無限ホテルのパラドックス【なぜ直感と反するのか】
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- Опубликовано: 1 мар 2022
- どんなに人気になってもすべての方にご宿泊いただきたい。
当ホテルではそんな願いを叶えました。
素敵な時間をお過ごしください。支配人より
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noto / 2nd single『Telescope』（feat.みきなつみ）
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高校生に数直線をイメージさせながら{x | x∈(0, 1)}と{x | x∈(1, ∞)}の「個数」を比較させると後者のほうが多いと答えられがちだけど、そのあとに反比例のグラフをイメージさせると大混乱してもらえる
すげえ、全単射って言葉を使わずに全単射的な議論してる…
数学ようわからんけど面白そう
楽しすぎました！あっという間に終わってしまいました！！ありがとうございます✨
ruclips.net/channel/UC5LVp78amYUpDojPEEwannw
こういうのもしてくれるの嬉しすぎ
直感に反するし想像がしにくいから、無限を正しく理解しづらいのに
分かりやすく丁寧に説明されててとても良かった
か
い
し
ん
の
非常に興味深い
このパラドックスは満室の定義の考え方によって納得できる人とできない人がいると思います。
全ての部屋に人が泊まっている状態を満室と考える人は受け入れられる。
これ以上人を泊められない状態を満室と考える人は受け入れられない。
今回は前者の「全ての部屋に人が泊まっている状態を満室」という考え方で話が展開していますので、このパラドックスは成り立っているのだと私は思います。
集合論の勉強にもなり面白かったです！
感動しました...!すごいです…!
無限ホテル、いつでも泊まれるというのは魅力だけど新たに客が来るたびに部屋移動はだる過ぎる
有限の人数の客しか泊まっていない場合かつ有限の人数の客しか来ない間は部屋の移動をしなくても空室は無限にあるから大丈夫
そうそう無限の客なんて来ないしヘーキヘーキ
特に無限人、来た時は2倍移動しなければいけないのがツラい
移動先の部屋がすげー汚かったら最悪だよな
満室のホテルに泊まろうとか普通考えないから大丈夫
もしかして、このまま連続体仮説の話とかしてくれるんですか！？ヨビノリで連続体仮説解説してくれたらめちゃくちゃ嬉しい！
ついでに強制法とか ZFC とか（以下超限個続く）も頼む！
この前NHKでやってた話だ！
さらに理解が深まりました!
こういう話を聞くと、賢くなった気がして自己肯定感があがるのでめちゃくちゃ助かります😁😁幸福度上げてくれてありがとうございます！！
別の人の解説動画見たときは、わかったのかわかってないのかすらわからなかったんだけど、この解説で納得できた！
高校の先生が、「無限は概念で数じゃない」って言ってた
ありがとうございます！
無限ホテルの話は聞いた事あって少し？？？って状態でしたけど、数学の話を加えて説明を頂けた事で、凄くスッキリしました！
とても面白かったです！
面白かったです！濃度、全単射など、有限個なら明らかに個数が違うものがきれいに対応したりそろっていく感じがとても気持ちいいですね！難問とは違う、シンプルなのに知らなかった概念を知ることができてワクワクしました。ありがとうございます。
無限ホテルの話は何度も見聞きした事がありますが、濃度も一緒に説明して下さったのはたくみさんだけです。ありがとうございます😊
自然数を整数に全単射する関数は大学受験の時見たことがあってそれを思い出しました！
点と点が繋がる時って楽しいですよね……
これを厳密に解説してくれる人少なくて、嬉しい
少ないことを喜んでるかのような文
大学時代の集合論という講義でいちばん初めに出てきて面白いと感じた問題だったから、めちゃくちゃ印象に残っている。
理解するまでは悩んだけど…
8:50 たくみさんの周りには納得できないとすぐ胸ぐら掴んだりして抗議する人がよくいるようでいつも笑っちゃいます
自分が一番好きなやつだ…
嬉しいです
めちゃめちゃ面白かった！！笑笑
これだけ難しい話を言語化して伝えられるの本当に凄いと思う！
無限をイメージしようとすると(とりあえず大きな数の)有限個に置き換えてしまう癖が💦
「無限は無限！そういうもの！」として捉えると、思いの外するっと腑に落ちました。
勉強になります！面白かった♪
無限ホテル…泊まってみたいかも！
部屋移動するの大変そうだけど🤣
この調子で、CHまでの解説講座
待ってます！！
・無限≠とてつもなく大きい数
・無限ホテルの満席状態は客がもう入れないという状態じゃないこと
ここをしっかり説明してくれたからすんなり受け入れられた
@自由律俳句とかいう無法地帯 客の集合から部屋の集合への全単射が存在する（客と部屋がペアを組んで過不足が生じない）ことを「満室」と表現しているだけです。部屋数が無限だろうが有限だろうが関係ありません。
@自由律俳句とかいう無法地帯 新たに客が来た時点では満室（全単射）なのでそのままでは入室できません。なので全単射を敢えて崩す必要があります。それが部屋を移動することなんですよ。
部屋を移動すると全単射の関係が崩れて空室ができる。その空室に新しくきたお客さんを入れてまた満室になる。
結果だけを見ると全体で全単射は保たれているように見えますけど、その行程において一瞬だけ全単射が崩れてます。
@@ittousaiBL 満室を客数と部屋数の間に全単射が存在している状態と定義するなら、全単射が崩れた時点で満室ではなくなるんでない？任意で一時的に満室ではない状態に出来るのであれば、このパラドックスにおける無限ホテルの本質は、部屋が無限にあることではなく、(手段は置いておいて)、任意で無限に空き部屋を作ることが出来る(満室状態を解除できる)、になると思うんだよね。無限に新しい部屋を作ることが出来るなら、無限に新規客を受け入れられることにパラドックスは発生しないと思うんよ。
@@tkyab
>全単射が崩れた時点で満室ではなくなるんでない？
そのとおりです。満室でなくなるからこそ新規の客が空いた部屋に入れるわけです。
>無限に新しい部屋を作ることが出来るなら、無限に新規客を受け入れられることにパラドックスは発生しないと思うんよ。
新しく部屋を作ってるわけではなく、もともとあった部屋を空き部屋にしているだけです。
この無限ホテルのパラドックスは「パラドックス」と言われていますが、論理的矛盾はないのでパラドックスは発生していません。感覚的に受け入れがたいがためにそう言われているだけです。
@@ittousaiBL 「∞と∞+1の間に全単射が存在する」と言ってるだけですから、本質的には新しい部屋を作るのと同じですよね。この話をパラドックス足らしめているのは、「満室」と「新規客の受け入れ(空き室)」に矛盾を感じるからであって、「任意に満室を解除できる」という定義が与えられた途端、感覚的矛盾も無くなるわけで、「定義を伏せてパラドックスっぽく見せかけている」というだけなんですよね。
部屋が無限にあるのに満室ってイメージがまずつきません。
満員の最後の部屋の人の次にまた新しい空室が出来てしまい、満員なのでそこにも人がいる、でもその隣にまた部屋が出来てしまう。
多分このイメージが有限の数の部屋って考えになってしまってるのだと思います。
部屋を移動させるイメージはすんなり入るのですが、満員って言葉にどうしても引っかかって消えません。
5億階に泊まらせて頂きました。
評判通り夜景はきれいでしたが、バスが来るたびに戦々恐々で
お客のことを考えていないのではと思ってしまいました。
1階層の高さを4ｍと仮定すると、５億階は地球と月のほぼ中間地点(高度200万km)。
地球ははるか下方、星空の方がよく見えそう。
10万階の部屋から外を見たら、宇宙ステーション(高度400km)の乗組員と窓越しに目があったらしい。
5億階はその5000倍の高さ。
でも・・・無限ホテルの全体規模はその∞倍なんだよなあ。
なんとなく哲学ものような感じ
早く見れた！いつも分かりやすくて詳しくて、とてもありがたい。
ある意味この内容を一番わかりにくくしているのは数でもなく写像でもなくホテルという日常的な物体だと思う
無限人の客がバスから降りるには無限の時間がかかるから、最後尾(？)の人が降りるまでに最初の客はチェックアウトしてると思うｗ
それ以前に客室までたどり着けず寿命ｗ
よく物理の問題にある「摩擦や抵抗は考えないものとする」ですね。
@@manboh全ての人間は重なり合うことができ、0秒で無限大の距離を移動することができることにする(白目)
全単射という概念を説明していただいたおかげで理解できました！！
いつも分かりやすくて聞きやすくて楽しく見させてもらっています。
初めて聞いたお話だったけど、直感的にすっと入ってきました。
なんとなくはここが直感に反する部分なのかなっという所はわかったんですが、このようなテーマの話の時には動画のどこが直感に反する部分なのか少しだけでもいいので触れていただけると助かるかなと思いました。
これからも動画楽しみにしています。
この話めっちゃ好き！
ヨビノリがやってくれるとは！！！
“満室”の定義が、“すべての部屋が埋まっている”ではなく、“N号室は埋まっている。ただしNは正の整数とする”ってことか。
「いったん無限という言葉の意味を忘れて、数学的な意味を一から考えてみる」という気持ちで視聴すると分かりやすいのかも。
満室になるかどうか以前に、部屋が無限にある時点でもう数学の世界に入っていて、それ以降は「現実的に無理」という考えは使えないのだから。
これ友達に教えてもらって数学ってすごいんだなって興味持った
丁寧に説明してくれるばかりでなく他人の胸ぐらを掴む機会まで減らしてくれる
学生時代に計算機理論を学んだ時以来に濃度の話を聞きました、たくみさんの説明は本当に初学者向けに分かりやすくて感服します。今回触れられてませんが、カントールの対角線論法の解説や(難しいと思いますが)停止性問題の決定不能性について紹介頂けたりすると嬉しいです！(計算機理論は意外と楽しいことを広めたいだけの民)
同意です。あれだけは毎回胸ぐら掴みたくなる。「数を並べきれてねえだろ！」「並べきれたって仮定がそもそもおかしかっただけだろ？あーん？」ってなる。
無限 というのは数値でなく概念だから、演算しようとすると矛盾が起きる
😺😺😺
「停止性問題の決定不能性」って、クルトゲーデルの不完全定理や自己言及のパラドックスみたいなヤツかなぁ？（万能チューリングマシーンの停止問題みたいなヤツ？）
この話は思い入れの深い話だ
シースター環に良く出てくる話ですね
移動多すぎてチェックアウトするわこんなホテル
今、数Ⅲで極限を勉強していて個人的にとてもタイムリーな動画でした笑
まだまだ知らないことが沢山ありますが、大学の数学が楽しみです!!
自分も今、数 lllで極限やってるのでワクワクしてます！
めちゃ分かるー無限引く無限は不定とかなんで同じ数引く同じ数なのに不定なの？って思ってた
それな
大学の数学はそんな簡単なものではないし楽しくないよ
楽しい数学は高校まで
@@keish2460
言いたいことは分かるけど、
そんな風に言う必要は無いと思いますよ
やってから分かればいいんですから
ただ数学科、物理学科に行きたい
と思ってる人は「高校数学が得意だったから」
「深いことは知らないけど何となく数学が好きだから」という理由で入るのは
自分が困ると思いますので、
しっかり調べるべきだとは思います
大学生の頃線形代数の先生が全単射のことを"somebody loves me"って言ってて自分1人だけウケてたのを思い出した
落語ですな。落語なんだけど哲学的
数は言葉でもあるから認知バイアスも関わってくる
数学は不思議であり私たちの認知の盲点を教えてくれる
どういう事？
@@user-lw7vm7qe1q
何かしらと必ず繋がっている状態だから、という解釈で合ってますか？なるほど
一人だけ受けてるから全単射ですね（）
できすぎてる
今日ちょうど離散数学で無限の話きた！この動画で見たやつや！ってなって1人で感動してた
理解していたつもりが、不完全なところがあり、そこがパズルのピースの様に埋まりとても勉強になりました。どうも有難うございます。
対角線論法とかやったなぁ。懐かしい。そして集合が位相になった瞬間わからなくなった記憶…。
確かに無限はどっか数直線上のずーっと遠くに存在するものだと思ってましたが、そういうものじゃないんですね。
覚えました。
無限の個数に言及しようとする時に、「”個数”」と「””」を付けて表記する(たくみさん、動画内でエアクォーツしてましたよね！笑)等、数学的な正確さも重視しながらも、一般人の私にもわかりやすい授業でした！
いつもこんなに良質な授業を提供していただき、本当にありがとうございます！！
整数を部屋や箱とみなす考え方は勉強になりますね。
前半のCase2までは「プログラミングで言う配列の表現みたいだな」という感覚でしたが、後半の濃度の話になった途端に今まで感じたことの無い非常に興味深い、しかも明瞭でわかり易い解説で感覚が実に研ぎ澄まされました…！
満室を想像できない人は、空室がない状態を想像すればいいと思う
どの部屋を見ても客が埋まっている状態、部屋も客も余っていない状態
それすら想像できないという人には説明できない
それを想像できたら
客に部屋を割り振るときの割り振り方で、客が余るようにも、部屋が余るようにも、客も部屋も余らないようにもできる、
それが有限ではできない、可算無限の性質
部屋の割り振り方を変えることで部屋を余らせるようにできるからこそ、追加の客を受け入れることができる
あとは数学用語に置き換える話
割り振り＝写像
どの部屋を見ても客が埋まっている状態＝（客から部屋への）全射
部屋も客も余っていない状態＝全単射
感動した。
素数のキレイさに久しぶりに感動した。
無限が有限個(終わりがあるくらいの大きな数)と感覚的に捉えてしまっていました。
でも言われて考え方を変えると話してもらった話を納得出来ました！
オカルト的な方ではみたことあるけど数学的に見るのは初めて！こういうパラドックスとかそういうみんなが知ってるようなのを勉強でもみれるのは嬉しい
(でもまだ高1で数学2までしか終わってないから、理解には苦しみます
今なら数3終わる頃だろうし理解できると思うよ!
なるほど。
無限はこうだからホテルの問題はおかしいと違和感を感じるのではなく、ホテルの問題は正しいから俺の無限の認識の方が間違っていたと考えるべきなのか。そうするとなんとなく掴めてきた気が…
矛盾のしわ寄せの終着点を変えただけで理解できるようになるとは。
不思議！
めっちゃ面白いですね〜
撮影前に黒板クリーナー綺麗にすればいいのにと思いました
テスト範囲に含まれていたので助かります！これみて満点とります！
？
@@Hdshjcsjkxdjbx ？
@@user-jm2ym6tn3f ？全然違いますよ？？💦
400号室とかに泊まってて、case3みたいに(2^400)号室へ移動してくださいって言われたら絶対移動したくないよね
400号室から (2^400)号室まで何光年離れているかな・・・。
いや、うまくいけばすぐ隣の部屋か・・・。
ホテルマン「無限ホテルでは最高速度無限大のカートをご用意させていただいております」客「よし！2^400号室までひとっとびだ！」ホテルマン「なお質量のほうも無限大に・・・行っちゃった」
無限！おもしろい！
懐かしい。
変な条件だから変な結果になって当たり前なのに、
「無限ホテル」がなぜか直感的に受け入れられちゃうのが面白いとこだよな
無限大にも大小があると高校の数学の先生に言われたことがあり
約45年、心に刺さったままでした。今回の動画で少しすっきりした気がします。
ありがとうございます。
ダブルクォーテーション照れながらやるの可愛い
無限という言葉への理解がこの歳になってできました…
ぼーってみてたら、ついさっきの動画でびっくり
知ってることばっかでも、ボケが楽しみで見てます。
次は、連続濃度と加算濃度の間の存在が、照明も否定もできない話おねがいしゃす！
照明完了 L.E.D.
@@tatsuyoshii いいね！
@@tatsuyoshii おもろ
Case1,2では新しく来たお客さんの入室が完了すると再び「満室」になるのに、Case3の場合はそうではないのが面白いですね。
1号室だけ必ず空室になっちゃうの悔しい
素数が役に立つ時ってあるんですね。さすが！
Ted education で多分同じ題材のを英語の勉強で見ました。内容について深く理解していなかったのでありがたいです
外人の僕がわかったっていうことはこの説明がうまいっていうこと~
このチャンネルで日本語勉強しております 😄
ruclips.net/channel/UC5LVp78amYUpDojPEEwannw
無限ホテルを扱った動画は、どれ見ても文系の私には詭弁としか思えなかったのですが、全単射が出てきた所で、「あ。これ言語学の音韻対応に似てる」と感じて霧が晴れたような感覚を味わいました。面白かったです。中高でこういう授業を受けたかったなぁ……。
高校時代(40年前)無限を概念として捉えると簡単に理解出来たが、無限に対し色々計算したら、納得出来ない部分が生まれて、悩み先生に相談したら、明確な回答は教えてもらえなかったが、無限や連続についての書物を紹介してもらった。それでも完璧に晴れた気分が得られる理解は出来なかった。分かり易い解説に感謝します。
数字でなく概念だから、演算出来ない。
数学って哲学的だよね
数学で濃度という考え方があるなんて、新鮮です！
CASE３が素晴らしい！！
∞という新たな概念に戸惑ってたころ
1/3=0.3333...
の両辺3倍してみろって言われて衝撃を受けた
無意識に∞を取り入れていたと
0.999999...＝1がいまいちイメージつかなかったけど⬆︎見たらなんとなくしっくりしました！
よびのりさん、面白かったです！
最後のべき乗の考え方はなるほどってなりましたし、まだまだこのホテルには人が泊まれそうですね笑
べき乗なので密度が違う？数字が大きくなればなるほど隣の号室と隣の間隔が空きますね笑
これの派生みたいなので、10月か11月のNewtonで無限ロッカーのパラドクスがあって面白かったです😆
地味にアレフの手書き方法がわかったのが感動
いきなり授業で出てきたけど書き方わからんよな笑調べちゃったもんwww
★☆☆☆☆
「最悪のホテルです」
いつでも予約なしで入室できますが、頻繁に部屋変えを強要され、休むことができません。
特に友人と隣部屋に入室したのに、バスが大量に来てから、間に1部屋挟むように移動させられ離ればなれになってしまい最悪でした。
レビューを書くのが宿泊客の1割だったとしても、無限に星1がつくのか……
スゴ！超わかりやすい。
恐らくこの話で直感に反して胸ぐらを掴んでくる(笑)人は、無限を、とてつもなく大きな”数値”だと”数”として捉えているのだと思います。
違和感を持たないでこの話を聞ける人は、∞を、全ての数を含む状態として、数値では無く「状態を表す記号」と教わったラッキーな人だと思います。
無限って寛容なんですね。なんでも受け入れられる。大きさじゃないということですね。
case3の最後、cが無限になっても対応できるのは、素数は無数にあるから成り立つということでいいのかな？
そうだと思います。
ちなみに言うとほとんどの部屋は空室です。(例えば6号室には誰も入らない)。スッカスカです。まあそれでも問題はないのですが
この動画のおかげで"数字であそぼ"の第８話の自然数と有理数の濃度が同じという話をやっと理解できました！！！
睡眠用に聞こうと思ってテキトーにこの動画再生したら面白くて眠れなくなった
Case3はバシク行列システムでオーバーキルするのが好きです
case 1～3でそれぞれ宿泊者の移動のさせ方が全然異なるのも面白いですね．もしcase 4（「無限個の「無限人乗せた無限台のバス群」」の乗客数？）などがあったらどうすればいいんでしょうね．
@\Ryo\
解説いただきありがとうございます！
なるほど、n次元のタプル(i_0, i_1, …, i_n)は一意の自然数にマッピングできて一列に並べられるので、そうしたら後は動画のcase 2とかの方法で客室を割り当てることができるんですね…
タプルの次元が無限になると足し算の結果が同じ人が無限に出てきてしまって辞書順に並べられないため、客室を割り当てることができないということであってますかね…？🤔
@\Ryo\ なるほど！実数の集合と同じ濃度になるんですね！
動画で説明されていた自然数の集合の濃度と有理数の集合の濃度が同じというのもなんとなくイメージができました…
いろいろ教えてもらってありがとうございます😆
@@suva9812 横から失礼します！
タプルの次元が直接無限になる場合は連続濃度になってしまうので割り当てられませんが、「タプルの次元がいくつでもいい」なら割り当てることができます。
タプルを(i_0, i_1, …, i_n)として、「01...(1がn個)...1がi_n回、01...(1がn-1個)...1がi_(n-1)回、・・・、0がi_0回並んだ文字列」をタプルごとに割り当てると、この文字列は辞書的順序で一列に並べることができて、この順序で自然数と全単射を作ることができます！
case3でのc+1番目の素数を使ったところをcase4では(m+1番目の素数)のc乗番目の素数を使えば無限個の素数を無限個用意できます
この流れで数学基礎論の授業やりましょう
まるで胸ぐら掴まれたことがあるかのような実感が篭ってるのなんなんだろうｗ
10;42 集合記号を書いたあと、意識的か無意識的か、大小記号に書き換えてるの、人間性が垣間見えてホントスコ
満室の無限ホテルに無限人客が乗ったバスが無限台来ても、case3の方法なら客室を割り当てた後も無限個部屋が空いていると言う不思議。
1:20 おぉ急に三角関数!?って思ったらただのcaseだった
イプシロンエヌ(デルタ)論法を学ぶと理解がしやすいですね
さすが、字が上手い
23:30 実数から複素数の全単射が気になったので調べてみたら、一例として
実数全体をarctanやシグモイド関数で(0,1)の集合に変換
↓
全ての数が0.abcdef…と表せるので、x+yi=0.ace…+0.bdf…×iに変換
↓
最初の関数の逆関数でx,yを実数全体の集合に戻す
というのがあってすごいな〜と思いました！
大学で数学を学んだとき1番最初に面白いって思ったのが無限の話だった。さらに踏み込んだ話なんか次回でして欲しい。
大学数学ってほぼ哲学じゃない？？
知らんけど
大学数学ってどんな感じなんですか？中高と変わったところってどこか教えていただけますか？
領域展開🤞
刃牙の「愚地独歩」の子供の日の妄想(0.999999…＝1)は正しいんだね！
理科雄さんのチャンネルでも解明されない謎が一つ解けましたw
｜N｜＝｜2N｜はわかるのですが、
n→2nにとばすと｜N｜が倍になるような気がして不思議ですね。
不理解が明白になりました。
いつも素晴らしい動画をありがとうございます。