這題算網紅題, 李祥,ruclips.net/video/G_mulUDYE3I/видео.html 張旭,ruclips.net/video/nWjlLjtVWKU/видео.html 李祥用廣義柯西,張旭是用微積分 在進階一點用拉格朗日乘數方式, 第一象限,t= sin x ,u= cos x , t^2 + u^2 =1,求 2/t +3/u極值
The minimal value of this function from the other hand is the max length of a segment which can pass "under the point" (3, 2) when we move its endpoints along x,y axes. It equals (2^(2/3) + 3^(2/3))^(3/2)
@@200-b8k this expression 2/sin(x) + 3/cos(x) gives us the length of a segment which passes exactly through point (3, 2) \in R^2 having an angle x with x-axes. But also each such segment has greater or equal length than every segment passing under the point (3, 2) since when the last one is closer to the coord-s. origin O when they are both parallel. Anyway, we can just take a derivative of 2/sin(x) + 3/cos(x) and so find its minimal value
Using the AM-GM inequality, 2/sinθ+3/cosθ ≥ 2√[(2/sinθ)(3/cosθ)] 2/sinθ+3/cosθ ≥ 2√[6/(sinθcosθ)] 2/sinθ+3/cosθ ≥2√[12/(2sinθcosθ)] 2/sinθ+3/cosθ ≥2√[12/sin2θ] If sin2θ is max for 0
![Jack Harlow - Hello Miss Johnson [Official Music Video]](http://i.ytimg.com/vi/Q86_nlRoIGw/mqdefault.jpg)
李翰老師使用現行課綱中的方法解出了這一題
大家可以參考看看ruclips.net/video/RmYzysNNJxg/видео.htmlsi=lP4Vp_QyVhRjXgv9
這題嚴格說起來在數學知識上考的不難，算是有些偏，在考試中，能保持冷靜大膽採取兩個變動向量內積成定量的方式填入柯西不等式，這才是真正的難度。也許那個年代，在柯西不等式上，有著大量的著墨，就像現在中國的高考，在柯西不等式也是花樣很多。
其實實際看題目沒有變的更難，而是因為補習班和各種額外的講義習題考古題，讓大家看過的題目比較多了
看過比較多題目確實數學直覺會變敏銳一點，但也一定程度剝奪了思考、推理和勇於大膽假設嘗試的過程
呈現真實解題 和 推敲過程 讚
以前 大家都超拚超認真的年代 已經經過錄取率3.4成的公立高中篩選。滿分100 數理成績還可以只有 均標20幾 高標30幾，可見當時 題目難度
考試在有限的時間內去解這種題目根本莫名其妙
還有另一個作法，可參考：柯西不等式的推廣 ─ 梁順豪，國立政治大學 應用數學系。另外當年考出來之後，激發一些學生做了科展，也可參考：第24屆--民國73年 數學科 第三名 嘉義女中 作者 吳素幸、林怡君、林溫慧。
@@小豆-z4x 您怎麼那麼專業
@@豬先生-x2u n年前練trml考古題遇到這一題,老師講古說當時考出來很多名師也不會。後來3年前李祥、張旭也在講解這一題,於是我就在網上找了一些資料,相當有趣。例如在數學傳播裡寫到當年聯考數學科問題多多,抄襲日本考題,數字都沒變動。
@@小豆-z4x 呵呵我前幾天也是看到李祥、張旭的舊影片，很有趣!
有思考邏輯的脈絡, 雖過程有錯, 但真實呈現. 老師仍然是很犀利!
這題真的不容易，要看到李翰老師苦思應該是非常難得的事XD
過了快 17 18 年還有幸能見到李翰老師解題的英姿...
有點感動 老師還是跟印象中一樣風趣 ☺
@@twandrew4818 有空記得回來找老師聊聊天喔❤️❤️❤️
best you tube format I have seen so far! thanks
真實呈現，李翰老師很棒❤❤❤
這題要用廣義的科西，三個括號相乘，還要三角函數的分數次方，答案還那麼難看，真的太難了，身為數學老師，還是得稱讚李翰老師不做假，思慮已經很縝密，方向也接近，真的直接按個讚
如果完全不使用微積分方式算,也不使用柯西不等式
sin1度=cos89度,sin2度=cos88度...以此類推到sin45度(sin pi/4 rad)=cos45度
2/sin1度=2/cos89度,3/cos1度,因為cos 89度3/cos1度
2/sin1度+3/cos1度=2/cos 89度+3/cos1度 驅近於2/cos89度
以此類推2/sin2度+3/cos2度 驅近於2/cos88度,因為cos88度>cos89度,所以2/cos89度>2/cos88度
度數越大值會越小
一直到sin45度=cos45度,2/sin45度=2/cos45度
2/sin45度+3/cos45度=2/cos45度+3/cos45度=5/cos45度 值約5*(根號2)約為7.071(5*根號2)為最小值
這是完全不使用微積分,也不使用柯西不等式的解法
?
@@grason0011 我的思考方式也是如此， 45度是最小值，單純用原題目的角度的限制條件來判定。固定係數的二和三，其實跟題目完全沒有關聯要考慮的只是兩個位於分母的sin 及 cos, 因為兩個彼此之間是類似互斥的關係，誰在角度趨近於零度或是90度的時候都會導致原題目的函數趨近於無窮大，我有當往中間靠也就是45度的時候會有最小值此時sin cos 均為 1/√2， 所以答案的最小值就是5 √2 約等於 7.07。
ChatGPT
答案應該是 7.07。
當我們使用數值計算和三角函數的分析方法（如選擇 A = \frac{\pi}{4}）時，我們得到了最小值約為 5\sqrt{2} \approx 7.07。這是更精確的答案，因為這個值是從理論分析中得到的。
之前計算出來的 7.02 是由於數值近似方法帶來的小誤差，因此不如 7.07 來得精確。
最終結論：在範圍 0 < A < \frac{\pi}{2} 內，表達式的最小值應為 5\sqrt{2} \approx 7.07。
這題算網紅題,
李祥,ruclips.net/video/G_mulUDYE3I/видео.html
張旭,ruclips.net/video/nWjlLjtVWKU/видео.html
李祥用廣義柯西,張旭是用微積分
在進階一點用拉格朗日乘數方式, 第一象限,t= sin x ,u= cos x , t^2 + u^2 =1,求 2/t +3/u極值
3:15 我那個時候真的頭腦不知道在想什麼 哈哈哈
老師是不是想說線性代數的3個向量圍成1個三角形那個方向😂
老師講的是三角不等式 ，其中a, b為向量
我最近想到了啦！我那時想的是a^2+b^2>=2ab 😄
你想成 AM-GM inequality 了。
來亂的
The minimal value of this function from the other hand is the max length of a segment which can pass "under the point" (3, 2) when we move its endpoints along x,y axes. It equals (2^(2/3) + 3^(2/3))^(3/2)
Well I can’t understand the logic in this lol
@@200-b8k this expression 2/sin(x) + 3/cos(x) gives us the length of a segment which passes exactly through point (3, 2) \in R^2 having an angle x with x-axes. But also each such segment has greater or equal length than every segment passing under the point (3, 2) since when the last one is closer to the coord-s. origin O when they are both parallel. Anyway, we can just take a derivative of 2/sin(x) + 3/cos(x) and so find its minimal value
Can you show the detail, I want to learn your method.
想說這題怎麼那麼眼熟，就想到李祥老師和張旭老師也解過，李祥老師是用廣義的柯西解，張旭老師用微分解
赫爾德不等式 有在接觸競賽的這題可以秒掉
我爹早年留日，他跟我提過以前台灣很多艱難的數學題目，有不少是從日本人那拿來的。他說他5、60年代唸中一中、清大碰到的許多超難題目，等去了日本，在書店翻閱一些高中的數學解題秘訣書，居然找到不少一樣的題目跟解法，並且書上標示的出題年代比台灣早個幾年。
這題是柯西不等式再配合sin cos 天生範圍就可以解出來了 by 20年前求學時期熱愛數學的人 QQ時光飛梭
0:43 Thread上面的解法真漂亮
柯西不等式都快背不起來了，根本忘記有等號成立時的比值會相等這件事
當年建中畢業，也無法保證每人都有大學上，很多人要重考，才有大學唸
建中考不上大學，少胡說八道神經病
可以使用廣義柯西，
令sinθ=A,sinθ=B
(A^3/3+B^3/3)^2*(sinθ^2*3/3+cosθ^2*3/3）≥（2^2/3+3^2/3）^3
sin²θ+cos²θ=1
可得出
(A+B)²≥（2^2/3+3^2/3）^3
A+B≥（2^2/3+3^2/3）^3/2
民國74年大學聯考社會組數學應該是史上最難，我是那年的考生，高標25分（當時的高標是指分數前50%考生的平均), 低標14分(當時的低標是所有考生的平均)
我也猜是74年那一年，數學大屠殺，血流成河，哀鴻遍野，之後再也沒人敢出那麼難的考題。畢竟聯考考的是鑑別考生程度，不是要考倒所有人。不論是上課或者補習，所有數學老師提到那一年的考題，都是恐嚇我們如果是那年考，你們就全完了。
其實真正難的是懂得如何把算式應用在真實的生活狀況中，並且能真實的解決生活中遇到的難題
數學課考試才幾分鐘啊，這些試題就是亂出，出題者自己都不能在第一次看到這題時能在3分鐘內解出來，找考生麻煩而已
在做什麼 你根本不懂
@@ChinaChinese1210只有三個人能答對的題有鑑別度嗎 學店仔可以閉嘴了 你連前五題能不能對兩題都有問題吧
Using the AM-GM inequality,
2/sinθ+3/cosθ ≥ 2√[(2/sinθ)(3/cosθ)]
2/sinθ+3/cosθ ≥ 2√[6/(sinθcosθ)]
2/sinθ+3/cosθ ≥2√[12/(2sinθcosθ)]
2/sinθ+3/cosθ ≥2√[12/sin2θ]
If sin2θ is max for 0
But 2/sin x ≠ 3/cos x when 2x=90°
等號不成立
驗過了沒
設原式=y
y'=(-2cos/sin^2)+(3sin/cos^2)
y'=0有極值
得tan=(2/3)^(1/3)
由上可得sin跟cos，帶入原式即可求解
PS：因極值只有一個，故此為min的機率較大
民83年自然組數學滿分路過😁
給各位參考，
柯西: (x1^2 + y1^2)(x2^2 + y2^2) >= (x1x2 + y1y2)^2。
當 x1, y1, x2, y2 > 0 時，√ x1, √ y1, √ x2, √ y2有柯西不等式:
(x1 + y1)(x2 + y2) >= (√ (x1x2) + √( y1y2))^2。
推廣至三維空間 (證明寫不下，但我相信你可以接受xd):
當 x1, y1, x2, y2, x3, y3 > 0 時，
(x1 + y1)(x2 + y2)(x3 + y3) >= ((x1x2x3)^(1/3) + (y1y2y3)^(1/3))^3。
回到這題，
已知sin^2+cos^2=1，求2/sin+3/cos的最小值。
(sin^2 + cos^2)(2/sin + 3/cos)(2/sin + 3/cos) >= ((4)^(1/3) + (9)^(1/3))^3，
即(2/sin + 3/cos)^2 >= ((4)^(1/3) + (9)^(1/3))^3，
因此2/sin + 3/cos >= ((4)^(1/3) + (9)^(1/3))^(3/2)。
高招！
這不是柯西不等式啦😂
留言區只能看得懂你的解法!!QQ
太神了，感謝大神分享🙏🙏
Since a=2/sintheta and b=3/cos2theta > 1, (a+b)^2 >= a^2 +b^2; use Cauchy inequality to find the min of (4/sin2theta + 9/cos2theta)
這題我們還沒有放棄：ruclips.net/video/C9MoFmbhtAQ/видео.html
這題的詳解很有問題，柯西等式成立的時候是f(x)*g(x)的最小值，而不保證是f(x)最小值，跟等號右邊是不是常數沒有關係。
民國72年當年如果有滿分的人 真是太神了~ 這題實在太花時間~
據說，當年只有3個學生做對
@@吳迪-m8k 你知道是誰嗎? 念出我的名字
@@哈哈是我啦-b3b 不知道，請指教。
@@吳迪-m8k他是在說毒師，不要理那個智障
當年的丁組（法商），也就是社會組（文組）數學，現在的數乙，考這種題目，實在有夠變態。
22:32 不等式左邊的第二個乘項又不是常數
為什麼等號成立等於第一個乘項是最小值？
這應該是這解法比較大的問題吧
有幸被高中老師考過這題
用的就是比例的方式再藉由tan去計算
（完全沒事先看過）
大概5-8分鐘可以寫出來
（但確實還是很變態..）
可以用廣義的柯西不等式去解哦 ( )( )( )大於等於( )^3 前面三個 ( ) 裡丟開三次方根
13’11“也给我一个灵感。构造一个角B。tanB =2/3. SinB=2/√13, cosB=3/√13..等式为√13 • sin(thera+B)/(1/2sin2theta)..theta 45° 极小。
前面的部分都OK，但是最小值不是theta=45° ，因爲分子也有theta。
9'14"就出来了呀。sin2t最大为1。所以最小为4√3
可以這樣看到想出來很厲害👍
我記得七十二年不知是自然或社會組, 數學高標二十多分.
知道以前聯考跟現在的差距了吧😮 民國71年數學系分數最低的靜宜應用數學系要267分 清華數學系341分 只差74分 那時候墊底的靜宜 考上的現在很多都當教授或開公司當老闆 連墊底的都那麼厲害 哪像現在學店大學生只有小學程度 上次遇到一個東吳商學院畢業的女生 跟她討論股票的時候 發現她連基本的會計名詞都不知道什麼意思😢 不知道怎麼畢業的?
令x=1/sin y=1/cos 變成2x+3y的最小值，
跳過….套句以前補習老師的說法這題是重考題或當兵題，做了就要去重考…….
算術平均數大於幾何平均數，所以兩個相乘開根號，分母就有sincos = (1/2) sin (2theta) 。
分母最大是1，theta =45度。然後就有答案了。
觀念錯誤，算幾不等式成立等號的條件是2／sinA和3／cosA相等
@@陳泓叡-r4d 啊！對對對對對。
畫(x,y)座標圖去看可能比較單純
x:角度；y:值
之前看到李祥在張旭的節目想這題想很久，我就覺得這題真的太狠了。
沒想到紅黑跟李翰老師也玩這題了🤣🤣🤣
經典的這題 李祥跟張旭有用不同算法算過 但是真的不好想
李祥也是用柯西
第一眼以為是李想和張濤
我是當年丁組的考生，依稀記得幾題，印象深刻是第一題考三角形的邊長和另外一題考極座標，這題目完全沒印象，應該是直接跳過做其他題目去了。
都是在背解題的流程，去應考而已...
還是社會組題目
我文組的！ 25年前海山國中推甄上海山高中部 接著聯考上台北大學！ （現在有人說柯西不等式好熟呀！但那是什麼 早就忘光了 😂
角度有限制,可以首用算幾不等式+正餘弦平方關係解?2根號13
5 √2。 直接用想的就解出來了。題目的限制條件相當於兩倍的Theda落在0及Pai 之間， Pai 相當於直徑為一的圓周長，即半徑為0.5的圓。再去推想這樣的圓只有在2Theda =45度時，題目的方程式會有最小值，此時sin 或cos會相等，都是1/根號2， 代入方程式則為5根號2。不必用微積分也不必用科西不等式。
你自己看看答案正確嗎
@@DrYu-np9wj
我沒有看到最後，所以我的答案是錯的嗎？不好意思。
重新再看了一遍，我覺得答案還是5 √2= 7.07
並且用ChatGPT請他以微積分及科西不等式計算，雖然值會更小，約7.02 ，但這是數值方法產生的進位差，ChatGPT的回應還是5 √2才是正確的數值
@@DrYu-np9wj 答案應該是 7.07。
當我們使用數值計算和三角函數的分析方法（如選擇 A = \frac{\pi}{4}）時，我們得到了最小值約為 5\sqrt{2} \approx 7.07。這是更精確的答案，因為這個值是從理論分析中得到的。
之前計算出來的 7.02 是由於數值近似方法帶來的小誤差，因此不如 7.07 來得精確。
最終結論：在範圍 0 < A < \frac{\pi}{2} 內，表達式的最小值應為 5\sqrt{2} \approx 7.07=~ 5 √2
ChatGPT
重新再看了一遍，我覺得答案還是5 √2= 7.07
民國75年大学联招数学科史上最難高標才38分。鐘声响起很多人哭著出教室
那年完全沒有選擇題。
但我找舊資料，那年似乎沒有很難。
民國68年社會組數學，低標12分，高標18分。
我直覺是二倍角加疊合?
Key : 如何消去變數 ? 得到定值 ? 恰好有哥西不等式 與 定值 1 可以用
let y=2/sin(x) + 3/cos(x), 然後 找dy/dx=0，最少值便能找出。 爲什麽不直接這樣處理？ 題目沒有説不可以...
對數學的熱情，不想只用微積分解
我同意 這種題型太偏了 我個人還是覺的要出就用題組的方式 給出應有的暗示 求級大級小值問題 現在正火的神經網路應用每天在用 很多問題根本沒有完美的closed-form解 所以需要很多GPU用gradient decent 去運算 有時用簡單且實用的方法 其實才是比較有用 說真的在解完這題後 到底學了什麼 有什麼應用？ 個人意見 不要噴我
那時候考試說不定微積分還不是必修（？
因為高中數學沒有教三角函數的微積分
看封面以為黃國昌在算數學題
我做出來ㄌ
這出在社會組怕不是題目印錯吧
根據均值不等式求解即可
要用廣亦的柯西
廣義柯西要先有賦距空間n-norm的概念，
這絕對不是高中生該學的內容，
不管是哪個年代...
當然，
如果只是把自己當成機器背下來用，
就沒有什麼該不該學的問題，
小學生也可以背高斯係數PI算子。
這題答案是5√2嗎？
這題看到求極值，馬上用微積分解，解完以後數字有夠醜，不太確定答案，72年考這種題目我覺得在整學生。
奇怪...我怎麼記得前幾天就有寫過八種解法
怎麼找不到
(sin²x+cos²x)( 2/sinx+3/cosx)²≥(2²+3²)³
萬能代換
還是買對股票比較重要~
還是文組的數學題目
用微分還是比較省事一點
let x= tan^2
2/sin +3/cos=2(1+tan^2 )^0.5+3(1+cot^2)^0.5=2(1+x)^0.5+3(1+1/x)^0.5
let d/dx 2(1+x)^0.5+3(1+1/x)^0.5=(x+1)^(-0.5)-1.5(1+1/x)^(-0.5)/x/x=0
x=-1，1.5^0.4 ===>x=1.5^0.4=1.16....
2/sin+3/cos=2(1+1.5^0.4)^0.5+3(1+1.5^(-0.4))^0.5=2.946....+4.08.....=7.02.....
早年大學聯考數學科的冷僻，可以從徐氏窺見一斑。
早期考試不是要考懂學生，是考倒
可以找俞克斌老師嗎？
他沒那麼強
可以找李永樂老師嗎？
@@鈞耀姜-w3s 怎說
@@鈞耀姜-w3s
你能告訴我何謂強嗎？
@@鈞耀姜-w3s 他滿強的吧
有沒有幾何的想法
It is pity of you students who have to prepare for this kind of questions only for entering college.
可不可以用微積分? 用微積分就可以找到 realtive minimum. 又快又不用浪費時間去想
找為什麼不找maximum
台灣有人括號唸ㄎㄨㄛˋㄏㄨˊ的嗎？
Tan（x) =（2/3)^（1/3）
中學生學口塞跟塞,大學生學露個跟弄.
cos sin,log ln
一畢子都用不到的東西, 除非要做數學老師, 做專題研究
40年前的大學確實不好考 !
最重要的是科西不等式的取等条件
所以說 為什麼不能用算幾🤔
算幾的前提是要為正數
題目提到的範圍都是正數~這不是不能用算幾的原因！
是因為算幾等號成立時：a = b 要成立
題目中如果讓兩個數相等，會跟算幾算出來的最小值不一樣
@@林筠浩 喔喔喔喔 謝謝
因為算幾不等式只能列式，解不出值。
在9:12最後讓等號成立的條件有2
1.(2/sinθ)=(3/cosθ)
2.sin2θ=1
這兩者不可能同時成立
因此不等式右邊的sin2θ會沒辦法取代掉
直接用微分等於0就可以解了吧？
理論上是這樣沒錯
有的人就是不會
常常看到理論大神在那邊說得好厲害
隨便拿它一條運算式來驗都是錯的
2/sin(θ) + 3/cos(θ) = (2cos(θ) + 3sin(θ)) / (sin(θ)cos(θ))
(2cos(θ) + 3sin(θ)) / (sin(θ)cos(θ)) = (2/cos(θ) + 3/sin(θ)) / (1)
(2/cos(θ) + 3/sin(θ)) / (1) ≥ 2√(2/cos(θ) * 3/sin(θ)) / (1)
= 2√(6) / (1)
= 2√(3)
d/dθ ((2cos(θ) + 3sin(θ)) / (sin(θ)cos(θ))) = 0
(-2sin(θ) + 3cos(θ)) / (sin(θ)cos(θ)) = 0
2/sin(π/6) + 3/cos(π/6) = 2√(3)
2√(3) = approximately 3.46.
求个岛不就行了
完全不会
這題柯P應該會 當年台大醫科的神人
柯P第一次聯考數學是30分..
柯p 考大學是民國66年 有史以來數學第一難題目 當年甲組高標組 30分，但還是出了一個天才 有大學聯考以來最高分 白培霖，真正的天才 後來上台大電機 也是每學期第一年畢業。 他的傳奇 google 查的到。
一題要解那麼久? 別人都交卷了！XDDD
你这是在刁难老师啊。。。