【総集編】数学の罠に騙される無限パラドックス7選!!【ゆっくり解説】
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- Опубликовано: 11 июл 2024
- 今回は無限のパラドックスに関する総集編です！
【目次】
00:00 ベルトランのパラドックス
15:05 無限を超えた無限
33:05 √2×√2×・・・＝2
49:21 1=0.999…の可視化
1:04:51 格子点のパラドックス
1:24:08 サンクトペテルブルクのパラドックス
1:40:15 無限ホテルのパラドックス
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/ @yukkuri_suugaku 
Наука
連続体仮説の「証明も反証も出来ない」という話は一見訳わからないかもしれないけど、要するに前提としてる部分(公理)と全然関係ない話しちゃってるから別に何でも良いよって話。
語弊を恐れずに言えば「みかんが2個バナナが3個あります。佐藤君がみかんを1個食べました。ブドウはいくつ残ってますか？」みたいな話と同じ。前提はみかんとバナナの話しか言って無いから、はじめから0個だったなら0個だし、100個だったなら100個だし、どちらにしても矛盾しない。
持
連続体仮説の「わからないという事がわかった」という証明がなんか好き
俺も高校生の時連続体仮説を知って面白そうだから数学科に行くことを決めた
無知の知定期
実数全体とその部分集合[a,b]はどれだけ狭い範囲をとっても濃度は一緒になる
ありがとうございます！
鷹司雅樹雄さん！
ご返信が遅くなり、申し訳ございません！
スーパーサンクスありがとうございます！！
これからも応援よろしくお願い致します✨
無限パラドックスって、無限をどう解釈するかで変わっちゃうんだよね。
例えば無限なのに『ゼロからスタートすることができる無限』を正しいとするか、無限なのだからそもそも『スタート地点が存在しない無限』を正しいとするのか分かれるところ。
例えばホテルにしたら、まずスタート部屋があるので摩訶不思議な答えばかり出てきてしまう。ところが『スタート部屋そのものがなく、前にも後ろにも上にも下にも無限に続く部屋がある』とすれば何の問題もなくなる。あらゆる定義の無限が収まっても「ぜーんぶ無限の中だから桶」て済んでしまう。
ただ後者だと無限を扱った数学そものもが破綻してしまい、大きい無限も小さい無限もなくなってしまう。コレはコレで大問題。現代数学に「そもそも間違ってますよね？」とダメ出しするようなもんですw
数学者に「正座しろ。本を足に乗せてやろう」と何十冊もの数学書を抱かせられること必死！
なるほどー。確率って、割り切れちゃうから、出るわけか。🤔✨
高校数学でやった
x=0.666...
100x=66.666...
﹊﹊﹊﹊﹊﹊﹊﹊
99x=66
みたいな計算があったけど、無限に続くとはいえ桁ずらしちゃってるのに答えずれないのかなってずっと疑問だった
このパラドックスも無限はないという事の証明の一つだろう。無限があると仮定すると矛盾が生ずる。
ベルトランの解法３（中点のやつ）は確率の割り当て方以前に設定があまい気がする。中心を中点にすると無限に弦（直径）が描けてしまうので。
この場合は「中点で区別する(中点の位置の確率密度が一定になるように弦を引く)」ということだと思います。つまり、中点が同じなら同じ弦として考えるということです。
考えなおして理解した。
中点と弦（線分）ではなく、中点と実数（線分の長さ）を対応させてるわけだ。
弦を引いてしまうと、1対1で弦と対応している他全部と、無限本の弦と対応している中心とで、同じ扱いでいいのか分からなかったけど、弦を引かずに長さと直で対応させれば1対1の対応にできる。
円の中の正三角形、解放【2】で接線の180度まで計算に含めたら、それは円の中ではないよな？
と、ド文系な私は思う。
アホで草
コインの二倍になるやつは自分の掛けるお金=期待値になる
500円使って期待値は500円
だから500円使って1円負けてくれるなら試行回数を増やせばお金は増えて行く
関係ないけどベルトランって「ランニングマシンで走ることの別の言い方」みたいな名前だな
現実みたいに、線に多少の幅があれば、格子点を通ることになるのかなあ?
幅があれば逆にどの角度でも格子点を通る筈です
ベルトランのパラドックス
幾何学的には点は線の集合体、円は中心から等距離の点の集合体、点の存在は各点のまでの距離（半径）×円周率で出せる面積に置換できるはずで、線分の存在確率に最も偏りがないのは面積と中点の座標で考えている三つ目の場合だろうか。一つ目と二つ目は他の角度で同様のことを行った場合の被りが付き纏い、これにより偏りが生じている気がする。ある角度で考えた時に一つ目は中心部、二つ目は接点付近が密になって離れた部分が疎になる。
ベルトランの問いに解法が3パターンあるなら確率は３つの解の平均で決まりなのではと思うのは私が文系なのでしょうね笑
ベルトランのパラドックスもそうだけど、どっかで見た「〜を"半分"で割って」とか「"無作為"に線を引いて」とかその人の言葉の捉え方で解が変わっちゃうのはよくないよね
菓子か・・・そこで来るとは思わなかった😅
ベルトランの確率は、
長さ、面積、角度と、抽出してる単位の違いやね。
集合や図形の「大きさ」（のような何か）を表す概念として、基数（個数・濃度）／序数（順序数）／測度（長さ・面積・体積）／確率測度（全測度＝１に換算した測度）／次元／……などがありますが（他にも自然数の部分集合の「密度」とか、対象や状況によって「容量」とか）、いずれにしろ有限ケースの直観を無限ケースに適用するといろいろヤバいから、定義と論理で考えないと罠に騙される。……というまとめですか
これをまとめると
↓
・
現在の主流の実無限では
1=0.999…
という考え方が主流ですので
満たしていると言えますね
１÷３を計算すると10進数では 0.333333… となってしまうだけ
@@piyashirikozoだから?
気になるんだけど、
x=1/3
y=0.999… （整数部が0、小数部に9が無限に繋がった数値）
以上のとき、
3x = y
を満たすだろうか？
現在の主流の考え方の実無限では
1=0.999…
ですので満たしていると言えますね
個人的には満たすと考えます。y/3=0.33333...=1/3=xと言えるのではないかと。
現在の数学では一般的に無限小数0.99999...は1と等しいとされていますが、その根拠に納得できるかどうかと、結局のところ同じ問題かと思います。
補足すると、この考えは
「1/3のような無限小数の値を少数として計算・変換するのは誤りである」
とするものです。
yは漸近的に1ですが、3xは確実に1であり、
3x= y + ε ※εは限りなく小さな値
をあくまでも主張するものです。
これは10進数だから起きる問題で、3進数で計算すれば全く問題ありません。
0.05を2進数にしたとき循環小数になるのですが、同じことを2進数ですれば、10進数に戻したときに
0.05 = 0.0499999…
と同じようなことが起こるので無限小数を計算・変換するのは誤りであると主張します。
確率論は難しいと思っていたケド、まさか(驚)、円と正三角形と云うコレだけ単純な幾何学でこんな確率論の証明があるとは(驚)(驚)(驚)＝知り得たコトに感謝
深いな〜めちゃくちゃ面白い、こんな高度な話をサラッと聞けるなんてホントに贅沢な遊び時間だなぁ♪
孤の長さは最大で円周の1/2、正三角形の1辺の孤の長さは円周の1/3だから、答えは1/3やんけーって最初思った。
有理数と自然数が1対1対応にできる理由がわからなすぎる
別にどちらも昇順に数え上げる必要はないので有理数を1/1、1/2、2/1、2/2は重複するので飛ばす、1/3…みたいな自分で決めた法則に基づいて並べることができたなら
一対一対応ができます。
ベルトランのパラドックス【解法③】確率1/3？
ベルトランのパラドックスって、無作為(つまり、軸の固定操作(作為)をしない)て言ってるんだから
日本語の意味としては、どこからともなく飛んできた直線がぶつかった時の確立
つまり、解法３のケースにしか当てはまらないと思うのだけど。
原文だと違うのかな🤔
解法３の場合も実は、ある点を中点とする弦というのは、点と円の中心点を結んだ線に垂直な線という事になるので軸を決めているのですよ
そもそも解法１も解法２も三角形を回転させればどんな弦にも対応するというのは紹介されている通りですね
同じ長さの確率分は引かないのかな？
同じ長さは無視🦗🐝🐜🐛🐞👻
ベルトランのパラドックスって、ランダムに弦を引いていったら、どう収束するんだろう？
その弦の引き方次第で動画の通りに収束する
動画内の「無作為に」と同様に、「ランダムに」の定義による
無作為に2点を取れば1/2
一点を固定すれば1/3
中点を取れば1/4
みたいにランダムに弦を引く方法で確率が変わる
各々の線の引き方で現れる弦に偏りが発生するんですね
無作為ではあるが均等に分布しない
無作為の定義が曖昧なせいで起きるパラドックスですね
1/4が分かりやすいけどこの引き方だと
円の中心付近を通る弦の発生が有意に少ないはずです
円の上から棒を落とすやり方＝円に対してランダムに弦を
発生させるやり方だと1/2になります
どの引き方を選んでも、全ての弦を引くことができるのに、
収束する値が変わるのは面白い。
弦の確率てのが分かんないなあ？ 1ミリづつとか、決めが、あるのかな？🤔🌀😅
「確率密度」って概念がありまして…
話を簡単にするために、0から1の実数から無作為に選ぶ場合を考えますね。
間に実数は無限にあるので、例えば「0.5になる確率」は0です。しかし、「0.45〜0.55の間の実数が選ばれる確率」というふうに範囲で指定すればこの場合だと1/10になります。
この「範囲で指定する」というのが、積分という処理を行うのですが、積分をすると確率になるものを確率密度と言います。
弦の話に戻すと、解法1は直径の上にある点について、どの点の確率密度も等しくなるように直線をひくということです。解法2では、円周上のある点に対して、他の円周上の点の確率密度が等しくなるように直線を引きます。
円の半径を1とします。直径の端っこの方の長さlの部分に引いた弦と、真ん中あたりの長さlの部分に引いた弦だと、後者の方が対応する円周の長さの方が短いのは分かるでしょうか？これが解法で確率が変わる理由です。
どれもとても易しく解説してくれてしっかり理解できました。
が、理解はできてもどれも屁理屈に聞こえてどうにも納得ができない。
高評価666だー
無限を0.333...みたいに書くけど、省略されている部分を誰も理解してないんだよね。
この「よくわからないけど当然のように使っている概念」がすごく引っかかるんだけど、これを上手く納得させてくれる人いない？
どうして“よくわからないもの“に対して「無限同士を比較する」とか、「無限に続く数」みたいな扱いをできているのかがわからない。
「よくわからないものは扱えないはず（扱い方がわからないから）」と言うのが自分の考え。
そもそもの話になるのですが、数学にはよく分からないのに当然のように使っている部分というのはありません
何故かといいますと、数学自体が「これはこう扱う」と定めて扱うものだからです
「現実世界で起きる事象を、数学という概念で扱うとこういう結果になるよね、だから現実もそうなんじゃない？」というように結果を予測する手段や表現として人間が発明した概念が数学となります
つまり、数学の本質は「どのように計算したら役に立つか」なので、そう定めた方が都合が良いのでそうしているというだけなのです
ベルトランのパラドックスがわかりません、、、
実際に無作為に弧を書いてみて、その長さを測る、ということを繰り返せば実際の確率は求められるし、それが正解なのでは？と思うのですが。
このパラドックスは条件を加える事によって一見同じ事をしてるのに結果が変わるというパラドックスなので無作為なら無作為の確率が出ます
タイムパラドックス？
最後のって満室にならないのでは？
なりますよ
満室の定義を全ての部屋に客が1対1で振り分けられている状態とします
そうすれば無限の客が来ていれば満室です
動最後まで見てないけど解法２って間違いだよね？
可算無限集合の大小比較の矛盾について
そもそも動画では1対1対応の考え方が“数値の並び順に対応させている“ 一意に定められるかの様な考え方に無理があると思う。
可算集合同士の場合、単純に同じ数値のみで1体1対応させていけば、対応しない数値がある事は明白と思うのだが、この点について論証している数学者はいないのだろうか？
もしくは私の考えに欠けている点があるのか？
写像によっては対応しない数値がある場合もあるが、過不足なく1対1に対応するような写像（全単射）が1つでも存在すれば2つの集合の濃度は等しい。つまりそういう写像があるかないかが問題となる。逆にどうやっても過不足なく1対1に対応できなければ2つの集合の濃度は等しくない。
ベルトランの解法4
半径１の円に内接する正三角形の１辺の長さは√3÷2
(まァ約0.866くらいかな？)
円に引ける直線の長さは最大2つまり
0〜2の間で無限に引ける。
閾値が判ってるんだから比率は
√3÷2 : 2-(√3÷2)
かな？
ちゃんと無理数が入ってるから正確な数値は決まらないし１番それっぽくね？^_^
最後の問題無限に部屋があるんだから問題にある満室という表現が適切ではない気がする
無限ホテルに関しては少し抽象化した方がわかりやすい
例えば、お客さんに1から無限までの番号をつけて、ホテルにも1から無限までの番号をつけ、それぞれxとyとおく。すると、最初の満室の状態というのはx=y、x番の客が自分の番号と同じ部屋に泊まってると表すことが出来る。
そして、新たに2人の客が来た時、その客には「0」と「-1」という番号をつけてやると、x+2=y、x番目の客がx+2番目の部屋に泊まることで、ホテルの部屋数yは初めと同じく1から無限なのに、-1から無限までのお客さんを泊めさせることができる。
お客さんが新たに泊められるならなぜ満室なのか問題
「すみません。予約無しですが、素泊まりで一泊お願いできますか?」
「申し訳ありません。只今全室埋まっております…。」
「そうですか…」
「お泊りのお客様に御部屋を移って頂き、空き部屋をご用意出来ますが？」
「全室満員なんですよね?」
「はい。」
「どなたか部屋を出られるんですか？」
「いいえ。皆様そのままお泊りいただけます。」
「満室なのに泊まれるんですか？」
「はい。」
問題自体に矛盾があるのかと
部屋が無限にある ⇒ では満室にならない
客も無限にいる ⇒ だから満室
一部屋ズレる ⇒ 部屋は無限にあるのだからズレることは可能 ⇒ 「いや待て、じゃあ満室になってないよな？」
これが無限ループしてるだけじゃね？『数学の定義上で考えると成り立つかもしれないが、元の問題は実は矛盾してる』かと
有理数と自然数の対応条件が分からへんなぁ。
個人的に、「対応させる」って言い方が気になってて強制的に「これは同じです」って自己主張通してるようにしか聞こえてないんよな。
その考え方やと書出してない有理数も自然数と「対応させたら」集合の大きさは同じって言い分にならんのやろか？
数の大きさや、価値で決まるんじゃなくて個数で同じって見方にしてるんかなぁ
後、対角線論法に関しても仮に全ての並びがあるのなら、対角線だろうと縦1列の抜き出しだろうと、それを反転させようと、01の並びを全て書き出してるなら絶対にあるはずなのに、動画の解説の様な感じの小さい表の中でこの中無いでしょって説明されても、いやその下にまだまだ数列があるでしょうよって考えちゃいますね。
対角線論法に関しては、仮定と矛盾しちゃってるってことです。
自然数と有理数に関しては、写像f:ℕ→ℚ>0を動画にように定義した時、fが一対一対応の写像であるということですね。
@@erun_1508 こんなクソみたいなゴネに丁寧にありがとうございますw
おかげで理解出来ましたありがとうございます！
X 永遠と 〇 延々と
無限ホテルはちょっと待てばすぐに部屋空くだろ、
ベルトランのパラドックス、解法①は三角形の辺と平行でない弦を考慮してないし、②は三角形の頂点と全く重ならない弦を考慮してないから、間違ってる気がするなあ。。。
一方、解法③は弦を2等分する中点と弦が1対1で対応しており、任意の方向の弦を考慮できているように見受けられる。
したがって、正解は解法③の1/4かな？という感じがする。
考えやすいように平行や、頂点の固定を考えただけで、もし仮に平行でなくても、一点が別の場所でも円は対称な図形だから同様に1/2、1/3となり、別にまちがっていないですよ。
内接する三角形は回転させることが出来るのでどのような弦も3角形の辺と並行な弦になりえるし、どのような円周上の点も三角形の頂点になりえるんですよ～