数式を使わない数学!?位相幾何学の奇妙な世界
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- Опубликовано: 7 апр 2022
- 私たちがこれまで学校で学んできた幾何学は、とても堅い図形を扱います。
長さや面積、体積などの大きさや角度が決まっていて、それを自由に変更することはできません。
だからこそ、内角が全て等しい三角形は正三角形だったり、原点から等しい距離にある点の集合は円と呼ばれ、異なる形として区別されてきました。
では、もしこれらの図形が伸縮自在の輪ゴムでできていたらどうなるでしょうか？伸ばしたり縮めたり、ぐにゃぐにゃと変形してしまって形が定まらなくなってしまいます。
するとこれらの図形は全て輪ゴムを変形することで作られる『同じ形』ということになるのではないでしょうか？
今回は形の概念を覆すトポロジーの不思議な世界を覗いてみましょう。
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noutore_123@yahoo.co.jp
#数学#トポロジー
トポロジーの話はあちこちで読んだことあるけど「山手線の路線図はトポロジー」って説明が、今までで一番しっくりきた。
「地球は丸かった」
地球は山手線だった(？)
身近にあるものに例えてくれるのは理解がしやすくなる
@@yutomau.N 山手線は地球だった(？)
位相幾何学はこうやって説明するときは数式を使わないけど専門書を読むと当たり前に数式だらけだから要注意
数式(殆どが文字・記号)
数学（殆どが文字，記号)
数を学んでない
@@pizzapizza114
数が記号なんだよなあ...
0,1が主役、2,3はかろうじて、4〜9は高校以来見なくなる。
@@user-ct4mk4wk3u ページ数で見るくらいですね。書かなすぎて5と6がうまく書けなくなりました。
大学ではドーナツとコーヒーカップの変形は「位相幾何学」、ケーニヒスベルクの橋問題は「グラフ理論」の講座で習っていて、根っこは同じだって意識してなかったので「あ、そういえばそういうことか」って今さらわかって面白かった。
あと路線図の例は秀逸ですね。
0:10 ここでヒヨコが「だって接続が全然違うじゃないですか」と言ってしまい位相の話にいかない世界線がみたい
ヒヨコw
そのままヒヨコが解説し始めて、リーマン幾何学→一般相対性理論→場の量子論を語り出したらおもろい
突然IQ上がってて草
文系で回路設計をやってるものですが、回路設計の考え方もトポロジーですね。
実際の配線の距離や、部品の位置は考慮せず、接続方法のみ考慮されます。
いわゆる集中定数ですね
実際には長さも回路を作るので距離や材質によって個別にトポロジーを考えてやる必要があるので大変です
トポロジーって等価回路的なもの？
あー、ドーナツには穴があるから0カロリーっていう理論は位相空間論を用いてたのかぁ！
ちょっと何言ってるか分からない
ちょっと何言ってるか分からない
増えたね。なんで増えたんだよ
♪そんなの関係ねぇ〜〜!
叩いているワケではないんだけれどもyamadaさんが言ってることが高次元過ぎて分からない。
大学で講義受けて、トポロジーは3DCGソフトにおける制作手順の考え方に近いんかな〜とか思ってたな
ほんと分かりやすくて勉強になるなあ。学生のときにこの動画に出会いたかった
トポロジーは難しそうな分野だなあと思っていましたが、ナゾトキラボさんの解説がわかりやすかったです！
「ドラクエの世界地図はドーナツの表面に描かれている」というのもトポロジカルな視点で好き。
今まで聞いてきた中で一番わかりやすい
「数式を使わない数学」と書いてありますが、実際のトポロジーはバリバリ数式を使います。
(だから「数式を使わない数学?」と「?」が入っているのかも)
コホモロジー........
トポロジーの考え方は電子工学科に入ってから重要性がわかってきた…電子で使う回路図は繋がり方さえあってれば回路図と「同じもの」になる、回路図から予想されるのと同じ動きをするようになるのが必要だからな…
位相の話をする際、近傍系に触れずに説明できるとはしっかり本質を捉えていらっしゃるということです。素晴らしいです。どうしても一般的には教科書どおり近傍とか連結とかを用いて説明する方法しか思いつかない。
なるほど、分からん
はぇ〜、すっごい
トポロジー、橋の話を聞いても「だから何？」くらいにしか思えてなかったけど、そういう問題を解くための問題で、その考え方は立体にも応用できるよって話だったのね
ようやく理解できたわ
編集技術が成長しておる、、、
現象と形状の関係性を説明する事は、現象と形状に共通する特徴を探す事なのでトポロジーなのだけど、これを追っかけてくと何故か「数学に詳しい人」と言われる。
そもそも数学というもんが、身の回りの物事を説明する為に発明された方法なのだから、使えば便利ってだけで、知っててイキるもんじゃないのよね。
なるほど、位相幾何学は大事なところの抜き出し、思考の下準備に使えるのですね
そのアフィっぽさに対して内容はガチなギャップを感じる
幾何学を学んだ時に先生は感覚でしか教えてくれなくて全く分からなかった。
これ見たらとても分かりやすい。卒業してから分かることもあるんだな
浜村渚の計算ノートで見たことのある問題がナゾトキラボさんの動画ではたくさん取り上げられるのでとてもうれしいです！
懐かしくて草
久しぶりの投稿おつかれさまっすー
ちょっと、英語を翻訳した感じでしゃべりますね。
兄弟、これはとても最高なビデオです!
高校の図書室にトポロジーについて書かれた本があって、内容の理解はしきれなかったけど面白かったなぁ。
最後の恋愛関係の例えが面白すぎてふきだしてしまった！
大学数学は哲学になるとよく言われるけど、この動画からより一層その考え方が強まった
正直まだ数学っぽい分野やと思う.....
このかたの動画の編集はワクワクして最高
後半の内容はどっちかというとグラフ理論ですね。実際のところ位相幾何学的グラフ理論という分野があって、グラフが射影空間やトーラス上に交差なく埋め込めるか、といったことが研究されています。
40数年前、中学3年生の数学で最後に習った。球とトーラスに分けられることをみんなで例を出し合ったの思い出した。こんな奥の深い考えであったのか。ご教授ありがとうございました。
すげえ！今まで解らなかったやつだ！
大学の時付き合ってた元カノが、昼学食でマグカップのスープを頼んだのだけど、トポロジーの説明をするためだけにドーナツを買いたして写真撮ってたの思い出した
数学で遊ぼって言う漫画が似てような話してました！面白かったです。
一筆書きの法則めっちゃ気持ちいいな
要するに相関図なんですね
ところで「閉じることはできない」というのはわかりましたが、そうするとそうでない面を限りなく0にすることはできる、みたいな説明が腑に落ちなかったです
粘土が素材の例がありましたが、埋めること自体は容易だと思うのですが、それは許されないってことなんですかね
粘土を一方向に潰す感覚と思えばいいんじゃないでしょうか
この動作だけでは存在する表面が不動になるはずです
スクリーンに三角形を投影してできた形を同じとみなすなら
三角形を真横にすると面積のない線になるけど
面積のある三角形と面積のない線を同じとみなすの？
そう言うツッコミも来るでしょうから、私も「スクリーンに投影」を位相幾何学の説明に用いるのは不適切だったのではと思いました。それは位相幾何学ではなくて射影幾何学の説明になりそうでしたし。
文系なのでとてもありがたいでし！
親鳥さん、新入りの高輪駅も忘れないであげて。。。
トポロジーって素人としては「それで？」だったのですが、身近に使っていたんですね。ありがとうございました。
ドーナツとかの同じ形という話だとポアンカレ予想にも繋がってきますよね。
NHKの番組にトポロジーの歌あって爆笑した記憶ある
目うるうるしてんのかわいすぎる🥰
Y氏unity使おうと思ってたので解説助かるな
山手線のくだりすげえな
完璧な具体例やん
人間関係は数学などの問題と違って、提示されていない情報や特定不可な情報、相手を騙したりすることもあるし、情報の齟齬などもあるから難しいということかな？笑
4:37 高輪ゲートウェイが存在しない次元に生きている
全て同じということは、違う形ってあるんだろうか
山手線って地図見るまでほぼ円状の等距離だとばかり思ってた地方民です。
「三角形の投影」の例えがとても分かり易かったです。
これのめっちゃ延長線上にポアンカレ予想があって、宇宙の形を探求出来るんだっけ…？
トポトポトポトポトポロジー､､､
って曲NHKのミミクリーズで聞いてたけど、やっと意味がわかった気がするな
例えわかりやすすぎてハゲる
ああなるほど、確かにその考え方が無かった場合、地球は丸いって言えなくなっちゃうなぁ…。
なるほど、素晴らしい考え方だ。
言われてみれば、たしかに学校では習った覚えがありません。
福武書店の教材か何かで、余談として見たのかな・・。
案外、大切な考え方の割に学校で教わらない物もあるんですね。
トポロジー的な考え以外にも別の部分を無視して同一とみなす分野があるのか気になる
一般に、同値関係と呼ばれる関係で結ばれている元同士を同じと見なすことは数学ではよく行われている。身近な同値関係の例としては図形の合同、相似などがある。他にも、複素数x+iy(x,yは実数)は平面上の点(x,y)と同一視することができる。また、同型であるものを同じとみなすこともある。2つの群が同型である(つまり、群の間の同型写像が存在する)ときその群たちを同一視するなどはその例である。
なんか宇宙は位相幾何学的にドーナツ型か球形かみたいなやつミレニアム懸賞問題あったよね。
0:44
文系にとっては夢のような話でワロタ
ポアンカレ予想の話が出てくるかと思ったけど違った
あれも単語単語がわかりづらくて全然わからないんだよなあ…
球を裏返す方法みたいな動画を思い出した。
お互いに貫通できて折ってはいけないってやつか
あれどういうことか分かんない
もう少し見易いグラフィックでリメイク出してくれないかなぁ...
@@user-xp8vk5dr5e あの動画でわかんないんだったらもうちょっと基礎から勉強した方がいいかもね
@@user-xh9ne5ok1b
理解は十分できてるんだけど、今に合わせた画質のものも見てみたいっていうのと、もっと色々な表現(半透明にする,別な図を用意する等)をしたほうが誰にでも分かりやすくなるかなって思って
小学校の時に、一見すると形が違う二つの図形を「形を変えたら同じ」と話したら、先生に驚かれましたけど…トポロジーの考え方だったんですね。
トポロジーを使ったボードゲームがあるようなので、やってみたいと思います。
トポロジーについて最もわかりやすい動画にやっと出会えた気がする
あと錯体やっててクラスターとかの構造で点と線で書かれてる有益性が今納得いった
そう言えば、こないだ小学校の入試で解けなかった問題で、
「地球儀に書いた地図を塗り分けられる最少の色数と、ドーナッツに書いた地図を塗り分けられる最少の色数」
・・・の答えが4色と7色だった違いが、お陰様で何となく判った様な気がします。
小学校で出んの！？
@@mayaing475 出るかもしれないかもしれない。
ま、難関小学校だと大人の理論だけでは解けない超難問出ますからね。
駅と駅間の距離とか電車使う前提だと考える必要ないけど使わない場合必要になるからなぁ
ケーニヒスベルクの橋問題のケーニヒスベルクってプロイセン王国時代の地名で、ソ連に占領されてから名前が変わり今はカリーニングラードなんよねぇ…
街も橋もかなり変わったとか。
カリーニングラードの橋問題か……
｢トポロジー:柔らかい幾何学｣瀬山士郎の第５,６章の解説動画を期待しています。
この動画の1:00くらいから使われているBGMわかる方いらっしゃいますか？
場違いなコメントすみません
エンディングのbgmは何という曲ですか？
要するに、どこでもドアとかで、ドアaを通った人を分解して、ドアbで作り直すとした場合、aとbが同じ分子量と形の情報を持っていれば、人の形をしていようがいまいが同じ人として判断するから、仮に六体の人構成がいても三体でカウントする、みたいな考えって事ですかね？
で、それを機械とかが判断するために要素を定義するのがトポロジー？
と思ったけど違いました。認知とかモデリング系の話ですね
「単連結な3次元閉多様体は3次元球面S^3に同相である」、これを始めてみたとき文言を何一つ理解できなかったなｗ
大学レベルの数学をやっていない身としては、トポロジーや位相空間と聞くとメビウスの輪やクラインの壺を思い出します。
こういった図形は、穴が開いている意味ではドーナツ型と同じですが、穴の開き方が特殊なので別の図形と考える（定義される？）のでしょうか。
トポロジー的には別図形だね
三次元図形の分類だけど
動画に出てる図形はどういうソフトで作成してるんだ…？
化学でアルカン・アルケン・アルキンの構造式をやる時はこの考え方を教えるべき。
ごもっともです。
その事とは別に、これら単語を3バカトリオの会話として覚えた事を思い出しました。
よく知らないけど、距離と角度を気にしないなくて連続性だけに焦点を当てて考えると言うことは、位相幾何学について学ぶときはひたすら関数が連続であるかどうかを調べるってことだよね。
つまりこの動画では数字も式も出てこないけど、学び始めたらε-δをずっと見る羽目になると。
残念ながら、ε-δ論法は距離の存在を前提にしているので、位相空間では使えないんですよね。
代わりに、集合論だけを使って連続性が定義されます。
でも正直学んでいてもε-δの更なる一般化としての考え方感はすごくあるからその視点を持てるのはすごいと思う。
世界地図もトポロジーみたいなもんだな
形の為に方角無視したりとかだから
気になっていたけどよく知らない分野〜
あのマンデルブロ集合も、どこにも穴がなく、トポロジーによると円と同相〜という話を聞いて、
なんかワクワクした。
わい、おバカでトポロジーの概念も知らなかったから、
山手線の様な環状線って路線図通り(駅と駅の距離が同じとか)だと思ってて、違った事を知った時びっくりしたんだ...w
鳥の目がピコピコ？グワグワ？するのが癖になるんだよな〜！
勉強になりました。ありがとう。
数学用語でトポロジーと似た言葉でホモロジーというのがあるのですが、何なんですかね？
トポロジーを研究する道具の一種(正確には圏論等でも使うけど、それは置いといて)
図形の中に「穴」や「空洞」等が幾つあるのかを「数学的」に計算する事が出来る便利なツールでもある
@@user-kl7hd2vv3e 返信ありがとうございます。なるほど
東大の過去最難関のグラフ理論問題もトポロジーの話だったんだなあ
それ！めっちゃ思いました
これでフェルマーの最終定理の解が無限にない事を証明したんだっけ
0:00
字幕「おい、ひよこい」
声「ねえ、ひよこい」
メレオロジー的虚無主義「ドーナツもマグカップも存在しない、あるのは同じ原子なんだから同じに決まってるじゃないか…」
ここではドーナツやマグカップそのものではなく、ドーナツやマグカップと同じ形をした3次元ユークリッド空間内の点の集合を扱っているに過ぎず、この点の集合はwell-definedである時点で(数学的に)存在する。
4:38
高輪ゲートウェイ「😰」
ミミクリーズのトポロジーのうた思い出した
面白い
トポロジー大好きだから嬉しいぃぃ
粘土の考え方ってわかるんだけど、穴まで潰されてしまいそうで別の表現できないかなぁって思ってしまうんよね
重み付き有向グラフを使えば交友関係を表せるかもw
そう考える配電の図とかも同じってことか
トポロジ―的な考え方を応用するとドーナッツはほぼすべての生き物と同じ形になる。と聞いてそういう考え方もあるんだ！って思ったけど今聞くと何だそんなことかってなってしまう。
ちなみに消化器官（口からお尻の孔）と呼吸器官（鼻から肺）は別々の器官とする。という条件はいるけど
7:07 あ、いま不思議とローポリゴンのサルの顔がフラッシュバックした
すごい
山手線わかりやすい
やわらかいって物理的に柔らかいのかよw
11:47 ちょっと重み付き有向グラフパイセン呼んできますね
この動画のおかげで閉じない領域について理解出来ました
> 品川から田町駅間は2.2km
高輪ゲートウェイ駅さんがこちらを見ている
位相幾何学において、おそらくもっとも有名な問題はポアンカレ予想でしょう。この問題自体は位相幾何学では証明できず微分幾何学で証明されました。
それで「（位相幾何学者は）予想が解かれたことに落胆し、それが微分幾何学でなされたことに落胆し、さらに内容が理解できないことに落胆した」というジョークがあります。
しかし位相幾何学の範囲で証明を試みる学者もいますし、数学とは意外と泥臭いものです。
3週間前の動画なのにガン無視される高輪ゲートウェイ君かわいそう…
2020年に品川と田町の間に高輪ゲートウェイという駅ができてるのわそういう意味があったのか
それによって最長区間変わったのではないでしょうか？
今は品川〜大崎の2.0kmですね
なお山手線の形は逆三角形でしかも鋭角なので直線距離は実は短いのですが
(ちょうど三角形の鋭角を回り込むような配置で大崎と品川の駅がある)
てことは地図もそのなんかすごい定理使っとるんか、、、
最近疑問な玉を細長くして表面からか繋げたドーナツと、玉内に穴を開ける（内面を繫ぐ）のとで何が違うか？同じなのか、空間が成分違うのか？なんて
一筆書き考えたことないけど、トポロジーみたく、同じ点で完了するのか？離れた点で終わるのか？も何か基本形態の違いなのかな？
粘土の例えを入れたらよけい分かりづらくないですか？粘土のドーナツは丸めれば球体になるので・・・
全く違うものなのにいきなり同じ、と言っても分かりづらいからまずは粘土で例えて、後にどのような点に目を向けるかと言う構成になっているから問題ないとは思いますけどね。
丸めたら表面が変わってしまうのでダメですよ
潰すだけでは穴は埋まりませんよね、表紙同士が限りなく近づくだけです