자주 질문해서 죄송한데 물론 가사,수업,Truth & Foundation 영상제작등으로 바쁘시겠지만 언급하신 내심이나 무게중심관련 컨텐츠는 언제 올리실 예정인지 여쭤봐도 될까요? 중학교 도형은 중학교때만 배우고 고등학교때 다시 안배우는 내용인걸로 기억하는데 중학교에서 배우는 도형의 성질의 포인트들을 몇 개 정리해서 이 영상처럼 잘 짚어서 만들어 올려주시면 중고등학생 니즈도 충족돼서 유튜브 알고리즘으로 갑자기 떡상할 수 있다고 생각합니다.
질문 많이 올리셔도 괜찮습니다. 질문 내용 자체가 매우 유익하고 저도 생각을 많이 해보게 되어서 좋습니다! 중등기하는 저도 계속 올릴 예정이지만 처음 올렸을 때 별로 생각보다 반응이 없어서 좀 쉬엄쉬엄 올릴려고 했습니다. 무엇보다도 유클리드 기하학이 무엇인지 먼저 다루고 싶은 것도 있구요 ^^
반응은 계단식이 아니라 알고리즘으로 갑자기 오는것같습니다. 빈말이 아니라 저렇게 근본적으로 외심이란게 왜 생기는지 설명듣기전엔 살면서 생각조차도 안해봤던 주제라 저렇게 설명들었으면 까먹을래야 까먹을 수 없을것같습니다. 영상 내용은 하나같이 질이 정말 높고 유니크한데 어떤 주제로 영상을 찍으셨을때 보는사람입장에서 단발성이 아니라 그 주제에 대해서는 시리즈로 시작과 끝이 확실했으면 더 접근성이 좋아질것같습니다.
@@정제이슨-i1f 사실 이와 같이 '왜'를 물어보고 답하면서 수학적인 사고력은 늘어가는데, 사실 대부분은 이렇게 생각을 잘 안 하게 되는 것 같습니다. 유튜브 알고리즘은 어떻게 작동하는지 제가 깊이 생각을 안 해봐서 잘은 모르지만, 어쨌든 말씀해주신 부분은 도움이 많이 되는 것 같습니다. 사실 무게중심에 대한 부분도 한번 올리긴 했었는데 예전엔 저의 영상 편집 실력이 안 좋아서 다시 내렸던 것 같네요. [영수의 본질 학습 프로그램]이라는 테두리 안에서 계속 연속성이 있는 영상들을 올리고자 합니다 ^^
@@mathandenglish그러면 몇가지만 더 물어볼게요 1. 2:48에서 세 점으로부터 같은거리에 있는 점을 동시에 생각하는게 복잡해보이긴 해도 가능은 한건가요? 2.7:48에서 수직이등분선을 길게 그으면 확인하기 힘들어도 가능은 한건가요? 이런게 가능한지 힘든지는 경험적으로 아시는건가요 직관적으로 아시는건가요? 특히나 도형같은건 저를 포함해 아마도 대부분은 그런 감조차 못잡아서 가르치는 사람이 "A로 하면 힘드니 B로하자" 이러면 그러려니 하면서 받아들이는것같아요. 특히 도형은 들을땐 아는것같아도 문제풀땐 뇌가 정지되고 하나도 안보이는 경험을 많이 했던 기억입니다. 3.수심이나 방심도 예전에 있었던것같은데 지금은 빠진걸로 알아요. 수능같은 시험에 그런거 모르면 불리하나요? 수학과에선 중요하나요? 4.수학의 확실성도 일단 샀는데 그거 외에 일반인대상 수학적 사고나 지식 넓히는데 좋은 책 추천해주실수 있나요?
@@정제이슨-i1f 1. 처음에는 복잡해보이지만 영상의 결론이 말해주듯이 가능합니다. 결국 삼각형의 외심(혹은 외접원의 중심)이 존재한다는 것이 곧, 한 직선 위에 있지 않는 세 점으로부터 같은 거리에 있는 점이 있다는 것과 같은 이야기이기 때문이죠. 2. 나머지 한변의 수직이등분선을 직접 그어서 점 O(외심)를 지나는지 확인하는 방법은 constructible 방법은 아닌 것 같습니다. 물론 결론적으로는 그 점을 지나는 것을 증명하였지만, 증명한 방식은 영상에 있는 것과 같은 또 다른 방식이었구요. 직관적으로는 그래보여도 실제로는 아닐 수도 있기 때문에, 그 직관이 맞는지는 constructible한 단계를 거쳐서 증명을 해야합니다. 3. 수심이나 방심이라는 용어가 빠지긴 했어도 여전히 심화문제집에서는 나오기도 합니다. 사실 용어가 빠졌기 때문에 수능에서 직접적으로 나오지는 않겠지만 너무 기본적인 내용이라 얼마든지 비슷한 내용이 나올 수도 있고, 수학과에서는 저 정도의 내용은 그냥 기초/기본인 것 같습니다. 4. 사실 제가 보는 몇몇 책들이 있는데 (수학의 역사나 철학과 관련 책들) 한글로 번역이 되어 있는지는 잘 모르겠습니다. (예를 들면, www.amazon.com/Brief-History-Numbers-Leo-Corry/dp/0198702590 책들입니다.) 제가 Morris Kline의 책 을 대학 졸업할 때 정말 우연히 발견해서 읽었는데, 읽고 읽고 또 읽어서 지금까지 10번 정도는 읽은 것 같습니다. 처음 읽을 때도 매우 놀라웠지만 수학적 지식이 더 쌓일수록 저 책의 깊이는 정말 어마어마하다는 것을 매번 깨닫습니다. 사실 저 책은 Morris Kline이 쓴 방대한 수학역사책 3권( Mathematical Thought from Ancient to Modern Times ) 의 축약본인데, 만 제대로 읽어도 왠만한 수학 역사에 대한 통찰력은 충분히 갖출 수 있습니다.
선생님 질문이 있습니다. 간혹 몇몇문제에서, 간단해보이는 각도 구하기가 사실은 굉장히 어려울때가 있습니다 (랭글리 문제라고 하는것 같더군요). 이런 각도를 구하는것이 다른 여러 문제보다 훨씬 어려운 본질적 이유가 무엇인가요? 저는 각도등 각각의 조건으로부터 필요충분하게 얻어진 점들과, 선분들의 교점들의 위치를 기술하는 방식이 더 까다롭기 때문이라고 생각했습니다. 만약 이런 생각이 맞다면, 어려운 기하학 문제에서 긋는 추가적인 보조선이나 도형들의 목적은, 본래의 도형을 이루는 점들, 선분들이 어떤 위치관계로 구성되어있는지 규명하기 위해서라 생각해도 될까요?
굉장히 좋은 질문을 주셨네요. 사실 문제를 구성하는 조건이 간단하다고 문제가 쉬워지는 것은 아닌 것 같습니다. 예를 들어, 정수론같은 경우 특별히 사용되는 수학적 대상이 정수밖에 없는데도 수학분야에서 가장 어려운 분야이기도 하고, 천재들이 달려들지만 성과가 그리없는 분야이기도 한 것 같습니다. 사실 어떤 수학문제라도 수학적 대상들의 정의를 명확하게 아는 것은 문제를 풀어나가는 데에 매우 도움이 되는 것 같습니다. 도형으로 따지자면 점들간의 위치 관계, 선분들이 만나는 각도와 같은 것이라고 할 수 있겠습니다. 그러나 이런 것들을 명확하게 인식하고 있더라도 기본 가정과 결론 사이에 놓아져야 할 중간다리들이 많거나 혹은 복잡하다면 문제를 푸는 게 굉장히 어려워지는 것 같습니다. 그런 점에서, 댓글에서 말씀하신 것에 저도 충분히 동의를 합니다. 한 가지 덧붙이자면, 이런 중간다리들을 놓는 것이 논리적인 사유만으로 얻어지는 것이 아니라 번뜩이는 직관적 아이디어를 통해 이루어지는 경우가 많기 때문에 문제풀이가 더 어려워지는 것이 아닌가 싶습니다.
이 부분과 관련하여 중학교 수학 교과서 서술 방식이 개인적으로는 상당히 마음에 들지 않습니다. 어떤 다각형에 대해 외접원이란 다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이라 정의하고 그 원의 중심을 외심이라 정의하면 외심이 각 변의 수직이등분선의 교점이라는 성질을 바로 이끌어낼 수 있고 다각형에 따라서는 외접원이 존재하지 않을 수 있다는 걸 그림으로 보여주면 외접원의 존재성 얘기도 자연스럽게 다룰 수 있는데 교과서에서는 뜬금 없이 각 변의 수직 이등분선부터 설명을 시작하니 설명의 흐름이 자연스럽지 않습니다.
음... 다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이 있는지 여부를 확인하지 않은 상태에서는 다각형의 모든 꼭지점을 지나는 원의 중심이 외심이라고 정의할 수는 없습니다 ^^; 다만 삼각형의 경우는 이 영상에서 증명했던 것과 같이 모든 삼각형에 외접하는 원이 있기 때문에 외심을 그렇게 정의할 수는 있겠죠.
@@mathandenglish 말씀하신대로 모든 꼭짓점을 지나는 원이 존재하지 않을 수도 있다는 것을 일반적인 다각형을 통해 먼저 보여줘야만 외접원의 존재성 여부를 따지는 것이 자연스럽다는 얘기를 하고 싶었던 것이었습니다. 중학교 교과서에서는 아무 맥락 없이 갑자기 삼각형의 각 변의 수직이등분선의 교점이란 걸 언급하니까요.
중딩때 이거 생각하고 오 나 좀 쩌네 하고 기뻐했던 기억이 있네요
대단하십니다 ^^
자주 질문해서 죄송한데 물론 가사,수업,Truth & Foundation 영상제작등으로 바쁘시겠지만 언급하신 내심이나 무게중심관련 컨텐츠는 언제 올리실 예정인지 여쭤봐도 될까요?
중학교 도형은 중학교때만 배우고 고등학교때 다시 안배우는 내용인걸로 기억하는데 중학교에서 배우는 도형의 성질의 포인트들을 몇 개 정리해서 이 영상처럼 잘 짚어서 만들어 올려주시면 중고등학생 니즈도 충족돼서 유튜브 알고리즘으로 갑자기 떡상할 수 있다고 생각합니다.
질문 많이 올리셔도 괜찮습니다. 질문 내용 자체가 매우 유익하고 저도 생각을 많이 해보게 되어서 좋습니다!
중등기하는 저도 계속 올릴 예정이지만 처음 올렸을 때 별로 생각보다 반응이 없어서 좀 쉬엄쉬엄 올릴려고 했습니다. 무엇보다도 유클리드 기하학이 무엇인지 먼저 다루고 싶은 것도 있구요 ^^
반응은 계단식이 아니라 알고리즘으로 갑자기 오는것같습니다. 빈말이 아니라 저렇게 근본적으로 외심이란게 왜 생기는지 설명듣기전엔 살면서 생각조차도 안해봤던 주제라 저렇게 설명들었으면 까먹을래야 까먹을 수 없을것같습니다. 영상 내용은 하나같이 질이 정말 높고 유니크한데 어떤 주제로 영상을 찍으셨을때 보는사람입장에서 단발성이 아니라 그 주제에 대해서는 시리즈로 시작과 끝이 확실했으면 더 접근성이 좋아질것같습니다.
@@정제이슨-i1f 사실 이와 같이 '왜'를 물어보고 답하면서 수학적인 사고력은 늘어가는데, 사실 대부분은 이렇게 생각을 잘 안 하게 되는 것 같습니다.
유튜브 알고리즘은 어떻게 작동하는지 제가 깊이 생각을 안 해봐서 잘은 모르지만, 어쨌든 말씀해주신 부분은 도움이 많이 되는 것 같습니다. 사실 무게중심에 대한 부분도 한번 올리긴 했었는데 예전엔 저의 영상 편집 실력이 안 좋아서 다시 내렸던 것 같네요. [영수의 본질 학습 프로그램]이라는 테두리 안에서 계속 연속성이 있는 영상들을 올리고자 합니다 ^^
@@mathandenglish그러면 몇가지만 더 물어볼게요
1. 2:48에서 세 점으로부터 같은거리에 있는 점을 동시에 생각하는게 복잡해보이긴 해도 가능은 한건가요?
2.7:48에서 수직이등분선을 길게 그으면 확인하기 힘들어도 가능은 한건가요? 이런게 가능한지 힘든지는 경험적으로 아시는건가요 직관적으로 아시는건가요?
특히나 도형같은건 저를 포함해 아마도 대부분은 그런 감조차 못잡아서 가르치는 사람이 "A로 하면 힘드니 B로하자" 이러면 그러려니 하면서 받아들이는것같아요. 특히 도형은 들을땐 아는것같아도 문제풀땐 뇌가 정지되고 하나도 안보이는 경험을 많이 했던 기억입니다.
3.수심이나 방심도 예전에 있었던것같은데 지금은 빠진걸로 알아요. 수능같은 시험에 그런거 모르면 불리하나요? 수학과에선 중요하나요?
4.수학의 확실성도 일단 샀는데 그거 외에 일반인대상 수학적 사고나 지식 넓히는데 좋은 책 추천해주실수 있나요?
@@정제이슨-i1f 1. 처음에는 복잡해보이지만 영상의 결론이 말해주듯이 가능합니다. 결국 삼각형의 외심(혹은 외접원의 중심)이 존재한다는 것이 곧, 한 직선 위에 있지 않는 세 점으로부터 같은 거리에 있는 점이 있다는 것과 같은 이야기이기 때문이죠.
2. 나머지 한변의 수직이등분선을 직접 그어서 점 O(외심)를 지나는지 확인하는 방법은 constructible 방법은 아닌 것 같습니다. 물론 결론적으로는 그 점을 지나는 것을 증명하였지만, 증명한 방식은 영상에 있는 것과 같은 또 다른 방식이었구요. 직관적으로는 그래보여도 실제로는 아닐 수도 있기 때문에, 그 직관이 맞는지는 constructible한 단계를 거쳐서 증명을 해야합니다.
3. 수심이나 방심이라는 용어가 빠지긴 했어도 여전히 심화문제집에서는 나오기도 합니다. 사실 용어가 빠졌기 때문에 수능에서 직접적으로 나오지는 않겠지만 너무 기본적인 내용이라 얼마든지 비슷한 내용이 나올 수도 있고, 수학과에서는 저 정도의 내용은 그냥 기초/기본인 것 같습니다.
4. 사실 제가 보는 몇몇 책들이 있는데 (수학의 역사나 철학과 관련 책들) 한글로 번역이 되어 있는지는 잘 모르겠습니다. (예를 들면, www.amazon.com/Brief-History-Numbers-Leo-Corry/dp/0198702590 책들입니다.)
제가 Morris Kline의 책 을 대학 졸업할 때 정말 우연히 발견해서 읽었는데, 읽고 읽고 또 읽어서 지금까지 10번 정도는 읽은 것 같습니다. 처음 읽을 때도 매우 놀라웠지만 수학적 지식이 더 쌓일수록 저 책의 깊이는 정말 어마어마하다는 것을 매번 깨닫습니다. 사실 저 책은 Morris Kline이 쓴 방대한 수학역사책 3권( Mathematical Thought from Ancient to Modern Times ) 의 축약본인데, 만 제대로 읽어도 왠만한 수학 역사에 대한 통찰력은 충분히 갖출 수 있습니다.
오... 궁금했는데...
선생님 질문이 있습니다. 간혹 몇몇문제에서, 간단해보이는 각도 구하기가 사실은 굉장히 어려울때가 있습니다 (랭글리 문제라고 하는것 같더군요). 이런 각도를 구하는것이 다른 여러 문제보다 훨씬 어려운 본질적 이유가 무엇인가요? 저는 각도등 각각의 조건으로부터 필요충분하게 얻어진 점들과, 선분들의 교점들의 위치를 기술하는 방식이 더 까다롭기 때문이라고 생각했습니다. 만약 이런 생각이 맞다면, 어려운 기하학 문제에서 긋는 추가적인 보조선이나 도형들의 목적은, 본래의 도형을 이루는 점들, 선분들이 어떤 위치관계로 구성되어있는지 규명하기 위해서라 생각해도 될까요?
굉장히 좋은 질문을 주셨네요. 사실 문제를 구성하는 조건이 간단하다고 문제가 쉬워지는 것은 아닌 것 같습니다. 예를 들어, 정수론같은 경우 특별히 사용되는 수학적 대상이 정수밖에 없는데도 수학분야에서 가장 어려운 분야이기도 하고, 천재들이 달려들지만 성과가 그리없는 분야이기도 한 것 같습니다.
사실 어떤 수학문제라도 수학적 대상들의 정의를 명확하게 아는 것은 문제를 풀어나가는 데에 매우 도움이 되는 것 같습니다. 도형으로 따지자면 점들간의 위치 관계, 선분들이 만나는 각도와 같은 것이라고 할 수 있겠습니다. 그러나 이런 것들을 명확하게 인식하고 있더라도 기본 가정과 결론 사이에 놓아져야 할 중간다리들이 많거나 혹은 복잡하다면 문제를 푸는 게 굉장히 어려워지는 것 같습니다. 그런 점에서, 댓글에서 말씀하신 것에 저도 충분히 동의를 합니다.
한 가지 덧붙이자면, 이런 중간다리들을 놓는 것이 논리적인 사유만으로 얻어지는 것이 아니라 번뜩이는 직관적 아이디어를 통해 이루어지는 경우가 많기 때문에 문제풀이가 더 어려워지는 것이 아닌가 싶습니다.
이 부분과 관련하여 중학교 수학 교과서 서술 방식이 개인적으로는 상당히 마음에 들지 않습니다.
어떤 다각형에 대해 외접원이란 다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이라 정의하고 그 원의 중심을 외심이라 정의하면 외심이 각 변의 수직이등분선의 교점이라는 성질을 바로 이끌어낼 수 있고 다각형에 따라서는 외접원이 존재하지 않을 수 있다는 걸 그림으로 보여주면 외접원의 존재성 얘기도 자연스럽게 다룰 수 있는데 교과서에서는 뜬금 없이 각 변의 수직 이등분선부터 설명을 시작하니 설명의 흐름이 자연스럽지 않습니다.
음... 다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이 있는지 여부를 확인하지 않은 상태에서는 다각형의 모든 꼭지점을 지나는 원의 중심이 외심이라고 정의할 수는 없습니다 ^^;
다만 삼각형의 경우는 이 영상에서 증명했던 것과 같이 모든 삼각형에 외접하는 원이 있기 때문에 외심을 그렇게 정의할 수는 있겠죠.
@@mathandenglish 말씀하신대로 모든 꼭짓점을 지나는 원이 존재하지 않을 수도 있다는 것을 일반적인 다각형을 통해 먼저 보여줘야만 외접원의 존재성 여부를 따지는 것이 자연스럽다는 얘기를 하고 싶었던 것이었습니다. 중학교 교과서에서는 아무 맥락 없이 갑자기 삼각형의 각 변의 수직이등분선의 교점이란 걸 언급하니까요.
@@hjchoi2063 그렇군요 좋은 지적이십니다 👍