激ムズ数え上げパズルと驚きの解法
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- Опубликовано: 26 авг 2024
- この動画は3Blue1Brownの動画を東京大学の学生有志団体が翻訳・再編集し公式ライセンスのもと公開しているものです。
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この元アニメーションが完成するまで何ヶ月かかったのか想像もできない
すごい動画だ
ほんとに思う....
高校数学レベルでもなんとか解ける方法考えたので書きます。
数列a_n,b_n,c_n,d_n,e_nを集合{1,2,3,...,5n}の部分集合の和がそれぞれ5で割って余りが0,1,2,3,4となるものの総数とします。
少しの根性と工夫で(a_1,b_1c_1,d_1.e_1)=(8,6,6,6,6)となることを数え上げます。
漸化式として次の項を考えると、a_(n+1) = 8*a_n + 6*( b_n + c_n + d_n + e_n ) となることが分かります。(ほかの項も同様)
厳密には数学的帰納法が必要ですが b_n = c_n = d_n = e_n となることと部分集合の総数が2^5nとなることを利用して、
a_(n+1) = 8*a_n + 6*( b_n + c_n + d_n + e_n ) = 8*a_n + 6*( 2^(5n) - a_n ) = 2*a_n +6*2^(5n)
となり、この漸化式を解くと
a_n=(2^(5n)+2^(n+2))/5と漸化式の一般項が得られます。
元の問題はn=400の場合なので、
a_400=(2^2000+2^402)/5
と問の解が得られます。
誘導があれば難関大学の入試レベルかと思います。
小学生でもなんとか解ける方法を考えました。
数え上げます。
@@ヵヮ やってるうちに卒業しちゃうからできないんだなぁ(
やはり漸化式…！漸化式は全てを解決する…！
元の問題が数オリの問題なので、高校数学でも解ける問題ではありますね（解けるとはいってない）
一応数3で複素数かじるので動画の方法でも高校の範囲にあるかも。でも、漸化式なら数3やってない人も分かるからいいですね！
よくこんなアイデア思いつくよな･･･
母国語で三青一茶見れるのが幸運すぎる
3b1bが漢字になってる表記初めて見た笑
賛成っちゃさんせいだけど英語でしか伝わらない臨場感ってものもある。(by英検準２級)
@@sofa_mania 臨場感あるか？
@@user-rh3sf1sj4kありますよ、英語の数学表現って美しいです(by TOEFL86点)
@@user-rh3sf1sj4k 三青一茶(さんせいいっちゃ)でかけてたんやけど誰も気づいてくれへんw
２ヶ月半ほど前にくも膜下出血になってしまいましたが、最近やっと退院でき、現在は通院でリハビリに励んでいるところです。
一時は後遺症で失語症になり九九や繰り上がりさえ怪しく・・でも、今では大分回復でき、こちらの動画を楽しみにしています。
「日常生活で困らない」がリハビリの基本。だから２・３桁の四則演算が出来だらもう算数のリハは終わりだったりするのです。
医療制度として当然のことではありますが、個人的には困る・・自分で何とかしないと・・そう思っていた私にとってまさに神！
2、3桁の四則演算に比べれば相当の飛躍だけど…
解説を聞いているだけだと、とんでもなくアクロバティックなことをしているようにも、舗装された道を歩いているだけなようにも聞こえます。
数学って面白いですね。
問題の質も考え方の凄さも然ることながら、毎回アニメーションや編集の技術の高さに驚きます
整数の足し算が難しい理由がこの動画に詰まってる気がした
多項式にする事で乗算に変換出来るというのも凄い面白い
数オリ出場者は知識経験じゃなくて、その場でこんな解法が思いつくの？
冗談抜きで天才だと思う。
どういうプロセスを脳内で経てこれを思いつくのかが知りたい。
この解法を聞くだけでもすごいなあって思うけど、それ以上にこれを思いついた人間が存在したことにビビる
聞いて理解できるのか…
OMC167-Fがこれと全く同じ問題ですね そこに二進数を用いた面白い解法があります
僕も、動的計画法？と思いました。手計算だと、遷移図を書いて頑張ると
p_nは1からnまでの集合の部分集合で5で割った余りがそれぞれ0,1,2,3,4になる場合の数を格納した5×1ベクトル、Aは対角成分が8、それ以外が6の5×5行列として
p_(n +5)＝Ap_n が成り立つことが示せます。
p_0＝(1,0,0,0,0）を初期条件にして良いです。
Aのn乗の求め方を忘れたので、A^n＝α_n E＋β_n I 、A＝2E＋6I（ただし、Iはすべての成分が1、Eは単位行列）の漸化式を解くことで導けました。A＾nを使ってp_2000を計算すると、動画と同じ値が出せました。多分他の方のように1,2,3,4で割った余りの場合が同じ場合の数になることを利用するともっと楽に解けそうですね。
根のn乗が5の倍数乗の時だけ一気に偏るの、以前あったフーリエ変換の視覚化と似ている気がする
競プロをかじってるせいで問題を見た途端に動的計画法！と思ってしまった
すげぇ！分からねえ！
アニメーションがものすごくわかりやすい、、
感動しました。母関数の利用は他の本で読んだ事ありますが。もう一回見直します。
πちゃんのイラストかわいい
解法が気持ちよすぎる
声がいいのでスッと入ってきます。お疲れ様でした！
トリックのところ綺麗で声出た
無料でこの動画を観られることに感謝しかない
スゲーな天才かよ、なんで思い付く。 数学オリンピックはこんな問題が出るのかw
母関数ってフィボナッチの奇数目と等しいと思ってたけど。オイラーの考え方だとゼータの3乗に近いって事なんですね。
ホントに一昨日この動画知らないでほぼ同じ問題を思いついて一人で苦しんでたw
もし試験で10までなら1024個の数が
5,10,15,…,45,50,55の11個になるケースを強引かつ地道に数えて時間を大量消費し結局は間違えて他の問題も出来ない奴が出る
最後の4つの問題の翻訳
1.両辺を微分せよ。
またこのことを用いて、1～6の目が出る確率が全て等しいサイコロを、1が出るまで振り続けた時、サイコロを振る回数の期待値を求めよ。
2.次の級数を求めよ。
(ヒント、(1+x)^nの展開)
3.f_nをn番目のフィボナッチ数とし、関数F(x)について考える。
次の微分方程式が成立することを示せ。
また、この微分方程式をとくことによりフィボナッチ数列の一般項を求めよ。
4.f(x)を次のように定める。
f(x)/(1-x)の係数は何を表すか。
(恐らく、f(x)/(1-x)を冪級数展開した時の各係数を数列a_nを用いて表わせという意味)
数学にのめり込める程頭のいい人間に生まれたかったね
プレゼントしての質が高く、論理的なところに憧れます。
これって確か5が素数だからできるんですよね。
代数学…巡回群？円周群？とかでやった気がするなあ。
数え上げを足し上げの和を0として相殺する発想がおもしろい。
例えば4の倍数だったとしても同じように1の4乗根を代入して計算すればできません？
@@salmon_math
出来ない。ordがズレる。
具体的に言うと
n乗根全体の集合からn乗根全体の集合に対して、全ての自然数kで
x to x^kが全単射なってないと今回の議論適用できないやろ？
ここの「全単射」が成立するためには素数であることが何より重要。
群論的に言うと「素数巡回群は単位元を除いてordが等しい」っていう素晴らしい性質を用いてるんよ。
だから素数が何よりも大切やで
@@karikarikarisan ありがとうございます．確かにこの動画の議論では x → x^k が全単射であることからk≡1,2,3,4 (mod 5)の場合は和が0になるということを示していますね．
しかし4乗根でも結局和が0になるということは変わらないですよね？例えばζ=iとすれば
ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 = 0
ζ^2 + ζ^4 + ζ^6 + ζ^8 = - 1 + 1 - 1 + 1 = 0
ζ^3 + ζ^6 + ζ^9 + ζ^12 = ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 = 0
ζ^4 + ζ^8 + ζ^12 + ζ^16 = 4
となりますよね？
なので素数でなくても動画と同じようにできるのではないかと思っています．(4以外では試していないので，全ての自然数で同じようにできるかまではわかりませんが)
もし何か勘違いなどありましたら，またご指摘いただけると嬉しいです．
それを任意のnで一般化できるんならええんやない？
p^2という珍しい形のnだけ試してだから何？って感じです。
複素数のn乗はドモルガンを使えば簡単に表せることは高校生でも知ってる。
そしてあなたが例としてあげたπ/4は相当異質なのはすぐに分かるでしょ？
例えば6や12。さらに上の高度合成数を具体例で挙げられたらまだ説得力ありますけど、4って複素数世界では相当異質な人ですよ。
そんな変な人だけで立派な例になると…？その感覚のほうが不思議です
@@karikarikarisan なにか勘違いされているようですが、私は一般のnで全く同じようにできるとは1度も言っていませんよ。(そしてその根拠が4の場合の結果だとも言っていません。)
素数である必要はなく、もう少し広いクラスの数で行けるのではないかと考えただけです。
数が大きいと計算が大変なのでできるだけ小さい合成数で4を選んだだけでしたが、素数の二乗だからうまくいっているのですか。それは気が付きませんでした。ありがとうございます。
１回見てみてよくわからなかったという人（その例がまさに私ですが）は
１回部分集合の個数を２個みたいに簡単な条件で考えてみてからこれに取り組むと
わかりやすいかもしれません！（その場合は 1/5 × ((2^20) + (119053 × (2^3)))になると思います、多分）
赤チャートやってたおかげで、母関数のあたりで答えにたどり着けた
聞いてる途中で少し賢くなった気がしたけど、最後の「こんな応用ができるよ」の部分で脳が爆発してしまった
答え見る前に力技で解いたけど、なるほどなあ。って感想。
でも、答え見る前に解いて良かった。多分普通の視聴者の100倍は感動した。
@ochinpo-bin-binCOMPUTER
すんばらしい！！！
とても楽しくて気持ちいいです 色々遊んでみたくなります!
映画化希望
今回の場合5の倍数でしたが、5ではなく偶数であった場合、どのような結果になるのかも知りたいと思いました。
偶数の場合は 16:03 ですでに説明されています
f(x) = Π[n=0..2000] (1+x^n) として
(1/2) (f(1) - f(-1)) = 2¹⁹⁹⁹ です
うますぎる
母関数の解説をみていて「刑事コロンボの金貨のパズル」が浮かびました。ζ関数につながっていたのかと驚いた、みたいな
実際、研究レベルの整数論はあらゆる現代数学を使うからなぁ
動的計画法で求めた値と (2^2000+4*2^400)/5 が以下の値で一致していた
22962613905485090484656664023553639680446354041773904009552854736515325227847406277133189726330125398368919292779749255468942379217261106628518627123333063707825997829062456000137755829648008974285785398012697248956323092729277672789463405208093270794180999311632479761788925921124662329907232844394066536268833781796891701120475896961582811780186955300085800543341325166104401626447256258352253576663441319799079283625404355971680808431970636650308177886780418384110991556717934409897816293912852988275811422719154702569434391547265221166310540389294622648560061463880851178273858239474974548427800576
2つの異なる方法で計算した結果が一致したときの快感がやばい
みんなも競プロでこの快感を気軽に体感しよう
dp[i][j]= iまでのいくつかを選ぶ方法であって、5で割ったあまりがjである場合の数
O(N) → O(1)
途中で出てくる地図がソ連にしか見えない、、、
ゆるいFelixくんの絵がかわいい π₍₎₎
最後の=2は、{1, 2, 3, 4, 5}のミニマムな例から逆算する方法を思いついた。綺麗じゃないけど
サムネ見てパッと見
Π(1+x^k) の x^5n の項の係数の和だから {(1+ζ)…(1+ζ^5)}^400 の実部が答えかな〜
と思ったが嘘だった(5の倍数にならないところ全部虚数になってくれと思ってζ_5代入したけど最終的にほかの項と干渉して実数になってしまい)
中身の計算方法も5個足せば上手く打ち消し合うのもキレイで好きすぎ
問1 は ∑5/6^n になって1/(1-5/6)で 6
問2 は二項定理で 3^n
問3 おもしろい 階乗部分と打ち消しあってちょうど微分が1つ項をずらすのと同じことになるんですね
問4 はよくみる累積和と同じになるやつ
ただただ、うつくしい。
今回の内容はフーリエ変換を理解するためにも非常に有用ですね。
数千年間、世のことわりを追求しようとしてきた人類の遺産である数学。
今もなお、より扱いやすく再定義や新概念の吸収を繰り返し進化し続けている。
数学は哲学の一つに過ぎないし絶対ではないが、やっぱり面白い。
別の宇宙、われわれが知覚できない上位次元の世界があったとして、
そこに存在するXは人類の数学とは全く異なる哲学体系を持ってして世の真理を解明しようとしているかもしれない。
もしかしたら解明するという概念すらなく、存在Xはすでにあらゆることを"知っている"のかもしれない。
そんなことを考えるのもまた、面白い。
今回もおもしろすぎ！
たまたま最近考えてたテーマで興奮がやばい！複素数は発想思いついたのにあと少しのところでつまずいてたのが悔しい
一つ偉くなりましたが、私の頭程度ではまだテクニックを一つ暗記しただけとも言える。
見てたら頭よくなりそう
-1を代入した瞬間にピンと来て気持ち良かった
おもろいなあ
分割数知ってたから解けた
漸化式で行けそうだと思ったけど一般式が出せやんのかな
面白いなあ
タスク管理に数学の手法が使えませんかね？
FPS だ～
あーめっちゃおもろい
これって数字が1〜7までとかでも計算でできるんですか？
映像凝ってるなあ
恐ろしいほどに美しい。。
えぐおもろ
これ2000の約数なら同じことをして
10の倍数なら(1/10)・2²⁰⁰⁰
16の倍数なら(1/16)・2²⁰⁰⁰
25の倍数なら
(1/25)・(2²⁰⁰⁰+24・2⁸⁰)
みたいにすぐわかるけど
2000の約数の倍数ときにしか使えなくない？
2000の約数の倍数じゃないときどうするのか気になる
5が素数で良かった
文系数弱ワイ、大学で数Ⅲ履修を決意
微分で無理なんかな
問・問題(トイ・プロブレム)
数学おもろ
ruclips.net/video/FR6_JK5thCY/видео.htmlsi=CT1bW652VojMXvWS&t=1704
ここの部分が同じじゃないけど、ζ^0=ζ^5とみないとですね！
2の256乗でも馬鹿デカいのに、2の2000乗なんてとんでもない数だな
僕でもパソコンを使ってもいいなら解けるよ
もし大学入試で出たら母関数と原始5乗根を代入させるところまで誘導ないと無理、何をすればいいのかすらわからずに部分点も取れない
最初に1〜5までで実験してみて、なんかオイラーの異分割の問題に似てるなとは思うけどそこから母関数まで思いつくか
というかオイラーの分割恒等式を知っていることを前提に問題出すのはダメでしょ。進学校は知らないけど、うちの高校では習わなかったぞ(寝てただけかもしれないけど)
1行目から的外れでワロエナイ
これは大学入試ではなく、数オリ対策問題集です
高校生感あるフレッシュなコメント
一応二項定理の応用と捉えられなくもないからセーフ()