天才数学者オイラーはどのようにして導いたのか【バーゼル問題】
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- Опубликовано: 1 июн 2023
- この解法初めて知ったとき鳥肌たった
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優C
モザイク貫通
いったいなんの正弦なんだ…？
どこぞの獣で草
3:38 で気分は「発散」したけど級数がどんな値に「収束」するか調べようという、ボンヤリしてると見過ごしそうになるギャグを挟むのさすが！
研究室入ったら分かったけど、答えのない研究に地道に取り組むよりも、過去の偉人達が導いた美しい理論をぬくぬくと眺めてる方がキモチエェ〜
ヨビノリさん遂にバーゼル問題ですか。私も鳥肌立ちました。高校数学知っていれば理解できるレベルの解法だというのも凄い。数学の美しさが遺憾なく現れてますね。
フーリエ展開を使った証明を前に勉強してその後にこれを見たときはやはりテイラー展開もフーリエ展開も面白いことができるなーと思いました
全くの素人ですが、数学は深くて興味深いと感じます。数学者の健闘に期待です。
内容は難しいのに、数学の奥深さや不思議さが伝わってきて楽しいです☺️
まじで数学界のオールマイトやなぁ
数学の楽しさがわかる回でした
ど文系だけど、めちゃめちゃ分かりやすいし、めちゃめちゃ面白い。天才数学者でも計算結果に驚くこととかあるのか。ほえぇ。
無限級数について扱った本でこのオイラーの証明を初めて知った時はめちゃくちゃ感動した覚えがありますし、ゼータ関数でsが偶数の時は一般化された式があることにも驚きました。
その後このゼータ関数という分野に興味を持って勉強していてとても楽しかったですし、今回の動画も復習がてら見てあの時の感動を思い出しました。
これは、面白い! バーゼル問題と呼ぶ有名問題であることも初めて知りました。
昨日これについてめちゃくちゃ考えていた時にこの動画とかタイミング完璧すぎて泣いた
「(1/x)*sin(x)を因数分解する」っていう発想が凄い。
わかりやすw何の詰まりもなくスっーと入ってきた。割と大学入試でも普通に出そうな雰囲気
今回も難解で深遠なテーマを解り易く解説して下さり、厚く御礼申し上げます。どの程度真に理解できているかは甚だ汗たるものがございますが、一層精進いたします。
このζ(2)の証明の話、何年か前に鈴木貫太郎さんの動画で見たわ。ζ(4)はsin xとsinh xの積を同様に展開してx^6の係数を比較すればπ^4/90となることが示せる。
いつもながらの楽しい解説、ありがとうございます（そして板書がすばらしい！）。
柔軟でエレガントな証明でよね。
ところで、「ポーカーの世界大会に参加するために」がずっと気になっています。
なんか、この証明法もわかるし、他のRUclipsrも紹介してるのに、なぜか、ヨビノリが解説するってだけで見てしまう！！
ブランド
16:45 少し誤解されてしまう気がしたので僭越ながら補足 (杞憂でしたらすみません)
sが3以上の奇数の時のゼータ関数の値については、先ほどのように無限級数や積分表示などを使わずに有限回の四則演算を使って表現する方法がまだ発見されていないというだけであり (数学用語では閉じた式、と言います)、これらの値を無限級数や積分表示を含む式で表現することはできますし、既に証明もされています
また、3以上の奇数に限らず、任意の複素数sについてゼータ関数の値を数値的に計算することはできますし、おおよその値も既にわかっています
コメント大変失礼しました
これ大事。
俺は5次以上の方程式の解の公式の話も誤解してた。代数的に表せないだけで解くこと自体は出来るっていうね
@@user-hg2id9ml5q 返信失礼します。
五次方程式の解の公式については、僕も最初は誤解していて、モヤモヤしていました…。
代数的な解の公式、即ち有限回の四則演算と冪根だけで解く公式が存在しないというだけなんですよね…。
その制限をなくして、無限級数や特殊関数 (超幾何関数や超冪根など) を使えば五次方程式の解の公式が得られますし、またニュートン法などの数値解析で五次方程式の解を求めることはできるんですよね…。
なお六次以上の方程式についても同じことが言えると、
こういった細かい理解の確認は、学問を学ぶ上では確かに大事ですよね…。
長文のコメント、大変失礼しました。
ちなみに、ζ(3)の値はアペリー定数と呼ばれていて、1.2020569…と続く実数であることが知られていますね。
フランスの数学者アペリーが、1977年にこの値は無理数だということを示したそうですね…。
昔、ワイエルシュトラスの因数分解定理をできるだけ少ない予備知識で理解できるように記述できないかといろいろやってみたことがあるのですが、（複素関数論を前提としても）自分が理解するだけでも大変で、あきらめました（苦笑）。sin zについてはcot zの“部分分数分解”からやるパターンが（悔しいけど）せいぜいというところ。
鈴木貫太郎何度も見て理解したのはいい思い出
今回も秀逸な内容でした。この講義を見て理解した人は、確実に数学力が一段上昇したに違いありません。
そんな簡単に上がって溜まるか笑
@@user-vt4je1tw8k91年間解かれなかった問題の解法を理解できればそりゃ上がるっしょ
オイラーの解析の本やっと読んだところで解説
嬉しいです😊
バーゼル、バーゼル！。気分は発散、数列は収束。ちょこちょこ挟む短いエピソードが結構好きです。もちろん、メインの解説も。
今回もギャグ線が寒く、私のマクローリンが展開してしまいました。
ありがとうございました。
因数定理の係数はAxとかっておいて、マクローリン展開の一次の項と比較すれば出来そう
因数分解的なことした後の形見た時に結果を悟った時にはもう興奮を抑えられなかった。
バーゼル問題､ヨコサワさんのチャンネルで､でんがんさんと話題に出していらっしゃったので動画を見ながらとても気になっていました｡普段通り､解説がとても分かりやすくスっと頭に入ってきました｡動画投稿ありがとうございます｡
ほんとに美しい式ですね。「微積分名作ギャラリー」という本を昔読んだのですが、それを思い出しました。あと、内容と関係ありませんが、黒板っていいですよね。
これを思いつくって本当にどんな脳みそしてるんだろう
オイラーほんまやばいて〜！
美しすぎる！
この系統の級数和の問題って、素人からしたらそこらじゅうに難問がありそう（問題はいくらでも作れるし、ちょっと探せば解けない問題が見つかりそう）に思えるけど、珍しいものなんだねえ
いつもありがとうございます。天才の頭ってどうなってるんですかね！？
なんで、こんな着想があるのか、ほんとに不思議です😀
ありがとうございます！
ありがとうございます😭
バーゼル問題大好き！
全解説の電磁気作ってくださいお願いします🤲🤲🤲
バーゼルと聞くと昔勤めてた製薬会社の本社があったことを思い出します。
製薬だけじゃなく世界的な化学工業系の会社が沢山あるのと、数学会の偉人が沢山輩出されてることはなんか関係あるように思えますね。
フーリエ級数展開で出てきたりもした覚えがある
数学者の頭の中には数式がいっぱい詰まっていて，それらがくっついたり離れたりしながら，新しいことが生まれてくるのでしょうか。偶然のように見えて，そうではないのですね。
スイス在住です。バーゼルに是非いらしてください😊。豊かで美しい街です。オイラーが子供時代に住んでた家も郊外にあります。お菓子も食事も美味しい地域ですよー♪
綺麗すぎて鳥肌
数学科いきてえ
こういうの見ると理学部いきたくなる
改めて聞くの楽しいね
やっぱかっこいいー!
オイラー
嬉しいすぐ見れた
sinx/xを因数分解してみたら平方数の逆数の和の連続ができそうなのを見つけて、この問題と結びつけられそうと思ってマクローリン展開とか係数比較でうまくできたんかなあ。Sinx/xの因数分解をしようとしてた時点でなにか結び付けられると思ってたのか。だとしたらsinxの解がnで表せることから発想したのか。そんで±の解があることから和と差の積を連想してそれでn２乗ができると思ったとか。
有限と無限のパラドックスを取り上げていただきたいです。
3以上の奇数の場合はcos使ったらできないかなーなんて思った
7:58
確かになんかエモい…
(共感してしまいました。忘れて下さい)
ゼータ関数でS=1のとき発散するのは、すでに中世に修道士が証明したという調和級数和。楽器音、特に弦楽器の倍音と関係があって、発散するということは究極の音というのはあり得ないということでOK?
量子力学の解釈問題と格闘している研究者は、散歩の途中でうっかりコペンハーゲンに入ってしまったことに気がついたとき、忸怩たる思いになるのでしょうか。
「ポーカーの世界大会？」に全部持って行かれました。よびのりさんは、きっと、条件付き確率を駆使して勝つンでしょうか？
因数分解のところで、sinx/xを0に近づけた時1だから、分解後の係数はいらない（1でいい）とあり、その後係数比較して答えを導いているのですがこの際に係数の影響は考えなくて良いのでしょうか？考えてどうなるかはわからないのですが、そこが引っかかっています。
気分は発散したが、級数の収束を調べます→プッと笑ってしまいました
三角関数のsinθから
楕円関数へ移る世界に
広がりました。
現在の
楕円関数論から
ζ関数は
どう見えるか？
解説してくれると
嬉しいです。
初見です。
ヘイホーとかオイラーとかマリオにいそうですね！（高2 定期試験数学0点所持）
3:39
サラッと上手いこと言うな笑笑
16:44 s=3の時は、アペリーの定数になるんじゃないの？
数学的に厳密性を欠いているので、そうとは言えない。とかあるのかな…・
アペリーの定数の定義がζ(3)で、その値が分からないということ。
ワイエルシュトラスの定理にもちゃんと言及しているのに好感持てる
表面的に面白そうな数学で釣るだけの動画多いですからね...
中学数学のみの証明でも、無限大の大きさの円を数直線として考える事で直感的にπが関連する事が分かります
オイラー関係なら、ガンマ関数の歴史的な発見の流れが知りたい
厳密は大事だけど、時に厳密を無視して思い切ってるのが天才だと思う
天才だというよりは、ズルイ。自然数の課題に対して、非自然数のぐう関数で、解を示した。この場合、一つの解ではなく、複数の解がある。
なぜsinx を因数分解できるのですか？nπ(nは整数)で0になる関数は無数にありますよ。
んーん、なるほど。sinc関数のゼロ点のところに着目して、因数分解ですかあー。まあー凡人じゃとてもじゃないが思いつかんです。。
S=3以上の奇数の場合の収束値を発見したらフィールズ賞取れちゃったりするのかな
高校の時知って驚いたなぁ
「気分は発散」で登録しました。
気分は発散、値は収束、今後の人生で使っていきたい一言でした
cosで考えれば奇数乗の部分が出てくるから解決できるんじゃね？
本当に色々と知っているね。
やっぱり数学っておもろいな
おもしろい！
東海大学医学部のバーゼル問題の導き方（高校数学の範囲で厳密に証明できるため。）も紹介してほしかった。
チクショー が可愛かった笑
モザイクの薄さに願望を表現してるの草
フーリエ変換でこれときました。
見て楽しい数学
東京工業大学のオープンキャンパスで数学の問題を解く講座があったのですが、そこで解けなかった問題があるので、誰か解いてみてください(パスラボで動画にして欲しい)
[問題]
フィボナッチ数列で現れる数の中で２０２３の倍数はどれくらいのあるでしょうか。次の選択肢から選び、理由を説明してください。
(a)存在しない
(b)存在するが有限個しかない
(c)無限子存在する
円周率出てくるの激アツでしょ
バーゼル問題そのものよりも、weierstrassの因数分解定理の方が面白い
オイラーｽｹﾞ～
自分もこの解法知った時は鳥肌立ったけど、更にオイラー積との関係まで知った時は頭おかしくなるんじゃないかと思った。オイラーは人間じゃないよ。
sinxのせいじゃなくて
角度を長さに変換してしまった
弧度法のせいなんじゃないでしょうか
オイラーも、弧度法を知っていたのかもしれない。弧度法では、±2π=0で、原点に戻るから。それを、sin、cosの、三角関数で、表現すると、・・・・そういう複雑な式になる。
これを３次元で図解できますでしょうか？
ちゃんと勉強したら厳密にはこのシグマと結果は＝で繋げられなくて、この話題性に引き込むのにこの表記ずるいよ〜ってなった。結果的に解析的整数論の良いモチベになったけどw
レオンハルトとかいう名前がもう強い
sが奇数のときだけ未解決問題っていうのがロマンあるねえ
0:44 ﾁｸｼｮｰ
全然知らない定理や数式でもとりあえず「それオイラーが証明したよ」って言っとけば間違いじゃなさそう。
オイラーにマジで会ってみたかった
弧度法で使ってるπって、360度を言い換えただけで、3.14...とは関係ないと思ってましたが違うんですか？
２つの意味のπを混同してるように見えてしまいます
弧度法のπは円周率ですよ。弧度法の定義を見直してみるとわかりやすいかと思います。
弧度法のπは、180度です。2πが、360度で、ゼロに戻りますから、2πごとに区切ればよい、ということになります。だから、ぐう関数で、区切れるわけです。
ガウスの素数分布と関係するのですか？
こんなのよく思いつくよなー
おもろすぎる
「オイラー←またお前か」笑った
有理数同士の足し算の結果が無理数になるなんて、
なんてカオスなのでしょう。
で、オイラーさん万歳てことで。
おやすみ
オイラーも天才だけど、円とは関係なさそうな式にひょっこり出るπも謎な数字だよな。
ζ(3):アペリーの定数
とかいう名前がありますね！
ワイエルシュトラスの因数分解定理か。
他にも、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理ってあるけど、この定理の名前だけは頭に残る。
「有界数列な数列は有限の収束する部分列を持つ」とか言う、一体何がありがたいのかよくわからん定理だが。
実際計算機で途中まで求めるとこの解になるのかな
ならないと思います。無限計算はできないので。何ケタで、途中終了するのかを指定しなければ、パンクします。