数学で最も美しい等式の意味とは？オイラーの等式
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- Опубликовано: 14 июл 2022
- オイラーの等式「e^iπ+1=0」を知っていますか？
解析学のe、代数学のi、幾何学のπという3つの値が一つのシンプルな等式で繋がる、それがオイラーの等式です。
確かに普段扱う数が一堂に会しているため、なんとなくスゴイのは分かりますが、それではこの等式の意味は？と聞かれたら多くの方は困ってしまうと思います。
なぜなら、e^iπとは無理数の虚数と無理数乗ですから、頭の中でイメージなんてできるわけありません。
そこで、この動画では、年利が虚数の銀行にお金を預けたらどうなるのか？という話から、オイラーの等式の意味を考えてみることにします。
#数学#オイラー
高校数学の範囲でこれだけ分かりやすく解説できるのが凄いです！
本当にわかりやすくて面白い
このチャンネルのおかげで数学が好きになってまである
良くわかりました。しかしこれだけわかりやすく解説できるってすごいな！
性質が分かりやすく説明してくれて理解しやすい
このチャンネルの数学すごくわかりやすくて好きです。情報科学志望なのでありがたい。
解析学と代数学と幾何学の集大成が一つの式に集約されるオイラーの等式は激アツすぎる
高一だから何もわかんないけど、とにかく激アツなのか…
@@user-xh3on4mn5r 数３習ったらこの式の凄さがすこしずつ分かるようになるぞ。
@@gegangen314 数学好きだから楽しみで仕方がない！
@@user-xh3on4mn5r 数学楽しいよなー。趣味で解く分には（ここ重要）
@@user-xh3on4mn5r 取り敢えず等式と三角関数と微分積分それぞれに使うやつが一つの式でわかるのがヤバすぎる
さすがです。数学系で1番わかりやすい
それな
わかりやすい(笑)
さすがです。何言ってるか全然わからない(知識がないから)
これで分かりやすいんだったら
何もわからないなｗ
@@MUR810 ？？？
このチャンネルほんと好き
相変わらずわかりやすい動画をありがとうございます！
楽しみに視聴しています！
非常にわかりやすい
わかりやすすぎる。。。
一生わかりやすい
オイラーの等式を見て美しいともなんとも思えなかったから見にきたら分かりやすすぎる。
オイラーの等式の動画は過去にもあるが、徐々に、τ（タウ）派が増えてきて嬉しい。
i万円もヤバいけど、π年後も中々のパワーワード
元日午前0時にカウントし始めると仮定した場合、π年後は3年後の2月20日の午後4時を回ったあたりですかね
@かなはしかに 働けど働けど猶わがくらし楽にならざり ぢっと見る 手元の預金通帳…金利iとは何ぞや
この程度でパワーワードとか言ってんの幼稚だな
@@user-ok2ou1iu5t 思っとけばいいのに幼稚っていちいち書き込んじゃう辺り、幼稚だな(自分も)
ふっ…まるで幼稚園だな。
めっちゃこの動画面白い
加法、乗法、累乗、加法単位元、乗法単位元、ネイピア数、虚数単位、円周率みたいにごちゃごちゃ分野から要の部分かき集めてここまでシンプルになるのヤバすぎる
んー、加法〜はこじつけに感じる（グラフを書くと？ってなる）
大学の時にわけわからんなあ、このへん何いってんだろう、なにこれ？となっていたような内容が繋がる。そんな瞬間を味わえました。ありがとうございます。
ありがと…ありがとう…
小川洋子さんの「博士の愛した数式」もこの話でしたね。この解説動画も傑作でしたね。
利息で説明するとすっと頭に入ってくるのがすごい
ｽｺﾞｲｽｺﾞｲ言ってないで早く寝なさい
ラボさん好きすぎる
@かなはしかに ですよね！
「i万円がいくらなのか？」ってすごく面白い質問ですね。
虚数には大小関係がないので、もし買い物に使えるようになっても
お釣りの計算にすごく悩んでしまいそうです。
【虚数に大小関係がないことの証明】
1. i > 0 を仮定すると、両辺に i (正の数) を掛けて i^2 > 0i ⇒ -1 > 0 となり矛盾。
2. i < 0 を仮定すると、両辺に i (負の数) を掛けて i^2 > 0i ⇒ -1 > 0 となり矛盾。
ゆえに、 i > 0 でも i < 0 でもない。
単位という意味では、1, e, i は該当するが、0, πは該当しない。
冪等性（何回演算しても結果が等しい）があるのは0, 1, e, τ。
なので、円周率はπよりτが相応しい、説を推したい。
>単位という意味では、1, e, i は該当するが、0, πは該当しない。
0は加法の単位元では？
解説系の動画にはコメ欄にその手の天才がたくさん現れるからしゅき♡
ワカル
テイラー展開とかマクローリン展開とか使ってないからめっちゃ分かりやす
すげえ
11:00 機械工学だと直径を使った1/4*πd^2をよく使いますよ。
構造計算で軸や穴の断面積を出すのに、加工手順上は半径ではなく直径しかノギス等で直接測れないので。
円周率が直径ベースになったのも、きっと同じ理由からでしょうね。
土木工学も同様です。もしかしたら、工学系はみんなそうなのか。
電気工学や電子工学でもオイラーの等式のお世話になっています。
電気回路や電子回路の動作を解析するには本来なら微分方程式を解かなければならないのですが、オイラーの等式のお陰で、 i^2=-1 さえ知っていれば中学生でも解ける二次方程式で表現することが出来て計算の手間を劇的に短縮できます。その結果エレクトロニクスの急激な進歩がもたらされました。
工学系（実物を計測出来るのは直径）って話ですが、本質的な物理量は半径ですよね。0°から360°回転させると円周になるのは積分ですし。
@@katsutoshisaito0808 それは数学の話だよね
数2までしか習ってない文系が理解できるくらい分かりやすかったです！
逆に数Ⅲまでがっつり勉強して、
辺微分、偏積分に殺されたけど、
理解できやんかった(´・ω・)
結局i万円って何円なの(´・ω・)
（複素平面上の面積を求める問題とかでも答えに絶対iが付くし、2乗しない限り−1にならないから数として表すことは不可能な想像上の数字だから、半年後に恐らく1万円はi万円になるけど、数字で表すことは不可能、よって金利がiの銀行に半年預けた時のお金は求められない(´・ω・)）
まぁでも銀行の話で解説してるから、
同じく銀行の話で行くと、
200万円借金すると
−200万円で、2回借金すると、
×2で−400万円。
-2回借金すれば×（−2）で+400万円
でも−200万円を−2回借りてるのに
（−2回借金するのは、0が借金しないから
逆に振り切って2回200万円かしてる、つまり戻ってくれば400万円手元に有る状態と考えた時に、400万円貸したのに、）
マイナスにしようとするからおかしなことになる訳で、現実には存在しないものを扱ってるから現実世界に当て嵌めた時に矛盾するんかな(´・ω・)
@@user-nd7lt6sc5p 分かりやすかったって話してるのになんでこの人解説してくるの？
@@user-ij8ze2os1i 分からなかったから。
でもiは虚数で2乗したらマイナスになる数字
（僕も当時はなんでマイナスになる数字がないのか不思議だったけど）
だから、上の理屈で言うと方程式XとかYみたいに
ａiという答えが出たとして、
（ａは自然数とする）
xとか yの時は答えを求められるけど、
iの時は実在しない数だから、
A b_,,
（bはａにiを掛けた数字とする）
みたいな形にはならないわけじゃん？
仮にこれでbを求めよ見たいな問題もでないし。
金利i円の銀行に半年後（つまり1と−1の間のi万円）
いくらになってるのか求められないんよなって話
@@user-ij8ze2os1i でも僕が知りたかったのはネイピア数の複素数×π乗をして＋1＝0になる訳だから、
iとπとeを計算して1を足したら０になるよっていうのも知りたかった。
結果的にiが何なのか、πは3.14,eは2.なんぼ（ごめん覚えてない）eにiとπを掛けた回数eを累乗して1を足したら０になるiを求めればいいわけで、
それによってi万円がいくらなのかわかるかなって思ってたんよ。
数学にかなり興味のある中学生なので、こういう先取りの内容を面白く教えてくれるのはすごくありがたい
学校内のテストも点が取れるようにね。
@@user-ew7gr4qt1k 数学は偏差値70前後あるんで問題ないですたぶん
@@user-me8ss1ni9y
大学数学までやっちゃってもええんやで
それは大丈夫ですね。
@@klk2937 今高校の物理やってますね。名門の森全問正解レベルには上達してます。
虚数ってイメージしずらいし、eもπ無限に続し、なんならそれが指数になってるから手で計算したくても出来ないのに、色々駆使してシンプルな実数が出てくるのすごい
光速の測定方法についての動画出して欲しいです🙏
着眼点が非常に面白いですね。
虚数がちゃんと消える地点があるというのがなんだか不思議な感じがしなくもない。
碇シンジ君を救ったのも虚数が消えるタイミングだったのかなみたいな想像をしてしまった。
オヤドリさんの「〜だろうか？」のイントネーションがなんか好き
実生活で有益・身近な「お金」で説明、そしてＸ－Ｙ図の動画、わかりやすくて面白いです。これを現役時代に見れていれば・・・。
e^iπ=-1を年利から上手いこと導き出すのかと思いきや、結局最後にオイラーの公式持ち出すんかいっっ笑
まあ等式の導入のために利用する公式だからセーフ
めっちゃわかりやすいしめっちゃ例が面白いです！！
結局でもi万円ってお金もらえるのか？
投稿主の活動で、何十年後か先には円周率の定義がτに変わっていてほしい
年利に虚数iが含まれていると、良くて元本保証、大抵の場合は元本割れで、最悪の場合は元本同額の借金を背負ってしまう事になるという訳ですね
映画やドラマでよくある頭良さそうな博士の研究室の板書に書いてある数式ランキング第1位
異世界から集った三人が一つになるような、そんなサーガ的な数式
特別な数だけで式になるのは凄いですね。
このチャンネルτ好きだよね
τは重要。
メンバーシップとかサンクスとか導入する予定はないのでしょうか？
高校数学で脱落した数弱が、「ふんわりなんとなくわかる」くらいになるの助かりすぎてなんらかの形で具体的に応援したいです
電磁波との運命の出会いがこの式をよりロマンティックにしてくれる
πとiとeと1と0というまったく関係のない5つの数字が1つのシンプルな式に集約されるのはすごい
9:29 －1万円の借金は1万円の利益…
２つの無限小数と虚数から−1が生まれるのやっぱ美しいよな。
面白いです。
ただ、見ている間に、段々頭の中がこんがらがってきます。
別分野でそれぞれ重要な役割の定数が一堂に会するのが激アツ
スマブラとかアベンジャーズに似たワクワク感ある
τへの熱意が伝わるw
おすすめに出てきたから見てた
何故か眠くはならなかったからボーっと見てた
数年くらい数学どころか計算すら電卓で済ませてやっていなかった俺でもへーって思える内容だった
頭がよくなった気がしている
理解はしていないけど水の中にいるみたいな自分でも掴めない様な感覚で、こんな世界もあるんだなぁって感じれた
数学に興味がある人はすっげぇ感動（？）するんだろうなぁって思える動画だった
オイラーの公式をここまでスッキリ解説した動画が他にあっただろうか。
オイラーの公式についても解説して欲しいです
文系なのに確りと理解できました！
複素数平面なんて言葉、20年ぶりくらいに聞いたような気がします笑
オイラーの等式は、z=cosθ+isinθとおくと、iz=-sinθ+icosθ=dz/dθなのでこの微分方程式を解くと得られるぞ
数2すら完全には習ってない自分にも分かる凄い動画
美しすぎる
うぽつです＿|＼○＿！!
僕今年齢的に中学生だけどそれでもすぐ分かるくらい説明が上手！！
とても難しいことを、とてもとても簡単に面白可笑しく説明してくれてるすごい動画ですね
凡人な自分には、制作者が天才なことを疑いようがない
こういった優れた動画が広まったり、この制作者が学校の教材などをつくれば、数学を好きになる人が増えるし
相対的にて数学全体の底上げ向上につながるんでしょうね
たらればではあるが、もしそうなったら過去の偉人の福沢諭吉(1万円札の人)よりも人民に大きく影響を与えた人となる可能性も？？
大げさに聞こえるかもしれないが、数学好きが日本国内で毎年万単位で増え、さらに数学力も上がり、それにより根本的な考える
能力が向上すれば、それによる多方面における社会影響がとても大きいことは想像に難しくないかと思ったりするので
そう考えると決して大げさではないようにも思います。
6:57
e^iはcos(1)+i sin(1)だそうです。(単位はラジアンとする)
もしろ、シンプルな数式になるように、回転の意味を解析代数幾何それぞれにうまいこと定義したんだというふうにも理解できる。
では、このプランに借金を預けたら、π年後にお金が貰える！？
つまり-1万円預けてπ年待つと1万円になるから2万円分得になる…？
「- 1 万 円」
あ、まったく同じことをさっきコメントしたわｗｗ
マイナスの金額を預けるということは借りるということなので、銀行側が損するしかない金利iの融資など、はなから受けられないと思う。
理系大学生でよく見かける公式だけど、特に深く考えて無かったので助かります
おもろいなあ…
これは高校時代よくわからなかったけど、大学入っていろいろ学んでから見直すとこの式のエグさを少し理解できた。
i万円札を発行してガウスさんとかオイラーさんの肖像を印刷すれば日本人は理系が増えるかもしれませんね。面白い動画ありがとうございました。
予想あたったぜ☆
i万円がいくらかは知らないが、掛け合わせると1億円の借金になるから、みんな年利i%には気をつけよう！
株や投資信託では、複利や等比数列の和（等比級数）は、ウハウハですね♬＼(^_^)／♬
1→1+i→2i→-2+2i→-4→-4-4i→-8i→8-8i→16っていう感じで分割した金利を使わなくていいなら8年で16倍つまりうまく取り出せば実質年利100％の化け物金利になるね。
eは対数関数を微分の公式でオイラーが微分した時に発見した。通常人は見逃すが彼は結果式に定数部分を発見した
これをeと定義し対数関数の底にしたらやたら計算が楽になった
え、この動画を見て思ったんですけど、
オイラーの等式といい、円周率と言い、他の分野の公式が、たった１つの閃き·理論、はたまた代入だったり、数学の普通のやり方?に則るだけで、数学は答えが出るんですね…!
数学が苦手な私の盲点でした、他の分野の公式は当てはまらないんだと、(前の単元でやった公式は必要なくて、今やってる公式を暗記して解けばいいんだと)勘違いしてました!ありがとうございます!
e(≒2.7…)のπ(≒3.14…)乗だと約27ぐらいになる(?)と思われるのに、そこにi乗すると-1になるのはやっぱり不思議…
いーのあいぱいじょう=-1
にしないところもセンスいい
流体力学などで計算するとき最終的には物理上の値にもどすため複素数の実部をとる
同じように考えると i 万円の実部をとるので0円でしょう
1と0とeとπとi
数学の根幹を成すものだけで作られた究極の美しさよ
ってことは借金を預金すれば借金が返せるってことか。なかなか便利だなぁ年利が虚数って。
三角関数とe^xがとても似ているものだとわかるのが一番アツい
中3の時に文集のネタなくてオイラーの等式の美しさについて書いたことは一生の思い出
おもしろいなぁ、、、、
オイラーの公式はみんな単位を忘れるがなぜラジアンの時だけ数として扱えるのか照明か定義はないのかね
複素関数が曼荼羅の如き美しさを持つ根本の公式だからなぁ…
9:25からのノイズのような音声はbgmですか？
τではなくπを使っていたからこそ、
e^iπ+1=0
とオイラーの等式の形が歪となって、加法の単位元0を自然に登場させたくなる形になってるところが、人間の不完全さとかそれ故の美しさを示してるっぽくて好きです。
そのよくある、加法の単位元0と乗法の単位元１が等式で結びついている、とかいうのは単に歪な方程式に後乗せ意味づけして正当化する方便で、
そもそも単位元の意味と価値っていうのは、「演算前後で値が不変」ということなのだから、
e^iτ = 1
と複素平面で虚数単位の指数で一回転しても値は不変となり、それは乗法の単位元となっていて、
加法の単位元についても自明で、本来不要だが、明示シたけりゃ勝手に明示すればよくて、
e^iτ + 0 = 1
となる。
演算前後で不変である「加法の単位元0を自然に登場させたくなる」という屁理屈そのものが単位元の存在意味と矛盾している。
王様は裸と一緒で、みんながπベースの歪なオイラーの方程式を美しい美しいというから、妙な説明でこじつけ正当化しすぎ。
@@ken-okabe まあ確か。そうですね。明らかに
e^iτ=1
の方が本質的でかつ、何を言いたいのかわかる式であり、数学的意味を持つと思います。そう言う意味では
e^iθ=cosθ+isinθ
こそが最も本質的なんでしょうけど
でも、だからこそ
e^iπ+1=0
なんてバカみたいな、(何を示したいんだ？って話ですもんね)状態で進んでいない感じが、人間のバカさをそのまま示してるなと皮肉めいて見えます。数学的価値は、低い式だと思うんで、さっさとτに置き換えてもらってわかりやすくした方が良いと思います。
どちらかと言うと、オイラーの等式は歴史的価値がありそうに私は感じますね笑
私みたいな、加法の単位元だ！って騒いでいたアホさも含めて。
途中からついていけなくなったけれど、自然の全てはeにあり、e,i,πはなんか関係があるかもってことだけはなんとなくわかった
ちょうど覚えたばっかだから嬉しい
角度が45度のタイミングで口座から実数分のお金をおろし続けたら虚数残高が残って放置して毎年(√2)/2万円分の利益が出る説…
i万円をオプションサービスと設定すると元金とは別の利益が得られる。マイナスiとなった場合は損をするようにかんじるかも知れないが、マイナスを負と定義しなければ良いだけなのでそこにも同じようにプラスのオプションを付属すれば良い。つまりこの動画での i とは''ルーレットゲーム''みたいなものと勝手に解釈しました。
今は亡き森毅先生は「もし円周率が3.14ではなく6.28だったら『e^iπ=1』というもっと美しい等式になったのに」と残念がられていたとか。
1と0の共存を美しいと思うか-1と0の共存を美しいと思うか、どちらとも言えず悩ましいところ。
πに関してまで異なる代数を！
確かに一周2πよりτの方がわかりやすい！
オイラーの等式は物語シリーズで初めて知った
『物理数学の直感的方法』って書籍知ってる猛者おる?
あっちもまた違った例えでイメージしやすかったな
単位円をみると、円の公式は半径のほうがいいのかなって思う
虚数どうしをかけるとマイナスになるので、虚数利子は増えたり減ったりする。
個人的には二次元ベクトルがあれば複素数は必要ないと思う。
オイラーの公式はデジタル音声処理で使ったなぁ
年一の複利で、8の倍数年を満期に預けるのがベストかな
なんだかπをτにかえたいという強い意志を感じましたw
式の意味とか美しいと言われる理由がわかると今度はこの公式に辿りつ行く前の
e^iΘもしくはその右辺のcosΘ + isinΘはどういった必要性・研究から導かれたのか気になります。
それはテイラー展開とマクローリン展開を勉強すると理解できます。
指数に虚数をぶち込んだらどうなるか という好奇心
前の動画で
(1+x/n)^n=1+x+x²/2!+x³/3!+…という式が出てきました
これをe^xの定義としてしまえば、xに虚数を代入することも可能になります
(実際、解析学的に応用範囲が広がったり、物理学で回転や振動を記述したりするのに便利になります)
マクローリン展開から導かれる
cosx=1-x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+…
sinx=x-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+…
と組み合わせればe^(iθ)=cosθ+isinθが導けます
オイラーの公式の説明
複素数平面の掛け算は､
(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i
絶対値に注目すると､
√(a²+b²)×√(c²+d²)=√(a²c²+b²c²+a²d²+b²d²)
=√(a²c²-2abcd+b²d²+a²d²+2abcd+b²c²)
角度に注目すると､
a+biの実軸との角度をθ､c+diの実軸との角度をφとする｡
sinθ=b/√(a²+b²)､cosθ=a/√(a²+b²)
sinφ=d/√(c²+d²)､cosφ=c/√(c²+d²)
加法定理より､
sin(θ+φ)=ad+bc/√(a²c²+b²c²+a²d²+b²d²)
cos(θ+φ)=ac-bd/√(a²c²+b²c²+a²d²+b²d²)
これらは､掛け算の結果の実軸との角度の三角比と一致する｡よって実軸との角度の足し算､絶対値の掛け算と分かる｡
また､累乗は実軸との角度の掛け算､絶対値の累乗と分かる｡
eⁱ=lim(1+i/x)ˣ
x→∞
1+i/xはxが無限の極限なので､虚部が限りなく0に近い｡
1+ixの絶対値は√(1+1/x²)≒1+1/2x²｡
1+i/xの実軸との角度をφ(上とは別)とおくと､φが0に近いので､φ≒sinφと近似できる｡(これは極限なので一致させてもOK)
よって､φ=sinφ=1/xとなる｡
eⁱはこれのx乗なので､
絶対値は(1+1/2x²)ˣ=1+1/2x≒1
(上で近似しなかったのはeのようにならないことを説明するため)
実軸との角度は(1/x)×(x)=1
eⁱ=cos1+isin1｡(この1は1°では無い｡)
これを任意の角度θ乗(これも上とは別)すると､絶対値は1のまま角度がθになるので
(eⁱ)^θ=cosθ+isinθ｡
この銀行いきたい