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【訂正】1:55 1+(1/3)^3→(1+1/3)^31+(1/60)^60→(1+1/60)^601+(1/2985)^2985→(1+1/2985)^2985たびたび、本当に申し訳ございません・・・🙇🙇
前半のマジでどうでもいいゴチャゴチャ解説を飛ばしてなぜ美しくないかの理由だけ知りたい人向け 12:53もっと詰めたい人向け13:16
@@とーるさりあ もっともっと詰めたい人向け15:50
πとτどっちがいいか論争は、結局はどっちも記号として存在するってのが1番だと思うかなー！フィボナッチ数列にせよ、1,1,2,3…と続く最初の1を1番目とするか、0番目とするか、で式の美しさが変わることもあるし、三角関数関連の式でもポリガンマの相反公式とかそういうのはπの方が便利だったり…数式によって変わってくることが多少なりとあるから、どっちも表記できるのが1番かな！
オイラーの等式が美しいと言われる理由は、「知ってる？実は指数関数のeと三角関数のπってつきあってるんだって！」「えー！そうなのー！？」きゃあきゃあ！という感じだと解釈しています😅
3つの分野が1つに集約されるのが美しいんよな
「オイラーの等式は複素平面上で半回転を表しているだけ」と聞いたときに，この式の数式として大事な部分を一つ見落としていたことに気づかされた
ガウス「この式を見せられた学生が瞬時にその意味を理解出来なければ第一級の数学者にはなれない」ここでの意味はそういう事なのかも知れませんね
オイラーの等式以前にπの定義がどうしても美しくないのよな、円の本質は直径でなく半径なのだから。数学で言う「美しさ」って個人差のある美的感覚とか好みの話じゃなくて、「自然ってよくできているな」という感じの合理性・整合性・シンプルさのことなんよな。だからいくら人間が恣意的にπを定義したところで、他の様々な美しい公式や定理に「2π」というまとまりが現れる。まさに自然は嘘をつかないということがよくわかる。まあでもオイラーの等式の美しさって「分野を超えたつながりが一つの式に！」みたいなちょっと性質の違う美しさだから、これはπでもτでも変わらないと思う。要はπがわるい(断言)
円の基本要素が半径だから、直径との比率に違和感しかないよねぇ。πは直径と円周しか測れない原始時代の産物だと思う。どこかで軌道修正してたら楽だったのに…
2分あたりのネイピア数の説明、カッコの範囲が違ってます
ガチ勢おるってすげぇ
@@たかし-x1g 代入するだけちゃうか？
合ってね？1/nで置いて()の指数を分数から変えただけだと思う。勘違いだったらすまん
コイツら…できる！
1+の部分までかっこの中に入れて累乗しないといけないですよね
どっちの方が美しいかは置いておくとして円周率はどこか手遅れになる前に半径使って定義しなおすべきだったよね基本的に円を扱うときは半径基準で考えることが多いのに、直径基準のπのせいで式が複雑になったり、直感的にわかりづらくなったりするし
わかる、まずもって円の定義が平面上で1点からの距離が等しい点の集合って時点で半径基準なのは明白なのにね。
でも、円周率を最初に見つけた人は、多分丸太の周の長さとかを測って円周率を計測したと思うんだけど、そのときには「半径」より「直径」の方が測りやすかったから、直径基準の円周率が広まってるんだと思うのよね…マジレスごめん、あと想像でしかないから間違ってるかもしれないけど半径基準の円周率の方が数学が美しくなるのは同意
大昔、たとえばユークリッドの時代にはすでに手遅れだった説。
オイラーの公式の証明というか説明、マクローリン展開を持ち出すよりも、指数法則や微分方程式に基づく方が「美しい」という考え方もあります。
加法、乗法単位元の件は分からんでもないが結局乗法単位元を足してる所(+1)がこじつけに感じるし半円がしっくり来ない。加えてこの公式抜きにπの定義もしっくり来ない。面積の公式で数学のπr^2、工学で利便性を求めた(πD^2)/4が共存してる様にτ使って見やすくなるんなら使わせて欲しいしその上でπ使ったら1と0出るよでええと思う。
せっかく指数関数が出てきましたので、図形っぽくネイピア数の性質を説明してもよかったのではと思います。つまり、ネイピア数を底とする実指数関数y=e^xをxy座標に曲線として描いたとき、この曲線のx=0における接線の勾配は1になります。数式で表現すると、x→0のとき(e^x-1)/x→1です。x=1/nと置いて左式をちょっと変形すると、例の「n→∞のとき(1+1/n)^n→e」の式を導くことができます。ちなみに、(1+1/n)^nの式はもともと、利息か何かの計算を行う際に登場した式でしたね、確か。
数学の世界だけだったら半径のほうが美しいのかもしれないけど、製図や設計など実際に測定が必要な分野だと半径って扱いづらい（中心点を決めなければならない）という問題がありますからねぇ。実用用途だと直径の方が直感的にわかりやすいという点が大きいと思いますよ。円に接した線に対して直交する線で円を挟めば求められますしね。実際10円玉の「半径」を計測しなさいって言われたら結構難しいですよね。
現象を体系立てて捉えて、再現可能な説明をしていく事を学問と言い、説明する言語が数学なんですよね。逆に実物を測定するのは学問ではなく作業ですから、そこに美しさは無いのかもしれませんね。
直径は簡単で半径は難しいってことは、ある線の半分の長さを測るのが難しいということか？どちらも等価だと考えられるが…難しい世界だ。
@@関暁夫尊師-t8z 製図、測量器具を使ったり、数学的に計算することは簡単だと思います。極端な例えではありますが、円の半径の測定を考えると、例えば円に外接する正方形を作図して、対角線引いて、その交点を中心点とするという作業が必要になりますよね、それを実際の現場で考えると直径よりは面倒くさく感じませんか、っていうことが言いたいだけです。線分の半分も、作図のみで考えると一方の点から線分を半径とした円を２つ描いて、その円の交点から線分と直交する線との交点を測らなければなりませんよね。
@@SadoleNijino 要するに2度手間ということですね。直径求める作図を2回やったり、もしくは垂直二等分したり、半径求める過程で既に直径が先に求まっていますね。
個人的にはこの話は機能美と造形美ぐらいの違いかな今でこそ語り尽くされた式ではあるけれど当時の多くの名も無き数学者たちはどう感じたのか知りたい
1:52〜ここの（）がずれてますよ
でもやっぱ指数を用いて表されているのにも関わらず値が負になるって点でe^iπの方が好きだな
1:55 ぐらいからの計算方法だとn→∞にするとネイピア数は1に収束しちゃいますよ
カッコの始まりの位置間違えてますね
せっかくですから、円関数と双曲線関数との関係についても、お話しいただけるとよかったと思います。＞魔理沙様たとえば、複素角（複素数で定義された角度）に対する円関数も双曲線関数も、ともに円関数と双曲線関数と虚数単位との組み合わせで表現できる、云々。それにしても、いま円周率の定義を変えると、特に物理学上の議論に少なからぬ影響が出てくるのでは。
e^πi=-1と書けばいいのに、わざわざ-1を移項させているのが醜い。
加法単位元を出すためだな
τ=2πなのでe^(iτ) = e^(iπ×2) = (e^(iπ))^2 = (-1)^2 = 1一見どっちでもよく見えるけれど、逆にπ→τ/2を考えると(e^(iπ)) ^2 = e^(iπ×2) = e^(iτ) =1両辺のルートをとるとe^(iπ) = ±1となって、プラスかマイナスか決まらなくなる
字面だけの美しさじゃなく、そこに意味合いとしての美しさが合わさってるから強いんですわ。0も1も数学では重要！なんてのは、数式が読めない人の発想。
個人の好みの話ですけど、円周率が(円周/直径)の方がいいって言うのは諸々の理由でわかるけど、オイラーの等式には乗法に関する単位元だけじゃなく加法に関する単位元もいてくれた方がいいし、乗法と累乗だけじゃなく加法もいてくれた方が嬉しいなと思いますね。
0も1も数学において出てこない分野はないと言っても過言じゃないくらい重要な定数だもんね。
これ。あとは、不完全な方が人の見つけたものらしくて安心する。完璧過ぎるのは時々気持ち悪い。
()の範囲おかしいと思ってコメ欄見たら同じ人いてよかった俺もまだまだ現役だー
ネイピア数の暗記語呂合わせを習いましたが、まず最後まで覚えていたのと意外と多くの桁数まで再現してて驚きました。2.7 18 28 18 28 459 04… （ふな、一箸、二箸、一箸、二箸、至極美味しい）マクローリン展開（～テイラー展開）が微分から求められるのも初めて知りました円周率をτ=2πで表現した方が、オイラーの等式以外でも単純な形になるのは知ってましたが、物理の電流と電子の流れる向きが正反対なのと同じ様な理由で変えられないんでしょうねπで計算するのに慣れた人は、大きなメリットは無いτにわざわざ乗り換えないでしょうし、これまでの数学が関係する物理や電気工学等の文献も全部なτに直さなければいけませんから
私は元のオイラーの等式のほうがいいと思います。なぜならば、"0"と"1"という数”字”は、環論においてとても重要であることに加えて、0は足し算における単位元（足しても変化しない数）であり、また1は掛け算における単位元(かけても変わらない数)です。それらがe,i,πと簡単な式で一つになっていることがとても美しいと思います。
乗法単位元なのに加法に使ってるのを美しいとは思えないんですが…e^iτ=1の方が冪乗の結果が1なので乗法単位元っぽいですよね。
@@malo2793 私は、数学において重要なものが一つの式で簡単にかけていることが美しいと感じました。
@@Setsuna2718 ただ使えば良いっていうものではないでしょう。乗法に関して意味のある数を加法に使うという全く本質的でない使い方をしていることに疑問を持たないのは数学的なセンスがないと思います。あと環論詳しくないですが、数じゃなくて数"字"と言っているのも本質を外している印象を受けます。
@@malo2793 環論では"1"と"0"がただの数だけでなく、記号として意味を持つことがあるためあのような表記をしました。ex)実数上のn次正方行列環(Mn(R),+,×)において、0=On 1=En1は乗法における単位元であるため、加法に用いられていることについては一切問題がないと考えています。また、0を自然数の中で最小の偶数、1を自然数の中で最小の奇数というように考えれば、1を加法で用いていることは何の問題もないと感じられるのではないでしょうか。また、我々が扱っている複素数環(C,+,×)における加法＋が出ている意味は重要であると考えるのですがその辺はどのようにお考えなのでしょうか。
@@Setsuna2718 もちろん乗法単位元であっても加法に用いることはできます。でもそれはe+60°みたいな角度を考えるようなもので、可能ではありますがそれが美しいかどうかはまた別問題です。加法を登場させたい気持ちは分かりますがそのために式を汚くしては本末転倒です。e^iπ+1=0に使いたいのであればそれに見合う「1」の意味を主張すべきであり、「乗法単位元」は不適切です。
いつも数学に関心を向けてくださる動画を届けていただきありがとうございます。すべて楽しく見させていただいております。美しいという感覚は難しいですね。ガウスへの挑戦も怖気づいてしまいます。オイラーの等式の美しさが、『異なる分野で定義された数たちが一つの等式で結ばれたこと』と考えるのであれば、その歴史的背景も含めて、πを利用する方が興味深いと感じました。また、τを用いても美しさは変化しないと感じます。『わかりやすいこと』を美しさとするのであれば、馴染みのないτよりπを使って欲しいとも思いました。よく知られた数値だからこそ伝わりやすいと思います。美しさがどのようなものかわかっていないので明確なことは何も言えませんが、『もっと美しくなる』も『美しくない』も過激な表現だと感じます。 今後も楽しみにしております。失礼いたしました。
一発ギャグ：「オイラはオイラーじゃない、オイレルだ！」なんちゃって😂
無限級数の「絶対収束」を前提にしないと、オイラーの等式を導き出せないのでは。何度微分しても死なない無敵の指数関数にも、欠点が一つあります。それは0になれないことです。
0と1が加法と乗法の単位元だから美しいっていう人もいるけど、オイラーの等式において0と1が出てくるのは、まぁ言わば「たまたま」であって、単位元だからとかの深い理由はないんだよな。
球面においては円周率π=4になるから、τ=8になって、e^iτ=1はe^8i=1になってeを有理数として計算できるのではないだろうか？？？
そのご意見、虚構新聞に投稿なさっては如何。
τのほうがきれいかもと思う理由そもそもの話、円は半径を基準とする図形だからτの方がいい気がする。0が書かれてるから美しいは違うと思うから。書かれていない0の方が0の本質な気がする。どうしても書きたいならe＾iτ + 0 ＝ 1これでいい0がそもそも分野の定義によって異なる挙動をするバグの原因だから。ハブられる0の「お前出直してこい」感が面白い代数幾何解析の他に発展してきた記号論理で0はFalseで偽だから
動画の考え方のように、昔は正n角形で円周と直径から円周率の値を求めるためτではなくπを選んだ、そっちの方が直感的で違和感がない。だって急に円周と半径で計算したら違和感しかないし納得もいかないじゃん？今の一部の人のように。
奇数角形の場合を考慮すれば直径は難しすぎる気がしますが（偶数角形なら直径でもよい。でも、よい。）
つまりe^iπ+e^iτ＝0ってことだな
オイラーの等式というと、位相幾何学の分野にも同じ名前のものがありませんでしたっけ？ 当方の記憶違いかな？
○○「確かにオイラーの等式は美しいが私に言わせれば=0ならわざわざ計算する必要がないんじゃないかと思う」うる覚えだけどこんなこと言ってたな
うろ覚え警察だ
@@自分磨きしてる人 すいませんでしたm(*_ _)m
どんな数でも0乗すると1になりますeとiと円周率τを組み合わせると0乗と同じ結果になるってすごくないですか
これを満たす数字がeと言うだけと言う見方もある
閃いた！正円のタオが+1の振動数つまり量子の実在性を導き出すなら、πは-1の反粒子を表しているんだな(笑)
うーん。回答者が悪い気もする。幾何学的、代数学、解析学から産み出されたものを1つの式に納めた世界一美しい式とどこかの解説で聞いた気がする。それらの質問で◯と答えていたら正解できた可能性あるかもね。自分には無理だが。
iは虚数なのに乗数に使えてiπだと-1の実数になるのが意味わからない
最近のy-xは(3.2)を通るのか
ところでこれ、３つの定数が１つの等式として成り立つってこと以上に、解析学、代数学、幾何学、そもそもどれを説明してる式なの ？
右辺をマイナス１とした時、オイラーの等式の美学は自然数がないところだと思うんですよ。
ネイピア数の説明、1に収束してますよ
τを用いた式について、τで一周してるわけだからθ=τのときθ=0のときと同じ位置にあるから、e^0と等しくて1になるっていうだけだから当たり前感が強くて美しさを感じない
一太須一は…🥺
またここにもτ勢がいるんだなぁ
ｇういいいはー😊😊
ついでに「Ｃ」光速、「Ｅ」エネルギー、「Ｇ」重力。。こいつらも絡ませた式があったら、凄いことになっていた気がします。。。.すでに有るのかな？？美しく無いかもしれない。.でも自分は花より団子なので、そっちがいいです。最高の数学の理論と物理の融合。これこそ最高に感じます。.m475_m475.
G(万有引力定数)ではなくm(質量)でいいなら、アインシュタインの公式 E=mc^2 がありますオイラーの等式と同じく、物理界隈の美しい公式として有名です
三平方の定理の方が美しいと思う。
物理とかさ、つりあいの式って=0で表されること多いじゃん？別に元の式でも全然いいと思うけどな
それはe^(iτ)-1=0→e^(iτ)=1e^(iπ)+1=0→e^(iπ)=-1の違いでしかないから、それこそ前者の方が釣り合っていることを一目で認識できると思う。
一方の力-他方の力=0より、一方の力=他方の力 の方が直感的。
e^(0+τi)=1
は？
うーむさっぱり
1コメ
e,i,πと1と0が全部あるから美しいと言ってるんだがそれをすっきりさせて美しいとか…
1を足してゼロになると言うこじつけより、回転させて1に戻る方が円としての真理で美しいと感じます。積分的にも円の基本物理量は半径だと思いますよ。
わかるわぁ代数学のi、幾何学のπ、解析学のeそして加法単位元である0と乗法単位元(二項演算子の単位元)である1これらの数学における重要な数達が一堂に会して揃ってるからこそ美しいと言うのにね
2番煎じ
【訂正】
1:55
1+(1/3)^3→(1+1/3)^3
1+(1/60)^60→(1+1/60)^60
1+(1/2985)^2985→(1+1/2985)^2985
たびたび、本当に申し訳ございません・・・🙇🙇
前半のマジでどうでもいいゴチャゴチャ解説を飛ばしてなぜ美しくないかの理由だけ知りたい人向け
12:53
もっと詰めたい人向け
13:16
@@とーるさりあ もっともっと詰めたい人向け
15:50
πとτどっちがいいか論争は、
結局はどっちも記号として存在するってのが1番だと思うかなー！
フィボナッチ数列にせよ、1,1,2,3…と続く最初の1を1番目とするか、0番目とするか、で式の美しさが変わることもあるし、三角関数関連の式でもポリガンマの相反公式とかそういうのはπの方が便利だったり…数式によって変わってくることが多少なりとあるから、どっちも表記できるのが1番かな！
オイラーの等式が美しいと言われる理由は、「知ってる？実は指数関数のeと三角関数のπってつきあってるんだって！」「えー！そうなのー！？」きゃあきゃあ！という感じだと解釈しています😅
3つの分野が1つに集約されるのが美しいんよな
「オイラーの等式は複素平面上で半回転を表しているだけ」と聞いたときに，この式の数式として大事な部分を一つ見落としていたことに気づかされた
ガウス「この式を見せられた学生が瞬時にその意味を理解出来なければ第一級の数学者にはなれない」
ここでの意味はそういう事なのかも知れませんね
オイラーの等式以前にπの定義がどうしても美しくないのよな、円の本質は直径でなく半径なのだから。
数学で言う「美しさ」って個人差のある美的感覚とか好みの話じゃなくて、「自然ってよくできているな」という感じの合理性・整合性・シンプルさのことなんよな。だからいくら人間が恣意的にπを定義したところで、他の様々な美しい公式や定理に「2π」というまとまりが現れる。まさに自然は嘘をつかないということがよくわかる。
まあでもオイラーの等式の美しさって「分野を超えたつながりが一つの式に！」みたいなちょっと性質の違う美しさだから、これはπでもτでも変わらないと思う。要はπがわるい(断言)
円の基本要素が半径だから、直径との比率に違和感しかないよねぇ。πは直径と円周しか測れない原始時代の産物だと思う。どこかで軌道修正してたら楽だったのに…
2分あたりのネイピア数の説明、カッコの範囲が違ってます
ガチ勢おるってすげぇ
@@たかし-x1g 代入するだけちゃうか？
合ってね？1/nで置いて()の指数を分数から変えただけだと思う。勘違いだったらすまん
コイツら…
できる！
1+
の部分までかっこの中に入れて累乗しないといけないですよね
どっちの方が美しいかは置いておくとして
円周率はどこか手遅れになる前に半径使って定義しなおすべきだったよね
基本的に円を扱うときは半径基準で考えることが多いのに、
直径基準のπのせいで式が複雑になったり、直感的にわかりづらくなったりするし
わかる、まずもって円の定義が平面上で1点からの距離が等しい点の集合って時点で半径基準なのは明白なのにね。
でも、円周率を最初に見つけた人は、多分丸太の周の長さとかを測って円周率を計測したと思うんだけど、そのときには「半径」より「直径」の方が測りやすかったから、直径基準の円周率が広まってるんだと思うのよね…
マジレスごめん、あと想像でしかないから間違ってるかもしれないけど
半径基準の円周率の方が数学が美しくなるのは同意
大昔、たとえばユークリッドの時代にはすでに手遅れだった説。
オイラーの公式の証明というか説明、マクローリン展開を持ち出すよりも、指数法則や微分方程式に基づく方が「美しい」という考え方もあります。
加法、乗法単位元の件は分からんでもないが結局乗法単位元を足してる所(+1)がこじつけに感じるし半円がしっくり来ない。
加えてこの公式抜きにπの定義もしっくり来ない。面積の公式で数学のπr^2、工学で利便性を求めた(πD^2)/4が共存してる様にτ使って見やすくなるんなら使わせて欲しいしその上でπ使ったら1と0出るよでええと思う。
せっかく指数関数が出てきましたので、図形っぽくネイピア数の性質を説明してもよかったのではと思います。つまり、ネイピア数を底とする実指数関数y=e^xをxy座標に曲線として描いたとき、この曲線のx=0における接線の勾配は1になります。数式で表現すると、x→0のとき(e^x-1)/x→1です。x=1/nと置いて左式をちょっと変形すると、例の「n→∞のとき(1+1/n)^n→e」の式を導くことができます。ちなみに、(1+1/n)^nの式はもともと、利息か何かの計算を行う際に登場した式でしたね、確か。
数学の世界だけだったら半径のほうが美しいのかもしれないけど、製図や設計など実際に測定が必要な分野だと半径って扱いづらい（中心点を決めなければならない）という問題がありますからねぇ。
実用用途だと直径の方が直感的にわかりやすいという点が大きいと思いますよ。
円に接した線に対して直交する線で円を挟めば求められますしね。
実際10円玉の「半径」を計測しなさいって言われたら結構難しいですよね。
現象を体系立てて捉えて、再現可能な説明をしていく事を学問と言い、説明する言語が数学なんですよね。
逆に実物を測定するのは学問ではなく作業ですから、そこに美しさは無いのかもしれませんね。
直径は簡単で半径は難しいってことは、ある線の半分の長さを測るのが難しいということか？どちらも等価だと考えられるが…難しい世界だ。
@@関暁夫尊師-t8z 製図、測量器具を使ったり、数学的に計算することは簡単だと思います。極端な例えではありますが、円の半径の測定を考えると、例えば円に外接する正方形を作図して、対角線引いて、その交点を中心点とするという作業が必要になりますよね、それを実際の現場で考えると直径よりは面倒くさく感じませんか、っていうことが言いたいだけです。
線分の半分も、作図のみで考えると一方の点から線分を半径とした円を２つ描いて、その円の交点から線分と直交する線との交点を測らなければなりませんよね。
@@SadoleNijino 要するに2度手間ということですね。直径求める作図を2回やったり、もしくは垂直二等分したり、半径求める過程で既に直径が先に求まっていますね。
個人的にはこの話は機能美と造形美ぐらいの違いかな
今でこそ語り尽くされた式ではあるけれど当時の多くの名も無き数学者たちはどう感じたのか知りたい
1:52〜
ここの（）がずれてますよ
でもやっぱ指数を用いて表されているのにも関わらず値が負になるって点でe^iπの方が好きだな
1:55 ぐらいからの計算方法だとn→∞にするとネイピア数は1に収束しちゃいますよ
カッコの始まりの位置間違えてますね
せっかくですから、円関数と双曲線関数との関係についても、お話しいただけるとよかったと思います。＞魔理沙様
たとえば、複素角（複素数で定義された角度）に対する円関数も双曲線関数も、ともに円関数と双曲線関数と虚数単位との組み合わせで表現できる、云々。
それにしても、いま円周率の定義を変えると、特に物理学上の議論に少なからぬ影響が出てくるのでは。
e^πi=-1と書けばいいのに、
わざわざ-1を移項させているのが醜い。
加法単位元を出すためだな
τ=2πなので
e^(iτ) = e^(iπ×2) = (e^(iπ))^2 = (-1)^2 = 1
一見どっちでもよく見えるけれど、逆にπ→τ/2を考えると
(e^(iπ)) ^2 = e^(iπ×2) = e^(iτ) =1
両辺のルートをとると
e^(iπ) = ±1となって、プラスかマイナスか決まらなくなる
字面だけの美しさじゃなく、そこに意味合いとしての美しさが合わさってるから強いんですわ。0も1も数学では重要！なんてのは、数式が読めない人の発想。
個人の好みの話ですけど、円周率が(円周/直径)の方がいいって言うのは諸々の理由でわかるけど、オイラーの等式には乗法に関する単位元だけじゃなく加法に関する単位元もいてくれた方がいいし、乗法と累乗だけじゃなく加法もいてくれた方が嬉しいなと思いますね。
0も1も数学において出てこない分野はないと言っても過言じゃないくらい重要な定数だもんね。
これ。
あとは、不完全な方が人の見つけたものらしくて安心する。
完璧過ぎるのは時々気持ち悪い。
()の範囲おかしいと思ってコメ欄見たら同じ人いてよかった
俺もまだまだ現役だー
ネイピア数の暗記語呂合わせを習いましたが、まず最後まで覚えていたのと意外と多くの桁数まで再現してて驚きました。
2.7 18 28 18 28 459 04… （ふな、一箸、二箸、一箸、二箸、至極美味しい）
マクローリン展開（～テイラー展開）が微分から求められるのも初めて知りました
円周率をτ=2πで表現した方が、オイラーの等式以外でも単純な形になるのは知ってましたが、物理の電流と電子の流れる向きが正反対なのと同じ様な理由で変えられないんでしょうね
πで計算するのに慣れた人は、大きなメリットは無いτにわざわざ乗り換えないでしょうし、これまでの数学が関係する物理や電気工学等の文献も全部なτに直さなければいけませんから
私は元のオイラーの等式のほうがいいと思います。
なぜならば、"0"と"1"という数”字”は、環論においてとても重要であることに加えて、0は足し算における単位元（足しても変化しない数）であり、また1は掛け算における単位元(かけても変わらない数)です。
それらがe,i,πと簡単な式で一つになっていることがとても美しいと思います。
乗法単位元なのに加法に使ってるのを美しいとは思えないんですが…
e^iτ=1の方が冪乗の結果が1なので乗法単位元っぽいですよね。
@@malo2793 私は、数学において重要なものが一つの式で簡単にかけていることが美しいと感じました。
@@Setsuna2718 ただ使えば良いっていうものではないでしょう。
乗法に関して意味のある数を加法に使うという全く本質的でない使い方をしていることに疑問を持たないのは数学的なセンスがないと思います。
あと環論詳しくないですが、数じゃなくて数"字"と言っているのも本質を外している印象を受けます。
@@malo2793
環論では"1"と"0"がただの数だけでなく、記号として意味を持つことがあるためあのような表記をしました。
ex)実数上のn次正方行列環(Mn(R),+,×)において、0=On 1=En
1は乗法における単位元であるため、加法に用いられていることについては一切問題がないと考えています。
また、0を自然数の中で最小の偶数、1を自然数の中で最小の奇数というように考えれば、1を加法で用いていることは何の問題もないと感じられるのではないでしょうか。
また、我々が扱っている複素数環(C,+,×)における加法＋が出ている意味は重要であると考えるのですがその辺はどのようにお考えなのでしょうか。
@@Setsuna2718 もちろん乗法単位元であっても加法に用いることはできます。
でもそれはe+60°みたいな角度を考えるようなもので、可能ではありますがそれが美しいかどうかはまた別問題です。
加法を登場させたい気持ちは分かりますがそのために式を汚くしては本末転倒です。
e^iπ+1=0に使いたいのであればそれに見合う「1」の意味を主張すべきであり、「乗法単位元」は不適切です。
いつも数学に関心を向けてくださる動画を届けていただきありがとうございます。
すべて楽しく見させていただいております。
美しいという感覚は難しいですね。ガウスへの挑戦も怖気づいてしまいます。
オイラーの等式の美しさが、『異なる分野で定義された数たちが一つの等式で結ばれたこと』と考えるのであれば、その歴史的背景も含めて、πを利用する方が興味深いと感じました。また、τを用いても美しさは変化しないと感じます。
『わかりやすいこと』を美しさとするのであれば、馴染みのないτよりπを使って欲しいとも思いました。よく知られた数値だからこそ伝わりやすいと思います。
美しさがどのようなものかわかっていないので明確なことは何も言えませんが、『もっと美しくなる』も『美しくない』も過激な表現だと感じます。
今後も楽しみにしております。失礼いたしました。
一発ギャグ：「オイラはオイラーじゃない、オイレルだ！」なんちゃって😂
無限級数の「絶対収束」を前提にしないと、オイラーの等式を導き出せないのでは。
何度微分しても死なない無敵の指数関数にも、欠点が一つあります。それは0になれないことです。
0と1が加法と乗法の単位元だから美しいっていう人もいるけど、オイラーの等式において0と1が出てくるのは、まぁ言わば「たまたま」であって、単位元だからとかの深い理由はないんだよな。
球面においては円周率π=4になるから、τ=8になって、e^iτ=1はe^8i=1になってeを有理数として計算できるのではないだろうか？？？
そのご意見、虚構新聞に投稿なさっては如何。
τのほうがきれいかもと思う理由
そもそもの話、円は半径を基準とする図形だからτの方がいい気がする。
0が書かれてるから美しいは違うと思うから。書かれていない0の方が0の本質な気がする。
どうしても書きたいなら
e＾iτ + 0 ＝ 1
これでいい
0がそもそも分野の定義によって異なる挙動をするバグの原因だから。ハブられる0の「お前出直してこい」感が面白い
代数幾何解析の他に発展してきた記号論理で0はFalseで偽だから
動画の考え方のように、昔は正n角形で円周と直径から円周率の値を求めるためτではなくπを選んだ、そっちの方が直感的で違和感がない。だって急に円周と半径で計算したら違和感しかないし納得もいかないじゃん？今の一部の人のように。
奇数角形の場合を考慮すれば直径は難しすぎる気がしますが（偶数角形なら直径でもよい。でも、よい。）
つまりe^iπ+e^iτ＝0ってことだな
オイラーの等式というと、位相幾何学の分野にも同じ名前のものがありませんでしたっけ？ 当方の記憶違いかな？
○○「確かにオイラーの等式は美しいが私に言わせれば=0ならわざわざ計算する必要がないんじゃないかと思う」
うる覚えだけどこんなこと言ってたな
うろ覚え警察だ
@@自分磨きしてる人 すいませんでしたm(*_ _)m
どんな数でも0乗すると1になります
eとiと円周率τを組み合わせると0乗と同じ結果になるってすごくないですか
これを満たす数字がeと言うだけと言う見方もある
閃いた！
正円のタオが+1の振動数つまり量子の実在性を導き出すなら、πは-1の反粒子を表しているんだな(笑)
うーん。回答者が悪い気もする。
幾何学的、代数学、解析学から産み出されたものを1つの式に納めた世界一美しい式とどこかの解説で聞いた気がする。それらの質問で◯と答えていたら正解できた可能性あるかもね。
自分には無理だが。
iは虚数なのに乗数に使えてiπだと-1の実数になるのが意味わからない
最近のy-xは(3.2)を通るのか
ところでこれ、３つの定数が１つの等式として成り立つってこと以上に、解析学、代数学、幾何学、そもそもどれを説明してる式なの ？
右辺をマイナス１とした時、オイラーの等式の美学は自然数がないところだと思うんですよ。
ネイピア数の説明、1に収束してますよ
τを用いた式について、τで一周してるわけだからθ=τのときθ=0のときと同じ位置にあるから、e^0と等しくて1になるっていうだけだから当たり前感が強くて美しさを感じない
一太須一は…🥺
またここにもτ勢がいるんだなぁ
ｇういいいはー😊😊
ついでに「Ｃ」光速、「Ｅ」エネルギー、「Ｇ」重力。。
こいつらも絡ませた式があったら、凄いことになっていた気がします。。。
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すでに有るのかな？？
美しく無いかもしれない。
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でも自分は花より団子なので、そっちがいいです。
最高の数学の理論と物理の融合。これこそ最高に感じます。
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m475_m475
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G(万有引力定数)ではなくm(質量)でいいなら、アインシュタインの公式 E=mc^2 があります
オイラーの等式と同じく、物理界隈の美しい公式として有名です
三平方の定理の方が美しいと思う。
物理とかさ、つりあいの式って=0で表されること多いじゃん？別に元の式でも全然いいと思うけどな
それは
e^(iτ)-1=0→e^(iτ)=1
e^(iπ)+1=0→e^(iπ)=-1
の違いでしかないから、それこそ前者の方が釣り合っていることを一目で認識できると思う。
一方の力-他方の力=0
より、
一方の力=他方の力 の方が直感的。
e^(0+τi)=1
は？
うーむさっぱり
1コメ
e,i,πと1と0が全部あるから美しいと言ってるんだが
それをすっきりさせて美しいとか…
1を足してゼロになると言うこじつけより、回転させて1に戻る方が円としての真理で美しいと感じます。積分的にも円の基本物理量は半径だと思いますよ。
わかるわぁ
代数学のi、幾何学のπ、解析学のeそして
加法単位元である0と乗法単位元(二項演算子の単位元)である1
これらの数学における重要な数達が一堂に会して揃ってるからこそ美しいと言うのにね
2番煎じ