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網友提供的大家可以去看一下還有另一個作法，可參考：柯西不等式的推廣 ─ 梁順豪，國立政治大學 應用數學系。另外當年考出來之後，激發一些學生做了科展，也可參考：第24屆--民國73年 數學科 第三名 嘉義女中 作者 吳素幸、林怡君、林溫慧。
我的留言能被老師置頂，倍感榮幸。
@@小豆-z4x 感謝您拓寬了我們的視野，提升了我們的格局與層次，獲益良多。❤️❤️❤️
科學教育月刊 第214期 第19~20頁例題3 出版日期民國八十七年十一月
老師的解答既符合課綱，又簡單明瞭，也不須用到微積分或廣義柯西。厲害。
數學底蘊好的老師才會願意思考這樣的脈絡。
沒有跟到3年前李祥老師和張旭老師的影片，上次意外點進老師解的影片，當下也跟著一起想怎麼解，結果沒有想出來，等到最後公布答案時也嚇了一跳，也想說:「這樣解法是不是怪怪的?」才又看到這部影片。現在的老師不論補習班還是學校，在教"算幾"和"柯西"時都沒有時候都沒有特別提到這種問題，包括自己近些年在教時也沒有再特別提，主要原因除了進度外，還有現在主要的考題都有避開這類的問題(當然還是有失算的時候，像我記得112的模考就有此類陷阱)佩服老師能想到這麼好的解法
這題真正的解法是猜or跳過，意義在於讓學生明白棄車保帥的重要性
老師的這個想法很不錯，算是另劈蹊徑了，是網路上之前都沒看過的解法，厲害。不過我覺得最優美最好懂的還是這樣做，給各位參考:柯西: (x1^2 + y1^2)(x2^2 + y2^2) >= (x1x2 + y1y2)^2。當 x1, y1, x2, y2 > 0 時，√ x1, √ y1, √ x2, √ y2有柯西不等式: (x1 + y1)(x2 + y2) >= (√ (x1x2) + √( y1y2))^2。推廣至三維空間 (證明寫不下，但我相信你可以接受xd):當 x1, y1, x2, y2, x3, y3 > 0 時， (x1 + y1)(x2 + y2)(x3 + y3) >= ((x1x2x3)^(1/3) + (y1y2y3)^(1/3))^3。回到這題，已知sin^2+cos^2=1，求2/sin+3/cos的最小值。(sin^2 + cos^2)(2/sin + 3/cos)(2/sin + 3/cos) >= ((4)^(1/3) + (9)^(1/3))^3，即(2/sin + 3/cos)^2 >= ((4)^(1/3) + (9)^(1/3))^3，
這是李祥的作法,廣義柯西,但他已說得清楚,超出課綱
@@iron33heart 我又不是高中生😏
很難想像 考這個 不管任何方法 都不好做
@@shaqshock 您好我是頻道編輯李翰老師的想法是既然現在介紹給學生看這一題身為老師應該要負責任用現在課綱的方式盡力把它解出來以身作責展現對數學的熱愛及研究的精神希望學生可以對他們現在所學的數學有些另類的啟發❤️
沒有學過拉格朗日均值法確實都不好做
哈哈李老師花了時間想出了一套很有創意的做法，真的很有意思。玩基礎數學就是要這樣玩才有意思。我的話是會直接用拉格朗日乘數法去做，當然極值定理是最佳的，但就像這老師説的畢竟高中不教微積分。我是覺得台灣高中應該也跟美國一樣設有AP微積分班給想學數學的同學去學，免得三年一直都在學基礎數學。李老師要不要也想想用有創意的方式去寫出畢達哥拉斯定理的證明？之前有美國高中生運用了三角函數的方法給出了新的證明就網路紅了。老師也可以試試。
72年的那一屆，有教過柯西不等式76年的那一屆，有教過三角函數的微分與積分
直接用柯西定理(sin²θ + cos²θ) * [(√(2/sinθ))² + (√(3/cosθ))²] ≥ [sinθ * √(2/sinθ) + cosθ * √3/cosθ)]²等號成立當 sinθ = √(2/sinθ) 和 cosθ = √(3/cosθ)所以 sin³θ = 2 和 cos³θ = 3 ==> tan³θ = 2/3 ==> tanθ = ∛(2/3)所以 sinθ = ∛4 / √(∛4 + ∛9) 和 cosθ = ∛9 / √(∛4 + ∛9)把 sinθ 和 cosθ 的值帶入原式得到其最小值
sin³θ=2與cos³θ=3不會同時發生事實上柯西不等式不能這樣用你這只能確定等式相等發生在什麼時候 但是等號右邊會隨著θ改變而改變 更簡單的說 你如果不管等式右邊的話 我也可以寫成(2/sinθ+3/cosθ)(1+1)>=….等式發生在2/sinθ=3/cosθ但這顯然是錯誤的所以我們在用柯西不等是的時候 「通常」會把等號右邊湊成固定的數值算幾不等式也是一樣概念例如說 若x>0,求2x+1/x²的最小值為何？你如果用直接算幾 2x+1/x²>=2sqrt(2/x)等號成立在x=2^(1/3)但實際上做法是要用三項算幾(x+x+1/x^2)/3>=1因此最小值發生在x=1時 這樣
好方法，學習到了，謝謝老師。
這種連續的不等式應該要再做一下確認，事實上不等號最右邊 (或者說最下面)含有k的式子應該要進行二次函數配方，確定極值發生的點是否吻合，否則如果有一個地方沒有match，還是有可能會出問題 (當然配方完馬上就會發現k確實會跟老師解出來的值是一樣的)
我也是覺得仍有疑慮，不過不太懂右式哪個部分可以二次配方。我認為有疑慮的原因是，此解法並沒有討論到右式前面的2k，如果k代0，右式明顯會更小，此時原式究竟會怎樣並不是很明確。
@@ChangeStore 令x=根號k 這樣的話不等式的最後就是一個以x為變數的二次函數
@@黃彥翔-u2x而它的配方極值會跑出立方根？不太理解，係數只有平方根的二次函數，極值應該是不會有立方根(吧)
@@ChangeStore對耶感謝指正，我漏看老師算的是三次方根了，以為是二次方根，那可能真的要再研究一下了
@@ChangeStore此處k=tan，而sin不等於0，即tan也不可為0。
其實民國72年，還沒有大考中心。大考中心78年才成立的。
覺得要告訴學生等號成立的直覺是兩個向量linear dependent 也就是 u=\alpha v這個性質對應到原本參考解答的第二行我覺得原本參考解答沒問題 只是很明顯對高中生來說太難了他那個參考解答第一行不是用猜的 是要湊出sin^2+cos^2 我覺得很ok啊然後看到其他影片有提到廣義柯西公式那個東西其實本質上是holder inequality 總而言之 應該用向量的思維來思考等號成立的意義。以上分享拙見 😂
設題目原式為f(x)第一步設k為任意實數，構造g(x) = ksinx + cosx根據算幾不等式 得到f(x)*g(x) >= 2+3+2*(6k)^(1/2)。令(tana)^2 = 2/(3k) 此時f(a)*g(a) = 2+3+2*(6k)^(1/2)。上述等式在k為任意值都成立，現在a是k的函數因此可寫作a(k)。f(a(k))*g(a(k)) = 2+3+2*(6k)^(1/2)。要計算f(a(k))最小值，應讓(2+3+2*(6k)^(1/2)) / (g(a(k)))最小，而非只讓g(a(k))最大。
可惜這樣只證明了 2/sinθ + 3/cosθ ≥ ( 2k + 3 + 2 * (6k)^(1/2) ) / ( k^2 + 1 )^(1/2) 對任意正實數 k 成立（以及上述不等式在 k = tanθ = (2/3)^(1/3) 時等號成立）但仍舊要想方法證明不等式的右半在 k = (2/3)^(1/3) 剛好取到最大值 (←此敘述為真)這樣才能證明取到的 k 真的是最佳的撇除這個部分依舊得靠微積分解決之外，我覺得老師厲害的地方在於能用基礎的方法告訴大家為什麼立方根會出現
這樣已經證明完囉，我們可以思考討論
所以柯西裡面要消掉的不是sin cos就像老師講的比例問題，是要想辦法消掉分子的2跟3 然後湊出sin^2+cos^2=1的恆等式
如果換個想法可能就比較容易看得出來了(a+b)(c+d)>=(sqrt(ac)+sqrt(bd))^2對於正實數a, b, c, d這樣子可能會比較好想出來不過老師的解法很有趣 學到了
但是考題的配法是剛好要讓右式的結果為1，或者說等比例放大2、3…..的值也可，重點是正弦、餘弦的平方和是我們所知道的。也因此，這樣的比例其實是固定的，並沒有老師所述的疑慮欸？
是的 上一部可以看出來李老師執著於左邊湊出的兩數比例可能跟題目不一樣但是忽略了右邊是會因應湊法而一起改變的總之不同湊法解出的是不同不等式 各自都是正確的不等式 只要能湊出常數就各自有不同的成立點
用3項的柯西會簡單許多，但還是超出普通高中生想的到的範圍
李老師真強
解法真的不錯
兩坑道成90°相交，寬分別為2m與3m，求能通過轉角梯子之長度。
可以詳細說明嗎?
哇！你太有想像力了！這個鳥鳥的計算題，背後正是這樣的思維。一根細竹竿（或說是梯子）能通過90度轉角的最大長度。這個拿來考文組考生實在太折磨人了！甲組的可能也不能在考場時間內完成。
還缺一個參數：地面到天花板的距離“梯子”這個物體應該存在於三維空間當中
@@雨-w8y 文章在網路上看得到，已經是古老的文章了。
@@台北暴徒 所以要怎用這觀念解這題?
兩個作法都有疑慮
真的太麻煩了....佩服了 不過實際上應該會跳過
不等式右邊仍是一變數不是定值，可能還是要檢查右邊的式子是不是會有最大值跟左邊的最小值有吻合的可能
我是當年考生，這題我圖解，秒殺
這種題目都明寫求最小值，但有人證明自己求出來的下限是最小值嗎，除了少數幾種題型或用微積分求解
建議用疊合去算，再用未知數計算極大與極小值
好強喔~~我沒想到算幾不等式耶... 直接 -20 Q_Q
學數學的目的是？數學考試的作用是？台灣從國小到高中學了幾年數學？學了多少種類數學，出社會後能用到的有多少？如果思考邏輯是重點，考試的題目設計是為了？三角函數微積分，除了那些本科系每天會用到的人以外，誰會用到？唸到高中後來去做室內設計的人用不用得到三角函數？高中畢業後去學烹飪料理的人要用微積分？我高中唸自然組，我唸的科系除了統計學用到數學以外其餘都不用，也不是全部的數學內容都會用到，幾何學根本就沒在用，統計學要用什麼幾何？數學本身是一種工具，當你需要的時候再學，學了一堆工具，拿了滿手工具的意義在哪裡？每個人的興趣不同，壓頭式要大家學數學用數學分數比高低來選誰優先選科系的教育模式，是台灣錯誤的精英教育，苦果會慢慢浮現，當你找不到水電工跟油漆工的時候，你就知道你生活中最需要的不是數學。
這又不是數學的錯，要去室內設計跟烹飪的跑來唸高中幹嘛？事實是理工科系會一直用到數學啊，不考這些要怎麼篩選出學生，還是你有更好的方法？
@@Tom-hv9ht不用理他啦，他本身邏輯漏洞一堆
又沒人說你要學，自己不想學來湊什麼熱鬧?
78年前沒有大考中心耶，那詳解是誰寫的呢?FeSo4阿，有時候湊算式就是最好的詳解，在去看看學生怎麼寫就好，正常中央應該是這樣吧?
詳解誰寫的，當然是出題老師負責寫的呀。最早的聯考只是四所大學(台大、台灣師範學院(現在的台師大)、台中農學院(現在的中興大學)，台南工學院(現在的成功大學)的聯合招生，後來越來越多大專院校加入，變成大專聯考，除了大學還有三專，然後一路演進的。就看是輪到哪個學校主辦，就那個學校負責出題，所以問題不少。 我甚至懷疑很多題目是知道題目和答案再去湊過程的，只能說當時的詳解也只是出題老師提供的一種算法，學生或考生是很可能可以寫出更佳的算式，這我很同意喔。
詳解不是出題的人寫的
数学门外汉，看到这个又回忆起高中的噩梦。但老师教的很棒。✨👏
（a+b）（c+d）老師寫=ac+bd+ad+bc？這老師的順序真特別😂
0:59 你問的這個問題，我的回答是不知道。因為你沒證明你湊的（2/sin+3/cos)(sin+cos)發生最小值時，其中（2/sin+3/cos）也是最小值
這題是74年大學聯考社會組考題，不知道為什麼大家都說72年？當年另一題很震撼的數學歸納法題目，似乎沒看見它的蹤影
求題目
以前學測滿級分，現在出社會才沒幾年 就已經把數學還回去了🤣
請問一下，之前你們合作，有一題國外某大學考題，用有同物排列算法，求XY某項的係數，那個影片好像不見了，是下架了嗎?
@@tck1230 您好我是頻道編輯之前因為曹老師對我們很好幫我們把第二支和第三支片的影片縮圖標題說明都做好了正常來講應該放第二支片但是第二支片的標題曹老師下的太驚人了我們不敢直接用怕不好意思所以我們就挑一支模仿曹老師教導的方式製作影片之後曹老師建議我們按照順序上第二支就用那個標題沒有關係所以我們就暫時先把它下架之後會再重新上架敬請期待多謝關注謝謝您
我想問一下，我不能直接利用微分兩次判斷最小值的方式嗎？
三角函數的微分我記得大一上才教
@@baronyu29 喔~原來是制度問題
利用微分等於零，就可以很快得到答案啊
那個年代不存在質疑政府這個事.....你只要證明答案存在就好再質疑更多會很可怕
想不到現在高中沒教三角函數的微積分了。
這也是教人逆向工程。
@@回收-b2o 🤣🤣🤣
幹 這解法好猛
假設有m個sinx/(2/m)和n個cosx/(3/n)用「調和平均數」恆不大於「方均根」來解
想知道詳細作法!!
0:27 不太理解為什麼等式成立就是最少值
因為是大於等於呀，所以只有等於的時候，才有可能是最小值。
@@manbeings 可是左邊是兩個東西的乘積 等式成立只是代表乘積最少不代表題目要找的最少啊
@@boiii2148的確呢大考中心的答案並不嚴謹需要討論左邊兩項的關係假設左項x=2/sinT(theta) +3/sinT右項y=sin^5T/2 + cos^5T/3已知柯西不等式xy>=1考慮x與y的作圖關係，對y做x的倒數dy/dx=(dy/dT)/(dx/dT)=(5sin^4TcosT/2 - 5cos^4TsinT/3) / (-2cosT/sin^2T+3sinT/cos^2T)整理一下，提出公因數=(5/6)sinTcosT(3sin^3T-2cos^3T) / (1/sin^2Tcos^T)(-2cos^3T+3sin^3T)天啊，可以約掉=(5/6)sin^3Tcos^3T而且已知sinT>0 ,cosT>0得到結論dy/dx>0因此x,y圖形是一個嚴格增函數y的最小值，x的最小值，xy的最小值會出現在同一點也就是xy=1處得證突然發現既然我要用這麼難的微分來證明xy的關係乾脆直接對題目微分不就解完了嗎？😂
@@許博翔-w9o 所以說 到頭來還是要用微積分嗎🤣那當年考試的學生可以怎麼做我知道可以用微積分做呢 可是這樣就失去本來的意義了
@@許博翔-w9o是嚴謹的，柯西不等式是基於向量內積而來的，cos(x)
我看到還有人用赫爾德不等式 這題直接秒
我用微分=0算出很醜但是是對的答案。老師這個算法很強，給個讚!
本來找極值點就是變化率為0不知道這兩位在幹嘛，是在找速算法還是用其他方法？還是現在課綱沒有教微分？
@@xyzabc9527 因為兩位老師要用高1,2課程的方法解題
@@xyzabc9527 現在課綱沒有微積分~我們還是以前數學老師上課上完順便教的
@@xyzabc9527 就只有教多項式微分阿，你要用三角微分這題當然不難但就超綱了你是在優越啥
@@xyzabc9527沒有三角的微分
妙啊
還好...我畢業了
為什麼算幾不等式做不出來有什麼條件嗎a=b時 a+b有最小值2根號ab這樣算最小值是2根號13
a=b最小值就是圓心內的直角三角形最大面積的意思半徑是固定直才能這麼玩
想明白了沒有想不明白的話畫一下2/sin跟3/cos的圖形就懂了(a+b)/2>=(ab)^0.5算出來的是最大不是最小...雖然在第一象限左跟右都是正實數但是要使用算幾不等式你還要把他轉化成一二三四象限都是正實數的函數如果你有辦法的話...反正我是不行
這個稍微簡化=2根號13再乘以sin (x+cot^-1 1.5)/sin 2x這用肉眼就足以看出2根號13絕對不是最小值了
因為算幾的極值只保證等號成立不保證最小值舉個例子0=8/3，等號的確成立但當我們帶入實際的最小值x=2時2>=0，等號不成立，但卻更小了所以說等號成立不代表最小值
@@許博翔-w9o 算幾...算的就是幾何平均唄四邊形面積=1，求的就是邊長和最小=4四邊形邊長和=4，求的就是面積最大=1幾何平均就是2囉三中做比較它不是最大的也不是最小的
高階數學早就沒有固定解法
喵的少看到條件第一象限(2/x+3)*(x^+1)^0.5=(3+2/x)[(x^2+1)^0.5]難怪怎麼算都沒有最小值
(3+2/x)[(x^2+1)^0.5]=(9x^2+12x+13+12/x+4/(x^2))^0.5d/dx (9x^2+12x+13+12/x+4/(x^2)=0反曲點=-2/3，(2/3)^(1/3) 排除負數x=(2/3)^(1/3)=0.87358...(3+2/x)[(x^2+1)^0.5]=7.02348....
服了 跟鬼一樣
3:55 不太懂
可以用sin和角＋疊合得知老師在3:55的結論
@@Eric-qt8uq能詳細一些嗎？
@@200-b8k 可以用柯西不等式來理解，如果想知道ksinθ+cosθ的最大值(k^2+1)[(sinθ)^2+(cosθ)^2]≧(ksinθ+cosθ)^2ksinθ+cosθ ≦ k^2+1此時等號成立的條件是k:1=sinθ:cosθ也可以利用和角公式假設 sinα=k/√(k^2+1), cosα=1/√(k^2+1)將ksinθ+cosθ整合成√(k^2+1)sin(α+θ)這個做法可以推廣到求asinθ+bcosθ的最大最小值
@@200-b8k就是疊合出來之後變成sqar (k^2+1)*(k/sqar(k^2+1)*sintheta+1/sqar(k^2+1)*costheta)=sqar(k^2+1)*sin(theta+x)求最大值要讓sin=1所以sintheta=k costheta=/1
@@200-b8k可以自己推推看 就知道為什麼了😊
微分😂
為什麼不直接用微分來求解呢?明明一個簡單的微分就解決的事情.............
因為沒教啊，會用當然可以用這就像你去跟小學生說為什麼不要用三角函數算三角形面積就好？不是不行，但程度還沒到就是不會嘛
要用現在的課綱範圍解題XD
網友提供的大家可以去看一下
還有另一個作法，可參考：柯西不等式的推廣 ─ 梁順豪，國立政治大學 應用數學系。另外當年考出來之後，激發一些學生做了科展，也可參考：第24屆--民國73年 數學科 第三名 嘉義女中 作者 吳素幸、林怡君、林溫慧。
我的留言能被老師置頂，倍感榮幸。
@@小豆-z4x 感謝您拓寬了我們的視野，提升了我們的格局與層次，獲益良多。❤️❤️❤️
科學教育月刊 第214期 第19~20頁例題3 出版日期民國八十七年十一月
老師的解答既符合課綱，又簡單明瞭，也不須用到微積分或廣義柯西。厲害。
數學底蘊好的老師才會願意思考這樣的脈絡。
沒有跟到3年前李祥老師和張旭老師的影片，上次意外點進老師解的影片，當下也跟著一起想怎麼解，結果沒有想出來，等到最後公布答案時也嚇了一跳，也想說:「這樣解法是不是怪怪的?」才又看到這部影片。
現在的老師不論補習班還是學校，在教"算幾"和"柯西"時都沒有時候都沒有特別提到這種問題，包括自己近些年在教時也沒有再特別提，主要原因除了進度外，還有現在主要的考題都有避開這類的問題(當然還是有失算的時候，像我記得112的模考就有此類陷阱)
佩服老師能想到這麼好的解法
這題真正的解法是猜or跳過，意義在於讓學生明白棄車保帥的重要性
老師的這個想法很不錯，算是另劈蹊徑了，是網路上之前都沒看過的解法，厲害。
不過我覺得最優美最好懂的還是這樣做，
給各位參考:
柯西: (x1^2 + y1^2)(x2^2 + y2^2) >= (x1x2 + y1y2)^2。
當 x1, y1, x2, y2 > 0 時，√ x1, √ y1, √ x2, √ y2有柯西不等式:
(x1 + y1)(x2 + y2) >= (√ (x1x2) + √( y1y2))^2。
推廣至三維空間 (證明寫不下，但我相信你可以接受xd):
當 x1, y1, x2, y2, x3, y3 > 0 時，
(x1 + y1)(x2 + y2)(x3 + y3) >= ((x1x2x3)^(1/3) + (y1y2y3)^(1/3))^3。
回到這題，
已知sin^2+cos^2=1，求2/sin+3/cos的最小值。
(sin^2 + cos^2)(2/sin + 3/cos)(2/sin + 3/cos) >= ((4)^(1/3) + (9)^(1/3))^3，
即(2/sin + 3/cos)^2 >= ((4)^(1/3) + (9)^(1/3))^3，
這是李祥的作法,廣義柯西,但他已說得清楚,超出課綱
@@iron33heart 我又不是高中生😏
很難想像 考這個 不管任何方法 都不好做
@@shaqshock 您好
我是頻道編輯
李翰老師的想法是既然現在介紹給學生看這一題
身為老師應該要負責任用現在課綱的方式盡力把它解出來
以身作責展現對數學的熱愛及研究的精神
希望學生可以對他們現在所學的數學有些另類的啟發❤️
沒有學過拉格朗日均值法確實都不好做
哈哈李老師花了時間想出了一套很有創意的做法，真的很有意思。玩基礎數學就是要這樣玩才有意思。我的話是會直接用拉格朗日乘數法去做，當然極值定理是最佳的，但就像這老師説的畢竟高中不教微積分。我是覺得台灣高中應該也跟美國一樣設有AP微積分班給想學數學的同學去學，免得三年一直都在學基礎數學。李老師要不要也想想用有創意的方式去寫出畢達哥拉斯定理的證明？之前有美國高中生運用了三角函數的方法給出了新的證明就網路紅了。老師也可以試試。
72年的那一屆，有教過柯西不等式
76年的那一屆，有教過三角函數的微分與積分
直接用柯西定理
(sin²θ + cos²θ) * [(√(2/sinθ))² + (√(3/cosθ))²] ≥ [sinθ * √(2/sinθ) + cosθ * √3/cosθ)]²
等號成立當 sinθ = √(2/sinθ) 和 cosθ = √(3/cosθ)
所以 sin³θ = 2 和 cos³θ = 3 ==> tan³θ = 2/3 ==> tanθ = ∛(2/3)
所以 sinθ = ∛4 / √(∛4 + ∛9) 和 cosθ = ∛9 / √(∛4 + ∛9)
把 sinθ 和 cosθ 的值帶入原式得到其最小值
sin³θ=2與cos³θ=3不會同時發生
事實上柯西不等式不能這樣用
你這只能確定等式相等發生在什麼時候 但是等號右邊會隨著θ改變而改變
更簡單的說 你如果不管等式右邊的話 我也可以寫成
(2/sinθ+3/cosθ)(1+1)>=….
等式發生在
2/sinθ=3/cosθ
但這顯然是錯誤的
所以我們在用柯西不等是的時候 「通常」會把等號右邊湊成固定的數值
算幾不等式也是一樣概念
例如說 若x>0,求2x+1/x²的最小值為何？
你如果用直接算幾
2x+1/x²>=2sqrt(2/x)
等號成立在x=2^(1/3)
但實際上做法是要用三項算幾
(x+x+1/x^2)/3>=1
因此最小值發生在x=1時 這樣
好方法，學習到了，謝謝老師。
這種連續的不等式應該要再做一下確認，事實上不等號最右邊 (或者說最下面)含有k的式子應該要進行二次函數配方，確定極值發生的點是否吻合，否則如果有一個地方沒有match，還是有可能會出問題 (當然配方完馬上就會發現k確實會跟老師解出來的值是一樣的)
我也是覺得仍有疑慮，不過不太懂右式哪個部分可以二次配方。
我認為有疑慮的原因是，此解法並沒有討論到右式前面的2k，如果k代0，右式明顯會更小，此時原式究竟會怎樣並不是很明確。
@@ChangeStore 令x=根號k 這樣的話不等式的最後就是一個以x為變數的二次函數
@@黃彥翔-u2x而它的配方極值會跑出立方根？不太理解，係數只有平方根的二次函數，極值應該是不會有立方根(吧)
@@ChangeStore對耶感謝指正，我漏看老師算的是三次方根了，以為是二次方根，那可能真的要再研究一下了
@@ChangeStore此處k=tan，而sin不等於0，即tan也不可為0。
其實民國72年，還沒有大考中心。大考中心78年才成立的。
覺得要告訴學生等號成立的直覺是兩個向量linear dependent 也就是 u=\alpha v
這個性質對應到原本參考解答的第二行
我覺得原本參考解答沒問題 只是很明顯對高中生來說太難了
他那個參考解答第一行不是用猜的 是要湊出sin^2+cos^2 我覺得很ok啊
然後看到其他影片有提到廣義柯西公式那個東西其實本質上是holder inequality
總而言之 應該用向量的思維來思考等號成立的意義。
以上分享拙見 😂
設題目原式為f(x)
第一步設k為任意實數，構造g(x) = ksinx + cosx
根據算幾不等式 得到f(x)*g(x) >= 2+3+2*(6k)^(1/2)。
令(tana)^2 = 2/(3k) 此時f(a)*g(a) = 2+3+2*(6k)^(1/2)。
上述等式在k為任意值都成立，現在a是k的函數因此可寫作a(k)。
f(a(k))*g(a(k)) = 2+3+2*(6k)^(1/2)。
要計算f(a(k))最小值，應讓(2+3+2*(6k)^(1/2)) / (g(a(k)))最小，而非只讓g(a(k))最大。
可惜這樣只證明了 2/sinθ + 3/cosθ ≥ ( 2k + 3 + 2 * (6k)^(1/2) ) / ( k^2 + 1 )^(1/2) 對任意正實數 k 成立
（以及上述不等式在 k = tanθ = (2/3)^(1/3) 時等號成立）
但仍舊要想方法證明不等式的右半在 k = (2/3)^(1/3) 剛好取到最大值 (←此敘述為真)
這樣才能證明取到的 k 真的是最佳的
撇除這個部分依舊得靠微積分解決之外，我覺得老師厲害的地方在於能用基礎的方法告訴大家為什麼立方根會出現
這樣已經證明完囉，我們可以思考討論
所以柯西裡面要消掉的不是sin cos就像老師講的比例問題，是要想辦法消掉分子的2跟3 然後湊出sin^2+cos^2=1的恆等式
如果換個想法
可能就比較容易看得出來了
(a+b)(c+d)>=(sqrt(ac)+sqrt(bd))^2
對於正實數a, b, c, d
這樣子可能會比較好想出來
不過老師的解法很有趣 學到了
但是考題的配法是剛好要讓右式的結果為1，或者說等比例放大2、3…..的值也可，重點是正弦、餘弦的平方和是我們所知道的。也因此，這樣的比例其實是固定的，並沒有老師所述的疑慮欸？
是的 上一部可以看出來李老師執著於左邊湊出的兩數比例可能跟題目不一樣
但是忽略了右邊是會因應湊法而一起改變的
總之不同湊法解出的是不同不等式 各自都是正確的不等式 只要能湊出常數就各自有不同的成立點
用3項的柯西會簡單許多，但還是超出普通高中生想的到的範圍
李老師真強
解法真的不錯
兩坑道成90°相交，寬分別為2m與3m，求能通過轉角梯子之長度。
可以詳細說明嗎?
哇！你太有想像力了！
這個鳥鳥的計算題，背後正是這樣的思維。一根細竹竿（或說是梯子）能通過90度轉角的最大長度。
這個拿來考文組考生實在太折磨人了！甲組的可能也不能在考場時間內完成。
還缺一個參數：地面到天花板的距離
“梯子”這個物體應該存在於三維空間當中
@@雨-w8y 文章在網路上看得到，已經是古老的文章了。
@@台北暴徒 所以要怎用這觀念解這題?
兩個作法都有疑慮
真的太麻煩了....佩服了 不過實際上應該會跳過
不等式右邊仍是一變數不是定值，可能還是要檢查右邊的式子是不是會有最大值跟左邊的最小值有吻合的可能
我是當年考生，這題我圖解，秒殺
這種題目都明寫求最小值，但有人證明自己求出來的下限是最小值嗎，除了少數幾種題型或用微積分求解
建議用疊合去算，再用未知數計算極大與極小值
好強喔~~
我沒想到算幾不等式耶... 直接 -20 Q_Q
學數學的目的是？數學考試的作用是？台灣從國小到高中學了幾年數學？學了多少種類數學，出社會後能用到的有多少？如果思考邏輯是重點，考試的題目設計是為了？三角函數微積分，除了那些本科系每天會用到的人以外，誰會用到？唸到高中後來去做室內設計的人用不用得到三角函數？高中畢業後去學烹飪料理的人要用微積分？我高中唸自然組，我唸的科系除了統計學用到數學以外其餘都不用，也不是全部的數學內容都會用到，幾何學根本就沒在用，統計學要用什麼幾何？數學本身是一種工具，當你需要的時候再學，學了一堆工具，拿了滿手工具的意義在哪裡？每個人的興趣不同，壓頭式要大家學數學用數學分數比高低來選誰優先選科系的教育模式，是台灣錯誤的精英教育，苦果會慢慢浮現，當你找不到水電工跟油漆工的時候，你就知道你生活中最需要的不是數學。
這又不是數學的錯，要去室內設計跟烹飪的跑來唸高中幹嘛？事實是理工科系會一直用到數學啊，不考這些要怎麼篩選出學生，還是你有更好的方法？
@@Tom-hv9ht不用理他啦，他本身邏輯漏洞一堆
又沒人說你要學，自己不想學來湊什麼熱鬧?
78年前沒有大考中心耶，那詳解是誰寫的呢?
FeSo4阿，有時候湊算式就是最好的詳解，在去看看學生怎麼寫就好，正常中央應該是這樣吧?
詳解誰寫的，當然是出題老師負責寫的呀。最早的聯考只是四所大學(台大、台灣師範學院(現在的台師大)、台中農學院(現在的中興大學)，台南工學院(現在的成功大學)的聯合招生，後來越來越多大專院校加入，變成大專聯考，除了大學還有三專，然後一路演進的。就看是輪到哪個學校主辦，就那個學校負責出題，所以問題不少。 我甚至懷疑很多題目是知道題目和答案再去湊過程的，只能說當時的詳解也只是出題老師提供的一種算法，學生或考生是很可能可以寫出更佳的算式，這我很同意喔。
詳解不是出題的人寫的
数学门外汉，看到这个又回忆起高中的噩梦。但老师教的很棒。✨👏
（a+b）（c+d）老師寫=ac+bd+ad+bc？這老師的順序真特別😂
0:59 你問的這個問題，我的回答是不知道。因為你沒證明你湊的（2/sin+3/cos)(sin+cos)發生最小值時，其中（2/sin+3/cos）也是最小值
這題是74年大學聯考社會組考題，不知道為什麼大家都說72年？當年另一題很震撼的數學歸納法題目，似乎沒看見它的蹤影
求題目
以前學測滿級分，現在出社會才沒幾年 就已經把數學還回去了🤣
請問一下，之前你們合作，有一題國外某大學考題，用有同物排列算法，求XY某項的係數，那個影片好像不見了，是下架了嗎?
@@tck1230 您好
我是頻道編輯
之前因為曹老師對我們很好
幫我們把第二支和第三支片的影片縮圖標題說明都做好了
正常來講應該放第二支片
但是第二支片的標題曹老師下的太驚人了
我們不敢直接用
怕不好意思
所以我們就挑一支模仿曹老師教導的方式製作影片
之後曹老師建議我們按照順序上
第二支就用那個標題沒有關係
所以我們就暫時先把它下架
之後會再重新上架
敬請期待
多謝關注
謝謝您
我想問一下，我不能直接利用微分兩次判斷最小值的方式嗎？
三角函數的微分我記得大一上才教
@@baronyu29 喔~原來是制度問題
利用微分等於零，就可以很快得到答案啊
那個年代不存在質疑政府這個事.....你只要證明答案存在就好
再質疑更多會很可怕
想不到現在高中沒教三角函數的微積分了。
這也是教人逆向工程。
@@回收-b2o 🤣🤣🤣
幹 這解法好猛
假設有m個sinx/(2/m)和n個cosx/(3/n)
用「調和平均數」恆不大於「方均根」來解
想知道詳細作法!!
0:27 不太理解為什麼等式成立就是最少值
因為是大於等於呀，所以只有等於的時候，才有可能是最小值。
@@manbeings 可是左邊是兩個東西的乘積 等式成立只是代表乘積最少不代表題目要找的最少啊
@@boiii2148的確呢
大考中心的答案並不嚴謹
需要討論左邊兩項的關係
假設
左項x=2/sinT(theta) +3/sinT
右項y=sin^5T/2 + cos^5T/3
已知柯西不等式xy>=1
考慮x與y的作圖關係，對y做x的倒數
dy/dx=(dy/dT)/(dx/dT)
=(5sin^4TcosT/2 - 5cos^4TsinT/3) / (-2cosT/sin^2T+3sinT/cos^2T)
整理一下，提出公因數
=(5/6)sinTcosT(3sin^3T-2cos^3T) / (1/sin^2Tcos^T)(-2cos^3T+3sin^3T)
天啊，可以約掉
=(5/6)sin^3Tcos^3T
而且已知sinT>0 ,cosT>0
得到結論dy/dx>0
因此x,y圖形是一個嚴格增函數
y的最小值，x的最小值，xy的最小值會出現在同一點
也就是xy=1處
得證
突然發現
既然我要用這麼難的微分來證明xy的關係
乾脆直接對題目微分不就解完了嗎？😂
@@許博翔-w9o 所以說 到頭來還是要用微積分嗎🤣
那當年考試的學生可以怎麼做
我知道可以用微積分做呢 可是這樣就失去本來的意義了
@@許博翔-w9o是嚴謹的，柯西不等式是基於向量內積而來的，cos(x)
我看到還有人用赫爾德不等式 這題直接秒
我用微分=0算出很醜但是是對的答案。老師這個算法很強，給個讚!
本來找極值點就是變化率為0
不知道這兩位在幹嘛，是在找速算法還是用其他方法？還是現在課綱沒有教微分？
@@xyzabc9527 因為兩位老師要用高1,2課程的方法解題
@@xyzabc9527 現在課綱沒有微積分~
我們還是以前數學老師上課上完順便教的
@@xyzabc9527
就只有教多項式微分阿，你要用三角微分這題當然不難但就超綱了你是在優越啥
@@xyzabc9527沒有三角的微分
妙啊
還好...我畢業了
為什麼算幾不等式做不出來
有什麼條件嗎
a=b時 a+b有最小值2根號ab
這樣算最小值是2根號13
a=b最小值就是圓心內的直角三角形最大面積的意思
半徑是固定直才能這麼玩
想明白了沒有
想不明白的話
畫一下2/sin跟3/cos的圖形就懂了
(a+b)/2>=(ab)^0.5
算出來的是最大不是最小...
雖然在第一象限左跟右都是正實數
但是要使用算幾不等式
你還要把他轉化成一二三四象限都是正實數的函數
如果你有辦法的話...
反正我是不行
這個稍微簡化=2根號13再乘以sin (x+cot^-1 1.5)/sin 2x
這用肉眼就足以看出2根號13絕對不是最小值了
因為算幾的極值只保證等號成立
不保證最小值
舉個例子
0=8/3，等號的確成立
但當我們帶入實際的最小值x=2時
2>=0，等號不成立，但卻更小了
所以說等號成立不代表最小值
@@許博翔-w9o 算幾...算的就是幾何平均唄
四邊形面積=1，求的就是邊長和最小=4
四邊形邊長和=4，求的就是面積最大=1
幾何平均就是2囉
三中做比較
它不是最大的
也不是最小的
高階數學早就沒有固定解法
喵的
少看到條件第一象限
(2/x+3)*(x^+1)^0.5=(3+2/x)[(x^2+1)^0.5]
難怪怎麼算都沒有最小值
(3+2/x)[(x^2+1)^0.5]=(9x^2+12x+13+12/x+4/(x^2))^0.5
d/dx (9x^2+12x+13+12/x+4/(x^2)=0
反曲點=-2/3，(2/3)^(1/3) 排除負數
x=(2/3)^(1/3)=0.87358...
(3+2/x)[(x^2+1)^0.5]=7.02348....
服了 跟鬼一樣
3:55 不太懂
可以用sin和角＋疊合得知老師在3:55的結論
@@Eric-qt8uq能詳細一些嗎？
@@200-b8k
可以用柯西不等式來理解，如果想知道ksinθ+cosθ的最大值
(k^2+1)[(sinθ)^2+(cosθ)^2]≧(ksinθ+cosθ)^2
ksinθ+cosθ ≦ k^2+1
此時等號成立的條件是k:1=sinθ:cosθ
也可以利用和角公式假設 sinα=k/√(k^2+1), cosα=1/√(k^2+1)
將ksinθ+cosθ整合成√(k^2+1)sin(α+θ)
這個做法可以推廣到求asinθ+bcosθ的最大最小值
@@200-b8k就是疊合出來之後變成sqar (k^2+1)*(k/sqar(k^2+1)*sintheta+1/sqar(k^2+1)*costheta)
=sqar(k^2+1)*sin(theta+x)
求最大值要讓sin=1
所以sintheta=k costheta=/1
@@200-b8k可以自己推推看 就知道為什麼了😊
微分😂
為什麼不直接用微分來求解呢?明明一個簡單的微分就解決的事情.............
因為沒教啊，會用當然可以用
這就像你去跟小學生說為什麼不要用三角函數算三角形面積就好？
不是不行，但程度還沒到就是不會嘛
要用現在的課綱範圍解題XD