トポロジーの舞台「位相空間」とは？
![Masaki Koga [数学解説]](http://yt3.ggpht.com/iS7yH2FXiUzPK9lxif6LZbtrxwlWeUWrpKuQc76MyOq_5YG7C5y9jPoZiw4Od2nmFYjSLRf9PTM=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
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- Опубликовано: 25 июл 2024
- 『数学の世界地図』（KADOKAWA, 2023年6月発売）
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00:00 はじめに
2:23 距離空間とは
8:00 位相空間とは
16:53 位相空間と連続
18:49 終わりに
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【訂正補足】
はじめの板書における「定義」
このような性質をもつ関数dを備えた集合を、距離空間と言います。
お詫びして補足します。
😮😮❤😅 15:31 15:31
みんな大学の数学でイプシロンデルタが出てきて高校数学とは異次元になっただの、線形代数は何の役に立つのか分からなくて付いていけなくなっただの、位相空間になって訳分からなくなっただの、同じようなことを並べ立てる。内容が難しいというより慣れの問題な気がするけどね。慣れるまでに次の単元に行くから内容が難しかったことにされる悲しい悲しい数学。
本も話も分かりやすい。連続性についてのさらに掘り下げた解説も期待しています。
位相さえ分かってしまえば、幾何とか解析がずっと面白くなるんだよな
いつも動画楽しませてもらっています。
世界地図のサイン本予約しました！
到着が楽しみです♪
なんて分かりやすい説明なんだろう。
非ユークリッド幾何学についても解説してほしいです！
地理の比喩で言うと近傍は「所属地域」みたいなものなんですかね。三重は近畿に属して中部にも属する、みたいな。
どの数学を専門に学べばよいか迷っていましたが、「数学の世界地図」を感謝しながら読んでおります。
高校で超優秀だった人が大学数学の最初わけわからなくて諦めて、でも一念発起して修士博士と進んだ、或いは数学研究者になったと言う話を聞くと、大学数学が最初わけわからないのは普通で、問題は自分がそこからどうするかなんだと勇気が出ますね
この辺の話は経済学で必須なので位相空間論に出てくる概念を解説した動画は増えてほしい。特に理論経済学専攻じゃない経済学生が定義だけをサラッと掴むために勧められる動画のバリエーションが増えると助かる。経済学の教科書や論文を読んでいて急にハウスドルフ空間を仮定されて「なんでこんな仮定するの？」と思いながらなんとなく読み進めてしまっている経済学部生、多そうだし。
戦後の数学者は、定義を拡張しておきながら、「広義の距離」と言わずに「距離」と言って開き直るクセがある。そして、他分野の人間が躓くのを見てほくそ笑む悪いクセがある。
これを直さないと、ますます予算を削られる。
近傍は、neighborhoodの訳が悪く、トポロジーは近さの概念だと嘯く数学科の学生が、京大理学部数学科にもいた。
ドイツ語のUmgebung（取り囲み）のほうが分かりやすい。
近傍の定義の最後の項目は、｢境界上に東京駅があるときは近傍とは呼ばない｣というのと関係しているのかな
数学科に入り、位相空間論に入り全くついていけなくなった思い出。
単位は取れましたか？
@@aa-js5tq
どうやって単位取れたか覚えてないですが、何とかギリギリ60点評定でしたw
@@enmako6827
それは何よりですw
自分は現在進行で位相空間苦しんでます😇
最初の定義、これに何か足したら距離空間になるの？
説明不足ですね。
このような関数dを備えた集合を、距離空間と言います。
お詫びして補足します。
@@MasakiKoga 距離空間には暗黙に近傍かどうか関数も備わっているのですか？
@@user-mv6de3sc8g
近傍かどうか関数はちょっと分かりませんが
距離空間での近傍は Nはxの近傍⇔Nの内部(Nに包まれる最大の開集合)がxを含む として定義されます
そしてこの距離空間における近傍は位相空間の紹介に使われたあの3つの性質を満たします
なので距離空間は自然に位相空間となります
ちなみに距離空間における開集合とは縁(境界)の全くない集合のことです
たとえば絶対値によるユークリッド距離d1が入った数直線の距離空間(R,d1)においては、開区間やその合併、数直線などが開集合となります(数直線に縁はないですよね)
点xを含む開集合は自然にxの近傍となります
これは距離空間においてはOが開集合であることが内部O^iとO自身が等しいこととして定義されるためです(循環論法じゃないか？→安心してください 距離空間における内部には開集合を用いない別の定義があります)
@@emmc4481 解説ありがとうございます。
やはり元の問題意識を共有していないと、基礎付けの説明の中に天下りの概念がいっぱい出てきたりして何がしたいのか分からない的な難しさがありますね。
距離空間から「基数的距離」を取り除いて順番（序数）だけにした空間、という理解ではだめなのか？
『位相一貫性』が必要とされる固定資産税における画地課税について解説を御願いします。地目が山林の筆の平らな部分(宅地の近傍)を一連の宅地として評価され、大損しました😢
「近い範囲」というより、「繋がっている（separableではない）範囲」のほうが分かり易いと思います。
最後の説明ちょっと間違っていませんか？
ある点xの近傍を連続写像fで送ったらf(x)の近傍になるとは限りません。
f(x)の近傍の逆像がxの近傍になります。
この定義だと距離は負になることもあるってこと?
三角不等式でR=Pとしてみると、距離は非負となることが示されると思います！
@@sinxcosxtanx
納得です！ありがとうございます.
これは数学版予備ノリが誕生しそうな予感
ホモロジーの計算大変だったな🥺
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