This video did not mention that Bertrand Russell spent 1920 in China. At that time, China was dirt poor and in turmoil. He wrote the book “The problem of China” in which he also predicted the rise of China: “China, by her resources and her population, is capable of being the greatest Power in the world after the United States”.
Why in math, a thing must either be a member of a set or it is not. Why can't a thing be in a superposition of state where it has a 40% probability of being a member and 60% of not being a member? Similarly, why must a statement be either true or false? Why can't a statement be in a superposition of state where it has a 40% probability of being true and 60% of being false?
![Jack Harlow - Hello Miss Johnson [Official Music Video]](http://i.ytimg.com/vi/Q86_nlRoIGw/mqdefault.jpg)
兩件事：
● [悖論是巨著裡產生的]
其實羅素悖論就是羅素那本巨著留下的bug，沒記錯是第21章。 關於利用條件來描述 class這件事，即高中數學的 A={a| a的條件}，羅素沒有加以限制。導致這條 "上帝法則" 演變成掀起第三次數學危機的導火線。
● [數蘋果不是需要嚴格證明的理由]
很多人會說數蘋果數手指不能代表抽象加法，來說明需要嚴格的數學證明。我認為這種解釋是事後諸葛、馬後砲。 關於國中課本寫的交換律結合律，我在國一就是用數蘋果，長方體體積說服自己，還記成筆記。 所以這件事真正的癥結點在： 如何從經驗法則焠煉到邏輯推理。
● [1+1=2需要證明的真正理由]
追求嚴格證明這件事，到了1+1=2這裡已經是中後段，整個大project已經快要收尾了。 前面究竟發生什麼？ 主要是因為太難，又難騙流量，公眾號一般不講。 簡單來講是:
1) 傅利葉(Fourier)級數導致級數學出現一些奇奇怪怪的悖論，例如連續函數加一加就不連續了
2) 這些悖論加快了微積分嚴謹化的進程
3) 微積分嚴謹化依賴實數性質，那麼實數的嚴謹化呢？
4) 實數嚴謹了，但依賴有理數，那有理數的嚴謹化呢？
5) 倒退回了自然數，自然就要處理自然數的嚴謹化。
事情就是這麼的一個事情。
完整版說明見我頻道的社群頁面，晚點po文，也可能會忘記po。
卡
Ka
終究回歸到定義和要符合哪些運算性質，什麼ring啊fiield的就又一個個出來了
卡
敲碗。
這種人值得給他富有，因為他會使人們更加富有，不只在表面財富上面
如果他在意富有，那他就不會如此偉大；如果他不在意富有，那他內心的偉大就會讓沒必要富有
@@ZongChingLin_HippoeR 這個我明白，我意思是他富有了，他有資源去造就其他的人，教導更多人，讓世界不要變成現在這麽賤格垃圾！
@@blower05 猶太人目前的主流就只是另外一個希特勒
@@fgkor123 那些不是真猶太人，那是可薩汗人，希魔也是出自它們的，是羅富不齊可薩家族的爪牙
他的人生價值與他富不富有無關，至於他使社會富有這點他已經做到了
真的是偉人，不只是天才，還是悲天憫人的智者！
謝謝你讓我認識了羅素，一位有遠見的老師。
這集真的太精采了 真的不得不去佩服這位科學家的毅力
SB不知道自己是SB 因为知道了以后 就不再是sb了--《超级男孩》
「自知之明」並不等同於「智力」。
複雜簡單化是為了做好，簡單複雜化是為了做多。就像法規和合約弄的很複雜是為了利益。
複雜簡單化的結果是粗糙；簡單複雜化的結果是細緻。大道和小道都是太一，沒甚麼好的壞的，按情況用不同的手段吧
This video did not mention that Bertrand Russell spent 1920 in China. At that time, China was dirt poor and in turmoil. He wrote the book “The problem of China” in which he also predicted the rise of China: “China, by her resources and her population, is capable of being the greatest Power in the world after the United States”.
中國人站起來了，又躺下了，預言終就是預言。
很少出現理性與感性兼具又身體力行的的天才，一個人執著於教科書中的邏輯推演而泯滅良心，套用在生活中就容易成為奸雄；一個人執著於宗教教條而對現實視而不見，就容易成為邪教教主。人類生有左腦與右腦，然而社會常常逼迫人只能使用其中之一，導致違背人性的情況屢屢出現使人痛苦，然而高貴的心靈卻難以複製與傳遞，希望后世能繼承羅素的精神，愛好和平與理性吧
公理需要被質疑, 或是需要證明, 不止是因為要建構更鞏固的數學
而且還可能被應用在意想不到的情景
就像幾何學, 人類的世界是3維歐幾里得幾何
可是若果在其他幾何世界(如投影幾何, 雙曲幾何), 很多的"定理"都會失效
這時把公理應用到非歐幾何就有其必要性了
若果公理未被證明, 又如何無後顧之憂地看待非歐幾何這種不存在於現實世界的東西?
這可能只是理解其他世界的第一步
@@alexanfung 公理就是因為無法被證明，只好被迫當公理。非歐幾何跟平面幾何都是一樣普遍存在的（地球是圓的，不是平的，夠普遍了吧），只是目前已發展的數學知識就是只能透過不同的公理體系去建構。
1+1=2这个表达式中有四个数学符号，罗素花了大量的篇幅来定义它们，1+1=2是无需证明的，是被定义出来的。无论是提出问题“1+1=？”还是提出问题“请证明1+1=2”，提问者都应该给出这些数学符号的定义，比如说第一个表达式中新出现的符号？，应该是代表某个集合中的某个元素，这个集合需要前面所有的数学符号来定义。单纯提出类似的问题而没有定义这些符号，是没有意义的。数学就是被定义出来的。
罗素的数学体系对1的定义花费了290多页。1+1=2可以用皮亚诺公理来证明
數學是發現還是發明？如果是發明，眾所週知，數學是所有自然科學的基礎，那作為定義者的人為何能用他們所創造的東西去解釋自然中的一切？
@@自由至上-p9n 当我们说1，+，=，2这些符号需要定义的时候，已经不存在皮亚诺公理了，我们可以称之为皮亚诺定义，比如说它定义了一个自然数，这个自然数不是任何自然数的后继数，用符号0来表示。我们还可以定义一个说粗口（+，=，自然数编码的文字），这个定义中，加号前面的1代表编码文字“我”，加号后面的1代表另一组编码文字中的“操”，这里不需要交换律。当谈到数学符号的定义时，有太多太多的方法写出这个表达式了。
@@衛生紙-e5k 我有限的了解我觉得绝大部分数学是发明的。这里讨论的数学原理这部书，是打算重新“发明”所有的数学。至于“那作为定义者……”，我不知道哪个定义能解释一切，这个结论是你自己凭空臆造的吧？我不认为哪个严肃的定义者认为自己的定义能解释一切。罗素自己在写数学原理时也被罗素悖论折磨得死去活来。
那些是原子概念，只能通过公理形式来定义
感謝天才簡史的教導！謝謝您！
同樣是人類，這些天才窮盡了自己所有潛能去過一生，而一般人一生都活在無知和困惑當中，到死都不知道自己的潛能在何方
己達而達人。
既特斯拉之後 羅素是讓我豎起大姆指 萬分感佩 為世人所做的努力與貢獻的名人❤
數系 Z2 裡1+1=0，這個是大學代數學基本的內容。電腦科系學生可能也有機會從離散數學學到。所以沒有1+1一定要等於2這個說法。要看你指那個數系。自然數有他的公設系統 這個系統裡1+1等於2是其中一條。+1是後繼者。2就是1的後繼者名字。按年代來說這套公設有0開始也有1開始的版本。只是目前邏輯/集合論教材常常會以0當自然數開始。出了這堂課 數學系的學生會自動把自然數從1開始算。畢竟除了搞數理邏輯或集合論的學者 0當自然數的習慣幾乎少見。
大學集合論裡有一套辦法重新寫出這個公設 不過那套語言0是{} 1是{{}}…。這個搞法有沒有比較高尚？我一開始學的時候覺得酷 但後來覺得不會幫我們了解更多數學。整個人生那個說法就在集合論課堂用過那一次而已。
羅素說數學是邏輯分支這種說法 現在數學家贊成的不多。不能因為數學推導要邏輯就這麼說。你問專業統計學家統計是不是數學 一堆會反對。你問物理是不是數學分支 物理學家會覺得你太自大。這些可是一堆數學推導 甚至一堆數學證明的學科。
二进制忽悠十进制。
還記得在台大上呂學一老師的集合論的時候，第一堂課就聊了ZFC的幾大公理，呂老師說，這些公理你就把他當成天條，天生就是對的，但在學期末的最後幾堂課，
呂老師就問了一句，你們有質疑過公理嗎? 當時的我還一臉狐疑，他不就是天條嗎???為什麼還要質疑，呂老師就開始教起了 集合論版的1+1=2 以及為什麼要證明1+1=2 的來由，以及公理為何是公理的原由，實際怎麼證的我已經忘得差不多了，但其中的邏輯性以及哲學性到現在都還記的一清二楚
不分享一下?
用數蘋果的方法證明 1+1 = 2。這是實驗證明不是邏輯證明。實驗都是有限的枚舉，不具有普遍性。而邏輯證明具有普遍性。中國人長於實驗科學而短于邏輯科學。
用皮亚诺公理可以证明
前面的所有論述並不能推導出
「中國人長於實驗科學而短于邏輯科學」這個結論
你的邏輯科學能力還需加強
主要還是近兩百年來朝代動盪不安吧，當時人能吃飽活命都不容易了，能接觸到數學理論的人少之又少。
西方教育也是數蘋果😂
实践是检验真理的唯一标准，既然实验已经证明了，那逻辑证明就多此一举了，没必要，如果你还拘泥于逻辑证明？那就是故弄玄虚、把简单问题复杂化了，不符合奥卡姆剃刀原理。
致敬 问心无愧
這個人 做的事 過三十年後 大家剖發現他是對的
是現代的先知
四十年前大學數理系入學考"請證明1+1=2"當時的數理系人才濟濟每個都是菁英
如今大學數理系我們不考1+1=2這種小學生問題給我背好了公式來考試就好了.所以現在的數理系學生除了考試甚麼都不會
哪間
一盞明燈
日久彌新
真知灼見
實至名歸❤
太厲害了，能夠逆流向上公開批評時政，即使高齡被關被告也依然如此，而且論點和證據都有理有據，這世界多少人能而且會這樣做呢？
好幸福，能這樣無憂無慮做研究。
時代配不上這樣的聖人，甚至現今也不保証容的下他高尚的思想
其實早就數學危機了 現在的數學危機是幾何跟代數之間的問題，而且數學已經不夠用了
N年以前, 我就認為1+1=2, 是不需要證明的. 因為那是定義出來的!!!
假如一個小小孩看到如下的筷子排列: I, II, III, IIII, IIIII, 他會看到一個比一個多.
如果我們教他, 最前面的I, 叫做1, 後面的II, 叫做3, 再後面的III, 叫做2,....這是定義階段
如果我們所處的世界都是這樣的, 那麼在數學上, 1+1就等於3, 而1+3就等於2
所以以上就是由定義1以後, 接下來的自然數的後繼元素的定義了, 及導入數學的計算運做了.
那之後的4,5,6也是被後繼定義下去的, 按理說一直定義下去就有非常多, 所以就發明了進數制進位.
例如常見的10進位, 所以定義到9之后就變成10了...
以上就是我腦洞大開的想法....
這才是真正的偉人
什麼牛頓、愛迪生
長大後才發現這些人只能說是學者而已
不只天才，更是大善之人
哲人日已遠，典型在夙昔~
好敬佩這位偉大哲學家
呢個問題曾經有一排係網上經常有人講.好多人變左「數學家」，其實1+1=2只係一條好簡單既算式，只係呢位數學家用呢條算式去做數學研究.係未有數字、數學符號同埋算式出現之前.人類唔知點去表達一堆物件既多與少.所以開始有數字.例如我有一條魚.我去河邊又捉一條魚.放埋一齊.我可以同人講我有兩條魚.就係咁簡單.唔通係有"1","2","+"出現時已經有大量既數學理論咩?
簡直是天神下凡
不要说她那么玄乎！ 就是一个词！良知！问题是世人基本无良心
人當然都有良心，但怎麼實踐才是困擾眾人的
因為實踐時，早遇到的打擊有可能是會滅性的，這個恐懼才是束縛我們的源頭
是"建構"，不是"證明"！1+1=2不需要證明，但它需要建構。現代數學特殊的地方是建構，這就是弗雷格、羅素、皮亞諾、哈斯卡爾、邱奇這些數學在20世紀做的事情
6:03 羅素悖論的表示嚴重錯誤，說明作者根本不理解羅素悖論。
「理發師說：我只給不給自己刮臉的人刮臉。那麼理發師要不給給自己刮臉呢？」
回答：不給自己刮。因為理發師並沒有說他要給所有符合條件的人刮臉。
罗素悖论的特点，跟函数中的映射很像，我初中就说过对家教，真是映像，可是参照物问题就是这个对于映像和真实的考论
不是！是因为集合论中的概括原则造成的
😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊p p 00😊😊😊😊0😊😊😊😊
印像中, 這個好像是 數學系教授 在對 數學系新生 下馬威 其中之一的問題.., 証明 1+1=2
因為年輕時, 常聽到 剛進數學系的一些友人 在那邊講..
真正的善人
1+1的意思是两个素数相加，这里的1表示素数的意思；=2的意思是“之和”为偶数，这里的2泛指“偶数”；1+1=2的完整意思就是“任意一个偶数(>2的偶数)都是两个素数（质数）之和。这就是著名的“哥德巴赫猜想”。
想請問一下，如果素數是質數的意思，那1為什麼會是素數？因為最小的質數應該是2
歌德巴赫猜想應該有限制任何大於等於4的偶數才會有喔 因為2+2=4
一個沒有被金錢和名聲捆綁的自由人。
对数学的热爱还是没能熬过冷门科系 梦想终究败给了生活
Why in math, a thing must either be a member of a set or it is not. Why can't a thing be in a superposition of state where it has a 40% probability of being a member and 60% of not being a member?
Similarly, why must a statement be either true or false? Why can't a statement be in a superposition of state where it has a 40% probability of being true and 60% of being false?
這是一個聖人，超越了時代太多，不是先知，也是先知。
1+1=2的問題：1+0!=2，1+1!=2，為什麼會有兩種數學寫法？而1+2!=3，1+2=3卻只有單一質數2計算！
(1)1+2=3和1+2!=3，階乘集合2!數值和質數集合2數值的交集，只有2而已。
(2)1+0!=2和1+1!=2，只有階乘集合0!和1!數值1，但是數值1不屬於質數集合範疇。
(3)請問：1+(1/2)!=多少？
(4)現在0!=1是被定義出來的，所以論述1+0!=2也是定義出來也沒什麼錯，只是1+1!=2，階乘集合對應問題就浮現了！
(5)A≡{0!,1!,(1/2)!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,...}，B≡{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,...}，2!=2x1=2，A∩B={2}；{ }表數學集合符號。
知行合一~半个圣人~
罗素并非总是对的，恰恰相反，他一身都在更改自己的观点，与时俱进。他的伟大就像古希腊的苏格拉底，恰恰是建立在承认自身的缺陷和无知之上的那种不断的进步。这个视频更像是在造神，没有一点罗素的精神和严谨的态度。
他說自己只是個“free thinker”
考試的時間不足1+1等於2，300頁的驗證
來不及寫完就下課了😅
為什麼古代中國科學不會去探討像這種比較基礎和深層的學理 ,而是僅研究出運用於實際面的自然法則
果然，優良的血統就是有差，天生就不平凡
是个概率问题，天才可以可以落在这一家，也可以落在其他家，比方牛顿、爱因斯坦、高斯等，都是平民出身。由于平民占绝大多数，故平民出生的天才也占绝大多数。罗素的家庭，也不是特高贵，就是勋爵子爵而已，其大部分后代都湮没无闻。若说高贵，有几个家庭比得过英国王室和大清爱新觉罗，但他们的后代再平凡不过了。
I + I = II
II + I = III
這都很容易被接受
但 II + III = V
我就投降了
至於 利用羅素的證明 是否能證明 2+9 =11
我覺得
命數的進位制 從來就不是"邏輯能規定的"
想知道羅素如果生在現在台灣會怎麼評論黨
1+1 =2验证了？陈景润1966年才证明1+2
有些人才真的是人類不配擁有的😢
我覺得應該改成 1+1=2 是如何被定義出來的 這樣比較符合 事實吧?
和平主义本身就是悖论，学术领域可以随时重建，而人类社会无法如此，学术上的一切的基础是真实明确，而社会的基本组成人类，人类的行为是不明确预知的
現象學的開創者，真的是偉人。
這影片好難, 底下評論許多條也很有意思, 從來沒想過這問題~
哈哈，1+1=2，這是我大一期中考考題，好懷念啊😂
請把展示羅素的名言的時間多加長幾秒，連按暫停的時間都不夠，一直倒回去很討厭！
我只知道：1+1=2 證明過程，高中生看不懂。
為什麼冰箱是櫃子 冰櫃是箱子
因為你不是香港人。
這種論文要是能夠看一下，可能會開悟。🤓
科學異類 真的讓他搞出了點東西
罗素悖论的确很牛逼。不过解决罗素悖论的哥德尔不完备定理更加恐怖。当你理解一点哥德尔不完备定理，就会明白，一切都毫无意义，包括宇宙。宇宙也是不完备的。
不完備不代表無意義，數學公理體系不完備，只是說無法創造完備的數學邏輯體系。但有意義的數學推理仍然是人類的智慧財產。
6:03 沒有「邏輯」才會這樣，所謂悖論的「後項」的「內涵」的「範圍」就已經排除其「前項」了，其「前項」的「層次」比較高，屬於「概念的概念」，因此實際以「後項」為主。
所以，這幾個「自我指涉悖論」都很可笑：
1.說謊者悖論：我說這句話的是假話。（表達「我真的」在「心虛說假話」。）
2.半費之訟：等第一場官司贏了再繳學費，學生不打官司，老師告學生。（不包括這一場「學生不打官司」的官司。）
3.理髮師悖論：理髮師為「不為自己刮鬍子的人」刮鬍子，理髮師該為自己刮鬍子嗎？（理髮師在「執業」時就已經排除「為自己刮鬍子」了，為「自己刮鬍子」的時候的「身分」是「私下」。）
4.書目悖論：一部書目只列出那些沒有必要列出自身的書目，那麼這部書目會列出自身嗎？（「沒有必要列出自身的書目」不包括自己。）
5.國王處刑悖論：一個國王說「講真話砍頭，講假話吊死」，犯人講「我會被吊死」，請問怎麼判？（說會被吊死，代表自認心虛講假話，就已經排除了代表講真話的砍頭了。）
伟大的人
我也在想，圓周率的問題....因為幾乎都是逼近法，是不是一開始就錯了?
大量運算無窮逼近真正的圓周率還是逼近而已，這就是最典型的經驗法則沒錯，
但那其實只是用來測電腦的實力而已不是認真要論證它，只是要測一段時間內電腦能算到第幾位這件事，
因為早有人證明出來它就是一個算不完且永不重複的無理數(不是用手硬算，是用其他數學工具論證)，本就給不出一個準確的完整數字。
@@JohnHsu-ln4ff 我想也是，畢竟就是圓心到外圓的路徑組成，算不盡的原因不就是因為 點可以無限小...
錯沒錯是不知怎麼說…換個方式說：圓周率要是能真正算出（完整）那麼…宇宙範圍就不會不知道了~
π是一個數列的極限（如果你用n邊形之類的方法做），如果他錯了那你要否定的是微積分不是否定π
偉人.. Respect
原来以前离散数学里的废论是他归类的
值得尊敬的人
偉大的人 對我這種小人物沒用 我只知道購物 找錢是否正確
如果共產黨能轉念，中國台灣都是自己人，放下武器，放棄軍備，放棄攻打台灣的心，我想習近平會成為世界上永遠的偉人，可惜，直的可習的貪與笨。
一個數學家怎麼會得文學獎的？
諾貝爾獎沒有數學獎
他算是哲學家哦，只是對於數學也有著極高的天賦，印證公式對他來說也是種哲學，他的著作包含各種哲學理論，數學著作只是其中一部分
其实1是被人为定义为代表1的，人为定义好的一个代号，如果不用1代表1可以用其他的代表，就像我说2这个符号以后用来代替1，其实这也不是不行啊。只要别人按我说的来，那就可以了。
第一个发明计数的古人在天之灵当场呕出一口老血
我觉得中国共产党该看看这个视频，放弃执政，还政于民
如果那麼容易 就不會是共產黨了
得過數學嘴高榮譽費爾茲獎的人數，美國第一，蘇聯第二。混沌現象的前身非線性動力學甚至是早在二戰時就已被蘇聯數學家所涉獵。數學成就跟政治制度沒有什麼關係
@@sherlocktsai7087*最高
我也不是很同意「中国共产党该看看这个视频，放弃执政，还政于民」，不過他說的應該不是因為羅素的數學家身分或地位，而是指羅素敢於逆流而行，批評時政。
有些人就是很讨厌,在正常地方也要扯政治,要说应该对美国说停止一切战争
1+1=2，1+1=1等到數學可以證明這輛個東西都存在的時候，那就是人類接近真理的時候了...
為什麼1滴水+1滴水等於1滴水
1. 10:58 「實現和平需要我們超越狹隘的民族、宗教和宗族觀念」很多國家在這個先決條件不斷使用教育，試著達到這個標準
如果沒辦法超越這些狹隘的觀念，就算民主了，還是會被操控，專制則是反過來利用教育加強這些東西
2 .在民主國家的人們，與其一直抱怨什麼資本家控制政治，你們倒不如想想，你們有沒有超越這些狹隘的觀念，如果沒有超越，被少數人控制是很正常
但是，民主國家有個好處是，你今天決定超越狹隘觀念，沒有人能阻止你，每個人都可以促進世界和平
2.在專制國家的人們，你們的教育可能是加強你們這些狹隘觀念，我希望你們能夠超越，如果沒辦法超越，那也沒有辦法
如果你成功超越了這些狹隘的觀念，我希望你能夠有能力來到民主國家，因為民主國家十分歡迎你們，你們能夠促進和平
3.這是世界的主流，也是羅素一生的志願，希望大家都能放下狹隘的觀念
歐美有些國家已經不管人的特質來僱用人，雖然可能難以想像，但是那些特質是不會影響他們工作的，也就是那些國家已經超越了部分狹隘的觀念
比起心知識更重要，心有偏見，知識只有分明的道理。
學論家對事物或理論的特別執著嗎？ 到好奇最初數學怎會把2念成二才對
2:10 ~ 2:15 這居然藏了歌名跟歌詞...太狠了...
真要說的話，1+1既等於2，同時1+1也不等於2，這兩個答案是同時存在的，我只需要10頁就能證明。
三一學院??!!，摁~檔案腦啟動~~~
好厲害
所以，所有白色都是白的、所有空的都是空的....
可惜沒有描述羅素是如何反對與抨擊共產主義! 其實他晚年發表最多,抨擊最多的就是共產主義了~
正确的
定義X定義。
這就是原則上的問題，答案就是消滅原則。
「最好的之一」悖論
大才至多大成 小才至多小成
羅素愛世人 我愛排骨便當
1 和2 以及 + = 这些必须有现实中的指代 才能让这个等式成立 因为本身1+1=2就是来源于现实 但1到底是什么抽象而来的 只有逻辑学可以把它讲清楚 从这点看逻辑学才是科学的爸爸
罗素会怎样评论当前俄罗斯对乌克兰发动的战争？
羅素先生 可是 諾貝爾文學獎得主
即便 出身富豪堅諾貝爾獎得主 移居美國
還是被 美國本土更強大的富豪 給送去老人看守所監禁幾個月
沒有力量的 哲學家 在富豪民主體制下的雅典
敢衝撞即得利益集團
也只能被定罪處死
我不反對 邏輯主義 推廣
但我更堅信 沒有 語言 與 直覺官感 為基礎 邏輯就只是 藝術品
羅素 不是專家 但訓練有素
我也想過這種悖論
數學家得諾貝爾文學獎，什麼大腦啊，慕了
本質其實是個哲學家，才有辦法將這麼多的哲學理論化作為文字傳達給世人，只是他對數學也有著極高的天賦，他終其一生都在探討著各式各樣的哲學，包含數學
最伟大的学者，神一般的存在！！！
人類發明數目字1,2,3,4……，2就是兩個1, 3就是3個1, 如此類推，1加1等如2是定義，是訂這遊戲的基礎，也是一個設計，真是不知道有什麼好証明，那麼，又如何用邏輯証明希特拉是邪惡的呢，不要說他做了邪惡的事，這就像一根手指和另外一根手指在一起就是有兩根手指，但不是的，要證明。
我理解1+1的先决条件是这两个 “1”是完全相等的。看你从哪个角度去理解。一个苹果+一个苹果=2个苹果，一个红苹果+一个绿苹果=一个红苹果+一个绿苹果。哈哈，我胡说的。我们所学都是某某人下的定义，加以权威们的认可，可能有一天我们发现，这都是错的。那才是人类新的突破。