4次元の数 ｢四元数｣の見た目
HTML-код
- Опубликовано: 1 окт 2024
- この動画は3Blue1Brownの動画を東京大学の学生有志団体が翻訳・再編集し公式ライセンスのもと公開しているものです。
チャンネル登録と高評価をよろしくお願いいたします。
日本語版Twitter
/ 3b1bjp
元チャンネル（英語）
/ 3blue1brown
元動画（英語）
• Visualizing quaternion...
----------------------------------------
英語版翻訳元チャンネルの支援
/ 3blue1brown
アニメーションはmanimで作られています
github.com/3b1...
英語版公式ソーシャルメディア
Webサイト: www.3blue1brow...
Twitter: / 3blue1brown
Facebook: / 3blue1brown
Reddit: / 3blue1brown
----------------------------------------
Music by Vincent Rubinetti
Download the music on Bandcamp:
vincerubinetti...
Stream the music on Spotify:
open.spotify.c...
「3次元空間の回転に便利だから生まれた」とかじゃなく、最初に四元数っていう体系を考えついたというのが意味分からないすごさがある
動機は単純に複素数を拡張したかったという事みたいですね。
二乗して負の数になるような数として i が定義されましたが、同様に四元数？的になるような何かの演算を探していた人が当時沢山いたとどこかて読んだ事があります。
そして、四元数は出来たものの四元数が登場するような演算は見つかってないです、四元数単独で発見されてしまいました。
@@Mokkon a+bi に対して (a+bi)+(c+di)j=a+bi+cj+dk みたいな発想らしいです
@@MikuHatsune-np4dj あー、たしかにa+biを2回重ねたようなカタチになってるわ
@@MikuHatsune-np4dj 3元数なら自然に思い浮かびそうだけどなあと思ったけど、これを見せられたら、なるほど4本目の軸が自然と出てくるな……ってなってる。
うーん‼️
なるほど。。何言ってるんですか？
これを映像のない時代に考えたのバケモンだな
3DCGに関連する数学勉強中だったのでとてもありがたい
4次元の数を三次元の図で表してる2次元の動画を見る一次元の俺って…
あんた一次元なん！？
Yo linus.
Linusなら2次元の動画自体見れないのでは
狭苦しい次元から見てる人もいるんやなw
一生そこで反復横跳びしてな！！！
四元数の勉強を始めたはいいものの、手計算がすごく面倒で詰まってたので、実部とベクトルに分けて計算する方法が知れて世界変わりました
電磁気学と一緒に学びたかった！ マクスウェルの方程式を直感で理解できる♪ 22:00付近は棒磁石の周りに砂鉄を撒いたのと同じ絵になるし、26:38付近はアンペアの右手の法則そのままだよね？
長い間、この動画は英語でしか見られなかったので、何度も頑張って見ていましたが、日本語訳がついて本当にわかりやすくなりました。ありがとうございます。
何もわかんねーよ
@@adv8097草
要はD次元のグラフは一部だけなら、(D－1)次元でも可視化出来るという事ですね
初回視聴で理解出来たのはこれだけ
ライナスくんかわいいね
自分たちこそ高次元の生きものからみたライナスくん
分かる
1990年代に入ってゲームで大復活したのはビックリでしたね
当時、多くのゲームプログラマは四元数という言葉が既に在るのに気づかずクオータニオンと呼んでいました
CGでも多く使われていますが、当初は剛体力学を効率よく計算するのに使われていました、回転を行列で表現すると特に当時の精度の悪い演算器だと計算誤差が溜まって歪んでしまうので効率よく絶対値1に正規化ができる四元数が好まれました
四元数概念はゲーム業界から数学好きの人に逆輸入気味になっていましたね
四元数の英語名がクオータニオンなのでは？
@@Ryo-tz1np 「quaternion の邦訳がすでにあるのに気づかず、そのままカタカナ語にしていた」という意味かと
画面と垂直に棒を立てて-1の目盛りを作ってそこから投影してると思うと理解しやすいですよ
相対性理論で使う4次元ベクトルを4元数で表記してると思うと、途中で見える電磁気的な図がそのまま4次元ベクトルで記述された電磁気学の表現になっているようで興味深いよね。実際はベクトル基底の演算規則がほぼ4元数になっているから、電磁気に限った話ではないのだけど・・
素晴らしいですね。
理解していない人に説明する事を考えた動画になっていました。
視覚的に説明されていて、数式を理解していない人にも原理の理解に繋がり納得のいく説明になっています。
３Ｄプログラムを学ぶ人にはお薦めの動画です。
多くの人に見てほしいと思います。
3Dをこれから学ぶ人より既に学んで行列計算を使えるようになったけど
なんで変形できるのかわからない人向けですね
行列計算すらしたことがない人にはこの動画じゃ多次元複素数を理解できないでしょう
18:30 この四元数の掛け算を、ベクトルの内積と外積で表現する公式は、マーミンの「マーミン 量子コンピュータ科学の基礎」の付録にあった気がします。
3:01 に出てくるスピンの2状態系を記述することに関する補足だったかと思います。
この2×2行列の組が、四元数の基底(i,j,k)と対応していることは、今回の動画の超級のステレオ投影のイメージで直感的に理解できそうな気もしたのですが、
それは次回の動画を見れば理解できるようになるのでしょうか？
また、右手の法則は、外積の定義（イメージ？）とも対応しているから、
四元数の掛け算を、ベクトルの内積と外積で表現する公式は、
27:28 で１を引っ張るときに起きていることが、この式で表されている気がするのですが、あっていますでしょうか？
長い間、 この動画は英語でしか見られなかったので、 何度 も頑張って見ていましたが、 日本語訳がついても何言ってるか分かりませんでした。ありがとうございます
難しいけどやっぱ面白い
宇宙は1周すると元の位置に戻るという説について、 24:59 のイメージがそのままフィットした感じ。なんとなく私たちが暮らすこの宇宙が三次元でその外が4次元世界が広がっているとふと思った。また、この空間座標が示す通り、無限に飛ばしても球体が被さってくるから三次元に囚われ、4次元にいけない理由なのではとなんとなく考えながら見てた。これから大学数学を学ぶ身としてはとても興味深い内容であり、苦手な複素数にも好奇心が湧く、とても為になる動画だったと思う。
何で我々は3次元にいるのに(?)4次元を思い付いたのだろうか..
このまま線形代数が続くのか…と思っていたのでありがたいです。
四元数それ自体がおもしろいものなので、映像になるとおもしろさが増しますね。
4次元の住人からすると「そうそう大体そんな感じの見え方！」って感じなんですかね、ど文系の私もすごく楽しめました
3次元の自分たちからしたら2次元は平面。2次元の人からしたら1次元は平面。4次元の人からしたら3次元は平面って感じで考えるとわかりやすい
(線を真横から見ると点に見える感じ)
こういう4次元以上を扱う動画見てると、何でこの世界は三次元なんだろうっていつも思う
うわぁ確かに…
そしてあれこれ思考を張り巡らせて、結局いつもの宇宙論へ着地し、
諦めて寝る準備に入るのだった
三次元しかないのは、太古の超文明どうしの戦争に使われた次元降下兵器の影響によるもので、光速度が異常に遅いのもそれのせい。太古の宇宙はもっと多次元で光速度はもっと速かった。(『三体 Ⅲ』より)
自分はこの世界が三次元という前提から疑っています
時間と空間は連続体であり、その意味で人間の生きる世界は三次元となりえないということです
おいおい、この世界は１１次元だろ？M理論がそう言っている
分かる。4次元の概念自体は頭で理解できる、というか、まあそうなんだろうな、と受け入れられるのに、どうしてもビジュアル化できない。すごくもどかしくてじれったい。
数式は理解が追いつかないけど、四次元を描写する方法が何故「立体が裏返される」なのかはなんとなく分かりました。昔読んだ『度胸星』という漫画がやっとしっくりきました。
これVRだったら遠近感が出てもっと分かりやすいのか
この動画、良く二次元で４次元を表現できたなあ…
本家で英語わっかんねえ・・・ってなりながら見てたからめちゃくちゃありがたい
冒頭の映像みたいなやつから第５使徒のアニメーションができてるのか
3次元を2次元に落とし込んだのが「影」っていうように4次元を3次元に落とし込んで映像化したのが第５使徒っていうのが漸く解ったわ
め、めっちゃすごい！
数学めっちゃ苦手だし、説明にも追いついてはいないけど、
それでもかなりアハ体験できました！ありがとうございます😊✨
何言ってるかわからん
ライナスやフィリップスに、上位の次元の物体を説明する時
スライスしたその断面を端から順番に見せる事も有効だと思うが、4次元の物をスライスして、その断面（というか断立方？）を見る事はできますか？
文系の人間なんで、数学的な事は全然わからないんだけど、イメージでものすごく伝わってきました。
すごく面白かったです。
14:25 マンデルブロ集合の変化で見たことある二次元平面だ！Σ(ﾟДﾟ)これそういうことだったんか！
次元をそのままの次元で認識するのは簡単なのに、n次元をn-1次元で認識しようとするとこんなに意味不明な描画になるのか〜(´д` ;)確か説明も次元を高くすると楽だけど、次元を低く具体化させると難しいもんねぇ。
数学も解説も観測次元低い位置に認識できる変換って難しいんだなぁ(*´-ω-)なんか考えさせられるなぁ
ちなみに四次元の回転を四元数でちゃんと再現しようとする場合
四組の四元数を作ってWXY,WXZ,WYZ,XYZ座標軸にそれぞれ一個づつ四元数を割り当てて
一つの四元数のロール・ピッチ・ヨーをそれぞれ他の四元数と一個づつ共有する（ロール・ピッチ・ヨーが一致する必要はない）というやり方が妥当
この共有はそれぞれ
(WX)Y,(WX)Z
(W)X(Y),(WY)Z
(W)X(Z),(W)Y(Z)
W(XY),(XY)Z
W(XZ),(X)Y(Z)
W(YZ),X(YZ)
の二方が為す面に対応
円を投影すると無限の広がりがあるように感じる線ができる
球を投影すると無限の広がりがあるように感じる面ができる
つまり超球を投影した場合、無限の広がりがあるように感じる空間ができるということか
ということは無限の先をすべて繋げた形が超球の見え方ということだなっ!
おまえフェリックスって名前だったのか
所有由 球面 至 球面 的映射
是同胚 於 所有(-2pi , 2pi)^2 -> (-2pi , 2pi)^2
所構成的集合
線性映射 只是一個 子集
即便 將所有的線性映射 變成多項式
也只是一個 代數/環
而無法 成為 涵蓋超越數的"數體"
套用 哥德爾 不完備定理
所以在四元數運算下 如果是個"體"
有些 球面至球面 的映射 就不是這個"體"的元素
如果 球面至球面的映射 被定義成一個體
肯定會找到 運算結果不屬於這個體的元素
從而 否定了"一致性"
所以 要找出 第三個 數體 還早
但 這可是很有趣 的數學研究材料
研究過程比結論 有價值多了
單純結果論 真的不適合 數學研究領域上
發現/發表 研究上有趣的計算過程
讀者 能覺得"有趣"且長知識獲得靈感了 就是一篇好論文
四元数を用いた3D回転で、回転四元数を乗算してθ回転する場合、
左からθ/2回転分を乗算し、右からもθ/2回転分を乗算するけど、
おそらく逆方向の拡大縮小で相殺しつつ、回転のみ加算している感じなんだろうな～
この一連の動画をこそ待ってた
シリーズ完訳感謝です。
右ネジの法則とか外積とかが物理法則ともからんできてたりするのか、な、
四元数の回待ってました
blenderでもhoudiniでも操作できるパラメーターなので割と身近です
17:39 complex number のところが "3.14 + j 1.59 " で円周率になっているのがフフっとなりますね！
その下もよく見ると円周率ですね〜
@@n4mlz 本当ですか？僕も10桁くらいしか覚えて無いのでわからないです😅
3.14159265358979 323846264338 …
↑ここです！
3.141592653589793238462643383279...(小数点以下30桁まで, コピペ)
なので、15〜26文字目を使ってるんですね
四次元の3次元投影が、磁場と磁力線の図に見えてビビる。もしかして、磁力って数学的には四次元の話をしているのか？
なるほどわかりやすいようで全くわからんw
でも作者がめっちゃ優秀なのはわかる
交換法則は成り立たないけど結合法則は成り立つ理由が視覚化されてて良いですな
3Dゲームを楽しむ私たちは毎日何億回も四元数のお世話になっております🙇
この先に確か８元数と16元数ってえのがあるんだろ？
ひぇえぇぇ～～としか言いようがないわ！
3D描画プログラムにおけるオイラー角表記でのジンバルロックとクォータニオンについて触れててよかった
投影図が磁力線に似ているのは、関係あるのかな？
私には難しすぎた...
興味深い。3次元において4次元を理解する方法という事か〜。トーラス構造は4次元を示唆してたのかもーって思いました。あと直線とその周りに出来るウズは電気のそれだよなぁ。それって4次元の投影だったのかぁ。すげょ
18:23
鳥肌が立つほど気持ちいい
BLのカップリングは四元数の掛け算で説明できそうな気がしてきました
やっと理解できました。とても助かりました！
内積の図形的な意味、エルミート行列の図形的な意味がこの説明をヒントに理解できました。
ルービックキューブのような可換の法則が成り立たないものというのが今回知れて良かったと思いました。
無限遠点とかいうのは何となくでは理解出来てもj*i≠i*kだとかいうのをまだ感覚的ににしか理解できていないので知識が足らないなあと
見返せば見返すほど発見があるような教材或いは一般的な教材以上の効果を持つ優良な動画だと思いました
き、基底ベクトルの変換だ！！わかる！！わかるぞ！！！！
何でベクトルのchapter 6じゃないんだよ！と思ったけどこれ4次元ベクトルを踏まえるとわっかりやすいなあ~~
デカルトありがとう。座標があったからここまで来れた
四元数という言葉をまず知らなかった
僕みたいな人種には早かったな、、、
How did I get here
動画凄く分かりやすかったです👏
スプ○トゥー○で勝つよりも
ルービックキューブを揃える方が
楽しい人生なので幸せを感じました🥰
創造世界最高！⚛
3次元を2次元に投影するのがどんな感じか掴めた時の、じゃあ4次元を3次元に投影したらどうなっちゃうのかワクワク感すごい
難しいなぁ～
あと、こんな動画も作ってみたい。
数学は同じものに見えても実は区別出来るんだよー。みんなそれぞれ違うよってところが興味深くて好きです。代表だとくじの当たりくじ2枚あっても、その1とその2みたいな。
公式を使って謎を解く所も好きです。数式から図を想像してちゃんと書けたとき、こういう仕組みかー！って嬉しくなります。
高校では数3まで取ったのですが全然追いつけなかったので社会人になった今は中学レベルから勉強中です。
ユーモアでわかりやすく、こちらのモチベーションを刺激してくれる最高のコンテンツです(*´`)
この動画で分かんなかったら他でわかるはずないんだろうなという覚悟は出来るからありがたい
いつか分かりたいから、また時間あるときに見直します！
3次元の住人であることを4次元人に煽られて、黙ってられるか！笑
複素数平面で、複素数z＝a＋b・iを乗算するということは、（1，0）の点を（a，b）に重ねる幾何操作（拡大縮小と回転）というのが目からウロコ！
実数倍は非回転の拡大縮小、ノルム1の複素数倍は等倍での回転（単位円回転）になるのが一目瞭然ですね！！
1次元に住んでいるライナスにとって、本来1次元の線は点に見えてますよね？
3DCGは3次元を2次元の平面に落とし込んで表現する技法ですが、それによって描かれたゲームの世界を理解できるのは私達が3次元人間であるからですね。なのでVR空間で4次元空間を落とし込んで表現できるはずですが、その世界は3次元人間には理解できない。
AR空間では表現できません。
うーむ。わけわからん
よし、ようやく半分くらい理解できた！
4次元を教えていただきありがとうございました😊
１０次元+時間、を認知してみたい。
どんな世界なんだろうね～。
※イタコ芸の関係者じゃないよ✋
27:33 Blenderでちょっと触っただけで全然分からなかったけどここだけ「あ…！？知ってる…！」ってなった
なんか生物が2次元でしか物を捉えられないから4次元を想像するのが難しいのかな？
念願のー！！！！！ありがとうございます
よくわかりませんでした、頑張って理解できるようにします！
なるほど。わからん。でも見る
何を言ってるかよくわからないけど
とても分かったら楽しいんだろうなぁ
3次元を2次元に投影した時の図、磁力線と似てるけど、何か関係あるのかな？
このCGどのように作っとんねん!?
色使いや文字も見やすいんですけど！
馬鹿すぎて「ライナスかわいい」しか思い浮かばんかった
超立方体の投影動画はよく見ますが、超球は初めて見ました
マイナスの数字っていうのは数字上だけですよね？実数ではない
しかし実数の二乗がマイナスになるのが理解できない
世の中の大半の方が15分程度の尺で理解できるような動画にした方こそ、
地球史上、至高の数学者なんでしょうね。😅
マイナス反復性に準拠する四元数を利用して…ゼロ反復性に準拠する四元数を導入すべきである…(−)記号→(+)記号…という入れ替えでマイナス反復性に準拠する四元数をあっけなく導入できる…プラス反復性版の四元数とマイナス反復性版の四元数を連結(=connect)…または重ね合わせ(=pile tp)すると…ゼロ反復性に準拠する四元数を導入できる…
分かり易すぎてびっくりしちゃった
数学好きの全中高生に見て欲しい
なんか地球儀を南極から平射図法で投影しているみたい
地図が地球の赤道面を通るから、北極に地図を置く平射図法と少し違うけど
地図投影法(正射図法、心射図法)みたいで面白い考え方
3次元しか見えない我々に対して、積が非可換であることだけ注意すれば、ほぼいつも通りの計算が行える四元数
4つ不定数が出てくる以上、ありのままの姿を三次元の我々に知覚することは不可能
そこで、一次元分を表現空間自体に吸収させてしまえば、見かけに何らかの歪みを生じさせたとしても、三次元で表現可能になる
全体が歪んでる三次元空間なら、四次元の挙動を表現出来るということなのかなあ、と
この部分の厳密性を論じているのが、ポワンカレ予想だと思うのですが…
四次元球体の断面は三次元球体に同相である、という命題がなりたつからこそ、三次元描写見て「これが四次元で起きていることである」と言えるのだと思ってました
これたまに見たくなるんだよね
ブラックホールの中が閉じた空間じゃないのならこんな感じ？って思っていました
歪んだ鏡に写る光ですね
3次元上の回転の非可換性が自然と表現されているのが素晴らしいのかなと素人ながら見ている
あーなるほどね、完全に理解した🙄
素晴らしく分かりやいです。四元数の概念がどう量子力学へ適応されているか？について、解説があると大変有り難いです。ご検討よそしくお願いします。
日本語化ありがとう！
いわゆる回転行列でも投影先は計算できるけど、どのルートを通ってってのがないから
ロボットアームとかで体をすり抜けながら腕を回しちゃったりすることになるけど
四元数なら軸を指定しながら回転できるから計算の速度よりもこっちの方が重要って聞いた
難いけど面白いわ
球を拡大していくと球の内部に1回入っちゃって、その後反転して縮小していくんだね。😊何だか次元を越える時って質量のギャップとか何らかの曖昧さを出さなきゃ表現しずらいんだな…。😂
この世界が3次元じゃない、電磁気力が4次元に広がってるって事がかなり直感的に分かる動画。
4次元をもっと直感的に分かる様になりたいものだ。赤ん坊の時から毎日こういうのを見続けたら頭の中に構成されるかもしれないな。4次元ネイティブ😇
例えば、3次元の回転を2次元で表すとき、一つの円は北半球の中を、もう一つの円は南半球の中を映すようにすれば、2つの円の範囲内で観察が可能ですか？
同様に4次元を観察するために、2つの球、つまり4つの円が必要でしょうか?
見る前から絶対おもろい
動物の関節に対する筋肉の動きの制御を脳みそは当たり前のようにやっているが、計算で導き出すには相当複雑で厄介なことがわかるわけだ、車の自動運転がなかなかうまく行っていないのも、人間を無視した制御をしようとしているからなのかもしれない、エラーも記録されフィードバックされないと新しい制御のデータは出てこない可能性がある。
3次元で5次元を表すとどうなりますかね？
4次元は動きの成分が加わったということですかね？
9:47 この辺の解説ってなんか宇宙の膨張にも似てませんか？ 天体はそれぞれ全部自分を中心に膨張してる(ように見える...？)
地球から遠ざかる天体もあれば、他の天体から見ても地球は遠ざかってるみたいな
このビデオ俺たちに四次元上の生物になることを要求してる気がする……