本当に正しい数学の怖い話 (級数の順序変更)
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- Опубликовано: 6 сен 2024
- 適当に順序を入れ替える人はモテない。
知らんけど。
概要欄 やす
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②高校講座：受験レベルの理系科目
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“物語のある音楽”をコンセプトに活動するボーカル不在の音楽ユニット”noto”（ノート）
RUclipsチャンネル『予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」』の主題歌として書き下ろした一曲。
noto / 2nd single『Telescope』（feat.みきなつみ）
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noto公式RUclipsチャンネルにてMusic Video フルver.が公開中！
【noto -『Telescope』】
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【みきなつみ公式RUclips】
/ @mikinatsu_official
絶対収束って言葉だけでもちょっと厨二病心くすぐるのに、任意の実数に収束、発散もさせられるって素敵すぎる。
「お前はログニ勉強してないからそうなるんだ！」の0ボケで見切れてるの最高
昔のアンサイクロペディアの「１＝２」の項の中に、交代調和級数の順序変更を使ったものが掲載されていたのを思い出しました。ゼロ割りを使わずに矛盾を導いていたので印象に残っています。
見に行ったらすごく面白かったです
留数定理が出てきたあたりで白旗でしたが🤔
あのサイトどの記事も教養とネタと知識が凄い
コメント見ただけでちゃんと検索までするの、知的態度が身についててすごいと思った（小並感）
俺も調べよ
直角三角形のパーツの並べ替えのやつ、仕組み知ってイラっとした
「有限だったら変わらない筈なのに」という感覚が既におかしいと感じる。有限だったらそういう法則で並べ替えることは出来ない。最後の方はマイナスの項だけ余っちゃう
たしかにと思いました。そういう余っちゃうはずの項が無限遠に追いやられて"消える"イメージなんですかね
なるほどわかりやすい
log 2 = 1 - 1/2 + 1/3 - …
ですが、交代級数は収束が遅いのであまり使いません。そこで次のような工夫をします。
| x | < 1 に対する Maclaurin 展開を用います。
log( 1 + x ) = x - x^2/2 + x^3/3 - … …①
①の x のかわりに - x を代入すると
log( 1 - x ) = - x - x^2/2 - x^3/3 - … …②
① - ②より
log( ( 1 + x )/( 1 - x ) ) = 2( x + x^3/3 + x^5/5 + … ) …③
③は | x | < 1 の範囲で絶対収束します。交代級数よりもはるかに収束が速いです。
log 2 を計算したければ③に x = 1/3 を代入します。
log 2 = 2・Σ_{ n = 1 }^{ ∞ } ( 1/3 )^( 2n - 1 )/( 2n - 1 )
また上のように考えなくても
2 = ( 3/2 )・( 4/3 )
なので
log 2 = log( 1 + 1/2 ) + log( 1 + 1/3 )
と分解すれば①に x = 1/2, 1/3 を代入して log 2 を求められます。③より若干収束が遅いようですが。
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …
も条件収束です。やはり収束が遅いので上記の等式はあまり使いません。
誰に話しかけてるのこの人…笑
なんかめっちゃドヤ顔で送ってそう…
大学1.2年の数学を高校で学んでたころの結構昔の京大の入試でそんな問題があったよね、log2だったかな？それの少数第3位まで求めるやつ
2より大きな数字のlogを求める公式ですね
自分も感動した記憶
収束っていうのは、全項の合計ではないっていう事ですね。まるでそれを全項の合計のように説明するから不思議に見えるだけで、もとから別の演算だと思えばそもそも不疑義は無い。そういうルールの処理ってだけ。
順序が変わるというより、加算と減算の比率が1:1から2:1に変わるから、結果としては増えるだろうというのは直観的に考えられる気がしました。
それな 特に違和感無い
でもそれだと絶対収束する場合については直感が外れちゃうよ
臨機応変という言葉ご存知ない？
@@user-zr7ud3uc2s 私が主張したいのは、「その直感で級数の収束値を判定するのは不可能である」ということなので、臨機応変も糞も無いと思いますが...
K Adch 収束値がいくらか？って言う話じゃなくて、結果が変わる、と言うことに関しての話だから、同じじゃないことに関してそんなに不思議でもないよ、って感想としてなら、普通じゃない？
log2と「ろくに」をかけたことに数秒後気づいたときは脳汁ドバドバでした
腰を据えて勉強するのには劇場版の動画がいいんですが，なかなか見る時間が取れないのでこういった15分ぐらいの数学の動画ありがたいです。とても面白かったです！
最近色々な知識をつけるためにヨビノリ先生を見始めたけど説明が完璧すぎてすごいわかりやすいです！これからも活用させていただきます！
これって要は濃度みたいな話よね
交互に足し引きしていくより、2個足して1個引くほうが、足す分が多いから増える
無限だと同一視されるけど、無限の中にも大小がある
本当にあった数学の怖い話
不定積分で +C を書き忘れた人がいる。挙句の果てに、
+C をアパレルに使った人がいる。しかも、同一人物。
数学科行かんでよかったほんまに。
こういうのは小話聞くくらいがちょうどいいわ笑
全くのど素人なんですが、単純に並びが変わっただけでなく、プラスの登場回数が多くなってるので同じではないことは直感で分かったのですが、そう見えたのはおかしいのでしょうか。
正、負、正、負、
を繰り返すと確率 1/2 で正です。
正、正、負、正、正、負
を繰り返すと確率 2/3 で正です。
同じ個数で比較すればたしかに確率が増えてるのでプラスの登場回数が多く見えるというのは正しいです。
しかし実際には無限個同士の比較なので単純に比べることはできません。
順番入れ換えるって言っても、割合が変わってるから逆に同じになる方が違和感なんだけど
+1/7 だいぶ早く出てますしね
証明見たら当たり前だけどぱっと見で元の級数の1.5倍っていう比較的綺麗な数字に収まってるのも気持ちいい
ちょっと数学勉強しよっ！と思い、なんか開いた。全然意味わからんのだけど、この方の説明良く分かる。先ず私がもう大分勉強したらまた此処に来ます❣️
無限和のときに足す順序をかえてはいけないことは、受験数学ではよく言われることですよね
もう級数が信じられなくなった…！もうノーサンキュウっす
こんなボケを言う者には灸を据えたほうがいいな
私は好き
なんでもっと伸びないんだ、、、
こういうの好きでしょヨビノリ視聴者！
超弦理論の「D(次元数)＝9」の計算過程で出て来る、
Σ(n＋1)＝1＋2＋3＋‥＝－1/12 (n＝0,1,2,…,∞)
の無限級数和の証明にも、級数の順序変更後の四則演算が出て来ますよね。
左辺は発散する(ハズな)のに、右辺は何故か－の値に収束するという摩訶不思議な式です。
今回の「条件収束」の話とは条件の異なる話である事を分かった上で、
Σ|n＋1|＝∞ (n＝0,1,2,…,∞)
に発散し、絶対収束しないので、そもそも項をズラして演算なんかしちゃ駄目なんじゃないかな
って思うのは私だけでしょうか？
@@RokuroRokutaroo さん、有難うございます。参考になりました。
ゼータ関数(ζ)の解析接続(前提条件無視の延長)に依る「1＋2＋…＋∞＝－1/12」の導出法ですね。
この摩訶不思議な式の導出には様々な方法が有って、もっと簡単な方法として例えば無限級数の項を
入れ替えた演算もあり、収束しない無限級数の項入れ替え演算が出て来る事を言いたかったのです。
以下はその一例です。オイラー師匠に逆らうつもりは無いのですが、何とも…
光子の質量(0)＝振動エネルギー(2)＋最低エネルギー{(D－1)×(1＋2＋…＋∞)×3} (→①)
上式の無限級数部を S＝1＋2＋…＋∞ (→②) として、4倍したものを項をズラして辺々を引くと
S ＝ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋…
－) 4S ＝ 4 ＋ 8 + 12 ＋…
-----------------------------------------------------------------
－3S ＝ 1－2＋3－4＋5－6＋7…
これを更に、項をズラして辺々足すと
－3S ＝ 1－2＋3－4＋5－6＋7…
＋) －3S ＝ 1－2＋3－4＋5－6＋7…
-----------------------------------------------------------------
－6S ＝ 1－1＋1－1＋1－1＋1… (→③)
一方、以下の級数和式が知られている
Σ(x^n)＝1 ＋ x ＋ x^2 ＋ x^3 ＋ … ＋ x^(n-1)＝(1-x^n)/(1-x) ※x≠1, n=0,1,2,…,n-1
これに (－1 < x < 1) という条件を付け、n→∞ に飛ばすと、x^n→0 より
Σ(x^n)＝1/(1-x) ※－1 < x < 1, n=0,1,2,…,∞
これに解析接続(前提条件無視の延長)して、x＝－1 を代入すると
Σ(x^n)＝1－1＋1－1＋…＝1/2 (→④)
③＝④より、
－6S＝1－1＋1－1＋…＝1/2
S＝－1/12
この結果を②に戻して、
S＝1＋2＋…＋∞＝－1/12 (→⑤) ※ここで登場！
更に⑤を①に戻して
0＝2＋{(D－1)×(－1/12)×3}
∴D(空間の次元数)＝9
ゼータ関数は名前位しか知らず超弦理論に至っては何も知りませんが、ここで投稿されている方々のお話に触れるだけで何だかワクワクします。
ちなみにこのニュートンメルカトル級数は
’05静岡大学
’15山形大学
’18名古屋大学
（後期を含む）
で出題されています。
by受験数学オタク
順番を入れ替えるというよりも、正の項を前に押し込んだ形なので、値が変わるのは直感的にもわかりますね。
直感的にわかるんですね ・・・
こういう無限のバグみたいなやつ好き
こういう1つの知識を掘り下げた動画も良いですね😊。
複素関数論で絶対収束の話が出てたので、補完にもなりました😊
②の式自体はいいかもしれないけど
無限の場合、①と②を各項ごとに加える、
そして右辺の足し算をしてしまう
ってやっていいの・・・？
6:00 の補題の話ですね。
無限級数 A, B について、AとBの和とは、Cn = An + Bn としたときの無限和 Σ(Cn) と考えることができます。
ある項までの有限和が Σ(Cn) = Σ(An) + Σ(Bn) となることは理解し易いと思います。無限和は有限和の極限と考えられるので、有限和の場合と同様に無限和 Σ(Cn) の値は「右辺の足し算」として求められます。
もとの無限級数の各項を足し合わせる順序さえ変えなければ、無限級数同士の和を無限級数 C として考えることができるということです。
なお、無限級数 A, B がともに収束（絶対収束でなくてもよい）すれば、無限級数 C も収束します。
絶対収束の場合は元の級数を例えば
「正の項のみを取り出した級数」と「負の項のみを取り出した級数」みたいに
複数の級数に分けたとしてもそれぞれの和が収束するからどう混ぜても大丈夫だけど
条件収束の場合は複数の級数に分けたときに和が発散するものが出てくる場合があるから
混ぜるペースを変えると値が変わっちゃうって感じなのかな
だとすると条件収束する級数を複数に分けたときにそれぞれがやっぱり条件収束するなら
混ぜ方を変えても同じ値に収束するのかな？
条件収束する級数は混ぜ方を変えることで任意の値に収束させられるって動画最後で言ってるので、同じ値にはならんね
混ぜ方を変えれば結果は変わるよ。お菓子作りと一緒だね。1-1+1-1.......と続く級数があれば、奇数番目は1だし偶数番目は0になる。よって極限は存在しない。
冬なのにこんな怖い話をするなんて
(1)と(2)を加えた「・・・」の部分が、本当に等しくなっているのかどうかがわからない
全くちんぷんかんぷんだけど、チョークのコトコト音が心地良いというというだけで見てる
logに勉強しないからこうなるんだ！
好き
log2勉強しないからこうなるんだ！
ファボ1のボケすんな 笑
2:08w
と、先生は いかりまくろーりん展開
級数って順番かえてはいけないって青チャートに書いてたけどこういうことか
並び替えの"複雑さ"を考えて見たくなる。動画冒頭のやつは規則的な並び替えだから比較的"単純"ってしたい。例えば、動画の交代級数の並び替えによってπに収束させようとしたら何となく複雑な並び替えになりそう。これを上手く定式化して、並び替えの複雑さで収束する値を分類したら面白そう
めっっっっさ面白そう
ある収束値から並び替えて別の収束値にする時、｢並び替える数｣をある種の距離と考えることも出来そう
並び替えをσとして(1,σ(1)),(2,σ(2)),...を平面にプロットして、例えばそれらを適当にむすんで、y=xとの差を見るのは1つの手段かなー
@@ari_harapeco ケンドールの順位相関係数に似てるね
無理数を無限パターン生み出す手法があるとデータ圧縮に役立つと思う
ヨビノリさんもこういうの解説するんですね
面白いです
7:50
面白いギャグなのに、級数を勉強した人にしか伝わらないギャグなので悔しい
@検索中 答え知ってからなるほどねってなるのが悔しいってこと 大体わかるくね
@検索中 自分の返信が煽ってることに気付いて修正してて草
↓↓↓
そとみがわりゅうく だから答え言われなくてもだいたい分かるって書いてるよね？ 的外れだしお前に聞いてないし話しかけてくんなよ。
こんなギャグが伝わるか伝わらないかというかわいらしい議論が出来るのは平和だからなのかもしれない
@@thereisgoodname 間違いない
アホっぽくて可愛い
@検索中 なんでカリカリしてんの
面白いけども、なんか気持ち悪いーー
数学的操作でそうなることは理解できたけど、直感的理解が追いつかない….
2:08
誰もツッコんでないようなので…
いや、ファボlog1のボケすんなよ！
各項の間に突っ込んだ無限個の"+0"を前に持ってきます。
0+0+0+0+0+0+…
「ぬわーーっっ!!」
最初のほうは＋－交互（１つずつ）に計算してるけど、次のは＋を２つ－を１つの順番だから1以上になるのは当たり前じゃないか？数学わからんけど、それくらいは何となく感じるんやが
最後pとqが入った式を見た時、思わず「キッッッモ」って声出た。
そんなところまでもう分っちゃってるのかっていう驚きと、思いの外その式が綺麗なことへの驚きがあった。
最近アンパンマンに自分の心を読まれてる気がする
それくらい需要に合ってる
これ普通に見たら「並べ替えの前後で＋の項と－の項の数が一致してないじゃん」って思うけど、
そこを「一致してないのはどこか（有限の地点）で見てるからであって、これは∞の話だから関係ない」って言われて、
納得できる人が大学以上の数学に進めるってことなんかな
大学では自然数の集合から自然数の集合への全単射写像を使って議論します。
全単射なので逆写像が定義できて、全ての番号は並び替えた後もどこかには必ずいます。
よって、全体として見れば変わっていません。
∞はペアノの公理より自然数に含まれないので納得できなくて正解かと
@@i_love_sex 無限という数字が使われてるんじゃなくてずーっと書き続けてる、という意味の無限かと。
数字が見えている範囲では変わっていても、きちんと「同じ内容を、入れ替えただけの状態で書く」前提があるので、この場合は変わらないと思います。
@@user-zs4bj2dl5u 「log2に近づいたね」と人間が評価するとき必ず有限で切って観測してるのであなたが「無限に続くその全体量」は変わらないよ、と主張するとき、その全体量という単語もやはり有限で切ってしまってるのです。が、有限で切ると全体量は変わってしまっている（増えてしまっている）のが自明です
@@i_love_sex うーん…言いたいこと伝わってなさそうなのですが伝える能力が私にはないのでもう大丈夫です。
多分そういうことじゃないよって上手く言えないけど言いたかった…
それは数学の恐ろしさでもあり、美しさでもある。
なんで無限に出そうと思ったのか、それがまず不思議ですね(文系より)
物理でも数学でも、感覚に反する結果になると気持ちよくなれる
1－1＋1－1＋1－1…の順番を変えて
1＋1－1＋1＋1－1…とする、と言ってるようなもの。明らかに違う。
私もそう思います。例として分かり易い。1+2+3+ ... = -1/12 と言うやつもトリックだね。
この話に似たこと受験生時代に河合塾の先生が雑談で言ってたな懐かしい
既に多くの人がコメントしてますが、これは項の並べ替えではなくて別の数列になっていますね
しかし、2つ目の漸化式が思いつかない…プログラムなら書けるんですが
なるほど！たくみさんの動画は条件収束しているから、色んな動画を出してても、真面目な方にもふざける方にも収束できるし発散することもできるんですね！
1/nの無限級数って2に収束しないんですか？
発散する理由を教えてください
1/xが下に有界な広義単調減少連続関数で
それはintegral[1,inf]1/x dxとsigma[1,inf]の収束・発散が一致するので発散しますね
@@thegod22222 あ、でした間違えました。
でも、直感で行くと∞になるとは思えなくないですか？無限って怖いですけど、毎度そそられます
高校生レベルの証明だと以下のものが有名です
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…(☆)というのは1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+…(※)よりも大きい
ここで、1/4+1/4=1/2、1/8+1/8+1/8+1/8=1/2、…なので、結局、(※)=1+1/2+1/2+1/2+…となる
これは明らかに正の無限大発散するので、それよりも大きい(☆)も正の無限大に発散する
@@sea_pian 誰かが書いてくれると信じていましたwありがとうございます！w
@@kaj694 ご期待に添えたようで何よりですw
この証明はむしろ積分判定法よりもめんどくさい気がしますよねw
複素関数論でちらっといってたやつだ！
備考欄、、笑笑 やすさん何かありました？？
大学数学ってずっとこんなこと考えてるの？めっちゃ楽しそうじゃん
数学苦手なのでお聞きしたいのですが、なぜ無限個ある数を足した時の和がわかるのでしょうか？規則性とかがあるのでしょうか？優しい方教えてください🙇♂️
厳密には極限を計算しています。特定の級数だけ計算できて何でも計算できるわけではありません。
log 2 はそれを近似する級数が有名なのでわかります。
@@user-dl8nk5bf8v 返信ありがとうございます！つまりこの場合では実際はlog2に近いというだけであってlog2ではないのでしょうか？理解力が乏しくて申し訳ありません。
@@user-hp3oo1lj8q さん
ざっくりその解釈であってます。途中まで和を計算すると log 2 に近い値が出て、
さらに計算する量を増やすといくらでも log 2 に近い値が求められる、といった具合です。
どこまで計算してもぴったりの値にはなりません。
@@user-dl8nk5bf8v 理解出来ました！分かりやすいご説明ありがとうございました！
@@user-uj1qt7zh1w
え、足さないんですか？
絶対収束は道のり有限、条件収束は道のり無限っていうイメージ持ってる
説明聞いてもやっぱ不思議だな〜
こういうの面白いから好きだけど♪
概要欄のやすくんのコメントに思わず笑ってしまったんだが…何があったんだ！？w
RUclipsにおいてサムネが大事だってことがわかる動画
順番を入れ換えることによって値の変わる無限級数の話は有名ですね…やはり無限は扱いづらい
マクローリン展開使って オイラーの公式
e^ix = cos x ＋ i sin x 示せるのも、
級数e^zが絶対収束するため二つの無限和に分けられるからですね。
真部分集合が元の集合と一対一になったり、
無限にはミステリー多いですね
だいぶ前のヨビノリさんの動画で「絶対収束」ってワードが出てきたので今日ようやく謎が解けました。ありがとうございます！
ヨビノリの動画を見てると高校数学は狭いってことを実感させられる〜
高校まで数学好きだったのに＝が絶対じゃなくなった瞬間に数学の道から外れたね
教師から考えるな感じろと言われた瞬間幕を閉じた
😄お見舞い周り中の休憩でまいどおおきに食堂で早見で視聴中です😄
😄帰宅後にもゆっくり再視聴して勉強にいたします😄
和の順序を変えるとΣにしてまとめたときに式が変わるから違う値になるのがなんとなく分かる。
あなた、最近「ファボ0のボケすんな」って言ってくれないのね……
黒板にチョークで書く時の音が嫌いなのでよびのりさんの動画はあまり見てなかったのですが、今回の動画は気になりすぎて見てしまいました。
めちゃくちゃ面白かったです。
おー、こういうの好き。でも、証明の理屈はなんとなく分かるが、入れ替えただけで合計数が変わるのは、感覚的に納得できない。「入れ替えてもいずれ足すんなら、同じのはず」という理屈を、感覚的に納得させるうまい説明はないですか？。無限だからというだけでは、眠れなくなっちゃうwww
中学三年生の時に1体1対応で知って、びっくりしたのを覚えてる
この手の数学って、気持ち悪くて考えるすべがなかったんですが、10分程度の動画で癒やしてもらえた気がします。
プラスの項とマイナスの項の比が、最初の式では1:1、順序変更後の式では2:1になっている。
無限だからといって項の比が変わってしまうのはおかしいのではないかと感じます。
私は高校までの数学くらいしか知らないのですが、
大学以上の高等数学では無限なら項の比を変えるなど、何をしてもいいものなのでしょうか？
項の比と言っても最初の 100 個とか 1000 個とか有限個の範囲でそう見えるだけです。
プラスの項もマイナスの項も無限個あるのだから全体では比べようがありません。
> 何をしてもいいものなのでしょうか？
等式の同値性を保つという意味で絶対収束する級数ならOKです。条件収束する級数ではダメです。
次の例を考えてみてください。
( i ) a = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 + 1/64 -
( ii ) b = 1 + 1/4 - 1/2 + 1/16 + 1/64 - 1/8 + 1/256 + 1/1024 - 1/32 + …
a と b をそれぞれ計算して一致することを確かめてみてください。
項の比は変わっていません。正の数も負の数も無限個あります
おもしろい手品を見せていただきました。
「ロク（log）に勉強しないからだ！」とか「凸の字は凸多角形ではないんですよね」
っていう数学教授特有のギャグセン
無限級数の項を書き連ねるのを途中で止めたとき、どう調整しようとも両方の式で共通しない数字の項が絶対に溢れるからなぁ
止めないから何も溢れないけど収束先は変わる
リーマンの再配列定理は好きな定理聞かれたら絶対答えるようにしてる
そんな名前だったんだ
@@somethingyoulike9253 終盤に言ってる任意の実数に収束させられるってやつですね
無限とかいう直感に反することしか起こさないクソ概念嫌いじゃないけど好きじゃないよ
条件収束級数を、発散するように項の順番を入れ替えたものは、条件収束級数とは言えないんですか？
この話の流れで、ゼータ関数とかガンマ関数について解説してほしい
すべての項を1/2して間に0を入れる操作をして新たに作り出した級数と足し算してる時点で、等式が成り立っていないように感じるのは気のせいですかね？
例えば、最初の級数の100項目の1/100には、もとの級数の50項目の1/50 に1/2を掛けた1/100を足し算するんだけど、この時点であとの51項目から100項目までが未使用状態になってるし、それじゃあ、無限個の足し算したら、あとの級数の∞×1/2個の項は、どこに行っちゃうんでしょうか？
証明自体を理解する以前の話ですが、最初に順序変更
したものが元の式と同じように見えません。元の式は
プラスとマイナスの項が交互に（1対1で）並んでいる
のに、変更したものは2対1になっています。これでは
各項の登場頻度が同じではないので、単純に元の式を
順序変更しただけではなく、計算結果も違うのは当然
だと思うのですが？
しかし元の級数に現れるすべての項は変更した級数にも現れ、各項は厳密に一対一に対応している以上、これを「単なる並べ替え」と言ってもいいですよね
無限に続いているので1:1に対応しています。登場する順番の違いだけです
@@mikiokishimoto205
ハッキリ言いますがノーだと思います。分母が奇数と
偶数のグループの数をxとおけばあなたの言うことは
lim x→∞(2x/x)=1という意味になってしまいます。
@@soratoriku0621
ハッキリ言いますがノーだと思います。分母が奇数と
偶数のグループの数をxとおけばあなたの言うことは
lim x→∞(2x/x)=1という意味になってしまいます。
@@KN9260
例えば
級数Σ(-1)^(n+1)(1/2)^n=1/2-1/4+1/8-1/16+...
はプラスの項とマイナスの項が交互に現れますが、
同様の並べ替え（プラスの項２つとマイナスの項１つつづ並べる）をしても
収束値(1/3)は変わりません。
このような並べ替えで「計算結果も違うのは当然」とは言えません。
マクローリン展開とかめっちゃ懐かしい響き、何一つ覚えてないわ
対数の授業して欲しい。
発散する級数二組の差だから相対的にしか収束しないということですか。
任意の和にできるのでしょうか？
物理科か数学科で迷う
物理科にしとけアラサーおじさんです
どっち入っても、理論系なら数学も物理も学べるよ。実験したいなら物理学科かな
高校までの数学が好きなら物理科
位相空間で死にました_(:3 」∠)_
大学で絶対収束と条件収束の定義を習ってすぐの演習問題がリーマンの再配列定理を証明せよ、だった悪夢を思い出した
7:52このくだりかわいい
仮に求めたい級数の和が絶対収束するとして、
試験の答案で絶対収束することを示してから、
各項を並び変えて和を求めるのはOKなのでしょうか？
絶対収束する級数はどんな並べ替えに対しても並べ替える前の級数の値と同じ値に収束する、ということを示さなくてはいけないのではないでしょうか
こういうプラスとマイナスが交互に足されていく級数の事を交代級数というのだが、奇数番目と偶数番目までの和の極限が一致するかどうかの議論がいるんだよな。
1-1+1-1+1-1.....という級数があったとき、偶数番目なら0奇数番目なら1となる。絶対ただ1つの値に収束する級数である事を示せれば順序を入れ替えてもいいです。まぁその証明が奇数番目と偶数番目までの和の極限が一致するかどうかなんですがね。
あまり大学の数学はくわしくないんですが、
4：00あたりからの+0をつけたり、取ったりする操作は問題にはならないんでしょうか？
（足し算の順番を変えると結果が変わるという話だったので、少し疑問に感じました）
０を何回も足すことになりますが、この場合には０×∞＝0という認識でよろしいでしょうか？？
「足し算の順序を変えると結果が変わる」のは、ある無限級数Aに対して、その数列Aの初項から第n項までの部分和の表現が変わってしまう場合です。
もとの無限級数Aの各項の手前に一つの +0 を付け加えた形の無限級数は、第n項目が Bn = 0 + An である数列Bの無限和と考えることができます。
このように新しい数列を考えて、その数列の無限和を計算することで、無限級数に「ある操作」を施した別の無限級数を考えることができます。
新しい数列Bの第n項を Bn = 0 + 0 + An とすれば、もとの数列Aの各項の手前に +0 を2個ずつ追加した形の新しい無限級数を考えることができますし、この形であれば当然ながらその収束値はもとの無限級数Aの値と一致します。
値が変わってしまう駄目な例としては、新しい数列Bとして、もとの数列Aの初項の手前に無限個の +0 を付け加えた形とするものです。
これは②の数列の全ての +0 の位置を左に寄せた形の数列ですが、その数列Bの第n項までの部分和を数列Aと同様に表すことができません。つまり、いつまでも部分和が 0 となるため、この形の無限級数Bの値は 0 になってしまいます。
新しい数列の第n項を、あるいは第n項までの部分和をどのように記述できるかによって、その数列の無限和（無限級数）の値が決まります。
@@coeurl256
補足解説ありがとうございます！！
今何回か読み直しながら理解をすすめています、、
（もしこの後の記載に誤解がありましたらすみません、、）
「新しい数列の第n項を、あるいは第n項までの部分和をどのように記述できるかによって、その数列の無限和（無限級数）の値が決まります。」
（この一文をよんで現状理解した気になっているのですが、）
という事は、あえてかみ砕いた言い方をさせていただきますと、
無限に計算をする時は、
「このパターンでここまで（第ｎ項まで）計算してこの値だったら、∞にやっても同じだろうな」みたいな感覚という事でよろしいでしょうか？
また、そのために足し算の順番を入れ替えると、計算の仕方のパターンが変わるために答えとしてでてくる結果も変わるという事ですかね？？
@@g5161431 パターンというよりも、有限和をどのように計算できるかによるということです。
無限和の値は、有限和の計算の極限を取ることで求められます。
足し算の順序を変えることで収束値が変わってしまうことについては、任意の値に収束させる方法を調べてみてください。これは「リーマン級数定理」または「リーマンの再配列定理」と呼ばれます。
条件収束する無限級数は、絶対収束しないという性質によって任意の値に収束させたり発散させるような「項の順序変更（数列の再配列）」が可能であるということが示されます。
絶対収束、複素関数論で出て気になってた。
マクロリン展開 級数の変更 無限の操作
ある性質を持って居ない。 絶対収束？
交代調和級数 調和級数は発散する
条件収束級数 色んな値に収束させるコトが出来る 注意出来ないよ ！?
log2勉強しないから・・・？え？今、なんと？
質問です。級数をΣa_nと書いていますが、このような表記をしてもいいのですか？級数において[n=1~∞]だというのは決まりきっているから省略しても問題ないのでしょうか。
-1/6は 並べ替えた後の項に含まれないのでは？
入れ替えのルールがわからないけれど、-1/6と1/6足してしまった際、二度と-1/6が出現する可能性がなくなってしまっていませんか？
並べ替える過程で-1/6が消えてしまっているように考えましたがどなたか助けてくれませんか
並び替えの前後で項の増減はありません。元の数列が
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + …
並び替えた後は
1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 + 1/7 - 1/4 + 1/9 + 1/11 - 1/6 + …
正確に言うと並び替えた後の級数を 3 つごとに区切れば
1/( 4n - 3 ) + 1/( 4n - 1 ) - 1/( 2n )
のグループを n = 1, 2, 3, … で足し合わせたものと一緒です。n = 3 のときちゃんと - 1/6 は登場しますよ。
@@user-dl8nk5bf8v
丁寧にありがとうございます。
区切り方が見えたらわかりました！
-1/12 + (-1/12) ＝ -1/6で出てきますね
助かりました！！
ありがとうございます！！！
イプシロンデルタ論法とか実数の連続性の講義が聴きたいです。
ミュージックシンセサイザーの原理に似てる
母波形はサイン波、その高調波を加えて行くことで
任意の波形を作り出す(フーリエ変換の逆)
出た、項の数2倍になってるのに項ごとに足すなよって直感を無限だからの一言でねじ伏せられるやつだ…！
項を追加する→既存の項は後ろに押しやられる→最後の項が溢れそうだがそんな項はないので溢れない
以下無限ループ
結論：項の数は増えてない？？？
解析接続について疑いを持ってます
その結果が元の性質をすべて満たすんでしょうか?
その証明がみたいです
0:59 これx = 1が範囲に含まれるの何故ですか？
マクローリン展開の範囲は-1 < x < 1と習ったような……
アーベルの定理で検索検索ゥ！！
最初の６項を見ても 上にある-1/6の代わりに+1/7がある。この差が無限に持って行っても影響するんだと解釈した。
一様収束とか確率収束もやって欲しい…
確かどっちも既にやってましたよ。検索したら出てくると思います
@@user-bo2hd2nh4f 一様収束は見つけられたんですけど、確率収束が見つからないです。確率の講義はいくつかあるんですけど、確率収束まではどれも踏み込んでなくて。
@@user-kp6re8xt8w たしか統計の授業の普遍推定量の話するところで、確率収束の話してたような
すげー、pとqの比でなんでもできるんか
楽しすぎるぞ、おい。気持ちいいではないか