1=0 9999⋯ 에 대해 제대로 설명해드립니다 by 서울대 수리과학부 출신 (feat. 칸토어, 실수와 무한)
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- Опубликовано: 12 сен 2024
- 영수의 본질, 본질적 초/중/고 수학 수업
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안녕하세요. 이번 영상을 통해 많은 분들에게 논란이 되고 있는 1=0 9999⋯ 에 대해 설명해드리고자 영상을 제작하게 되었습니다.
1=0 9999⋯ 에 대해서는 이것이 '맞다/틀리다'를 비롯하여, 극한을 이용하여 수학적으로 증명하는 영상 등 여러가지 영상들이 많이 있지만, 정작 저 개인적으로는 제대로 된 설명을 보지 못하였기에 이번 영상을 통해 1=0 9999⋯ 에 대해 제대로 설명하고자 하였습니다. 사실 이 부분을 제대로 알기 위해서는 실수와 무한의 성질을 알아야 하는데, 이 부분에 대해서도 영상을 통해 설명하였습니다.
이번 영상을 통해 수학의 본질에 대해 한발짝 더 나아가는 시간이 되었으면 좋겠습니다. 감사합니다 ^^
#칸토어, #실수, #무한
수학하시는 분답게 참 솔직하게 논증 하시니 좋네요. 사실 현대 수학(형식주의)은 자의적 내적 논리(소스코드)를 바탕으로 구성한 게임에 가깝습니다. 0.999... =1이라기 보다는 그렇게 정하고 수학의 지평을 한 번 넓혀보자는 거지요. 현대 미적분학도 마찬가지 입니다. 특히 칸토어의 무한 개념은 그 절정을 이룹니다. 유리수의 대각선 논법은 자연수가 유리수의 부분집합이라는 명확한 증거를 제시할 뿐입니다. 그 방식대로 전개하면 자연수가 갈수록 정말 듬성듬성 나타나는데 그래도 모든 자연수가 다 펼쳐집니다. 유리수는 자연수를 품는 게 아니라 끼고도 남습니다. 유리수를 전개해 보면 오히려 자연수가 얼마나 초라한 규모인지 알게 됩니다. 자연수와 유리수 집합의 크기가 같다 라고 한 번 정해놓고 연속체 가설을 세워보려 했던 거 같습니다. 결국의 자기 모순에 빠져 신에 귀의했지요. 수학을 아집이 아닌 열린 자세로 다가가는 영수님이 힐베르트보다 휼륭해 보입니다.
깊이 있는 답글 감사합니다. 사실 굳이 현대수학을 들먹이지 않더라도 원래 수학(혹은 수학적 대상들)은 개념적 도구에 불과합니다. 문제는 '그들'은 수학이라는 것이 진리를 반영하고 있고, 진리를 추구할 수 있는 무언가로 생각한 것이지요. 그런면에서 '그들'이 발전시킨 수학은 종교에 가깝습니다. 사실 지금도 현대수학자들 중에 수학으로 세상의 기원을 파헤칠 수 있다고 믿는 사람들도 있구요.
사실 칸토어가 신에 의지한 것 역시 결코 우연이 아닙니다. 칸토어는 단지 신에 귀의했다기보다는 자신의 무한개념이 '신'으로부터 왔다고 했고, 자기는 그것을 전하는 메신저일 뿐이라고 얘기했습니다. 그런데 그 이전에도 수학자들은 수학의 '진실성'을 이야기하면서 신을 언급했습니다. 아이작 뉴턴이 그러했고, 갈릴레오, 데카르트, 케플러, 그리고 그 이전까지 거슬러올라가면 플라톤, 피타고라스까지 그러했습니다. 저는 칸토어가 이야기한 신이 플라톤이 이야기한 신과 다르지 않다고 봅니다. 실제로 칸토어 자신이 플라톤주의자라고 하기도 했구요. 이와 관련한 내용은 답글로 다 남기기는 어려워서 영상으로 제작하고 있습니다. 궁금하시면 저의 또 다른 채널을 참고해주셔도 될 것입니다 :) (ruclips.net/channel/UCtr9n-zCkSc69FcX-LMLy5A)
@@mathandenglish 음속의 20배로 발사된 탐사선이 20년 후에 해왕성 궤도에 당일 당시 당초에 안착하는 건 수학적 설계 땜입니다. 차나칼레대교도 수학으로 건축한 겁니다. 수학은 현대 형식주의자들의 주장과는 달리 상당히 현실과 잘 맞습니다. 논리주의자는 아니지만 수학을 우리 우주와 격리하려는 불순한 세력들을 수학계 스스로 정화해야 플라톤의 아카데미 시절의 위상을 회복할 수 있다고 봅니다.
왜 이런 좋은 컨텐츠를 이제 발견했을까요.. 좋은 퀄리티, 좋은 정보… 구독 박고 갑니다.. 감사합니다!!
힘이 되는 답글 감사드립니다 ^^
신의 존재? !
산수까지만.
매쓰는 공부하지 말아야!
대박❤
너무 잘설명해주시네용~ 복소수 범위의 1을 얘기를 안해줘서 아쉬웟어요
감사합니다! 궁금한 점을 얘기해주신 것도 감사합니다. 언제 복소수를 한번 다루려고 하고 있습니다 ^^
복소수 범위의 1을 설명하는 영상을 최근에 업로드 하였습니다. 우연히 이 영상의 댓글들을 보다가 이 댓글을 보게 되어 링크 남겨드립니다 ^^ ruclips.net/video/sl7DTo7S21U/видео.html
밑에 자막이 있으면 좋을 것 같아유
유튜브 프로그램을 통해 자막을 달아 놓았습니다 ^^
좋은 영상 감사합니다.
1=0.999... 라는 것을 도통 이해할 수 없었는데,
영상에 따르면 수학계에서 비직관적인 무한의 개념을 받아들이면서
공리로서 그렇게하기로 정한 것에 다름 아니라고 할 수 있겠습니다.
말그대로 그냥 그렇게 하기로 했다는 것인데요.
수학에 문외한이고, 수학이 자연현상을 표기하는 정확한 수단이라는 인식을 가지고 있던 저에게
영상에서 수학자들이 무한의 존재를 가지고 오랜 시간동안 갑론을박했다는 점이 꽤 충격적이었습니다.
수학이 정말로 진리를 표현하는 것이라면, 수학의 연역적 특성에 따라서
진리인 새로운 개념은 자명하게 진실로 인정받아야하고, 따라서 수학자들 사이에 논쟁할 여지가 없기 때문입니다.
채널장님이 이러한 부분에 많은 고민을 하시고, 따로 개설하신 채널에서 본격적으로 이를 다루신 것 같습니다.
수학의 이해에 대해 다양한 측면에서 외연을 넓히려고 하시는 시도에 감사 드립니다. 앞으로도 좋은 영상 응원합니다.
아울러 본 영상의 주제에 대해 질문드리면
만일 0.99997999... 이라는 순환소수가 있다면
이 역시 1로 볼 수 있나요 아니면 0.99998 정도로 보는 것인지요
감사합니다ㅎ
제 영상을 제대로 이해하신 것 같아서 저도 영상을 만든 보람이 있네요 ^^
몇 가지 부연설명을 드리자면, 0.999... = 1이라고 정해준 것은, 정확한 용어로 말씀드리자면, '공리'라기보다는 '정의'입니다. 둘다 사람들이 정해준 것은 같고, 넓게 보면 '공리'도 '정의'라고 볼 수 있지만 공리는 조금 더 근본적인 개념이기도 합니다.
그렇다면 0.9999... 를 왜 1로 정해주었는가 하면, 그것에는 나름의 이유가 있습니다. 이유가 없이 아무렇게나 정해주지는 않죠.
가령 0.9999.....를 각 소수점 자리에서 잘라서 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 와 같은 유한소수들을 만들면 이것들이 1을 향해 가까이 간다는 것을 알 수 있습니다. 그렇기 때문에 수학자들은 이것을 1과 같다고 정해준 것입니다.
그런데 말씀하신 0.999979999..... 같은 경우는 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99997, 0.999979, 와 같이 잘라지게 되는데, 이것은 1에 가까운 것이 아니라 0.99998을 향해 가까이 간다는 것을 알 수 있죠. 그래서 이것은 0.99998과 같다고 정해주게 됩니다. (물론 여기서 '가까이 간다'라는 개념을 또 수학적으로 '정의'해 주어야 하는데, 그 부분은 그냥 직관적으로 생각하시는 게 편하실 것입니다.)
바로 이와 같은 이유에서 어떤 무한소수와 유리수를 같다고 정해주는 것인데, 문제는 많은 사람들이 이것을 "증명"이라고 소개하고 있고, 그것은 사실을 호도하고 있는 것입니다.
이와 같은 정의(+공리)들이 수학에서 무수히 많기 때문에 수학은 결코 진리가 될 수는 없습니다. 다른 여타학문들과 같이 인간의 학문일 뿐입니다. 또한 수학이 자연을 표현하는 유용한 수단이긴 하지만 그것이 자연을 표현하는 정확한 표현이라는 것 역시도, 수학자들의 믿음일 뿐이고 우리는 그런 믿음을 강요받고 있는 것이라고 할 수 있습니다.
말씀하신 것처럼 '무한'은 엄청난 골칫거리였습니다. 지금도 마찬가지구요. 다만 그냥 그 논쟁을 수면 위로 드러내고 싶지 않아할 뿐인데, 특히 칸토어가 왜 무한을 그렇게 옹호했는지에 대해서는 제가 만든 또 다른 채널(www.youtube.com/@truthnfoundation )에서 설명하고자 하고 있습니다. (계속 진행중) 그 이유를 알면 더 충격을 받으실 수 있습니다 ㅎㅎ
@@mathandenglish 답변에 감사드립니다.
말씀하신 "문제는 많은 사람들이 이것을 "증명"이라고 소개하고 있고, 그것은 사실을 호도하고 있는 것입니다. "
부분이 정말 중요한 것 같습니다.
저는 중고교 수학에 그다지 관심없는 학생이었지만
무한소수를 유리수로 표현, 미적분에서 수렴개념 등을 학교에서 배웠을 때 답답함을 많이 느꼈습니다.
이러한 것들이 진리라고 은연중에 생각했었고, 그렇다면 이것을 이해하는 것이 중요한데,
당시 저는 도무지 이 개념을 직관적으로 받아들일 수 없었기 때문에 일종의 좌절감을 느꼈습니다.
채널장님이 설명해주신데로, 이 개념들이 수학자들이 정의한 것, 그러니까 일종의 합의에 의한 것이란 것을
수업 시간에 배웠다면 이러한 위기를 잘 넘어갈 수 있었을 것 같습니다.
수학의 어떠한 측면들이 합의에 의해 구성된 것이라면
반대로 그 합의에 동의할 수 없는 수학자들도 있을 것이고,
동일한 믿음체계를 구성한 집단이 각자의 수학이론을 파생시킬수 있을 것입니다.
그런 측면에서 @truthnfoundation 의 주제 제목이 참 적절한 것 같습니다.
이런 주제에 대해서 이토록 고민하시고 영상으로 대중에게 설명하시는 분은
전세계에도 몇 없을 것 같습니다. 계속 응원하겠습니다.
귀중한 생각 나눠주셔서 감사합니다.
@@tireretire 아마 많은 분들이 수학을 배우면서 무한소수, 무리수 등에서 뭔가 찜찜함을 느꼈을 것이라고 생각합니다. 그러나 그것을 제대로 설명해주는 사람이 없다보니 그냥 어물쩍 넘어가지 않았을까 합니다.
말씀하신 대로 수학이 합의에 의해 작동되는 학문이다보니 수학에는 여러 분파가 있습니다. 우리가 배우는 수학은 "집합론적 수학"이고 또 "직관주의적 수학"이라는 수학도 있습니다. 이 사실 역시 아마 대부분은 모를 것입니다. ^^ (응원 감사드립니다! )
@@mathandenglish
애초 수학이 이해가 안돼 어려웠는데
나 혼자 왜 왜 의문만 가지니 수학이 어렵더라구요
근데 수학은 이렇게 하자 라는 약속이라는 말을 얼핏 설명으로 들었던적이 있는데 그렇게 생각하는
의문이 조금 풀리긴 했는데 그러면서 엥?! 약속 ?! 그 약속을 누가 왜
정하나 까지 계속 꼬리를 무니
수학을 못했어요 ㅋㅋ
첫번째 1을 왜 1이라는 그림으로 표현하는가 부터요ㅎ
그게 약속 이라네요
숫자 한개를 1이라는 그림 으로 표현하자는 약속
제가 이이야기를 하는 이유가
영상 설명을 듣고나니
수학에는 약속 ㆍ합의가 있다는걸
듣고나니 뭔가 풀리긴해서
댓글달아봅니다
1=0.9999999
1에서 다음 2로 향해갈때 0.9999999가 또 더해지는거 아닌가요
또 저만의 생각이 꼬꼬무됩니다 ㅎ
@@with557 맞습이다 수학이라는 것이 약속/합의입니다. 그리고 그 약속/합의는 불특정한 수학자 집단의 합의라고 생각하시면 됩니다. 그 약속/합의를 제대로 이해하지 못하면 말씀하신 것처럼 수학을 이해하는 것이 두루뭉실해지고, 혼자 상상의 나래를 펼쳐갈 수 밖에 없습니다.
질문하신 부분에 대해서는 1 = 0.9999.....이기 때문에 0.9999......(=1) + 0.9999......(=1) = 1.99999.......(=2) 이 됩니다. 그러나 이것을 이해하려면 무한소수의 덧셈규칙(약속)이 무엇인지를 배워야하고, 이것은 고등학교 때까지 배웠던 유리수의 연산규칙보다도 더 복잡한 약속입니다. 이 약속을 모르시면 이해가 안 되시는 게 당연한 것입니다 ^^
'소수점 이하'에 끝이 존재하는가?
존재하면 1이되고, 존재하지 않고 소수점 이하에 끝이 없다면 1이 될수 없다
현대수학은 무한을 그냥 받아들이는 입장이다보니, 말씀하신 표현에 무한에 끝이 있다고 믿는다고 보시면 될 것 같습니다 ^^