I happen to be doing a research project this summer on quantum computing with some focus towards matrix mechanics. This video was very helpful, and I like the unique approach it has. Thank you for adding the subtitles too! :)
As a student who is trying to pursue subjects in Algebra for her Masters and PhD, this is an incredibly well done explanation. We have done construction of the number fields and algebras using various algebraic methods, but this treatment of matrices is certainly super interesting, and viable to work with, explaining their free module nature with respect to field of real numbers. I honestly was expecting to see some discussion about the Lie Algebra and Lie Group SU(2), but that's fine. This is like, exactly what I look foward to do in future - teach, and teach well. I am super glad to see others put their creative minds to reach the same goal.
That is why I tend to think of complex numbers not as "numbers", but rather an algebraic system natural enough for mankind to discover easily. Just taking square roots leads you to it.
Much like how Complex numbers are 2D rotation matrices, Quaternions are 3D rotation matrices, though this construction doesn't show that very well. Also they work better when sandwiching 3D reflection matrices or other quaternions, rather than multiplying by a traditional column vector.
the word "number" is misleading, isn't it. "Number" implies quantity. No wonder people are initially confused about the idea of a Complex Number. It's pretty hard to imagine (2 + i)apples. A Complex "Number" is more like a location in 2D Space than a number. A navigator's perspective is more useful than an accountant's perspective.
![[Eng Sub] Calculations in Another World | Tropical Geometry](http://i.ytimg.com/vi/eHVchEZuU7Q/mqdefault.jpg)
![[Eng Sub] d/dx is an Infinite Matrix](/img/1.gif)
複素数って、なまじ "a + ib"と書くから「2乗して-1になる i なんてありえない！」と思われがちだけど、
それはあくまでイメージの問題で実際は、自然数→負の数（整数）、整数→分数（有理数）とやってる事は大差ない、
むしろ、有理数→実数の方が大きな飛躍なんですよね。
集合の濃度から考えれば確かにそうですね。
構成の面ではそうですが、性質の面での｢大小関係について全順序集合と成らない｣と言う変化は複素数独自の性質を幾つか生み出している様に思うので、結構大きな変化であるようにも思います。
人によりそう…
(線形結合でない形で近似する事の出来ない数が存在したりとかですね)
「複素数わからん！」って言ってる人に「有理数から実数への拡張を認めてるなら、実数から複素数への拡張も認められて当然」って説明するのは酷な気がする
歴史的にいくつかのアイディアをみれば，自然数から整数という拡張も簡単に考えれば（０や）負の数を自然数に付け足しているわけだけど，減法を表す自然数の順序対を数とみなす発想によって，
5-4=1
を
(5,4)
のように書くなら，
(4,5)
という対を-1と対応づけたとしても理論的には同等なんだよね．むしろ，会計の貸借表はそのアイディアを採用している．（負の数がなかったから）
同様に整数から有理数への拡張も整数の順序対（ただし分母を意味する方の成分が0にならない）で，四則演算を「それ用に」に定めたものとしてもいい．
コメ主が言っているようにこのアイディアの延長で，行列を数と見做す(対応付ける）発想で有理数から複素数(あるいは実数から複素数）へ拡張できる．
ところが，有理数から実数への拡張は完備性を考慮するのなら，実数と見做すべき数学的対象は，例えばデデキントの切断であれば「切断切片という数直線上の区間の点の集合」という幾何学的対象によって，コーシー列とアルキメデス性などの収束性でやるなら「有理数の無限数列の同値類」によってなどなどとなって，やっぱり複雑さが段違いのように思える．
ただ，高校あたりまでの実数の扱いはごく一部を除けば実数の完備性は考えなくて良くて，ほとんどが実閉順序体(RCOF)の性質だけを使っている．
複素数を実数から構成するやり方、R[x]/(x^2+1)のやつが好き
四元数の積の結合法則とかは直接計算して証明するとめんどくさいけど、四元数を実行列や複素行列で表せれば行列の積の結合法則からそのまま証明できるの良いな
ギリギリ着いていける内容で、知らないことばっかだからすごく楽しい
I happen to be doing a research project this summer on quantum computing with some focus towards matrix mechanics. This video was very helpful, and I like the unique approach it has. Thank you for adding the subtitles too! :)
複素数⇔⇔線形代数学
凄い発見があったものだ
As a student who is trying to pursue subjects in Algebra for her Masters and PhD, this is an incredibly well done explanation.
We have done construction of the number fields and algebras using various algebraic methods, but this treatment of matrices is certainly super interesting, and viable to work with, explaining their free module nature with respect to field of real numbers. I honestly was expecting to see some discussion about the Lie Algebra and Lie Group SU(2), but that's fine.
This is like, exactly what I look foward to do in future - teach, and teach well. I am super glad to see others put their creative minds to reach the same goal.
a＋biに対応する行列aE+bJの転置や行列式のさらに先の話： 固有値はa±biで、2つの（b≠0）固有値a＋bi, a－biへの固有空間への射影行列はそれぞれP1＝(E－iJ)/2, P2＝(E＋iJ)/2と書ける。
一般に2次行列Aのスペクトル分解がA=λ1P1＋λ2P2のとき、関数f(z)に対しf(A)=f(λ1)P1+f(λ2)P2と定義するのが自然（対角化すれば明白、特にf(z)が多項式のときはzをAに置き換えた行列多項式に一致する）なので、以上を代入して計算してみると……たとえば f(a＋bi)=a－biなら f(aE＋bJ)=aE－bJ、f(z)=|z| なら f(aE+bJ)=√(a^2+b^2) E、f(z)=e^zなら f(aE＋bJ)=(e^a)・{ (cosb)E+(sin b)J }、a+bi=re^(iθ)としてf(z)=log z（主値）なら f(aE＋bJ)=(log r)E＋θJ、などなどとなっています。
シュレディンガー方程式を解くのに微分方程式（代数的）と行列を用いて解く方法があり、実質内容は同じだったと聞いたことがありますが、動画の内容となんとなく関係してる気がします
ハイゼンベルクの行列力学、名前だけ知ってるけどこれ見ると確かに関係しそう
シュレディンガー方程式（固有値方程式）から得られる波動関数が完全規格直行関数系による無限級数展開で書けて、その関数系の１つ１つの関数がベクトルの基底と見なすことができることから、行列力学との対応が理解できると思います。フーリエ級数展開と全く同じ議論ですね。
行列力学で物理量は行列（普通はエルミート行列）で表されますが、その行列要素も複素数なので、今回の話とは少し違います。しかし、この動画で紹介された記法を用いれば実数だけで量子力学を作れるかもしれませんね。しらんけど。
ハイゼンベルグ方程式からシュレディンガー方程式を導くことができるので２つは同値な方程式
パウリ行列ですね
@@MikuHatsune-np4dj 各パウリ行列を(-i)倍すると、i、j、kになりそうですね！
こういう、高校数学から大学数学へと「意味」を伸ばす動画が好きです（自分は高校数学を少し齧った程度だけど、数学の「深い意味」には興味があるから）。
Thank you so much for the video and the english subtitle!
ここにいる人々は数学を分からないと言っていますが、僕は日本語のことをあまり分かりません。でも、聞き編のためにすごいですよね。英語の字幕なしでこの動画を分かれるようにもっと勉強するつもりですよ。この動画を作ってくれてありがとうございました！
That is why I tend to think of complex numbers not as "numbers", but rather an algebraic system natural enough for mankind to discover easily. Just taking square roots leads you to it.
大阪公立大数学科の聖書として崇められている有限群の表現の2章多元環の表現の虚数から多元数を構成せよの問題で4元数になる過程が分からなかったから分かった。あの本は餅は餅屋(表現の研究は東大ではなく阪市大)というのを体現している。
Thank you very much. This is exactly what I need ☺️
This channel is quickly becoming one of my favorites ❤
6:46 行列式が絶対値なのってこういうこと！？
前半見てる僕: ふーん知ってる知ってるw
後半見てる僕: んんん！？！？そうなのか！！！！
really cool videos bro. do you know other japanese channels that make similar videos with english sub?
なるほど。。。勉強になりました。有難うございました。
これを一般化していくとクリフォード代数になります
結合法則を満たすものを代数とよびますが、八元数は結合法則を満たさないので、実数・複素数・四元数はクリフォード代数の仲間なのに対し、八元数はクリフォード代数に含まれません
クリフォード代数の仲間のうち重要なものとして時空代数というのがあって物理学で重要な役割を果たします
これは他の例と同様に4次の複素正方行列で表せます
Wow, I heard a bit about quaternions while worked with 3D graphics, but with this video I finally understood them. Thanks for EN subtitles
Much like how Complex numbers are 2D rotation matrices, Quaternions are 3D rotation matrices, though this construction doesn't show that very well. Also they work better when sandwiching 3D reflection matrices or other quaternions, rather than multiplying by a traditional column vector.
SEGAの線形代数のPDFがダウンロードできて、四元数が特にオモロイ!
SEGA って、あの「ゲーム機」の、ですか？
@@いつもの通りすがりの猫
そうです。
キャラや背景の回転に使用するみたい。
元は社内用の資料だったものを一般公開したってやつですね
8:41
ここに出てくる行列、少し違うけど割と量子力学で使うなあ
Absolutely amazing video, thanks for the translation to English!!
多元数からスピン群へのお話も聞いてみたいです。
This is fantastic! From complex numbers to Quaternions and Pauli matrices...would perhaps be even better with a connection to SU(2)!
物理をやっている立場からすると4元数はパウリ行列を使った方がわかりやすいなぁ。
おもろかった❣️
ゆとり世代の私、当時の高校(理系)では行列を習って複素数平面は習っていなかったので、平面上の回転に関して虚数単位iが90度(π/2)の回転行列に対応するって初めて知ったときは不思議に感じたものです。
曲線の回転を扱うときに、どちらかは必要なんですよね。
This whole channel is fantastic, please continue to make more videos!
Thank you for adding English subs!
去年から私は日本語を勉強している
それから私はあなたのvideoを見はじめました
しかし私はまだよくない
トルコ語videoよりこの数学videoの方がいいです
（私の日本語は下手すみません）
Esse se tornou um dos meus vídeos favoritos da vida.
It seems that many structures in algebra are essentially the same
大学の頃量子力学でパウリ行列習って、四元数と対応してることに気づいてめっちゃこのあたりの行列表現が好きでハマってた思い出
虚数を実数で表せるとは初耳でした。有難うございました。ところで、誰が思い付いたのですか？
そうだよ！
凄くいいサムネだ！
これ東大出版の橋本礼司の複素解析のp3の問1かな？放置してたからありがたい！
座標平面に和と積を定義すると体になるからそれを複素数体とする方法も好き(ハミルトンによる構成)
この動画の構成も見たことあるけど
四元数は掛け算の交換法則が一般に成り立たないから行列の要素にすると行列式が一意に定まらないっていうのが八元数が行列で表現できないことと関係あるのかな？ないかな？わからない。
That was cool!
but i don't know what Quaternions or Octonions are..
興味深いなぁ。
0 -1
1 0 の行列は、(x,y) に対して、
新しい軸 (0.1) (-1.0) を与えて、
それぞれ x倍、y倍して、という指示なので、
軸が反時計に90度回転する行列になりますよね(^^;
四元数と行列って掛け算で交換すると符号が逆転したりするところがなんか似てるなーと思ってたらこういう関係があったんですねぇ。
8元数が行列で表せないってことは・・・。行列を拡張したテンソルでは表せるのでは？！
今後に期待してます。テンソルよくわかってないですけどー。
四元数は行列（＝2階テンソル）で表せるから、八元数は3階テンソルで表すことができるかもしれませんね。
そうすると二元数はベクトル（＝1階テンソル）で表すことができるはず。
更に、虚数単位iは数多ある虚数単位の1つで、二元数に関連した虚数単位も実はあったりして。
全然詳しくないけど、想像だけは膨らみます。
@@Kohdei テンソルは大学のゼミで習ったときに最大級の？？が出た分野なので、理解したい気持ちがあるんですが、もうなんか想像するだけで難解ですね。
＞二元数はベクトル（＝1階テンソル）
それって普通の虚数ですよね？
@@Kohdei
3階テンソル同士の掛け算は出来なかった筈だから、有り得るとしたら4階テンソル…?
(誤った知識が含まれてたら申し訳無い…)
@@回廊 そもそも8元数が掛け算できるのかから解らないので・・・
@@mccova625
八元数同士の掛け算は出来ますよ
Wikiの｢定義｣の項に掛け算表が載ってますぜ。
八元数の掛け算では結合法則が成り立たないので行列で再現不可なのですが、4階テンソルがどうなのかが分からないんですよね…
(追記:
どうやら、4階テンソル同士の積でも結合法則が成り立つみたいです…
6階以上はまだ見ていませんが、同様に成り立ってしまう可能性の方が高いですね。)
ド・モアブルとかオイラーの公式みたいに極座標っぽくするなら、単純に回転行列を絶対値倍すればいいだけだけど、これを四元数のあれでやるとどうなるんやろ？
虚数単位iは90度回転させる作用を持っているから、単位行列の実数倍と90度の回転行列の実数倍を使って和を取れば、複素数を行列で表現できるなあ～と高校生の時に思った。
でも、2パラメータで済む複素数に対して4パラメータ使うので冗長だなと思って却下した記憶が。
2×2行列は座標ベクトル（x，y）に対しての平面操作を表せるので、複素数平面を再現できるよう。
ただ、行列は逆行列を取るのが面倒で、複素数はi^2＝-1を利用することで計算が楽なので、結局は回転と拡大縮小、平行移動だけなら（せん断変形や射影を扱わないなら）複素数がスマートなんですよね。
複素数・クォータニオンは絶対値（ノルム）で割れば、簡単に回転を表す単位複素数・単位クォータニオン（絶対値＝1）が作れますが、正規行列（共役行列の積が可換）である回転行列を作り出す（正規化する）のはちょっと面倒なんですよね。
四元数（クォータニオン）は、複素数の2×2行列（実数の4×4行列）の実数倍の和で表現できるのは、パウリ行列×(-i)倍がi，j，kの役割をするので気付いていました。
XY平面で90度回転させる2×2行列をiとして複素数を構築できるのですから、XY平面で90度回転させる3×3行列をi、YZ平面で90度回転させる3×3行列をj、ZX平面で90度回転させる3×3行列をkとして四元数を構築することもできそうですが、どうなのでしょうか？
やってみたところ、実数の3×3行列（3次元の回転行列）だとうまくいかない・・・
実数の2×2行列だと、単位行列の実数倍と90度の回転行列の実数倍が、和にした時にちょうど干渉せずに格納されるけど、実数の3×3行列だと和にした時に各成分が干渉してしまいますね。
実数を1つあげて実数の4×4行列にすると和にした時に各成分が干渉せずに格納されるようです。
動画で出てきた、実数の2×2行列4個（0度の回転行列、Z軸90度回転行列、X軸90度回転行列、Y軸90度回転行列）を2×2行列に行列ごと格納して、実数の4×4行列1個にする方法ですね。
八元数が行列表現できないのは結合法則が成り立たないからですかね？
行列ってすっげ
somehow there being a maths channel with this way of conveying information isnt that surprising to me
Wtf, I love math now. Not even joking, this is as engaging as a 3blue1brown video
the word "number" is misleading, isn't it. "Number" implies quantity. No wonder people are initially confused about the idea of a Complex Number. It's pretty hard to imagine (2 + i)apples. A Complex "Number" is more like a location in 2D Space than a number. A navigator's perspective is more useful than an accountant's perspective.
さては量子力学の運動量演算子と関係して…！？
最近の楽しみ
三次元の表現の計算が行列になるのか。マトリックスを決めたら、論理回路で構成して、高速計算できるなあ
3次元の回転を四元数に相当する4×4行列で表現するくらいなら、素直に4×4のアフィン行列を使って拡大・縮小・平行移動・剪断も扱えるようにしたほうがいいのでは……。
工学の分野ではi というかわりにj ということ、聞いたことがある
電磁気学で良く使われる虚数については電流でi使ってるのでややこしくなるから虚数はj
でも熱量や仕事、エネルギーでj（ジュール）使うならそこではまた別のを使ってそう（想像）
ジュールはJ(大文字)だし、そもそもJは単位(電流で言うところのA[アンペア])だから、仕事を文字で表すときはWを使うことが多いね。
どっちにしろ小文字jが問題になることはあんまないはず。
ガロア理論の置換の操作も行列で表現出来る。
(x1,x2)に
(0 1
1 0)
をかけると(x2,x1)になる
行列は万能な表現
微分ガロアとかでも普通に使われてるよな
十六元数は表現できそう
なるほど！
虚数単位が行列を使うと実数だけで表現できるっ！とは、…。
文系じじいには、新鮮でしたっ！
（で、でも四元数のあたりからは、あ、頭がつ、ついていけない……😭）
八元数は八次正方行列で表現できますが…?
One of the coolest proofs i encountered i believe was from naive Lie theory:exp([[0 -1][1 0]]x)=[[1 0][0 1]]cos(x)+[[0 -1][1 0]]sin(x)
行列の成分に四元数を使ったら八元数になりませんか？
A BREACH OF MATH KNOWLEDGE
縦続行列っぽいな
途中まで見て「行列の表現力は無限大！」って気分になったけど、八元数に砕かれた
行列Jって可換性あるんですか？
ありますよー。単位円上の回転を表す行列はU(1)であり可換群です。
少なくとも {E,J,-E,-J} という集合に対して通常の行列積に於いて可換ですね。(アーベル郡になることを簡単に確認できますね。)
虚数単位 i と完全に対応していることと、複素数が体を為していることから可換性は自明とも言えます。
「正体」って何や？
体同型ってだけの話やぞ。
行列なんてものは、抜け殻みたいなもの。虚数＝行列は間違い
パウリ行列ですね
これ知らなかった
行列は実数なのか？
そうじゃなくても良い
そもそも「複素数を実数だけで構成する」という言葉が曖昧すぎるというか、意味がない気がする。それならルート-1でいいじゃんみたいな。
@@AngryCoward
コンピューター的には、こっちの方がやりやすかったりする
@@天才の証明 まあ、確かに。
そりゃ純虚数は実数ではないし，複素数は実数を真にその部分に持つ．
だったら「複素数を実数だけで構成する」の文言が「実数の内部で構成する」訳では無いことなど明らかだろう．
実数の集合から集合論の規則をつかって構成するんだから別にこれでいいんだよ．
え、四元数と関係あるんかな。。。関係あるんや⁉️
線形なら取り敢えず何かしらの行列が対応する
単に1次元の数を2次元に拡張しただけって思えばなんも不思議じゃないのにね😂😂😂
でも「次元」って、「数の個数」って意味ですよね？
例えばn次元空間なら、n個の数で座標を特定できる。
そう考えると、「2次元の数」って自己矛盾してませんかね？
「1つの数なのに数の個数が2個ある」と言っているのだから。
@@星雲男子大学 おお、なるほど。
でもその複数の数でできたもの自体を別の数として言えばいいよね、って事でそれはまあ定義の話ですね😇
まあ実際はベクトルだったりする訳だけど。それ自体を(その空間での座標を指し示す)数と言っても別にいいんじゃないかなと。
複素数体は実数体の2次拡大体だから、2次元の数でいいです。
へぇ～
行列って関数だよね？
関数は変数を別の変数に写すもの
行列は縦×横に数を並べたもの
変数をベクトルとしてそのベクトルに行列をかけて別のベクトルに写すと考えれば行列を関数と考えることもできなくはないです
演算子を行列にして作用素で使ってるのを観ると関数っぽく感じます
その疑問は「1は関数か」と同じようなもの。
例えば
1+5=6という計算は、「1が5を6に変換した！だから1は、5から6への関数だ！」と言えなくもない。
それと同じ類いの考え方だよ。「行列は関数」というのは。
行列は関数ではない．
でも「ある行列A」に「なんやかんやして」，「別の行列B」にするという変換・写像があるとして，その写像と同じ効果を与えるように，左or右から別の行列を掛ける操作を考えることが（大抵）できる．
そういう行列があるならその行列を左or右から掛ける操作を写像（関数）と見做すこともできる．
言い換えれば線形写像を形式的には行列に（大抵）置き換えることができる．
でも厳密には写像としての左演算や右演算とその空間の要素とは別概念．