【ゆっくり解説】虚数と0ってどっちが大きいの?数学の素朴な疑問
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- Опубликовано: 30 дек 2021
- 虚数とは二乗数るとマイナスになる数のことを言い、特に√-1のことを虚数単位と言います。
私たちが普段ものの数を数えるために使っている1,2,3や負の数、また分数や小数、そして√2やπなどの無理数は、すべて実数という数であり、不等号によってその大きさを比べることができます。
しかし、虚数は実数における大きさのような大小関係がありません。
つまり、√-1は0より大きくもなく、小さくもないのです。
そして、実数直線上にない数字です。
では、果たして虚数はどこにあるのか？
今回は虚数の素朴な疑問から、どのように利用されているかまで解説します。
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noutore_123@yahoo.co.jp
#数学#虚数
![[Eng Sub] Imaginary Numbers are Matrices](/img/1.gif)
数3やってる人にとっては複素数を本質から解説してくれて嬉しい
良い復習になりました
あんま数3よく分かってなかったからかなり助かったw
数IIIの複素平面なんて複素数の基礎中の基礎に過ぎないし本質になんてまだまだ到達出来ないけどね
昔はベクトルと複素数、複素数平面は数Bだったんですが、今は違うんですか？！
数Ⅲは極限と微分・積分、数Cが行列と二次曲線、条件付き確率だった記憶が…
@@jrstir8694 私の場合は数Bがベクトルと数列、数IIIが二次曲線、複素平面、極限、微積でしたね
行列は絶対高校数学に組み込んだ方が良いです…
数学は好きだけど理系科目が出来なくて数3を諦めてしまったのでこういう動画めちゃくちゃ嬉しい
ちなみに、ズールー語で、
東はempumalanga
西はINtshonalanga
南はINingizimu
北はEnyakatho
というそうです。
東結構長いな
@自由律俳句とかいう無法地帯 シャカ・ズールーとか有名だよ
やはり数学的な内容の動画は楽しいですね〜！来年も楽しい動画を待ってます〜！
ズールー語で東を知ってるのがすごいわ
虚数ってもともと想像上の数でしかなかったのに電気工学みたいな実用的な分野で必須な概念なのが面白い
三角関数になってる交流を指数関数で表せられるし微積もわかりやすくてめっちゃ便利じゃん！
ということに気付いた人たちほんと神々
@@GGGchan_00
何でも神と崇める 4:25 現代日本のアホバカ愚民の風潮
@@user-py7ku9ie7l 一神教の文化ではなく精霊信仰の文化であり、具体的に八百万の神を信仰する文化なので、「現代日本」とするのは誤謬
以上についてあなたから何かありますか
@@GGGchan_00 一体何があったんだ…
@@GGGchan_00 どんなリプ来たのか全く想像できなくて笑う
このテーマで大晦日の夜に平気で上げる主さんと、それに何の疑問も持たずコメントをするこのチャンネルに来る皆さんが大好きです！
よいお年を！
虚数をグラフで表した時に、式と反時計回りでも説明できる解説に少し納得いきそうで面白いです。
編集がほんとかわいくて、わかりやすくてすき！！
数学って数学史から学ぶと好きになる学生が増えるように思います。計算ばっかりやらされて苦痛しか残ってないので。この動画は楽しませてもらいました。ありがとうございました。
自分は大学に入ってから哲学というか論理から数学を始めたな。論理、集合のあたりを先にお陰で割と教科書を読み進めやすかった。
最後の方よく分からんかったけど、複素数平面を理解して覚えることができた気がする。めっちゃありがたい
チャンネル登録者数10万人おめでとうございます！！これからも応援し続けますね！
開始3秒、最初の例えだけで言いたいこと全部理解させてくれる神動画
素数回楽しみにしてました！
Newtonの虚数特集で読んだことの復習ができました。
アニメーションを含んだ解説でとても分かりやすいです。
理系を中途半端に進んできた人間としては、複素数のなんたるかを全く理解しないままただ計算だけやらされてたけど、この動画をみてものすごく納得できました！
理系なのに複素数平面やってないんですか？
@@user-mw7lo1eo6l
中途半端にやったから
理解できなかったってことじゃないの？
@@fairmixess でもいくら中途半端にやっても
複素数平面を履修してこれが分からないのは
おかしくない？
@@user-mw7lo1eo6l なんでもいいやろ
文章が読めないって怖いね本当に
こういう系の多くて嬉しいです！
コンテンツ作成お疲れさまです。
分かりやすくて面白かった。
謎解きラボさんの動画、本当に数学好きには堪らないです。
私はまだ高校生じゃないので高校数学知識がないけど、中学生の知識でも理解出来る動画がたくさんで本当に大好きです☺️
わかりやすくて好きです
大晦日の配信、お疲れ様です。良いお年を
動画タイトルと何の関係も無いように感じる最初の茶番が、今回の話の本質を得ているの面白いな。
説明分かりやすいですね！
まだ虚数習ってなかったけど、理解出来ました！
凄い面白くて難しい題材の「虚数」について解説して頂きありがとうございます。
来年も面白い題材待ってます
良いお年を！
冒頭のヒヨコイと親鳥さんの話が毎回面白くて楽しい
もうすぐ１０万人ですね！来年もナゾトキラボさんを推していきます！
新年早々良い動画に出会えた。ありがとう
難しいものでしたが
分かりやすかったです！
わかりやすいし面白すぎる！！
速攻チャンネル登録しました
嫌いだった高校数学
「何故どうして」を説明してくれるから頭にすんなり入ってきて面白い
来年も楽しみにしてます
いいですねぇ。今までで一番勉強になりました。
アプローチが素晴らしい！
砂丘から相対論にぶっ飛ぶとは！！
始めの辺りでθが出てくるのは予想出来ましたが、四次元まで話がスムーズでわかりやすい（感謝）
πの方が大きいなら天秤傾くの逆じゃない？
虚数時間という言葉を初めて知りました。
これからも少し難し目の概念の紹介があると嬉しいです。
そもそも大きいをどう捉えるか、大事なんですね
面積って馴染みのあるように聞こえるけど、実は大学数学の測度論という分野できちんと扱うものであって、実は面積は相当奥の深いものなんですよね😱
@@user-sf9jc1jr5s 複素数平面が有るなら立体方向z方向にベクトルの有る数字も考えられるはず。その立体が(限定範囲で)捻れたり動いたりする時間を含めた四次元的なモデルを計算できれば、ダークマターのような、無い空間のエネルギーの動きを表せるはず。(適当)
@Yahikooo 💫😘 やっぱり人参最高！
@@user-jb9vj4rn3x クォータニオン（四元数）の事では？
@@focacc オイラー先生やっぱぱねぇっす……_(꒪ཀ꒪」∠)_
「虚数をどう扱うか？」ではなく、「虚数とは何か？」を突き詰める内容で、面白かったです。
虚数が宇宙に展開されることを初めて知り、自分でも勉強しようと思いました。
ヒヨコイの『もちろんわかりません（08:54）』には、笑わされました。 今後も、期待しています。
数学だけじゃなくてキャラクターの設定とか特徴も活かされてて好き
ちょうど今複素数やってるけどめちゃくちゃ面白い分野だと思う
旧課程で行列を勉強して、浪人したから新課程の複素数平面を改めて勉強したけど、回転の概念は行列より複素数平面の方が飲み込みやすかったな
プログラミングだと回転行列も便利ですよ。3次元への拡張もしやすいし、回転以外の変形（アフィン変換）も行列でできます。
切り替わったばかりの新課程（約25年前かな？）で学びましたが、先輩のお下がりの旧課程の参考書を読みながら、回転行列や統計も学びたかったなぁと当時思いました。
ただ3次元に特化するなら、クォータニオン（四元数）という複素数の発展形の方が便利ですね…（回転行列よりも回転四元数の方が正規化しやすいので、誤差が蓄積しにくいです）
クォータニオンなら、ジンバルロック問題も起きないし、オイラー角や任意軸回転にも対応しやすいです。
複素数が直交座標にも極座標にも対応できるのと似てます。
@@jrstir8694 ほえー
行列より複素数の方が直感で捉えやすいんだよね。計算だけなら行列で十分。
学校の数学Ⅲの授業より教え方が断然分かりやすいです‼️
今まで問題を解く為の数字としてしか捉えてなかったから、最後の話になんか感動した。初めてi 見た時はブチギレそうやったけど、めちゃくちゃ重要な数字やねんな〜
学校で複素数を習ってしっかりイメージ出来てなかったので助かりました！
7:33
ここのあぶなーいかわいい
そろそろ10万人いきそうですね！
主さん頭良すぎ、わかりやすすぎます
高校の時は理屈抜きで”そういうものだ”としか考えてなかったから非常に新鮮。面白い。
まさか虚数が相対性理論と関係するとは
最初の不等号yの説明わかりやすいです
場合分け大事ですね
高校数学の、それも文系の知識しかなかったけど物凄く楽しめました
これは数学好きになっちゃいますわ
複素数における垂直回転を、オイラーの公式を利用した美しい論証で素晴らしいですね
びっくりするくらい分かりやすい
面白すぎる！！
時間を空間に変換する話と同じくらい、さっぱりピーマンのサラダ和えが面白かった
理系を中途半端にしかやらなかったので、これを見て楽しく勉強出来ました。
導入の話聞いて他の動画押しちゃったかと思ったけどちゃんと話に関係あるのスゴイ
小中学生でも理解できるくらい簡単に説明するのって結構難しいからすごい
この手の動画ってわりと、どの世代をターゲットにするかというのが見えてくるよね
学習指導要領が世代によって違うから、学校で教わる内容も世代によって変わる
虚数には実数のような数値はない記号 実数の不可能な限界をカバーしている
√ー1>0 とも√−10は不成立😊
私もヒヨコイと同じ程度で虚数って
なんかインチキ臭い数字程度と思ってたんですが
こうやって斜めを表したり4次元を求める式に組み込めたり面白いですね！
いつも素敵な動画をありがとう！良いお年を！
新年始めての動画がこれ。
つまり、どゆこと？
複素数平面のグラフめちゃくちゃカッコいい！
小学生ですが見てます
小学生でも分かりやすいように説明しているので、結構理解できます
4:00 √2「俺の勝ちだ」
虚数が4次以上を知る手がかりになる話は興味深いです。確かに私たちの実数範囲の演算ルールは全て数直線的に考えられますもんね。
複素数平面の説明わかりやすすぎて禿げた
ガチの物理をしたく、高校数学をかじっている中学生です。
いつも分かりやすい解説ありがとうございます。
ちょっと思ったんですけど、ズールー族の話、
「虚軸におけるプラスの方向を北とする」
という仮定をズールーの人に伝えないと、東にikmと言っても、それが北と南どちらを指しているのか伝わらないのでは？結局、ヒヨコイはズールー語の北（もしくは南）を知っていなければならなかった（？）
「虚軸は実軸を反時計方向に90度回転したもの」というのは多分ガウスが始めた「取り決め」だと思うので、「時計方向に90度回転」という「取り決め」も歴史的にはありえたのかな、と思いますね。
「第一象限」→「第二象限」もそうですが、なんで反時計方向なんですかね？
「横軸の右方向を正とする」というのは多分、ヨーロッパの文章が「左から右」に書くからでしょうかね？ ならば、デカルト平面も文章を右から左へ書くアラビア語圏で発見されて普及したら、「左方向が正」だったかも？
同様に、「縦軸の上方向を正とする」というのも文化的な「取り決め」だから、「横軸＝実軸の正方向」から「縦軸＝虚軸の正方向」に変換する、ってことで虚数単位を掛けることが「反時計回りに」回転させる、ってことにしたのかな？
もし、ズールー語が下方向に「正の価値」を見出す言語であったなら、「東に3i (km)」と言えば「南に向かう」でしょうね。
おっしゃる通りですね。複素数平面を空に描くか、地面に描くかで南北の方向が真逆になってしまいます。が、まあ迷った人に地図を示されてるので地面に描くという認識を共有してるとしていいでしょう。
この場合、複素数平面の描き方はただ1つに定まるため、任意の座標を伝えることが出来るわけですね。
私もそう思いました
問題はそのズールー族がiが回転を示すことを理解できたのか
0の点はどの次元でも常に中心になるあたり、私たちの認識の錨になってくれてるんだな…
4:00天秤が仕事してない
と言えるのかずっともやもやしてる
ほんとだ仕事してない笑
素で間違えました(;´д｀)
大きさが変わっても質量が一定なのかも？
(*´ω｀*)(浮力の影響で軽くなったのだ…)
虚数って回転をかなり簡単に扱えるから、理工学部での応用範囲広いんだよね。意外と、実学に役立つ概念だったりする。
虚数に限らず多分高校の科目の中で一番実用的なのが数学か英語
数1Aくらいで躓くレベルの人だとできる仕事がとんでもなく限られる
@@Takumi-hz5jc 英語系に進んだ人間から申し上げると高校程度の英語は実用的とは言い難い
@@IT-ld3zw あ、はい 高校の中では、なので
どの科目も高校レベルで不十分なのは当り前なんで
更に拡張してz軸方向の新しい虚数単位もあれば便利そう
やってみたら色々計算が成立しないみたい
でも更にもう一軸追加したら色々計算が成り立つみたい
ということで生まれたのがクオータニオン
みんな大好き四元数😍
キャー、のび太さんのH
@@Mr-oe6hd 誰がハミルトン積だ……！？
八元数とか十六元数とかもあるらしいね。
@@puti-puti 俺のトラウマはやめてくれ、、、w
ユークリッド化しなくても、｢ある座標系にとって時間成分しか持たない間隔も別の座標系では空間成分も持つ間隔になる｣ことは言えると思います。
よく道をきかれるので活用してみます
札幌の道案内みたいだ、
(南に3つ、西に4つ....。)
京都での道案内であれば
進み方は7!/3!4!（通り）ですね（数学A）
現在地を定点Aで喩えると
目的地Pの座標はt（3,4）
これにより
APベクトルの向きが特定出来るので
大きさが不明のベクトルに対しても
目的地へ着くことが可能になります（数学B）
他の実用例としては、交流電流にオームの法則が成り立つのにお世話になった。コイルを正の虚数抵抗、コンデンサを負の虚数抵抗とすることで簡単に計算できる。
数学ってこんなに楽しかったのか！
お、面白すぎる
虚軸の正方向を（動画でいう）北にとる必然性はあるのでしょうか？
それを定義しないと結局方向は伝わらないのかなと思ってしまいました。
なんだかすごいなこれ
複素数平面に数Cで習い始めたから解説が入りやすい😊
複素数平面とか懐かしくて涙出るわー
Nice!
√2とπを比較する所πの方が大きいって言ってるのに、√2の方が重いのなんか気に食わない笑
7:33 あぶなーい 好き
虚数の定義から考えると、東に◯ikm進むという伝え方では北と南が区別できませんね。
実際、iの定義は√-1とされていますが、-√-1も2乗したら-1になる数になっています。
ここで√の定義に立ち返ったとき、二乗したら√の中身になる数の中で、正のもの(より大きい方)となっていますが、この動画のメインテーマでもあるように、虚数の大きさは実数の大きさの定義とは異なるので、実数から拡張する段階ではこの2数の性質に全く違いがありません。
導入が面白い！
高さが欲しかったら四元数を使うことになるのかな？めっちゃ複雑そうw
虚数軸が実数軸に対して直行するものであることの証明が、iをかけると反時計回り90°した位置に移るからだというのは、元々虚軸が実軸に直行するものという前提の複素数平面上で描画している以上は当然なので証明になっていないような…？
中学生ですが、複素平面の意味を理解できました。ありがとうございます。
数Ⅲ習ってた頃に、この動画を見たかった。。
虚数の考えを四元数やそれをさらに拡大した八元数などもありますね。
（ヒヨコイの頭がパンクするかもしれませんが）
四元数は乗法の交換法則（ij=-ji=k）が八元数では乗法の交換法則と結合法則(abc≠bca)が成り立たなくなります。
4:00
ここの天秤、πの方に傾けた方が良かったのでは……
最近虚数時間について調べていたので非常に助かります
時間が空間にも空間が時間にもなれるため、虚数時間では時間の概念がなくなるということだったんですね
ところで、虚数の大きさは虚数軸上で見ると0より大きい/小さいがあると思ったのですが、そういう訳ではないんですね。
虚数には0が存在しない(0になると実数になってしまう)ので、大小関係が存在しないということでしょうかね。
...あれ？ 虚数同士の大小はどうなるんだ...と思ったけど、2iと3iの比較とかは虚数に実数をかけた値で純粋に虚数iではないから比較不能か？ 本当の意味での虚数はi=√-1ただ一つなのか？
@@user-zo7pn1uc7q 虚数(複素数)の大きさは、基本的に減点(0)からの直線距離(a+biの大きさは√a^2+b^2)で定義されます。
また、虚数単位の候補としては√-1と-√-1の２つありますが、どちらを虚数単位としても同じ結果になります(というか区別がつかない)。
日本地図を広げて「東京と沖縄どっちの位置が大きい？」って聞くのと同じってことですね
逆に実数の大きさ比べは「東京と沖縄どっちが北？」のような問いに対応しますね
いちゃもんではございません。念の為。
5:10 東に3ikmは北に3kmを表す
東に-3kmが西に3kmを表すのは概念的に必然だと思うんですが、
東に3ikmが東を向いてる時の左を指すかどうかは、複素数平面の
実軸と虚軸の関係に依存しているから、必ずそうとは言えないか、とか。
採用する複素数平面を、実軸の＋方向から左回り(反時計回り)へ
直角(90度)に回転した方向を虚軸の＋方向と定める。
という但し書きの前提があれば、東に3ikmは北に3kmに必ずなりますね。
・・・でもiの長さを1と同じと捉えてもいいのかな？
複素数平面上の幾何学的な広がりではそうだけど、現実での・・・
ガチで最後の方何言ってるかわかんなかったけど動画のせいで知りたいって思っちゃう
複素数平面はおもしろいですね！
これと双対数の話で、分解型複素数と関わり深〜って思った
おもろすぎる
数学はまじで謎の概念を1から理解して行くのが好きなんだよなぁ
謎解きみたいなイメージ笑
文系ログアウト不可避。複素数平面少し知れてよかった
x^2+y^2+z^2-(ct)^2 を見て 四元数の内積部が思い返されました（新年あけましておめでとうございます
ドモアブルの定理をオイラーの公式使って表すのいいね
虚数って摩訶不思議な概念ですけど代数的に作れてしまうのは感動ものです