√2の肩に無限に√2を乗せたらなぜ2になるのか
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- Опубликовано: 21 ноя 2022
- 無限ってほんとにおもしろいですよね
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【noto -『Telescope』】
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/ @mikinatsu_official
1＝0 で収束しないものを、
収束するものとして扱った場合に生じる不具合を簡潔に表現出来ててすごい
一見難しく見える問題も、高校数学の範囲内で説明できてしまうのすごい
うわー！！！考えたことなかったのですが、、これすごく面白いですね！オイラー凄すぎます。
いつも面白いテーマで、動画アップが楽しみです。
これ右から計算するってのが大事ですよね。
左からやったら普通に発散しそう。
面白かったです。
コンピュータのない時代にこの課題に興味が持てるオイラーを改めて尊敬しました。
レオンハルト自身の脳神経が「量子コンピュータ」だったのだろう
歴史上、こういう天才は珍しくない
@@ib4950 偉そうやな～ｗ
@@ib4950 今の量子コンピュータの応用力はカス性能やでww
日本だと杉田玄白が解体新書作ってる頃(1774年)だからね。フルヘッヘンドだよね。
@@ib4950
量子のこと、何一つ知らないでしょ
1=0をこの世の終わりって表すの好き
そういうのを眼にしたくない程の忌避の表明なのでしょうね。
あいまいや不正義を嫌うの、逆に嫌いじゃないです。
@@smdmsysyho なんかクソ真面目に考えてて草
@@Y16_k9 理系にとって偏屈さやへんなこだわりは強みだからこういうのがいいんだよ
@@0channko_xox5 ワイ理系「この式なんか見た目かっこいい〜」ワイ終了のお知らせ
@@user-go8br7xy9vオイラーの等式とかなんで美しいのか知らずに｢この式好きなんだよね〜｣とか言ってそう
期末で出ました！ありがとうございます
「またオイラーか」と思ったらeが出てきて「オイラーか」と納得した
有界単調数列の収束定理を使わなくても、an
なんでAnもAn+1も同じXに置き換えちゃうのか、高校の時は意味不明だったのが今わかりました。ありがとうございます。
積分サークルに出した積分と初手の発想は似ていますね。勉強になります
漸化式で極限を取る時、y=xとy=Sqrt[2]^xが点列連続である事を使ってるね．
漸化式は任意の自然数に対して成り立つ等式であって、充分大きい自然数の時にある位相で測った時に近いところにある点(極限点)をいつでも代入できるとは限らないことに注意したい．
面白い…そして、分かりやすいです。
収束が確定してないものを置くのはngとか例を示してるのもわかりやすいし、誘導が強くて理解しやすかった‼️
興味深い。。。50のおっさんにもなんとなくわかりました！
これが収束する領域があることが不思議に感じる
特性方程式がなんでそんな解法をしていいのかが理解できました。
大学時代にモヤったまま終わった特性方程式の正当性も理解できたし、
冒頭の閃きによる解法が数列化⇒収束性の証明⇒特性方程式と手続き的に到達できることに感動した。
頭いいこと言ってんのに、名前が汚いってはっきりわかんだね
はぉ、内容以前に、、
縦線真っ直ぐ引くのうますぎる。
何年教師しても曲がってしまうのに。😂
自分の志望してる大学の数学の最終問題でこの問題出ました！ありがとうございます！！！！！！！！！！
面白かった。数列の初期値を√2から変えると、2が安定な固定点、4が不安定な固定点になっている感じですかね。
面白かったです！
数学がスルッと頭に入ってきます
ありがとうございます！
エグい額笑
このチャンネルのおかげで学問は楽しいものだとわかりました。勉強が息抜きや、娯楽になり楽しいです。
話は変わりますが、数学の記述問題でどこまでを解答に書くのかいつも悩んでしまいます。できれば高校文系数学の範囲でいいのでそこにフォーカスを当てたものを作っていただきたいです。
大学の数学の勉強が楽しみになるな
やっぱりオイラーって天才よな
厳密にやってくれて嬉しいです❤
もしかしてクラロワやってたりする？
漸化式の意味が分かった！！！
ありがとう！！！！
18:00ら辺のオイラーの関数とxの範囲をアプリで図示してみようと思ったんですが冪の数が奇数と偶数でxの範囲内のグラフの形が分かれるのが興味深かったです。(冪の数が奇数だとy=tanxみたいで偶数だとかなり歪なy=x^2みたいな形のグラフ)
何言ってるんですか？
ほんとだ。なんか、フリーハンドで書いたグラフみたいな歪み方してますね。
0につながるか1に繋がるかってことかな
そこまで難しい考え方じゃないんだなと感じました。
収束する範囲についてもまた興味深いものがありますね。
少し調べてみると、自然数nのn乗根を無限に肩に乗せてもすべて有限の値に収束するようです。
y=x^(1/x)はx=eを境に増加から減少に転ずるためnのn乗根はすべてe^(1/e)未満の値になることから言えますね。
@@user-sc5oy2es3y 怪文マスターおって草
@@user-ce4er7zp1c この人いろんな動画で怪文書コメントしてるからマジモンやで
@@user-sc5oy2es3yこの世の終わりで草
大人になっても、日常生活に、ルートなんて、使いません。だから、算数程度の足し算➕引き算➖かけ算✖️➗だけ使う。
数学の難しい所知っていようが、意味がないわ。
は〜オイラーたんマジ神
収束する領域の上限がe^(1/e)ってのは証明したことあったけど、下限があるのか！しかもそれが(1/e)^eだっていうのも面白い！
どんなに小さくても0より大きければ収束しそうな気がするんだけどね･･･下限だと極限値は1/eかな
たとえば0.05とか0.001だとどういうふうに発散するんだろう？
オイラー天才
帰納法万能かつ最強ですよねぇ、こんなに証明出来ちゃって良いんだろうかと良く思っちゃいます。
予備のび君。大好き！ハゲないでね！
高三の時、塾の先生が√2^√2^√2^√2は超越数と教えてくれました。
Gel’fond -Schneiderの定理の動画、できたらお願いします。
面白かったです。
たくみさんの説明は明解
約250年前にもうすでに証明されてるの、凄いなぁ！(オイラーやっぱ凄い！)
「この世の終わりみたいな式が出来る」
というワードが出るセンス好き
y=xとy=√2^xを図示すると有界性は視覚化できますよね。
そこからx^x^x...の収束半径は、y=xとy=a^xが2つの共有点を持つ条件と関係がありそうな気がする？
収束条件にeが出てくることに感動。しかもそれを証明したのがオイラーだなんて。
有界とかすげえ久々に聞いた！
オイラー先生はどうやってその範囲を見つけたんだ？！笑
9:42 数学的帰納法のイントネーションに違和感を持ったのは自分だけじゃないはず
申し上げ忘れておりました。オイラー凄すぎ、まさに天才ですね。
全然関係ないけど、指数表記の言い方で肩に乗せるっていう表現が好き。
ちっさい数がフクロウみたいに肩に乗ってるのを想像したら2nmくらいは数に愛着わいてきそう
入試問題にありそうだなって思って調べてみたら2011年の同志社で出てたわ
バイオハザード２のラスボスみたいってマニアックすぎるわw
青チョーク鮮やか
漸化式が使える問題では、x(n+1)=f(x(n))の力学系だと考えて、y=f(x)とy=xのグラフの交点を考えると、x=2,4の2か所で交点を持ち、
今回はx(1)=a(1)=sqrt(2)
力学系の固定点の安定性解析ですね！
ページの変更の所、実は黒くなるまで全然違う文字あるの好き
高2生ですが、ここで数列が出てくるとは予想外でした･･･。
やっぱりここらへんの単元は出来ておかないと理系大学に進むときに大変そうですね...。
高3で極限っていうのを習うんだが、そこで数列が出てくるで。なんなら積分でも出てくる。
少し細かいことを補足します。
漸化式a_{n+1}=f(a_n)に従う数列{a_n}が極限値αを持つならばα=f(α)が成り立つ、というのは無条件では成り立ちません。
漸化式の両辺をn→∞としているわけですが、このとき(右辺)=f(a_n)→f(α)となるとは限らないからです。つまりはf(x)に対しx=αにおける連続性の仮定が必要だということですね。今回の場合は指数関数の連続性を使っています。
連続性が無い場合の反例：a_{n+1}=(1/2)δ_{0,a_n} (δ_{0,a_n}はa_n=0のとき1でそれ以外0となる関数)
反例として出されている数列は収束しないので、反例になってないと思います
正しい反例は以下です
a_1=1, a_(n+1)=(1/2)*(a_n)+δ_(0,a_n)
収束値:0
収束値を漸化式に代入すると
0=(1/2)*0+1 ∴0=1
xが1.44…の場合の収束値はeである。高校の頃関数電卓をいじっていて偶然発見したときは感動した。200年前に知られていたことだったのですね。
ちなみに、ルート3でも同じ方法で証明できそうだが、何故成り立たないかというと、13:06の式の右辺が3にならないから。
3の三乗根なら成り立つで
漸化式、極限 数学的帰納法。。。どれもこれも懐かしい。高校生の時魔法かと思った。今、高校生の子供にギリ教えられないレベル。。
オイラーが天才すぎる
やっぱ数学的帰納法は使いこなせば、一つの武器として使えるから数列が関わると余計大事になってくる。
X=√2のX乗につき、X=2又は4のみであると求める方法について教えて欲しいです。どうやってX=2、4と解を求めたのでしょうか？(今回はX=2のみが解となりえることは理解出来ました)
二つの関数のグラフ書いてみな。交点二つ出てくるからx=2,4になるからね。
べきのべき乗って扱ったことなくて、「今回は」右から左に計算して欲しいって言ってるんですが、いついかなる時もそういうルールというか定義なんですか？（）がついた時のみそっちから先に計算？
本動画で覚えた事
3^27=ﾔﾊﾞｲ
(√2)ˣ=x の両辺log取って、
xlog(√2)=logx
logx/x=log2/2
f(x)=logx/xは、x=eで極大かつ、0
高2,3年の頃は毎日のようにやってた微分法でしたが、10年以上経って解を求めようとすると忘れていた部分が大きかったです。
解法を書いてくれてありがとうございます。
対数を使っても答えは絞れないのか
統計力学をお願いします....🙏
0:43 ここまじですこ😂
19:19について質問。複素数バージョンってどの本に載ってるんですか？ヨビノリホームページにて山本直樹、チャーチル・ブラウン、宮地秀樹の三先生の複素解析の本が紹介されてますが、どれに載っているのでしょうか？
次回は∫x^(x^(x^…))dxの解法とかくるかな
二年生の夢も最近投稿されたしテトレーションの微積、超対数に触れても面白そうですね
関係ないけど、y=x∫xdxの解探して疲れた。
模範解答はxに『1』を代入すること。
積分すれば、線形になるぞ。
a_1が4未満の実数のとき、im[n->∞]a_n=2になる。つまり2は吸引点である。一方、a_1が4より大きい実数のときは発散する。a_1=4のときはim[n->∞]a_n=4になる。つまり4は針の先端のような極めて不安定な点である。
積分サークルでキムさんに一瞬で解かれてたやつ
昔積サーコラボでキムが話してたaな肩に無限にaが続くやつの関連のやつか
最後のオイラーが証明した範囲が、なぜそうなるのか知りたいです！特に下限
ちょっと考えるのが面倒なので投げるんですが、2^(1/2^n)として計算できないのでしょうか
eってすげぇな。何にでも出てきやがる。
すぐ出てくるオイラーほんとすごい。またお前かって
これって
√2^x=x...＊
が成り立つための条件を
①単調増加
②上に有界
として話しを進めていましたよね。
だとしたら①は当然成り立つとして、②は例えばx
①上に有界な単調増加数列は収束する。
②極限の一意性(つまり、収束先は一意)
もし解が２つ出たとしても、②よりどちらか一方に収束することは保証されています。
@@snackt8617 なるほど、その通りですね。
ありがとうございました
東大京大目指してる学生さんはギリギリ解きたいくらいの難易度。
肩にちっちゃいルート乗せてんのかい！
オイラー、どんだけ天才なんだよ。
第一感は平均値の定理を使ってf(x)=sqrt(2)^xが縮小写像となる範囲を求めて絶対収束を示す...とか考えたけど，帰納法でよかったのか．
縮小写像 「しゅくそうしゃぞう」って言い間違えがち
この方針で計算したらe^(1/e)出てきたので，丁寧にやれば一般の場合証明できそうです．
ボルツァーノワイエルシュトラスの定理？！、、！
数学的帰納法のトーンが気になりました。
高校時代に同級生からどこぞの過去問として、この問題出されて即答した覚えがあります。
答えだけ必要だったので、途中式はどうなのと聞かれた時、√2は2の1/2乗だよね、そこにまた2の1/2乗掛けたら最終的に2の1乗だよねと回答し、困惑させていました。
答えが合っていれば点数はもらえますから、、、
肩にちっちゃい√2のせてんのかーい
誰も「肩にちっちゃい√２を乗せとるんかーい」って書かなくて寂しい…
自分でやったときは漸化式ミスだったか...
ちょっと関係ないけど横浜市立大学の無理数の無理数乗は有理数かみたいな問題めっちゃ好き
a_nが単調増加数列であることを証明するために単調増加関数使うのはいいのだろうか。
今日の明治大で出てたなー
このサムネだけ見たことあったから助かった
調べたところ(e^1/e)のテトレーションの上限はeに,(e^-e)のテトレーションの上限は1/eに収束するようです。
上に有界を示すときに2でおさえるのは直感ですか？
極限値の候補が2か4なのでより小さい2で試してみたということだと思います
オイラーってほんとどこにでも出てくるのですな
最初のxで置いた時に4が解として出てきてしまったのはなぜなんでしょうか。のちのちxの範囲から4が解にはならないってことは分かるんですけど。
最初の√2^√2^√2^... = x とおくのは厳密でないってのは気づかなかったです。
数学的の論理展開が正しいかどうかを確認する方法ってあるのかが気になりました。
今回の場合、√2^√2^√2^√2....についてこれが収束するのか発散するのかを確かめる必要があり、この過程をスキップしてしまっていて厳密性に欠けています。
仮に無限回の演算が絡んで収束していないものをxとおいて何らかの処理を施すとおかしな結果が出てくることがあるので一般的にはやってはいけません。
例えば、S=1-1+1-1+1-1+....とおくとSは収束しないことが知られていますが、
S= 1-1+1-1+.....
-S= -1+1-1+......
となりS-(-S)=1より、S=1/2で、Sが収束しないのに値を持ってしまい、おかしな現象が起こってしまいます。
たくさんの事例を試すしかないと思います。科学類は全て仮定を作り、多くの事例を試して行く中で判例を見つけることで問題を解いてきました。判例が見つからなければ一般化、見つければ、今までなんで合ってたのか、なんで今回ダメだったのかを調べ、考え続けるのが醍醐味だと思ってます。
今回で、収束するか分かっていないものを定数として置けないことがわかったと思うので、次解く時に覚えてたら十分すごいと思います。
青チャートにおんなじ問題あったのを思い出した
高校生の頃、一般化した場合のx^x^x^x…が収束する範囲求めようとして上限だけ求めて挫折してたけど、合ってたんだ！！あの時の俺ナイス！
答え合わせ出来ない環境で答えにたどり着いたオイラーには負けたな
@@user-hg2id9ml5q 勝てるわけなかろうて！！
この手の話には必ずネイピアくるよな
どっかの時点で「2」が肩にのってくれれば数値はバシッと2になるのに・・・、と考えながらルート2の連続を眺めてるイメージ。
あるいは、遥か無限遠にある「2」が、無限に並んだルート2を吸収しながら向かってくるイメージかな。
こっちくんな、の世界観
3の3の3乗 ではなくて3の3の3乗乗 が正しい読み方だと思います。
収束しないとだめだから特性方程式のときanとan+1をxにおいて考えるの本当はやったらあかんかったのか
√3の場合にはどうなるんだろうと思ったら、既にオイラーが収束する範囲を証明していたというね。本当にオイラーは天才だわ。
それな、オイラ天才
@@user-tj2sl6fj7e お前じゃねぇよ笑
それを言うなら「レオン」！
オイレル（ドイツ読み）は家名
@@user-tj2sl6fj7e おもしろすぎwww
その場合は√3じゃなくて3の三乗根じゃないと上限を示せなくなるからね、同様に1以上のxのx乗根について示せると考えれば最後のオイラーみたいに上限ももとめられるよ