기하학 문제를 외워서 푸는 사람은 꼭 봐야 할 영상! 기하학을 잘 하려면 어떻게 해야 하는지 그 본질적 방법을 알려드립니다! (서울과학고/서울대학교 수리과학부 출신)

영수의 본질, 본질적 초/중/고 수학 수업
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많은 학생들이 외심을 공부하면서 외심의 성질을 외워서 풀곤 합니다. 외심은 수직 이등분선상에 위치한다든가, 직각삼각형의 외심은 빗변에 중심에 위치한다던가 하는 것 등입니다. 그러나 그렇게 읊어대는 학생들에게 "왜?" 를 물어봄대답을 제대로 하는 학생이 거의 없습니다. 그리고 이렇게 외운 지식은 몇 달이 지나면 그냥 증발해버리기 일쑤입니다.
그러나 수학을 제대로 공부한다면 절대 잊어먹을 수가 없습니다. 설령 여러분이 잊어먹었다해도 그 원리를 제대로 이해했다면 다시 복원시킬 수 있습니다. 그렇다면 어떻게 공부를 해야 할까요? 이번 영상에서 그 방법을 조금 맛보실 수 있습니다.
#삼각형의외심 #삼각형 #외심

[@user-eb7pl4cy1x]

중딩때 이거 생각하고 오 나 좀 쩌네 하고 기뻐했던 기억이 있네요

[@mathandenglish]

대단하십니다 ^^

[@user-pv6ee6gj2k]

어느 한 점도 일직선 상에 존재하지 않는 세 점을 지나는 원의 방정식은 유일하게 존재하므로 외심은 항상 존재합니다.

[@mathandenglish]

답글 감사합니다! 그러한 세 점을 지나는 원의 방정식이 항상 존재하고, 또 그러한 방정식이 하나밖에 없다는 것을 증명하셔야겠죠? ^^

[@mercutio4846]

오... 궁금했는데...

[@user-zb6oj3vh1n]

선생님 질문이 있습니다. 간혹 몇몇문제에서, 간단해보이는 각도 구하기가 사실은 굉장히 어려울때가 있습니다 (랭글리 문제라고 하는것 같더군요). 이런 각도를 구하는것이 다른 여러 문제보다 훨씬 어려운 본질적 이유가 무엇인가요? 저는 각도등 각각의 조건으로부터 필요충분하게 얻어진 점들과, 선분들의 교점들의 위치를 기술하는 방식이 더 까다롭기 때문이라고 생각했습니다. 만약 이런 생각이 맞다면, 어려운 기하학 문제에서 긋는 추가적인 보조선이나 도형들의 목적은, 본래의 도형을 이루는 점들, 선분들이 어떤 위치관계로 구성되어있는지 규명하기 위해서라 생각해도 될까요?

[@mathandenglish]

굉장히 좋은 질문을 주셨네요. 사실 문제를 구성하는 조건이 간단하다고 문제가 쉬워지는 것은 아닌 것 같습니다. 예를 들어, 정수론같은 경우 특별히 사용되는 수학적 대상이 정수밖에 없는데도 수학분야에서 가장 어려운 분야이기도 하고, 천재들이 달려들지만 성과가 그리없는 분야이기도 한 것 같습니다.
사실 어떤 수학문제라도 수학적 대상들의 정의를 명확하게 아는 것은 문제를 풀어나가는 데에 매우 도움이 되는 것 같습니다. 도형으로 따지자면 점들간의 위치 관계, 선분들이 만나는 각도와 같은 것이라고 할 수 있겠습니다. 그러나 이런 것들을 명확하게 인식하고 있더라도 기본 가정과 결론 사이에 놓아져야 할 중간다리들이 많거나 혹은 복잡하다면 문제를 푸는 게 굉장히 어려워지는 것 같습니다. 그런 점에서, 댓글에서 말씀하신 것에 저도 충분히 동의를 합니다.
한 가지 덧붙이자면, 이런 중간다리들을 놓는 것이 논리적인 사유만으로 얻어지는 것이 아니라 번뜩이는 직관적 아이디어를 통해 이루어지는 경우가 많기 때문에 문제풀이가 더 어려워지는 것이 아닌가 싶습니다.

[@hjchoi2063]

이 부분과 관련하여 중학교 수학 교과서 서술 방식이 개인적으로는 상당히 마음에 들지 않습니다.
어떤 다각형에 대해 외접원이란 다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이라 정의하고 그 원의 중심을 외심이라 정의하면 외심이 각 변의 수직이등분선의 교점이라는 성질을 바로 이끌어낼 수 있고 다각형에 따라서는 외접원이 존재하지 않을 수 있다는 걸 그림으로 보여주면 외접원의 존재성 얘기도 자연스럽게 다룰 수 있는데 교과서에서는 뜬금 없이 각 변의 수직 이등분선부터 설명을 시작하니 설명의 흐름이 자연스럽지 않습니다.

[@mathandenglish]

음... 다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이 있는지 여부를 확인하지 않은 상태에서는 다각형의 모든 꼭지점을 지나는 원의 중심이 외심이라고 정의할 수는 없습니다 ^^;
다만 삼각형의 경우는 이 영상에서 증명했던 것과 같이 모든 삼각형에 외접하는 원이 있기 때문에 외심을 그렇게 정의할 수는 있겠죠.

[@hjchoi2063]

@@mathandenglish 말씀하신대로 모든 꼭짓점을 지나는 원이 존재하지 않을 수도 있다는 것을 일반적인 다각형을 통해 먼저 보여줘야만 외접원의 존재성 여부를 따지는 것이 자연스럽다는 얘기를 하고 싶었던 것이었습니다. 중학교 교과서에서는 아무 맥락 없이 갑자기 삼각형의 각 변의 수직이등분선의 교점이란 걸 언급하니까요.

[@mathandenglish]

@@hjchoi2063 그렇군요 좋은 지적이십니다 👍