같은 수는 무리수로 수렴을 한다는 것을 보이는 것이 굉장히 어렵죠.
수학은 결국 정의의 연속일 뿐인지요? 분명하게 원의 경계를 그려놓고도 원의 넖이와 원주를 유리수적으로 표현하지 못하는 오차로 인해 공전 자전의 원운동으로 인해 윤달 윤년이 생기는건지요? 원형 냄비에 물을 가득 채우면 파이×r제곱×h의 질량과 부피가 나올텐데 그 부피와 질량이 실수가 아닌 무리수로 정의되어야 하는건지요? 호기심 가득한 수학은 깊히 이해 못하고 연구도 하지않는 사람이라 여쭙니다. 어릴 때부터 늘 궁금했던 문제라서요.
(답변을 하기 앞서... 질문하신 내용은 매우 심오한 것입니다.)
수학은 정의의 연속은 맞습니다. 그리고 그 정의는 수학자들의 영감 혹은 직관에 의해 주어집니다. 그래서 드 모르간이라는 수학자는 수학적 발견의 원동력은 상상력이라고 했죠.
저는 윤달, 윤년과 같은 문제는 공전, 자전의 문제와 관련이 없다고 봅니다. 왜냐면 차차 말씀드리겠지만 저는 지구가 공전, 자전하는 것은 뉴튼과 같은 과학자가 주장하는 말일 뿐이고, 아인슈타인의 상대성이론은 또 다르게 이야기합니다. 과학 역시도 상상력이 기반하고 있기 때문에 어느 것 하나 진실이라고 얘기할 수 있는 것이 없습니다. 과학은 끊임없이 그리고 거시적으로면 매우 불규칙하게 바뀌거든요.
무리수 자체가 세상에 존재하지 않는 것을 가리키는 허구적 개념이기 때문에, 무리수로 무엇인가를 나타내는 것 자체가 허구적 행위라고 보시면 될 것 같습니다.
좀 이상하군요. 선의 두께가 있다고 가정하더라도 원의 면적을 구할 때 선 내측의 면적을 기준으로 하고, 채워넣는 사각형의 면적도 사각형을 이루는 선의 내측을 기준으로 채워넣으면, 설령 사각형을 이루는 선의 두께 때문에 사각형의 선이 원의 바깥으로 나오더라도 원 내부를 채우는데는 문제가 없으니까요. 선의 두께가 없다고 생각했을 때와 같은 문제가 발생합니다. 이렇게 바라보면 선의 두께는 파이를 출현시키는 이유가 될 수 없는 것 아닌가요?
사각형의 내부를 기준으로 삼든 외부를 기준으로 삼든 사각형이라는 도형의 형태를 규정하는 경계가 필요합니다. 바로 그 경계가 사라질 때 비로소 무리수가 등장하는 것인데, 문제는 그 경계가 사라지면 도형도 같이 사라진다는 것이죠.
"크기가 없는" 점을 정의하지 않았다면,
저는 오히려 인류의 발전을 저해시켰을 거라 생각합니다
저렇게 '크기가 없는' - 존재 덕에 '무한히' ~~ 한다라는 감각을 활용할 틈이 생겼다고 보거든요.
수학을 만지면서 신에게 다가가려 했던 칸토어나 라이프니츠같은 분들도 나타난거구요.
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좋은 의견 감사합니다. '인류의 발전'이라고 하는 것을 어떻게 보느냐에 따라 다를 수 있지만, 적어도 크기가 없는 점을 정의하면서 수학의 발전이 이루어진 것은 맞는 것 같습니다.
참고로 크기가 없는 점을 정의한 것 자체를 문제 삼는 것은 아닙니다. 모든 것은 개념적 도구이고 인간 생활에 활용을 하면 될 뿐이죠. 그러나 그리스인들, 그리고 그들의 후예들인 라이프니즈, 칸토어 같은 수학자들은 상상의 요소가 포함된 수학을 마치 진실, 혹은 진리라고 생각했다는 것입니다. 수학에는 그러한 신념들이 스며들어가 있고, 그것은 또 대를 이어 전해내려오고 있구요. 때문에 지금 많은 현대인들 역시 마치 수학이 말하는 것이면 진실인양 생각하고 있다는 것이 큰 문제이죠.