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「自然対数の底を虚数と円周率の積乗すると-1になる」言葉にすると本当にわけが分からない
もはや霊夢は文系ではないと思う
初めてこの式を見た時の衝撃を覚えています。もっと知りたいと欲かいた結果、複素解析の沼にどっぷり浸かってしまいました
言われたら微分を思い出せる霊夢は最早文系ではないのでは
16:21 ゆっくり向けにデフォルメされた霊夢はともかくとして、元々の姿は美しいと思う。
1，0，π、e、iがあった方が全員集合感あって好きだからτは無粋派
博士の愛した数式でこれが出た時、ナニコレ？の一言でした。でも美しいって言うのは何となく分かりました。
学校で習った時は「e?なんだコイツ…？よく分からん謎の数字だな…ただただめんどいだけやん…」なんて思ってすいませんでした。めちゃくそ美しい数字でした
0:38 領域展開: マクローリン展開
数学仲間で数学者になった奴は、「俺は数式や定理の美しさで一発ヌケる」って公言してたなあ。
この式は高校レベルの数学ができる人ならなんとなく理解できるのに、発想する事がめちゃくちゃ難しい けど計算自体は簡単な変形で偶然この式になった事を発見したってのが美しいポイントの一つであって、この式ありきでπがτだったらもっと美しくなるはナンセンスだと思ってる元の式と格段に美しくなるならまだしも誤差の範囲、なんなら個人の感性で分かれるレベルだし
円周率をπではなくτ（=2*pi）と定義した方が数学として自然で分かりやすく、オイラーの等式に当てはめるとe^(i*τ)=1となりさらにシンプルで美しくなるとどこかの動画で見ましたが、登場人物の「0」がいなくなってしまうのに気づきました
冒頭の会話が気になりすぎる
マクローリン展開を用いる「証明」はなぜか人気がありますが、複素数平面の単位円周上で1からθ回転した位置がcosθ＋isinθで、回転の合成が指数法則と同じだからそれをe^(iθ)と表す（θが時間tなら、微分したらiがかかることと速度ベクトルがちょうど半径の向きと直角になることに対応）という説明も直観的で分かりやすいと思います。その意味では、e^{iπ)＝－1は「半周したら反対向きになる」という当たり前の内容ですが、これをわざわざe^{iπ}＋1＝0と変形して、「加法の単位元と乗法の単位元まで結びついてる！」とか言うのはコジツケな気も…あと「2π」を「τ」という定数にしたほうが合理的だ、とかいう説があったと思いますが、それだとe^{iτ/2)+1=0とかよりe^{iτ)=1のほうが「美しく」なるのでは。
8:18 関数y=sinθとし角度θを+h°傾けたら(θ+h)°になり点(θ,sinθ)(θ+h,sin(θ+h))で表せるから微分の定義でy'=−[sin(θ+h)−sinθ]/hとなる。①①より[sinθ−sin(θ+h)]/h次に加法定理よりsin(θ+h)=sinθcosh+cosθsinhy'=(sinθ−sinθcosh+cosθsinh)/h〃=[sinθ(1-cosh)+cosθsinh)]/h ②②よりsinθ(1-cosh)/h +cosθsinh/hに分けるここで角度hを小さく(θに近づけるように努力)するとlim(h→0)(1-cosh)/h=0,lim(h→0)sinh/h=1③よって③を使ってy'=cosθつまり関数y=sinθを微分するとy'=cosθ
13:49 つまり、炭治郎＾（悟空*ナルト）＋１＝０と。
数学界のスマブラ
虚数は納得してるけど虚数乗が未だに納得出来ない。よくマクローリン展開とか微分を使って導いてるけどその公式は虚数乗が成り立つ前提で話進めてて虚数乗が成り立つ証明が分からない。
良く出される例えだけど、それってマイナス乗と言ってることは同じだよね。マイナス回掛けるということは出来ないけど、累乗の法則を使うことでマイクラ乗が何なのか導き出すことが出来る。やってる事は同じ…だよね？
@@nobreads_456マイナス乗はプラス乗したら元に戻る数、プラス乗は分かるから逆算してマイナス乗を導き出せる。虚数乗は、マイナスの虚数乗したらもとに戻る？虚数乗知りたくて逆算しようにもマイナスの虚数乗も分からない。
@@星泥棒-m4r ＞マイナス乗はプラス乗したら元に戻る数それが指数法則などからプラス乗の値と辻褄が合うように勝手に定義しただけ、って話ですね。複素数乗についても同様に実数乗の値と辻褄が合うように定義したわけで、やってることは同じということ。そもそもプラス乗は分かると言いますが、1.5乗とか√2乗みたいな非整数乗だってよく分からないところを整数乗の値と辻褄が合うように勝手に定義しただけです。
細かいことは分かりませんが、解析学の教科書では次のように複素数の冪乗を定義していくと思います。①xを実数とした実関数eˣをマクローリン展開する。eˣ=1+x+(1/2!)x²+(1/3!)x³+…②①のマクローリン展開の式のxを複素数zにしたものを、複素指数関数eᶻの定義としてしまう。eᶻ≡1+z+(1/2!)z²+(1/3!)z³+…③②の定義式は、指数法則などを満たすことを示すことができる。④少し複雑ですが、複素指数関数の逆関数として複素対数関数logzを定義できる。※複素数では一般には値が一つに定まらない⑤最後に複素数α、βによる複素数の冪乗αᵝを次のように定義する。αᵝ≡e^(βlogα)※複素数では一般には値が一つに定まらない
@@チノ-d7k③までは理解できる。e^xは実数の範囲でマクローリン展開できるし、その展開した式に虚数を代入できるけど、その虚数を代入した式がe^iに戻るかがわからない。虚数乗はあくまでただの印（e^xをマクローリン展開した式にiを代入した物と定義しただけで本当に虚数乗してる訳ではない）なのか、もしくは本当に虚数乗してるのかどっちなんかな
どうも動画をありがとうございました。😀
何度見ても美しい
だ か ら な に ？
美しすぎる…
τ=2πとしてe^iτ=1が美しいという人もいるが、これは0がないので美しくない
e^iτ-1=0とすれば0も仲間に入れられるがそれじゃわざわざτにした意味がないという
e^iπ+1=0は乗法単位元を加法に使ってるので全く美しくないe^iτ=1だと乗法単位元がちゃんと乗法の形で出てくるので整合性があって美しい
@@malo2793 同意+1がちょっと気持ち悪いから、e^iτ=1の方が美しく感じる
τの異物感の方が嫌い
なるほど水島漫画が集結した大甲子園は準決勝までは面白かった。しかしこの等式が美しくしいとは思えない。これを使って解く問題を見たことがないからだ。
美しさと実用性の関係は置いておくとして……log(-1) とか i^i とか sinx=2 の解とか求めてみてはいかがでしょうか
@@tanatomo こう書いてみたものの、美しさと実用性は両立しなくていいと思いなおしたんですよ。ガンダム好きの私はアムロを神格化し、競馬ファンはサイレンススズカを神格化するのと同じなんだなとｗ
線形微分方程式で解をe^ikxとおいて実部を現実解として求める常套手段
そういう問題を見つけられないだけでは？
美しいというのは何となくわかったのですが、これが成り立つとことで、何かが解明されたりしたのでしょうか…そういうの聞くのは野暮なの？
量子力学で外力の影響を受けない自由粒子の状態を表す波動関数というものがΨ=e^i(ωt-kx)という形になりますダイオードだったりトランジスタなどの電子の挙動はこの波動関数で求められます
日本が誇る天才(奇才？)数学者、岡潔先生の言葉に｢スミレはただスミレのように咲けば良い。スミレが咲くことで春の野に影響があろうがなかろうがスミレには与り知らぬことである。｣というのがある。オイラーは野山に分け入って美しいスミレを見つけた。それでいいんだよ。
私には数学的センスがないので、オイラーの等式を見ても何とも思わないｗ
πが直径との比のせいで全て台無しの残念な式
半径との比にするとぴったりゼロなんでしたっけ？
e^iτ=1になる
0も1も入ってるほうがすきあ
0と1が入ってるのもまあ確かに美しいけど、絶対eとi とπがひとつになって1になってる方がエレガントだよなあ
![Seungmin "그렇게, 천천히, 우리(As we are)" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/kAzmhLHePqU/mqdefault.jpg)
「自然対数の底を虚数と円周率の積乗すると-1になる」
言葉にすると本当にわけが分からない
もはや霊夢は文系ではないと思う
初めてこの式を見た時の衝撃を覚えています。
もっと知りたいと欲かいた結果、複素解析の沼にどっぷり浸かってしまいました
言われたら微分を思い出せる霊夢は最早文系ではないのでは
16:21 ゆっくり向けにデフォルメされた霊夢はともかくとして、元々の姿は美しいと思う。
1，0，π、e、iがあった方が全員集合感あって好きだからτは無粋派
博士の愛した数式でこれが出た時、ナニコレ？の一言でした。でも美しいって言うのは何となく分かりました。
学校で習った時は「e?なんだコイツ…？よく分からん謎の数字だな…ただただめんどいだけやん…」なんて思ってすいませんでした。めちゃくそ美しい数字でした
0:38 領域展開: マクローリン展開
数学仲間で数学者になった奴は、「俺は数式や定理の美しさで一発ヌケる」って公言してたなあ。
この式は高校レベルの数学ができる人ならなんとなく理解できるのに、発想する事がめちゃくちゃ難しい けど計算自体は簡単な変形で偶然この式になった事を発見したってのが美しいポイントの一つであって、この式ありきでπがτだったらもっと美しくなるはナンセンスだと思ってる
元の式と格段に美しくなるならまだしも誤差の範囲、なんなら個人の感性で分かれるレベルだし
円周率をπではなくτ（=2*pi）と定義した方が数学として自然で分かりやすく、
オイラーの等式に当てはめるとe^(i*τ)=1となりさらにシンプルで美しくなるとどこかの動画で見ましたが、
登場人物の「0」がいなくなってしまうのに気づきました
冒頭の会話が気になりすぎる
マクローリン展開を用いる「証明」はなぜか人気がありますが、複素数平面の単位円周上で1からθ回転した位置がcosθ＋isinθで、回転の合成が指数法則と同じだからそれをe^(iθ)と表す（θが時間tなら、微分したらiがかかることと速度ベクトルがちょうど半径の向きと直角になることに対応）という説明も直観的で分かりやすいと思います。その意味では、e^{iπ)＝－1は「半周したら反対向きになる」という当たり前の内容ですが、これをわざわざe^{iπ}＋1＝0と変形して、「加法の単位元と乗法の単位元まで結びついてる！」とか言うのはコジツケな気も…
あと「2π」を「τ」という定数にしたほうが合理的だ、とかいう説があったと思いますが、それだとe^{iτ/2)+1=0とかよりe^{iτ)=1のほうが「美しく」なるのでは。
8:18 関数y=sinθとし角度θを+h°傾けたら(θ+h)°になり点(θ,sinθ)
(θ+h,sin(θ+h))で表せるから微分の定義でy'=−[sin(θ+h)−sinθ]/hとなる。①
①より[sinθ−sin(θ+h)]/h
次に加法定理よりsin(θ+h)=sinθcosh+cosθsinh
y'=(sinθ−sinθcosh+cosθsinh)/h
〃=[sinθ(1-cosh)+cosθsinh)]/h ②
②よりsinθ(1-cosh)/h +cosθsinh/hに分ける
ここで角度hを小さく(θに近づけるように努力)するとlim(h→0)(1-cosh)/h=0,
lim(h→0)sinh/h=1③
よって③を使ってy'=cosθ
つまり関数y=sinθを微分するとy'=cosθ
13:49 つまり、炭治郎＾（悟空*ナルト）＋１＝０と。
数学界のスマブラ
虚数は納得してるけど虚数乗が未だに納得出来ない。よくマクローリン展開とか微分を使って導いてるけどその公式は虚数乗が成り立つ前提で話進めてて虚数乗が成り立つ証明が分からない。
良く出される例えだけど、それってマイナス乗と言ってることは同じだよね。マイナス回掛けるということは出来ないけど、累乗の法則を使うことでマイクラ乗が何なのか導き出すことが出来る。やってる事は同じ…だよね？
@@nobreads_456
マイナス乗はプラス乗したら元に戻る数、プラス乗は分かるから逆算してマイナス乗を導き出せる。
虚数乗は、マイナスの虚数乗したらもとに戻る？虚数乗知りたくて逆算しようにもマイナスの虚数乗も分からない。
@@星泥棒-m4r
＞マイナス乗はプラス乗したら元に戻る数
それが指数法則などからプラス乗の値と辻褄が合うように勝手に定義しただけ、って話ですね。
複素数乗についても同様に実数乗の値と辻褄が合うように定義したわけで、やってることは同じということ。
そもそもプラス乗は分かると言いますが、1.5乗とか√2乗みたいな非整数乗だってよく分からないところを整数乗の値と辻褄が合うように勝手に定義しただけです。
細かいことは分かりませんが、解析学の教科書では次のように複素数の冪乗を定義していくと思います。
①xを実数とした実関数eˣをマクローリン展開する。
eˣ=1+x+(1/2!)x²+(1/3!)x³+…
②①のマクローリン展開の式のxを複素数zにしたものを、複素指数関数eᶻの定義としてしまう。
eᶻ≡1+z+(1/2!)z²+(1/3!)z³+…
③②の定義式は、指数法則などを満たすことを示すことができる。
④少し複雑ですが、複素指数関数の逆関数として複素対数関数logzを定義できる。
※複素数では一般には値が一つに定まらない
⑤最後に複素数α、βによる複素数の冪乗αᵝを次のように定義する。
αᵝ≡e^(βlogα)
※複素数では一般には値が一つに定まらない
@@チノ-d7k
③までは理解できる。e^xは実数の範囲でマクローリン展開できるし、その展開した式に虚数を代入できるけど、その虚数を代入した式がe^iに戻るかがわからない。
虚数乗はあくまでただの印（e^xをマクローリン展開した式にiを代入した物と定義しただけで本当に虚数乗してる訳ではない）なのか、もしくは本当に虚数乗してるのかどっちなんかな
どうも動画をありがとうございました。😀
何度見ても美しい
だ か ら な に ？
美しすぎる…
τ=2πとして
e^iτ=1
が美しいという人もいるが、これは0がないので美しくない
e^iτ-1=0とすれば0も仲間に入れられるが
それじゃわざわざτにした意味がないという
e^iπ+1=0は乗法単位元を加法に使ってるので全く美しくない
e^iτ=1だと乗法単位元がちゃんと乗法の形で出てくるので整合性があって美しい
@@malo2793
同意
+1がちょっと気持ち悪いから、e^iτ=1の方が美しく感じる
τの異物感の方が嫌い
なるほど水島漫画が集結した大甲子園は準決勝までは面白かった。
しかしこの等式が美しくしいとは思えない。これを使って解く問題を見たことがないからだ。
美しさと実用性の関係は置いておくとして……
log(-1) とか i^i とか sinx=2 の解とか求めてみてはいかがでしょうか
@@tanatomo こう書いてみたものの、美しさと実用性は両立しなくていいと思いなおしたんですよ。ガンダム好きの私はアムロを神格化し、競馬ファンはサイレンススズカを神格化するのと同じなんだなとｗ
線形微分方程式で解をe^ikxとおいて実部を現実解として求める常套手段
そういう問題を見つけられないだけでは？
美しいというのは何となくわかったのですが、
これが成り立つとことで、何かが解明されたりしたのでしょうか…
そういうの聞くのは野暮なの？
量子力学で外力の影響を受けない自由粒子の状態を表す波動関数というものが
Ψ=e^i(ωt-kx)
という形になります
ダイオードだったりトランジスタなどの電子の挙動はこの波動関数で求められます
日本が誇る天才(奇才？)数学者、岡潔先生の言葉に
｢スミレはただスミレのように咲けば良い。スミレが咲くことで春の野に影響があろうがなかろうがスミレには与り知らぬことである。｣
というのがある。
オイラーは野山に分け入って美しいスミレを見つけた。
それでいいんだよ。
私には数学的センスがないので、オイラーの等式を見ても何とも思わないｗ
πが直径との比のせいで全て台無しの残念な式
半径との比にするとぴったりゼロなんでしたっけ？
e^iτ=1になる
0も1も入ってるほうがすきあ
0と1が入ってるのもまあ確かに美しいけど、絶対eとi とπがひとつになって1になってる方がエレガントだよなあ