Borsuk-Ulamの定理とネックレス問題 ～トポロジーでパズルを解く～
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- Опубликовано: 19 май 2022
- この動画は3Blue1Brownの動画を東京大学の有志団体が翻訳・再編集し公式ライセンスのもと公開しているものです。
チャンネル登録と高評価をよろしくお願いいたします！
※今回、動画内テキストの翻訳を試みていましたが途中で編集データが飛んでしまい9:30から英語になってしまっています。（そこまでの流れで分かるかとは思いますが……。）
また、吹き替えのペースが若干キツイ箇所がありますがこれは翻訳によるもので今後改善予定です（言語間での一文の時間差は難しい問題でもあり試行錯誤しています）。
元チャンネル（英語）
/ 3blue1brown
AlonとWestによる証明(1986)
www.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/Pub... Borsuk-Ulam Theorem and bisection of necklaces.pdf
Music by Vincent Rubinetti
Download the music on Bandcamp:
vincerubinetti.bandcamp.com/a...
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open.spotify.com/album/1dVyjw...
一般化させたいからn次元を考えるのではなく、今の問題を解くために次元を上げざるを得ないから、という思考が知れたのが面白かった
「球面上の点と二色の線分の分割が対応する」この写像の構成の仕方が天才すぎる
今日の東大金曜講座でこのチャンネルが話題に上がっていました。
難しい問題を直感的に納得いくように説明してくれるこのチャンネルにはいつもお世話になっています。
日本語版ももっと広まってくれるといいですねー
10:16 手取り足取り説明してくれるからココもギリギリ何言ってるかわかるのありがたい
今回もめちゃくちゃ面白かったです！
うぽつです！翻訳感謝です。
冒頭のオイラー積もそうだけど、自分が数学で感動したことを思い返すと「関係なさそうな2つの事柄が対応している」系ばかりで今回の話も感動した！
5:50 見てる途中だけど、何が親切って、「あー、よくわかんねーけど話が長引きそうだな」ってなるところを「今ここ」ってマップでを見せてくれるとこ。
このチャンネル, 説明が驚くほど分かりやすくて (説明方法において) めちょ参考になる
このチャンネル好きです。
待ってました！
この方の動画を見ていると 数式と図形の密接な関係を知れて とても興味深いです。
数学の知識が地理にも応用出来るとは... 新たな学びです!!
知らない間に日本語版できてて嬉しい、英語わからんから雰囲気でしか聞けてなかったし
根の話になった瞬間に、次々とシナプスが繋がっていく感じが気持ちよかったです。ありがとうございます。
まじでこのチャンネル好き
翻訳ありがとうございます。
数学をしっかり学んだ身ではないけど、それでも数学の面白さや奥深さを直感的に理解できる良チャンネルですね
一見関係ないそれぞれの説明が最後にひとつに繋がった時、そしてその先の可能性の存在を知った時、自然に感動と笑みがこぼれてきました
15:16 ここの一言で全てが繋がって、なんか心臓がバクバクした。めちゃめちゃ面白いです！！！
ボルスク・ウラムの定理とネックレス問題が繋がった時本当に感動した
明日もう一回見てみます。面白い～😆
天才的だけど
根本は、言い換え祭りって感じで良い。
待ってたよん
最近見始めましたが、編集のクオリティが高くて声も聞きやすくて最高です。数学が面白い！って感じさせる良い動画なので、これからも投稿頑張ってください！
編集自体は元の動画投稿者が行なっています。詳しくは動画概要欄から見てみてください！(翻訳等に関してのことでしたらごめんなさい)
ボルスクウラムの解説、任意の四面体に対し唯一つ外接する球が存在するのを、「四面体の一つの面を平面に固定してその面の外接円状の穴を開ける、そこに球をﾆｭﾙﾝって通すとただ一度球面が残りの一点を通過するから」くらいの気持ちよさがあった
もし地球が4次元球だったら、気温・気圧・湿度の3つがそれぞれ等しい対蹠点が存在するのかな
待ってましたたたたたた
新たな数学の面白さが知れるチャンネル
１５分あたりで全てが繋がった
目指したい夢の関係で文系を選択したがやっぱり数学は最高だな
この内容をこれだけ自然な抑揚、ペースで喋れるというのは、ただただ英訳するだけでなく、内容をほとんど自分自身の言葉のレベルにまで落とし込んでいるということだから、ほんとうに頭が上がらない。
将来関わってみたいなあ…
5:42 「あなたがこの動画を見ているという事は、たぶん心の底は数学者なのでしょうから」 ← すき
小学校の時，n個の水槽の水を同じ量に入れ替える時どんな操作をしたらいいか問われて，aからbに何リットル，cからbに何リットルと考えていたら，そんなことをさせたいんじゃないと先生に怒られた。全ての水槽の平均との差を移すんだというのが正解だったけど，実は高々n回の操作で移せるという深淵があったことに今驚愕している。
先生「よく気付いたね！ではなぜ高々n回で移せるのか分かるかな？考えてみよう！」
ワイ「🤯」
面白い…！何言ってんのか分からないけど，つい観てしまう。。
So interesting Xoxo it’s so cool
現実に活かしたいですね
なんとかついていけた
PrimeのΠがπと繋がってるのは(証明方法も含めて)面白いですね
中間値の定理に繋がるものを感じる
韓国語バージョン無くて日本語で見てる草
凄い...
단순히 웃고 싶을 뿐이라면「韓国語バージョン無くて日本語で見てる笑」~가 좋을지도!
いや草
韓国語チャンネルできましたね
いや草
地球上の対蹠点の話は、教科書の積分あたりでコハムとして書いてあった！
大学の数学も面白そうかも..！
受験勉強がんばろ！
幾何学が如何に有用なのか何となく分かってきた…！
おお〜！
Borsuk-Ulamの定理の1変数版、つまり、地球で気温が同じ対蹠点は少なくとも地球を一周する線となるし、
その線に沿って切り分けると、切り分けた部分の面積はおなじになる、ってことが言えそうですね
2変数になれば、線と線との交点が少なくとも2つ存在するので、それがBorsuk-Ulamの定理となる、と
10歳の時に出会って居たかった
こういう問題みて、
「ネックレス一回切ったらじゃらじゃらって全部出るけどなぁ」
とか思ったらいけないんだろうなぁ
それ言うなら、そもそも最初からちぎれてるネックレスを考えてるよねってなる
元チャンネルの規模にビビった
赤道上に気温が等しい対蹠点が存在するってゆう入試問題をみたことあるけど、それを3次元に拡張できるのか〜すごい
その退化した主張だと、かなり直感的に成り立ちそうだと思えます。理解の助けになりました。
Just discovered this Channel oh my god
宇宙の対蹠点とか考えると面白そう、球面から球体になる？四次元球体にヒントありそう。惑星や恒星をこの話の宝石として考えてみても面白そう。まったく同じ質量の惑星(対蹠惑星？)がすくなからず一つ存在してそう。
合ってるか分からないまとめ
赤道上の点pについてg(p)プロットした時、赤道上ではそれぞれがたいせきてんだからg(p)=-g(-p)の性質が成り立ち必ず原点を囲むグラフになる→北極まで輪っかをズラすとグラフは連続的に変化→赤道上では1点になる→その過程でg(p)が原点通ってるpが図形的に見つかるって発想すごい
青と緑がある分かれ方してるネックレスをabcの長さに分けてから上下に分配することを考える。abcをそれぞれx^2y^2z^2と置く。上下それぞれの青と緑の合計の長さs1,t1とs2,t2と置く。s1,t1とs2,t2は"x,y,zとある分かれ方(これは定数)で表される関数(連続です)"で決まる。xyzは球の関数満たすからボルスクーラムの定理が使えてs1,t1とs2,t2が等しくなる点のペア(x,y,z)と(-x,-y,-z)が存在すると分かる(たいせきてんになってる)。
これたぶん舶来の動画ですよね。日本語訳と語り口が完璧なのと、お兄さんの声が素敵すぎて感動しました。
ところでこれはつまり、幾何学ってすげーというですか？ それとももっと次元の違う話なのでしょうか。
8:21 ここって点対称性を持ったまま収縮しますか？
赤道だと -p も赤道上にあるから点対称ですが ずらしていくと -p は同じ道上にないから形が崩れるように思います。
@雑食主義者 点対称な図形（に見える）のまま(1, 0)に収束しているのがよくわからないのです……
上にずらしていく過程で点対称性は保たれません。アニメーション上そのように見えるだけだと思われます。
@@BombMillton ありがとうございます。やはりアニメーションの問題なんですね。
めちゃくちゃ面白い。タイトルとサムネが謎だから損してるような…
高二の俺にはまだ早かったか、、マジで分からなかった
5:26 ひろゆき『写像？』
四次元球って、球を三次元円っていうような言い方だよね
でも、それ以外言いようがないもんね
5:25写像？
天才だけが味わえるやつだ
マジで何言ってるわかんないけど頭良くなった感じがするのと同時に理解できない自分に劣等感がある
その劣等感を諦めるか乗り越えようとするかだよ。
なるほど、わからん
最初の問題は左から順番に, 本来分割する量を超えない最大の線引きで区切っていけば, 高々宝石の種類分の線引きができるから, Borsuk-Ulamの定理を使わないでも当たり前のように感じるんだけど, ダメなんかな？
例えば
aabbacbdaa | abcbadabcdd | ddc | aab | b
みたいな感じで
たしかに多くの場合でうまく行きますが、 abbbaaab が反例になりますね
abb | baa | a | b となってしまって3回の分割が必要になります ( ab | bbaa | ab が正解 )
確かにその通りです. この反例は見落としてました. 教えていただきありがとうございます. @@naruse1417
写像ってなんすか？
これってつまり、地球上のどの地点についても、気温と気圧の等しい異なる地点がどこかに存在するということ？対蹠点とか関係なく
@@vonneumann6161
動画見返して納得しました。
教えていただきありがとうございます。
これ2人で分配してることを前提としているけど、
3人,4人にしたらどうなるんだろうか。
美しすぎる
きちゃぁぁぁぁ！！
ウラムは水爆の開発者としても有名です
ruclips.net/video/CN-5RaFKG0c/видео.html
宇宙言語過ぎてわからない
地球表面上で、最も海っぽい場所と陸っぽい場所が真裏同士にあるってやつあるよね。
陸半球と水半球かな？
対蹠点の読みが"たいしょてん"ではなく"たいせきてん"だということが一番の学びだった.
辞書をみると慣用読みとしてたいしょてんも併記されているけれど, 蹠の音読みはセキだそうなので本来はたいせきてんと読むべきなんだろうな.
音声として読み上げてくれることではじめて気づくことってあるんですね…….
なんで三次元上にある球の点が二つの値を吐き出す時を考えてるの？
疑問の解決になるかわかりませんが、三次元上の球の”球面”は2つの値で表すことができるので二次元と定義できますよ
仮に三つの値を吐き出すとすると、出力は三次元上の曲線になりますよね。出力の三次元上の曲線が、球面上のpの軌跡が北極点に向かうにつれて、ある点に縮んでいくのは変わりません。しかし、その収束していく点が、出力の三次元上の曲線のある一点と原点を通る直線上にないと、その曲線が縮んでいく途中で原点を通りません。その縮んでいく点に対する条件が難しいんじゃないんですかね
三次元で考えたら今回の理論は破綻するのですか？それとも二次元で考えた方がわかりやすいだけで三次元でも成り立つのですか？
詳しい説明ありがとうございます。理解することができた気がします。
宝石が2種類のとき、ネックレスを3分割すれば、2人の泥棒に平等に分けられることを示したいからです。
「宝石がm種類でネックレスをn分割する」場合は、「n次元空間にある超球上の点が、m個の値を吐き出す」ようにします。
写像ってなんですか？
道があった
超球面のピンポン玉も踏むと潰れるんですね。
おおお//
環耀さんが紹介してた
ほえ〜
10:53 ～
盗まれたネックレス問題で、宝石を二種類にするのはいいですが、
何故！？ サファイアとエメラルドにしたのですか？
サファイアとルビーだったら見易かったのに！！ ( *ﾟAﾟ)/
5:24
???「写像…？」
気付くか気付かないかのレベルでイジるのおもろ過ぎる
だめだこりゃ
ぜんっぜんわかんねえ！笑
ネックレスの宝石の種類が3以上の場合、3次元空間のボルスクウラム定理じゃ解けなくないか？あと4次元空間とかどうやって知り得るの？？
ネックレス問題は出来る限り少ない回数で何回で二人に分けられるかの話？
着地点がボルスクアウムの定理との関連性がある、即ち切り分けることが可能であるってだけで問題への答えがないのでは？
って思っていたから関連性があることは面白かったけど、内容的には狐につままれた気分…
私の見方がおかしいだけなのかな？
n種類の宝石を高々n回の分割で分けられるか？と序盤に述べていると思うのだが...
@@user-xe8hg8zz8o 単純形として考えた時、◇2つ、◆2つが交互に並んでいるとする
その時は1回で切り分けられるから、2回で切り分けるは不十分
2回以下で切り分けられるが正しいのでは？
@@futakakei8116 「高々」
@@user-xe8hg8zz8o 認識しづらい、表現的に目にしたことがないor少ないからかな？
英語であればat mostで分かりやすいのだけれども
「離散的な」とか学術的な意味合いのものはもう少し噛み砕いてほしいとは思う
あと命題の話については序盤で述べられてるのは分かっていたけど、結論で明確に言わなかったから「なんの証明してるんだ？」ってなってました
ダオルー氏、解説感謝します