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0:54 顔が半分隠れていても変顔日課をこなすチルノ
1:38 「木」って木なのか……………
このチャンネルには自分が数学嫌いな理由が詰まっている気がする。だからこそこういう考え方できる人尊敬する
グラフ理論マジで真面目に触れたことないから今度学んでみよ
アップロードお疲れ様です！双対グラフが全域木を為す証明が華麗で凄かったです！
フェルマー点を勉強しようと考えていたところこの動画を拝見しました。グラフ理論の入門としても見どころがありました。ありがとうございます。
いいねぇ、簡潔で必要十分な証明。興奮しちゃう。
確か阪大だったと思うけど多面体定理の証明に関する整数問題あった気がする
今月で一番感動した
途中から一気に理解が周回遅れになってしまった
ありがとうございます
最初に作った木で多面体を切った時の展開図が、その双対グラフなんやな
双対グラフのとこで挫折した
恐らく双対多面体を一般的な立体、それをグラフにしたもので考える感じかと確証はないです。すみません。
オイラーの多面体定理は放電法を使った証明が好きです。ruclips.net/video/d-UsKEBbhEM/видео.html
この動画のお陰で自分が頭を使うことに向いていないという事が分かりました！大人しく学校辞めて肉体労働に就きたいと思います！
わからん。白玉みたいだ。
n角形の面で、頂点-辺+面=(n-n+1)=1。その面の上空に点を打って面の頂点達に線を伸ばして立体を作ると、頂点が+1、辺が+n、面が+nされるので、頂点-辺+面=1+(1-n+n)=2。その後、立体のとある面(m角形)の上空に点を打つと、頂点が+1、辺が+m、面が+m-1(元の面は新しい立体に埋まるので-1)されるので頂点-辺+面=2+(1-m+m-1)=2。だから2で固定されるって考えてました。
その方法で任意の多面体を作れるかどうかって分かりますか？
@@overture3928 今見返したら不備があったのですが、基本的には任意の多面体から点を取り除くように逆算して考えれば成り立つと思います。不備の例を一つ挙げると、立方体から頂点を一個取った形に頂点を一個足して立方体を作る時、頂点が+1、辺が+0、面が-1になります。(これでも当然公式は成り立つ)一般化すると「底面をまっすぐ伸ばした平面x個」に含まれる頂点を1つ足す場合、頂点が+1、辺が+m-x(x個の既存の辺が新しい面に吸収されるので)、面が+m-1-x(1個の既存の面が新しい立体に埋まって、x個の既存の面が新しい面に吸収されるので)になりますね。(少なくとも凸多面体は)
最初何言ってるのかわからなかったけど、双対グラフの面同士を連結する部分と元の全域木の辺を合わせて元の立体の辺になるようにうまいこと分割してるってこと？
この証明は任意の種数のRiemann面上のグラフについてのEulerの公式にも適応できるかな？
証明をそのまま真似てみると双対グラフが木になるという所で破綻します(閉路が内側と外側を切り分ける(ジョルダン閉曲線定理)のは平面や球面上でしか成り立たないため)。例えばトーラスの場合、双対グラフは木に更に二本の辺が追加されて二つの閉路を持ったグラフになる様です。すると V-E+F=0 となって辻褄が合います。「様です」と書いたのは良い証明が思いつかなかった為です。つよつよトポロジスト助けて...
因みに上記の二つの閉路は一次ホモロジー群の二つの生成元に対応するサイクルになっていて、オイラー標数とホモロジーの関係も見えてきそうです。
0:08 サッカーボールは曲線だから両側から見える面もありそうって思ってしまうんですけど、２倍するだけで数えられるものなんですか？
任意のケースでこの方法で数えられると主張したのではなく、今回のイラスト（ www.irasutoya.com/2015/01/blog-post_273.html ）がちょうど半分の面を写すアングルであることを利用しました。
@@evimalabつまり偶然？
@@evimalab ＞ちょうど半分の面を写すアングルむつかしいことはよくわからないけどどことなく循環論法になってるようなきがする。コントや小話としては成立してるけど数学としては危うくない？
一つの面を引き伸ばして大きくする事で平面グラフに必ず帰着することができます
@@okim8807 1.「反対側から見ても同じように見えて、なおかつ両側から見えるような面がないアングル」といえば良いでしょうか。2. 動画のこの部分は「コント・小話」で、「数学」は 1:02 からです。
その2はその平面図形によって区切られた空間の数、とも考えられる。平面と多面体の表面はむしろそれの特殊例にすぎない。平面の場合、一番外側の面が存在するため、空間がその平面によって2つに区切られている。多面体の表面の場合も同様、空間がその表面によって内部と外部の2つに区切られている。
こんな証明あるんだ 知らなかったもっと本質的にいうと2は2次元球面のオイラー標数、つまり1 + (-1)^(多面体の次元-1)
この式見るたび、ギブズの相律が浮かぶ
またオイラーか・・・
e'+e''=eになることがどうやって証明できるのかよくわからない……
今回の図だと頂点の全域木で使われなかった辺と、双対グラフの辺とがそれぞれ組となって1回だけ交差しているのでe-e'=e''になることがわかるけど他の場合では本当にそうなのか気になる……
そもそも証明するものではなくそうなるように仮定してますね。2:39 あたりで、最初に全域木を構成する上で取り除いた辺を双対グラフの辺として採用しています。あとは双対グラフが全域木となることを示す流れですね。
@@tsidium ああ、なるほど！確かにそのように説明されてますね！回答ありがとうございます～！
帰納法で証明するのかと思ったが、もっとシンプルで綺麗な証明方法だった
平面（2次元）ならv-e=0, 立体（3次元）ならv-e+f=2, ならば4次元ならばv-e+f-c=4, とはならないんだよなあ
もう一個上の次元まで考えると自然になるよ2次元(f=1)はv-e+f=13次元(c=1)はv-e+f-c=1
cって何？
面で構成される立体の数。
すげえ
НаукаНаука![THE Hardest Problem in Competitive Programming [English Subtitles]](http://i.ytimg.com/vi/4vxSyqk0jVY/mqdefault.jpg)
![THE Hardest Problem in Competitive Programming [English Subtitles]](/img/tr.png)
![Can You Measure 3000√2-4211 Minutes with a 1-Minute and √2-Minute Hourglass? [English Subtitles]](http://i.ytimg.com/vi/jNHJ3z6L5AQ/mqdefault.jpg)
![Which is Bigger: Fukasetsu Fukasetsuten or Graham's Number? [English Subtitles]](http://i.ytimg.com/vi/3wurgrmYGiw/mqdefault.jpg)
![100÷9899=? (Introduction to Generating Functions & Formal Power Series) [English Subtitles]](/img/1.gif)
0:54 顔が半分隠れていても変顔日課をこなすチルノ
1:38 「木」って木なのか……………
このチャンネルには自分が数学嫌いな理由が詰まっている気がする。だからこそこういう考え方できる人尊敬する
グラフ理論マジで真面目に触れたことないから今度学んでみよ
アップロードお疲れ様です！
双対グラフが全域木を為す証明が華麗で凄かったです！
フェルマー点を勉強しようと考えていたところこの動画を拝見しました。
グラフ理論の入門としても見どころがありました。ありがとうございます。
いいねぇ、簡潔で必要十分な証明。興奮しちゃう。
確か阪大だったと思うけど多面体定理の証明に関する整数問題あった気がする
今月で一番感動した
途中から一気に理解が周回遅れになってしまった
ありがとうございます
最初に作った木で多面体を切った時の展開図が、その双対グラフなんやな
双対グラフのとこで挫折した
恐らく双対多面体を一般的な立体、それをグラフにしたもので考える感じかと
確証はないです。すみません。
オイラーの多面体定理は放電法を使った証明が好きです。
ruclips.net/video/d-UsKEBbhEM/видео.html
この動画のお陰で自分が頭を使うことに向いていないという事が分かりました！
大人しく学校辞めて肉体労働に就きたいと思います！
わからん。
白玉みたいだ。
n角形の面で、
頂点-辺+面=(n-n+1)=1。
その面の上空に点を打って面の頂点達に線を伸ばして立体を作ると、頂点が+1、辺が+n、面が+nされるので、
頂点-辺+面=1+(1-n+n)=2。
その後、立体のとある面(m角形)の上空に点を打つと、頂点が+1、辺が+m、面が+m-1(元の面は新しい立体に埋まるので-1)されるので頂点-辺+面=2+(1-m+m-1)=2。
だから2で固定されるって考えてました。
その方法で任意の多面体を作れるかどうかって分かりますか？
@@overture3928 今見返したら不備があったのですが、基本的には任意の多面体から点を取り除くように逆算して考えれば成り立つと思います。
不備の例を一つ挙げると、立方体から頂点を一個取った形に頂点を一個足して立方体を作る時、頂点が+1、辺が+0、面が-1になります。(これでも当然公式は成り立つ)
一般化すると「底面をまっすぐ伸ばした平面x個」に含まれる頂点を1つ足す場合、頂点が+1、辺が+m-x(x個の既存の辺が新しい面に吸収されるので)、面が+m-1-x(1個の既存の面が新しい立体に埋まって、x個の既存の面が新しい面に吸収されるので)になりますね。(少なくとも凸多面体は)
最初何言ってるのかわからなかったけど、双対グラフの面同士を連結する部分と元の全域木の辺を合わせて元の立体の辺になるようにうまいこと分割してるってこと？
この証明は任意の種数のRiemann面上のグラフについてのEulerの公式にも適応できるかな？
証明をそのまま真似てみると双対グラフが木になるという所で破綻します(閉路が内側と外側を切り分ける(ジョルダン閉曲線定理)のは平面や球面上でしか成り立たないため)。
例えばトーラスの場合、双対グラフは木に更に二本の辺が追加されて二つの閉路を持ったグラフになる様です。すると V-E+F=0 となって辻褄が合います。
「様です」と書いたのは良い証明が思いつかなかった為です。つよつよトポロジスト助けて...
因みに上記の二つの閉路は一次ホモロジー群の二つの生成元に対応するサイクルになっていて、オイラー標数とホモロジーの関係も見えてきそうです。
0:08 サッカーボールは曲線だから両側から見える面もありそうって思ってしまうんですけど、２倍するだけで数えられるものなんですか？
任意のケースでこの方法で数えられると主張したのではなく、今回のイラスト（ www.irasutoya.com/2015/01/blog-post_273.html ）がちょうど半分の面を写すアングルであることを利用しました。
@@evimalabつまり偶然？
@@evimalab
＞ちょうど半分の面を写すアングル
むつかしいことはよくわからないけどどことなく循環論法になってるようなきがする。コントや小話としては成立してるけど数学としては危うくない？
一つの面を引き伸ばして大きくする事で平面グラフに必ず帰着することができます
@@okim8807 1.「反対側から見ても同じように見えて、なおかつ両側から見えるような面がないアングル」といえば良いでしょうか。
2. 動画のこの部分は「コント・小話」で、「数学」は 1:02 からです。
その2はその平面図形によって区切られた空間の数、とも考えられる。平面と多面体の表面はむしろそれの特殊例にすぎない。
平面の場合、一番外側の面が存在するため、空間がその平面によって2つに区切られている。
多面体の表面の場合も同様、空間がその表面によって内部と外部の2つに区切られている。
こんな証明あるんだ 知らなかった
もっと本質的にいうと2は2次元球面のオイラー標数、つまり1 + (-1)^(多面体の次元-1)
この式見るたび、ギブズの相律が浮かぶ
またオイラーか・・・
e'+e''=eになることがどうやって証明できるのかよくわからない……
今回の図だと頂点の全域木で使われなかった辺と、双対グラフの辺とがそれぞれ組となって1回だけ交差しているのでe-e'=e''になることがわかるけど他の場合では本当にそうなのか気になる……
そもそも証明するものではなくそうなるように仮定してますね。
2:39 あたりで、最初に全域木を構成する上で取り除いた辺を双対グラフの辺として採用しています。あとは双対グラフが全域木となることを示す流れですね。
@@tsidium ああ、なるほど！確かにそのように説明されてますね！
回答ありがとうございます～！
帰納法で証明するのかと思ったが、もっとシンプルで綺麗な証明方法だった
平面（2次元）ならv-e=0,
立体（3次元）ならv-e+f=2,
ならば4次元ならばv-e+f-c=4,
とはならないんだよなあ
もう一個上の次元まで考えると自然になるよ
2次元(f=1)はv-e+f=1
3次元(c=1)はv-e+f-c=1
cって何？
面で構成される立体の数。
すげえ