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「極限の時は=の意味が違う」と言ってるコメントは全部嘘なので気を付けよう！
この話題が出る度に感じるのが、0.999…=1に疑問を持つ人はε-N論法の論理(任意の精度で近似できること)が理解できないというよりも、「そもそも何故ε-N論法をそのように定義していいのか」って部分で引っかかってるんじゃないかと。ε-N論法で任意の正の実数εより小さくできることを以て0と等しいと定義していいのは、アルキメデス性(を含む実数の定義)により無限小が実数体の中に存在しないことが保証されているからであり、そのことを明確に説明しないと恐らく納得してもらえない。
わかる。非アルキメデス順序体の実例などを以て「実数は唯一つの完備アルキメデス順序体である」ということに納得しない限り、完全に理解したとは言えないと思ってる。
0.999...の後ろの方が「見えなくなる（0になる）まで続ける」なのか、文字通り「無限に続ける」なのかで意味が違うんだけど、「実数体の中に存在しない」ってどちらを指してるの？どちらも間違いなく「実数体の中に存在しない」んだけど、無限という「状態」について考えるか、0という「数」について考えるのかどちらかにしないといけない。0.999...の話で、無限と0は共存できないから。
@@175ch元コメに書かれてる「無限小」というのは、順序群や順序体などと呼ばれる数学的対象の理論で定義される概念で、「0.999...と無限に続ける」とかの文脈とは全く関係が無いのだ…「実数体は無限小を持たない順序体である逆に言えば無限小を持つような順序体も存在すると言うことを理解しよう」という話なのだ…細かく説明できなくて申し訳ないのだ…
@@175ch 貴方様の仰る「見えなくなる(0になる)まで続ける」というのがどのような数学的概念のことを意図されているのか理解できません。
@@匿名希望-w8f無限小を持つ順序体で考えられる0.999...という何かしらは、無限小を持たない実数体で考えれば1との差は0なので、「差が0」を根拠に0.999...=1と言える、という理屈であってる？
#1. 0.999...を整数部が0で小数部が無限個の9からなる数と定義して、#2. 0.999...=1でないなら、0.999...
1=0.999...の説明(証明ではないと思う)0.999…は数を表しているのだから、数直線上のどこかの点になる。つまり、0.999...と対応する実数が存在すると考えて良い。それをaと置く。a
人間はどんなにこの世の理(ことわり)を発見しようともそれはこの世の理の全体の一部でしかない。つまりはまだ発見できていない理にそれを否定するものが隠れている可能性がある。例えばニュートン力学に対する相対性理論のように。そうすると人間にできるのはその時点で知り得た理を使って不都合が生じない＝真理ということにしておきましょうとするしかない。数学においては特に無限というのは人類が到達できないであろう隠れた理があるかも知れない。何故なら人間は無限の世界を体感することは出来ないので想像するしかない。Xを試行回数、Yを失敗した頻度、aを失敗した回数とすれば、Y=a/Xなるが何回失敗してもその後試行回数を無限回まで増やせばY=０となり失敗しなかった事になる。これが死だとすれば生き返ることになる。しかしこの無限回数というのは人間が到達できる領域ではなくその領域がどんな世界であるかは体感できないだけど数学的には不都合が無いように想像でまとめる事が出来るから真理でええやんってやってるだけの話。
中学の時、この事について数学教師に質問したら、「2つの数のa,bの大小を考えるときにはその間の数cが有って、片方がcより大きくもう片方が小さいことを言うことで大小を比べるが、１と0.9999.....の間にはcとなる数が無いから同じになる」って解説だったんだけど、これってε-N論法のことだったんだろうか？
デデキント切断ってやつですね
動画よりもこれが1番わかりやすいんだけどすごい納得した
めちゃくちゃわかりやすい
4:45 循環小数は無限に続くので末尾が存在しないのでこの反論は間違い9:48 無限にかけてるので末尾は存在しないためこの反論は間違い有限：末尾あり、無限：末尾なし、と、有限と無限を分けて考えることが無限を理解する第一歩
そこマジで気持ち悪かったわ
「1/n < εより1/nは0になれる」の部分がよくわからなかった。1/n=0としても矛盾は生じないということ？だとしても次の「よって～」とのつながりがわからない。
僕も動画を見ている中で、「nは自然数であるから1/nは0になれないのでは？」と思いましたね〜
おいらもそこで突然「よって」と言われても、どのへんがよってなのかさっぱりちなみに大学数学もε-δで挫折した
他のチャンネルの動画で勉強したんですが、「任意のεに対して、十分大きなnならば、|1/n|
おそらくはさみうちの原理を使ったんじゃないかと思うんだけどどうなんだろ？「1/nは０になれる」⇔lim1/n=0って意味だと感じた
14:50 からの証明は全体的におかしい気がする
0.999…の意味がはっきりしない限り、まず分かることはない。分かった気になるだけ。何を考えてるか分からないのに、間違ってるも正しいもない。｛0.999…9｝＝｛1−1/10ⁿ｝(nを動かす)という数列の極限(または、極限が存在するか、それを求めよ)を0.999…と書いているだけ。9を増やしたら1に近づいていくのは直感的に明らかだと思う。以上のことを踏まえれば等式はこの当たり前を表しているだけで、何か特別なことを言っているわけではない。極限は、色々と定義を与えていくだろうけど、近づくというイメージがあれば大抵のことは対処できるかと思う。ただ、それでも数学ではどんな定義があるかを知りたければまずはε-δ論法、アルキメデスの性質をやることになる。ただ、この辺は何が証明できて、何を公理とするかを議論してるから、0.999…＝1の証明を知りたいが為にやることでもないとは思う。
小学生の頃に「無限小数は一番下の位が存在しないよ」と教えてくれた人に中学生になったら「掛け算するなって教えたよね？しかも一番下の位がズレるよね？」と畳みかけられたら無限に泣いちゃう。
無限...？なんだろう、それってあなたの有限ですよね？
つみたてNISAも年40万円まで出来たのに月33,333円までしか出来なかったからな
ε-N論法とアルキメデス論法に対する反論ε-N論法とアルキメデス論法が成立する条件はa1
0.999…=1っていうのはあくまで「無限に続けられたら」の話で、実際は人間でもコンピューターでも無限に続けれないから、納得できない人は実は「=」に納得してないんじゃなくて「…」の部分に納得できてない
循環小数は、１０進数では正確に表現出来ないだけ。
無限を説明する文の中で『無限』という単語を使うのは、果たしてそれは本当に無限を説明出来ているのだろうか
実数の極限は、コーシー列から実数への写像であって、その写し方をε-N論法で定めたものであり、近づく云々の話は実数を理解するためのイメージに過ぎない。無限小数も数列の極限値の略記と考えれば、ε-N論法で十分なはず。って考えています。
くそ！酔っ払いながら見てるからレベル1も理解出来ん。ま…酔っ払ってなくとも理解出来んと思うが…ただ、俺の人生、ずっと0.999…だったような気がする…屁理屈や詭弁を遇して「俺は『1』だ」と。悲しいのう…お前らはそういう人間になるな。
辛いことでもあったんか？なんか心配やで。
0.9999……=1は数学的に成立するんだからコメ主さんは一人前なんだよ飲みすぎて身体を壊さないようにね
人生楽しいこともあるんやから頑張ろうぜ
屁理屈や詭弁じゃないんやで、この世の真理なんや0.5の人生だった者より
良いじゃねぇか1って決まるどころか無限に歩んでる最中、人生なにがあるかわからんお前の数式が現在の数値代入したら0.999...と近似する式だとしても少し先の未来で1以上になる式かもしれん有限の幅で見たら収束してるように見えて無限を考えたら発散する式かもしれんだろ？
なんかこう、数学って約束事の世界なので、表現はいろいろあっても、結局は「0.999...=1」っていうのは、ある種の数学体系における「約束」なんだ、というところに行き着いてしまう気がしなくもない。そして、そんな言い方をすれば、また数学嫌いがひとり増える、と。
＞「約束」なんだ私もそう解釈しています。物理の世界もそうだけど不都合なく論理的に説明できたら「真理」としましょうという「約束」だけど創薬の世界はそうはいかない。論理的に不都合なく説明できてもその時点で絶対に「正しい」とはしない。必ずそれが正しいかの現実的な検証をする。何故なら人間は必ず絶対に正しいという理は宇宙の理の部分でしかなくまだ発見されていない理の中にそれを否定するものが隠れている可能性があるからです。そう、ニュートン力学に対する相対性理論のように。そしての現実的な検証が創薬の世界では治験になります。しかし数学は現実世界での検証が出来ないモノがあり約束事にするしかない。例えばXを試行回数、Yを失敗した頻度、aを失敗した回数とすればY=a/Xが成り立つ。失敗回数がゼロの間は試行回数に関係なく失敗した頻度もゼロである。しかし何回失敗しようがその後に無限回数試行すればY=0となり失敗は無かった事になる。これが死だったなら生き返ることになる。だけど治験のように無限回数試行してみるという検証は人類にはできずもはや神の領域である。なので無限を扱う数学はモロ約束事だと思う。例えば無限を使えば長さ５の線分と長さ10の線分が等しい事は証明することができる。(この場合の等しいは長さではなく濃度の比較ですね。)
lim[x→α]f(x)って表記は「なんという数字か」ではなくて、「なんという数字に近づいているか」って意味だから近づいている数字βが存在するなら=で繋いでlim[x→α]f(x)=βって書く逆に「x→αのとき」と書いたらf(x)→βと書く※f(x)がαの近辺で定数関数のときは=β0.999...っていうのは、...にlimの意味を内包してると考えるのが普通だから0.999...=1
デデキント切断を使った証明が割と納得がいくし綺麗だと思ってる
それな
1/3づつにカットしてくっつけるやつ？
やっとイプシロン、デルタ論法がわかりました。ありがとう❤
1/3=0.33333.....の両辺を3倍するとき、一の位からかけるなどと言う決まりはない。123×3=369は百の位から掛け算しても問題ないだろう。546×3=1500+120+18=1638と百の位からでも計算できる。百の位から計算すると筆算のとき計算しづらいから一の位から掛け算していることが人間の頭に染み込んでいるだけのことなのだ。よって結論をいうと小学校の証明方法で十分説明できしかも分かり易い。
1＝0.999...は疑問に思うのに1/3＝0.333...は疑問に思わない謎の人々好き
たしかに
たぶんこの証明に納得できない人って中学数学で脱落した人たちだろうから難しいこと言っても通じないんだよな
高校の頃、数学で極限の授業を受けた時、先生が「厳密にはε-δ法を使う」と言っていた様な漠然とした記憶がありました今回の動画の途中までは「ε-δ法は昔の呼び名で、今はε-N法と呼ぶ」と思ったのですが、ググったら内容は近いけど対象が違う（ε-δ法は関数に、ε-N法は数列に）との事でした初めてε-δ法の名前を聞いて以来、何となく極限を説明するものぐらいのイメージしか持ってませんでしたが、今回の動画でより具体的に知る事が出来て良かったです
慣例的にδは（十分小さい）正の実数、Nは（十分大きい）自然数を表すのに使いますねε-δ論法は連続的なものの極限の定式化、ε-N論法は離散的なものの極限の定式化です
数学は素人なので適当な理解ですけどε>0でどこまでも小さくなれる実数εよりも間違いなく小さい数(無限小)の一つは0。0以外に無限小が存在すると仮定してそれが1/nだとしても>0である限りそれを新たなεとすればそれより小さい1/nが必ず存在してしまう。よって1/nの極限は0以外にはありえないってことかな。
xy平面上にx=1とx=-1の2本の直線があり、その原点から高さz方向1.5の位置に視点があり、そこからy軸方向を見たとします。その視界に映った2本の直線は、視界の高い位置に行くにつれて近づいていきます。この2本の直線が、「この視点で見た時にくっ付く」というのが1=0.9999…と同じ考え方だと思っています。さらに言えば、その視点から見た直線をそのまま真っ直ぐ、水平よりも更に上にまで伸ばす(2本の直線が交差してさらに伸ばす)のが解析接続の考え方だと思っています。
0.999...が1と同じではないと感じるのは、単に10進法を使っているせいでは？例えば12進数を使う民族は、0.333...を0.4と表記するわけで、10進数の我々が何に困っているのか理解すらできないでしょう
その民族の中にも0.BBB…=1が納得できない人は居そうですね。
@risingedgeprime1024確かに！基数を変えても本質は変わらないね。数直線上のメモリの刻み方が変わるだけだもんね。どんな基数でも循環小数は現れるし、同じような極限の表現があるわけだから、別に解決にはならない。
「大学数学を使った方法」は、「『任意のε>0に対し、0≦X0」なしで、それにあたることを述べてしまうテクニックがあることに感心しました。φ(｡｡)めもめもただ最後の「アルキメデスの性質」以降の部分は、はっきりε論法だったり「上に有界」や「上限」というつまづき用語も含まれているから、やはり難しいと感じる人が多いんじゃないかと心配だけど、どうかな。
色々突っ込みどころはあるだろーけど1/3=0.333・・・1/3＋1/3+1/3=0.999・・・1を3で割ったのを3回足したら1にならないって方がおかしくね？
まさにその通り！a×(1/a)の解は「必ず」「1」です。そうなっていないのだから、0.333…はそもそも1/3ではないのです。早いハナシ、「3の1/3は、0.9999……なんですか？」てこと。
@@中島秀樹-l3i1/3=0.333...は、「この世界での認識」としては合ってると思う最後の0.000...1の部分は、「この世界で認識できない小ささ＝0」になってしまったただけで、数としては存在してる。だから×3すると元の0.000...1としてこの世界で認識できるようになる無限小数の最後の桁が書けないのは、「認識外の数」だから書きようがない。「認識世界の最小値」を定義すれば、「最小値/3」って書ける数
結局のところ、その説明も動画のLv1、Lv2と同様の問題が生じているということでしょう。無限小数に対する掛け算が怪しいのと同様に、0.3333...+0.3333...+0.3333... = 0.9999...っていう式が本当に正しいの？というのが本質だと思う。足し算にしたって一番下の位から計算を初めて、繰り上がりを考慮しながら上の位に向かって計算していくはず。その一番下の位がはっきりしてない状態で、雰囲気で上の位の部分だけ足し算をしても厳密ではない、っていうことでしょう。
@@html5sg-esk514 なるほど、0.3333…を疑ってるって意味なら分かるどこまで突き詰めるかって問題になるのかな？
つまりは数学上「めっっっちゃ近くすれば一応違うけどおんなじとして考えてええで」ってことか
ちゃんとイコールで結ばれるんで違うわけじゃないけどね
一応違うも1って決めた数字自体にも意味がなくなるだろって話になるので...そもそも1とか他の有理数も無限の精度で求めた数みたいなもんだしな数学上で違うと証明することが無理なので同値として扱ってるだけ
数直線上の同じ場所にある0.999999...より大きく1未満の有限の実数は存在しない
簡単だ
そもそも数直線上に0.9999999 …を表す1点は存在しないのでは？存在しちゃったら9999がどこかで終わってるってことだし
小数点以下に無限に数続くってのがよくわからん、無限は少なくとも実数じゃないだろうし無限は何か特別な概念がないと理解できないというか定義できないような…
@@arrosoirbouton実数は直線に存在するんだから無限に続こうが存在するよ
@@arrosoirboutonそれだったらπもeも√2も数直線上に存在しなくなっちゃう
正直、limが出てきた時点で、limがそもそも直感とは相容れないから何でもありに思える
無限を10倍したら最後に0がつくという論法は無限が有限であるいう主張と変わらないのでは?
数学は1番古くから考えられている哲学って感じやな
建設業は0.1でも1だぞみんな転職しよう
切り上げ最強！
算数を使った証明については、この動画での表現も間違っていると思っていて、1/3を計算する時に必ず出てくる「あまり」が完全に無視されています。
よくわからんが0を使えてれば理解してるって解釈でいいと思う０って0.00000無限00１（1なのかは定かではない）って話しだしそれを存在しないと＝に考えても問題はないよって話100を半分に区切ったとしても0～50 X~100で仮に0～50と50～100だとしたら総体50が二つに増えたことになる。物を加工するとき、のこぎりで樹の板を切るとおがくずが出るじゃん？そのおがくずが０正確に丁寧に加工するためにはヤスリで51から50まで削らないといけないけど、そうなると0～50（50） 51～100（49）の物体が残って1が消えてることになるあるものから裁断をしたと言う事実を残すためには0は必要だけどどこから持ってきたかを延々と話してたらきりが無いからそれ以上は野暮だぜって話コレ理解もクソもなくて文面だけじゃ誰も腑に落ちないだろ。0自体の説明がない限り何についての説明なのか誰もぴんと来ないよ
ド文系でも…という誘い文句なので見てみたけれども、途中からさっぱりわからない…やっぱり文系に数学は無理なようですな
無限の果てに、最後があるという勘違いがこの議論を生み出しているのよね。ところで、3/3=0.999...は納得できるんだけど、1/6=0.1666...が6/6=0.999...になるのが納得いかなくなりかけるｗ最後があると仮定すると0.999...96になるので、誤差が大きくなるからかな。
ね。無限は特定の数に向かうものではないそれはつまり、数と数の間に無限は存在できないことにもなる
7進数の1/6で考えれば1/6=0.111...
@@175chもっと正確に言えば収束か発散するってだけよね
最後があると仮定すると仮定が間違っているので全て間違いです。
＝が「右辺と左辺が等しい、同じである事を表す記号」と考えてしまうから生じる問題なのではないかと思います。我々が右辺と左辺を＝で結ぶ時、そこにどのような意味を持たせようとしているのかを考える必要がありそうだと思いました。
普段の=は双方向に行き来できるのに、収束の定義の=は無限から有限への一方通行な感じがしますよね
数学では＝の記号は「右辺と左辺が等しい、同じである事を表す」ものではなかったでしょうか？場合によってどのような意味を持たせようとしているのかを考える必要があるというのは、数学でない日常の言葉で、＝を英語のbe動詞のように使う場合がありますね。例えば（例えが良くないですが、とっさに思いつかないのでとりあえずの例を書きます）、「○○先生は高校の数学教師である。」を「○○先生＝高校の数学教師」という記載も見ることがありますが、その反対の「高校の数学教師＝○○先生」は正しくありません。つまり数学ではどのような場合でも＝という記号を使う以上、反対にしようが必ず一致する時にしか使えません。私も素人なので、別の意味でのコメントであればご容赦ください。
むしろ同等と数学の厳密性を勘違いしてるのかと右辺の誤差を認めなかった場合、左辺の誤差も考えなければいけない数学は厳密だからこそ無限も0に収束するか任意の方向の無限に発散し、ある数はその数であると定められるそして右辺と左辺が無限の精度によって必ず等しくなるものがある実際はどこかしらで有限になるから違和感が出るそれは計算方法の違いであり収束速度の差によるもの、または定義ミスだな
無限級数の収束を議論しない限り証明にならないので少なくともイプシロンエヌ論法は必要
タメになるけど、ゆっくり特有の「0.999」の発音に毎回ニヤついてしまう
レーテン⤵︎キュウキュウ⤴︎キュウ⤵︎☆
無限の扱いが難しい理由
では、ある値を三個足して1から引いた結果が0.000…1になるある値とは何になるのだろう？
「反論できる」も何も、そもそも①の段階で「1÷3＝0.333…」というのは割り切れないからどんなに桁数を増やしても小数で表せないものを無理矢理小数で表しているだけであり、「0.333…x3＝1」なんだよね。だから「0.333…x3＝0.999…」という認識がそもそも間違ってる。逆に「0.333…x3＝0.999…」が正しいとするならばその左辺である「0.333…」は、「1÷3＝0.333…」の右辺である「0.333…」とは別の数字である。全てにおいて最初から「1＝0.999…」ありきでそう見えるように式をでっちあげて証明と言っているだけ。左辺と右辺がイコールにならない事柄を、色んな方法を用いて「そう見えるように」並べ立てて「そう見えるように」仕向けているだけに過ぎない。よって「証明」でも何でもなく、極論すると「詐欺」と同じ。
その考えと全く同じ1/3で表される0.333...の正体は「0.333...3+実数の最小値/3」の数だよね。実数の最小値を決めていない現代数学だと「実数の最小値/3」と記述できないから0.333...って誤魔化してるけど、実際にはそこに数があって、「0.333...3+実数の最小値/3」に×3したらキレイに1になるだけの話だよね逆に、0.333...と表記し続ける限り、最後の部分が「+最小値/5」や「+最小値/9」みたいな他の数とは区別できない
lim x→∞ 1/x = 0①limitの入った①の左辺は、xを十分に大きくした時に「近づく数」を表しています。「近づく数」というのは、「代入して得られる数」そのものではないことに特に注意する必要があります。左辺は0.000…1となるわけではないのです。limit が入った①の左辺と、とてつもない大きな実数xを代入した単なる1/xとは別物なのです。①の左辺と、1/x は同じものではありません。①の左辺と右辺は近似式などやごまかしではなく、まさしく等しいと言えます。理学部数学科卒の人間より
たとえば、1に1番近い数は何？って考えると、1.000...1と0.999...9の二つが考えられると思うけど、グラフで考えると、y=lim(x→∞)1±1/xを表した時に行き着く先は同じって考えると、1.000...1も0.999...9も同じ1になるから、やっぱ1なんだよ。説明下手なのはわかってる。ごめんよ。
lim[n→∞]0.1^n=0だから、無限桁のこの小数を1に足しても1から引いても1のまま。大丈夫、伝わってます
実数の連続性による性質で１に収束することになってしまうが、実数こそ摩訶不思議な性質を持つ「想像数」と言える。これに比べれば複素数（虚数も含め）の概念の方がずっと地に足がついている。超準解析による超実数の解説もして欲しいです。
0.999...は終わりが無いからガブリエルのラッパと同じでしょ無限に続くならどんどん0.9から1に近づいて行くイメージ!
証明ではないけれど、実数を並べた実数直線は切れ込みがなく連続だからとなり同士の区別がつかないこと自体は直感的
算盤やってた人はこの無限に続く9について結構考えるんよね(1÷1をやると1にも0.999…にもできる)
小学校の授業で、『lev1では不十分→lev4で』というのがあったけど、なるほど。数式を使わないからlev4をやったのか！
小学生に「1+1を計算して」って言ったら、「+」を二つの1に適用して2を返してくれるように、「lim[n→∞] 0.9^n を計算して」って言ったら「lim[n→∞]」を0.9^nに適用して1を返すだけ。子供が「粘土だったら1+1=1じゃん！」って言うのに対して、「足し算はそういうルールじゃないんだよ」って言うのと同じで、「limはそういうルールの演算だよ」ということ。そして、0.999…は、lim[n→∞] 0.9^nの略記と考えればよい。
0.9を２乗すると、0.81となるからあなたの言ってることは全くおかしいよ。0.9の3乗は0.729になっちゃうよ。
1-0.99999...=n として n の値を考えてみよう。
１ｍのロープを永遠に9:1の長さに切り分ていく考え方があるよ。１ｍのロープを9:1の長さに切り分ける。すると0.9mと0.1mの長さ２本になる。次に短い方の0.1mのロープを同様に9:1の長さに切り分けて、0.09mと0.01mの長さ２本にする。この行為を永遠に続ける事を想定して数式化すれば1=0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+･･･1=0.9999999･･････
ε-N論法をもってしても、「1≠0.999…」を信じたい方は、超準解析を学ぶとよいでしょう。あなたのほしい世界が広がっています。
矛盾が生じるから同じ値にするっていうルールがあるってことね。だからイコールで表せるってわけか。
どうも動画をありがとうございました。😀
小中高までの証明って結局0.000…1みたいな無限に小さい数が0になるって事を納得しないと受け入れられない論法だよね0.000…1＝0を受け入れられるんなら0.999…＝1-0.000…1＝1-0＝0で納得できるのも当然。つまり類似の問題にすり替えてるだけだと思う。
自分は1-0.999…=0.000…でどこまで行っても0だから差が0って事は等しいと言う事なので、1=0.999…となると理解してましたが、どこがおかしいですか？
数学の系列によって、定義の仕方が異なる。しかし、「 0.999…=1 」は 私にはどうしても受け入れることが出来ません。 y=1/xのグラフが軸と交わることがないのと同じ と思うので… 😊
大学レベルは0.99999…と1の間に差はないからもうそれは1やん。ってこと？？
いら、実数だとそうなるだけ
何もかも10進法が悪い()
イプシロン-ロンエヌ論法じゃなかったっけ？
ロンエヌは数列で、デルタは関数じゃなかったっけ？
4:37 「末尾がずれて計算が合わなくなるはずなんだ」4:43 0.999…の最後の9が残ってしまうんだ」これらの発言は「無限」を理解していない発言です。話を簡単にするために、この後の説明の演出のためなんだと思うけどね。「末尾」や「最後の9」と言った時点で無限小数「0.99999…」ではなく有限小数「0.9999…9」の話をしていることになり、「１≠ 0.99999…9」を言ってるだけになります。無限小数「0.9999…」においては、「末尾」や「最後の9」は存在しませんので、「ずれる」とか「最後の9が残る」などということはあり得ません。ここが無限の直感的には理解できない点です。なので、「9.9999… － 0.9999…」は小数点以下が残ることなくすべて消えて9になります。よって1 ＝ 0.99999… が言えます。
当たりを先に用意してハズレを無限に用意すると外れる確率は1/1ではないのでは？
1であってますよ。Aという事象が起こりうることと、Aが起こる確率が0になることは無限が絡めば両立します。
@@クミンガ でも当たりましたよ！
数学わかんない身としては、そう表現するしかないから例外的にって感じがしてしまう。これが成り立つなら -0.000... = 0 = +0.000... も正しい気がするし、直感的にはめっちゃ違和感がある。
ククククク。カイジのこの笑いは博打の無間地獄を証明してるんですね
ククククク古弓六黒苦私の古い弓のようなプレイスキルでダイスはブラックホールになるという意味
0.999…に末尾9があるっていう考えをみんな持ってるから納得できないんだろうな
これ、1億円持ってる人から1円盗んで「誤差みたいなものだから盗んでないのと同じ」って理屈と同じにしか聞こえない。
それはあなたの理解不足ですよ
Rに離散位相を入れれば1≠0.999...は証明できるし、逆に密着位相を入れれば1=2すら証明できる。混乱の原因は「近い」という概念を上手く定式化していないことであり、解決法は位相空間論を学ぶ以外にありません。
それって、「本当に存在しない時の0」と「0としか認識できないだけでそこに存在している数」をしっかり分けましょう、って発想と似ていたりする？
@@175ch そういうイメージを数学的に定式化できるという話ですね。
密着位相を入れたら1=2になることについて、これによれば任意の実数α、βに対しα＝βを言えるように感じるのですが、これだと位相の入れ方によって写像の全単射性が変わってしまうのでは？（全単射性は位相の入れ方とは関係ない）
+0.00…1=0=-0.00…1なのだったら逆数はどうなりますか？
+の方を右極限、-の方を右極限と言います。1/x に x → 0 の極限値を求めようとしても計算できません。なぜなら正の値から近づけて+0に持っていくと∞に、負の値から近づけて-0 に持っていくと-∞に発散します。(反比例のグラフを想像してもらえれば)
よく分からん。リミットも限りなくその値に近付けるってだけでその数とイコールになるわけでは無くて近似値を求めてるわけだから、それが証明になるってのが分からん。無限の性質も、無限を語る時と違う気がするし、都合の良いところだけ採用してるようにしか聞こえない
リミットは近似値じゃなくてどの値に近づくかを求めているのと、まず...自体が極限を表しているからその定義に納得できないなら多分どんな説明でも納得できないと思う。
@@oyN-mz6od 近付いてるだけでその値にはならないならその値とはイコールでは無いのでは？テスト自体は覚えれば解けるのでどうとでもなりましたが、納得は出来なかった部分多いです。
@@arrosoirboutonその値になる必要はなく、どの値に近づくか分かれば良いのです。
気持ち分かります。ε-Nによる収束の定義を見てみると、リミットよりも納得しやすいと思います。数列(an) がある値(αとします)に収束するというのは、任意のεに対して、nを十分大きくすると、anとαの距離(|an-α|の値)をε未満にできる、ということです。気持ちを伝えると、どんなεに対してもnを大きくしたらいつでもεで抑えられます！→勝負に絶対勝てる！みたいな感じです。いかがでしょうか、、
@@arrosoirbouton 1/∞=0にはならないけど、limがつくと何に近づくかを表すから=0になる。一応、何に近づくかの部分がlimの定義に入り込んでるから、≒とかにする必要はない。
1-0.999…=0でも証明できそう。でもlim使うから、高校数学のやつと同じなんか。
愚地独歩が子供の時に0.999…をいくら書いても1にならないって言ってたな
9.999…車は救急車だけれど、0.999...車は霊柩車という可能性もありますね？
は？（威圧）
0.99...≧10.99...＜1この式ってどっちが正しいのかって考えると結構違和感を覚えるんだよな。
そもそも無限が存在するのは自明なのか？ペアノの公理系＆ＺＦ公理系では「限りなく大きな有限」しか構成できないように感じるなぜ実無限（完了したor到達した無限）が存在する！ と公理で宣言しないのだろう？この「実無限公理」が宣言されていないから可能無限論者から突っ込まれるんじゃないかなｗ
本当の意味の無限は数と数の間には存在せず、「上にも下にも数が無限に続く様子」を表すこういう話で登場する無限は、「人間が認識できる範囲を超えた何からの数」で、本当の意味での無限ではない今回の「差が0だよね」というのは、人間が認識できないから0なのであって、実際には「認識できない数の差」が存在している。確かに認識できる世界では差が0だから0.999...=1なんだけど、本質的には差があって、そこに違和感が生まれる
いや、見たまんま違うやん。みたいな(例え)従来の証明方法から逸脱した解答が必要だと思うあと循環小数が文字に置けるのよくない
3辺りから日本語に聞こえなくなってしまった
そろばんやってて10で割れるものを9で割ろうとするとほんとに0.99999になるんだよねww
極限と有限は同じ土俵では比較できない
0.999…ってのは1という数を別の見慣れない方法で書き表しただけとも言えるので、1=0.999…なのはある意味当たり前なんだよね。
見てる途中のコメント1わる３の意味の0.333...は、まだ割り算を行っている途中で計算結果が出てないそれに対して、かける3の操作を行うと、答えはundefined * 3 = undefinedになるって俺は思う
直後に同じことを魔理沙が言ってたわ
0:00 今回の動画は水○魔理沙と大○霊夢の解説でお送りするぜ！！
0.999…と1の差は0.00..1かと思えるが実際に0.999…には終わりがないので0.00..1の1は存在せず、差が0になると聞いたことがある
高校数学の反論要素雑すぎて笑った
高校の頃、クラスメイトが中学時に数学の先生に教わったという以下の説明が解りやすかったけど、ググっても同じ説明を見たことがない。－－－－通常なら １÷１＝１ で終わるところ、一の位に１を立てずに０を立てて小数点第一位に９を立てると余りが出て……と繰り返すと0.9999....と続くから0.9999....は1と等しい。ーーーー筆算で考えてもらえると解りやすいはず。 ０．９９９９．．．． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿１）１．００００．．．． ９ ＿＿＿ １０ ９ ＿＿ １０ ９ ＿＿ １０ ９ ＿＿ １
これすごいな、いつか人に教えそう
実数には無限小を表す数が無いから、実数の範囲ではイコールとせざるを得ない、と言う説明以外納得出来ないと思う。実際に無限小を含む数の体系ではこの2つを区別する。質問の本質は、なんで無限小を含まない実数を使っているのか？なので、これには答えられて、理由は便利だから。無限小を含む数の体系は実用性が無さすぎるから使わないだけ。
ちゃんと無限小数の反論あるのがよいよね(´・ω・｀)大学の数学はもう哲学だからなぁ
少数0.333…と×10した3.33…の下列がうやむやだがパターンで同じだが歩調にズレがあるとすれば同じじゃないかも。違いが出る計算で現実的データが出たら証明真偽はさておき、面白い気がする😆💦
使える桁数は限定とかなるだけで変わってしまうし、限定桁数ごとにも変わった差異になるらへんも実際使える誤差かも。誤差がリアルデータてのもありそうだけどないないわけでもないことがあるかも知れないのかもしれない。
0.999...や0.333...といった表記は使うべきでないと思う極限の概念を導入しているならもう少しわかりやすいように明記すべき
1=0.999…の証明誰か一人が同じって言えばもうそれは1よ
レベル1無限小数使ってて小学校レベルじゃなくてワロタ
0.999は0.999だよ1じゃない 全くの別人だよ
数学的には「0.999...と1との差は0だから0.999...=1だ」って論調だけど、実際は数としての差が認識の範囲を超えて0にしか見えなくなっただけで、そこある数としての差はなくならない（認識論抜きでの真の0にはならない）という意味で、0.999...と1の「認識上の差は0」だけど、0.999...≠1が正解だと思ってる
@@175chその感覚は非常に鋭く素晴らしいと思います。0.999…=1が成り立つのは実数体という「アルキメデス性と完備性を備えた順序体」での演算のルールをほぼそのまま適用した結果に過ぎません。0.999…≠1が成り立つような演算体系や極限操作の定義を採用すれば、当たり前(同語反復)ではありますが、0.999…≠1は確かに成り立つのです。結局のところ、採用する公理や定義の問題であり、あまりに実数体の定義(公理)に慣れ親しみすぎて他の可能性が想起しづらくなっているだけではあると思います。
muzukasiidesune
正直、救急車（99…）は面白かった❗️
レベル2ってレベル３を前提としてレベル２として説明してるからおかしくなってるきがする。
循環小数だから9/9=1で1発なんだよなぁ...
これを理解できない人は、きっと「無限」の概念を履き違えているんだと思う
屁理屈が数学に適用できるなら１も１億も同じ
『尺に触る』
「極限の時は=の意味が違う」と言ってるコメントは全部嘘なので気を付けよう！
この話題が出る度に感じるのが、0.999…=1に疑問を持つ人はε-N論法の論理(任意の精度で近似できること)が理解できないというよりも、「そもそも何故ε-N論法をそのように定義していいのか」って部分で引っかかってるんじゃないかと。
ε-N論法で任意の正の実数εより小さくできることを以て0と等しいと定義していいのは、アルキメデス性(を含む実数の定義)により無限小が実数体の中に存在しないことが保証されているからであり、そのことを明確に説明しないと恐らく納得してもらえない。
わかる。
非アルキメデス順序体の実例などを以て「実数は唯一つの完備アルキメデス順序体である」ということに納得しない限り、完全に理解したとは言えないと思ってる。
0.999...の後ろの方が「見えなくなる（0になる）まで続ける」なのか、文字通り「無限に続ける」なのかで意味が違うんだけど、「実数体の中に存在しない」ってどちらを指してるの？
どちらも間違いなく「実数体の中に存在しない」んだけど、無限という「状態」について考えるか、0という「数」について考えるのかどちらかにしないといけない。
0.999...の話で、無限と0は共存できないから。
@@175ch
元コメに書かれてる「無限小」というのは、順序群や順序体などと呼ばれる数学的対象の理論で定義される概念で、「0.999...と無限に続ける」とかの文脈とは全く関係が無いのだ…
「実数体は無限小を持たない順序体である
逆に言えば無限小を持つような順序体も存在する
と言うことを理解しよう」
という話なのだ…
細かく説明できなくて申し訳ないのだ…
@@175ch
貴方様の仰る「見えなくなる(0になる)まで続ける」というのがどのような数学的概念のことを意図されているのか理解できません。
@@匿名希望-w8f無限小を持つ順序体で考えられる0.999...という何かしらは、無限小を持たない実数体で考えれば1との差は0なので、「差が0」を根拠に0.999...=1と言える、という理屈であってる？
#1. 0.999...を整数部が0で小数部が無限個の9からなる数と定義して、
#2. 0.999...=1でないなら、0.999...
1=0.999...の説明(証明ではないと思う)
0.999…は数を表しているのだから、数直線上のどこかの点になる。
つまり、0.999...と対応する実数が存在すると考えて良い。それをaと置く。a
人間はどんなにこの世の理(ことわり)を発見しようともそれはこの世の理の全体の一部でしかない。
つまりはまだ発見できていない理にそれを否定するものが隠れている可能性がある。
例えばニュートン力学に対する相対性理論のように。
そうすると人間にできるのはその時点で知り得た理を使って不都合が生じない＝真理ということにしておきましょうとするしかない。
数学においては特に無限というのは人類が到達できないであろう隠れた理があるかも知れない。
何故なら人間は無限の世界を体感することは出来ないので想像するしかない。
Xを試行回数、Yを失敗した頻度、aを失敗した回数とすれば、
Y=a/Xなるが
何回失敗してもその後試行回数を無限回まで増やせばY=０となり失敗しなかった事になる。
これが死だとすれば生き返ることになる。
しかしこの無限回数というのは人間が到達できる領域ではなくその領域がどんな世界であるかは体感できない
だけど数学的には不都合が無いように想像でまとめる事が出来るから真理でええやんってやってるだけの話。
中学の時、この事について数学教師に質問したら、
「2つの数のa,bの大小を考えるときにはその間の数cが有って、片方がcより大きくもう片方が小さいことを言うことで大小を比べるが、１と0.9999.....の間にはcとなる数が無いから同じになる」って解説だったんだけど、これってε-N論法のことだったんだろうか？
デデキント切断ってやつですね
動画よりもこれが1番わかりやすいんだけど
すごい納得した
めちゃくちゃわかりやすい
4:45 循環小数は無限に続くので末尾が存在しないのでこの反論は間違い
9:48 無限にかけてるので末尾は存在しないためこの反論は間違い
有限：末尾あり、無限：末尾なし、と、有限と無限を分けて考えることが無限を理解する第一歩
そこマジで気持ち悪かったわ
「1/n < εより1/nは0になれる」の部分がよくわからなかった。1/n=0としても矛盾は生じないということ？だとしても次の「よって～」とのつながりがわからない。
僕も動画を見ている中で、「nは自然数であるから1/nは0になれないのでは？」と思いましたね〜
おいらも
そこで突然「よって」と言われても、どのへんがよってなのかさっぱり
ちなみに大学数学もε-δで挫折した
他のチャンネルの動画で勉強したんですが、「任意のεに対して、十分大きなnならば、|1/n|
おそらくはさみうちの原理を使ったんじゃないかと思うんだけどどうなんだろ？
「1/nは０になれる」⇔lim1/n=0って意味だと感じた
14:50 からの証明は全体的におかしい気がする
0.999…の意味がはっきりしない限り、まず分かることはない。分かった気になるだけ。
何を考えてるか分からないのに、間違ってるも正しいもない。
｛0.999…9｝＝｛1−1/10ⁿ｝(nを動かす)という数列の極限(または、極限が存在するか、それを求めよ)を0.999…と書いているだけ。
9を増やしたら1に近づいていくのは直感的に明らかだと思う。以上のことを踏まえれば等式はこの当たり前を表しているだけで、何か特別なことを言っているわけではない。
極限は、色々と定義を与えていくだろうけど、近づくというイメージがあれば大抵のことは対処できるかと思う。
ただ、それでも数学ではどんな定義があるかを知りたければまずはε-δ論法、アルキメデスの性質をやることになる。
ただ、この辺は何が証明できて、何を公理とするかを議論してるから、0.999…＝1の証明を知りたいが為にやることでもないとは思う。
小学生の頃に「無限小数は一番下の位が存在しないよ」と教えてくれた人に
中学生になったら「掛け算するなって教えたよね？しかも一番下の位がズレるよね？」と畳みかけられたら無限に泣いちゃう。
無限...？
なんだろう、それってあなたの有限ですよね？
つみたてNISAも年40万円まで出来たのに月33,333円までしか出来なかったからな
ε-N論法とアルキメデス論法に対する反論
ε-N論法とアルキメデス論法が成立する条件はa1
0.999…=1っていうのはあくまで「無限に続けられたら」の話で、実際は人間でもコンピューターでも無限に続けれないから、納得できない人は実は「=」に納得してないんじゃなくて「…」の部分に納得できてない
循環小数は、１０進数では正確に表現出来ないだけ。
無限を説明する文の中で『無限』という単語を使うのは、果たしてそれは本当に無限を説明出来ているのだろうか
実数の極限は、コーシー列から実数への写像であって、その写し方をε-N論法で定めたものであり、近づく云々の話は実数を理解するためのイメージに過ぎない。無限小数も数列の極限値の略記と考えれば、ε-N論法で十分なはず。
って考えています。
くそ！
酔っ払いながら見てるからレベル1も理解出来ん。
ま…酔っ払ってなくとも理解出来んと思うが…
ただ、俺の人生、ずっと0.999…だったような気がする…
屁理屈や詭弁を遇して「俺は『1』だ」と。
悲しいのう…お前らはそういう人間になるな。
辛いことでもあったんか？
なんか心配やで。
0.9999……=1は数学的に成立するんだからコメ主さんは一人前なんだよ
飲みすぎて身体を壊さないようにね
人生楽しいこともあるんやから頑張ろうぜ
屁理屈や詭弁じゃないんやで、この世の真理なんや
0.5の人生だった者より
良いじゃねぇか
1って決まるどころか無限に歩んでる最中、人生なにがあるかわからん
お前の数式が現在の数値代入したら0.999...と近似する式だとしても少し先の未来で1以上になる式かもしれん
有限の幅で見たら収束してるように見えて無限を考えたら発散する式かもしれんだろ？
なんかこう、数学って約束事の世界なので、表現はいろいろあっても、結局は「0.999...=1」っていうのは、ある種の数学体系における「約束」なんだ、というところに行き着いてしまう気がしなくもない。
そして、そんな言い方をすれば、また数学嫌いがひとり増える、と。
＞「約束」なんだ
私もそう解釈しています。
物理の世界もそうだけど不都合なく論理的に説明できたら「真理」としましょうという「約束」
だけど創薬の世界はそうはいかない。
論理的に不都合なく説明できてもその時点で絶対に「正しい」とはしない。
必ずそれが正しいかの現実的な検証をする。
何故なら人間は必ず絶対に正しいという理は宇宙の理の部分でしかなくまだ発見されていない理の中にそれを否定するものが隠れている可能性があるからです。
そう、ニュートン力学に対する相対性理論のように。
そしての現実的な検証が創薬の世界では治験になります。
しかし数学は現実世界での検証が出来ないモノがあり約束事にするしかない。
例えば
Xを試行回数、Yを失敗した頻度、aを失敗した回数とすれば
Y=a/Xが成り立つ。
失敗回数がゼロの間は試行回数に関係なく失敗した頻度もゼロである。
しかし何回失敗しようがその後に無限回数試行すればY=0となり失敗は無かった事になる。
これが死だったなら生き返ることになる。
だけど治験のように無限回数試行してみるという検証は人類にはできずもはや神の領域である。
なので無限を扱う数学はモロ約束事だと思う。
例えば無限を使えば長さ５の線分と長さ10の線分が等しい事は証明することができる。
(この場合の等しいは長さではなく濃度の比較ですね。)
lim[x→α]f(x)って表記は
「なんという数字か」ではなくて、
「なんという数字に近づいているか」って意味
だから近づいている数字βが存在するなら=で繋いで
lim[x→α]f(x)=βって書く
逆に「x→αのとき」と書いたらf(x)→βと書く
※f(x)がαの近辺で定数関数のときは=β
0.999...
っていうのは、...にlimの意味を内包してると考えるのが普通
だから0.999...=1
デデキント切断を使った証明が割と納得がいくし綺麗だと思ってる
それな
1/3づつにカットしてくっつけるやつ？
やっとイプシロン、デルタ論法がわかりました。ありがとう❤
1/3=0.33333.....の両辺を3倍するとき、一の位からかけるなどと言う決まりはない。
123×3=369は百の位から掛け算しても問題ないだろう。546×3=1500+
120+18=1638と百の位からでも計算できる。百の位から計算すると筆算のとき計算しづらいから一の位から掛け算していることが人間の頭に染み込んでいるだけのことなのだ。
よって結論をいうと小学校の証明方法で十分説明できしかも分かり易い。
1＝0.999...は疑問に思うのに1/3＝0.333...は疑問に思わない謎の人々好き
たしかに
たぶんこの証明に納得できない人って中学数学で脱落した人たちだろうから難しいこと言っても通じないんだよな
高校の頃、数学で極限の授業を受けた時、先生が「厳密にはε-δ法を使う」と言っていた様な漠然とした記憶がありました
今回の動画の途中までは「ε-δ法は昔の呼び名で、今はε-N法と呼ぶ」と思ったのですが、ググったら内容は近いけど対象が違う（ε-δ法は関数に、ε-N法は数列に）との事でした
初めてε-δ法の名前を聞いて以来、何となく極限を説明するものぐらいのイメージしか持ってませんでしたが、今回の動画でより具体的に知る事が出来て良かったです
慣例的にδは（十分小さい）正の実数、Nは（十分大きい）自然数を表すのに使いますね
ε-δ論法は連続的なものの極限の定式化、ε-N論法は離散的なものの極限の定式化です
数学は素人なので適当な理解ですけどε>0でどこまでも小さくなれる実数εよりも間違いなく小さい数(無限小)の一つは0。0以外に無限小が存在すると仮定してそれが1/nだとしても>0である限りそれを新たなεとすればそれより小さい1/nが必ず存在してしまう。よって1/nの極限は0以外にはありえないってことかな。
xy平面上にx=1とx=-1の2本の直線があり、その原点から高さz方向1.5の位置に視点があり、そこからy軸方向を見たとします。
その視界に映った2本の直線は、視界の高い位置に行くにつれて近づいていきます。
この2本の直線が、「この視点で見た時にくっ付く」というのが1=0.9999…と同じ考え方だと思っています。
さらに言えば、その視点から見た直線をそのまま真っ直ぐ、水平よりも更に上にまで伸ばす(2本の直線が交差してさらに伸ばす)のが解析接続の考え方だと思っています。
0.999...が1と同じではないと感じるのは、単に10進法を使っているせいでは？
例えば12進数を使う民族は、0.333...を0.4と表記するわけで、10進数の我々が何に困っているのか理解すらできないでしょう
その民族の中にも0.BBB…=1が納得できない人は居そうですね。
@risingedgeprime1024
確かに！
基数を変えても本質は変わらないね。
数直線上のメモリの刻み方が変わるだけだもんね。
どんな基数でも循環小数は現れるし、同じような極限の表現があるわけだから、別に解決にはならない。
「大学数学を使った方法」は、「『任意のε>0に対し、0≦X0」なしで、それにあたることを述べてしまうテクニックがあることに感心しました。φ(｡｡)めもめも
ただ最後の「アルキメデスの性質」以降の部分は、はっきりε論法だったり「上に有界」や「上限」というつまづき用語も含まれているから、やはり難しいと感じる人が多いんじゃないかと心配だけど、どうかな。
色々突っ込みどころはあるだろーけど
1/3=0.333・・・
1/3＋1/3+1/3=0.999・・・
1を3で割ったのを3回足したら1にならないって方がおかしくね？
まさにその通り！
a×(1/a)の解は「必ず」「1」です。
そうなっていないのだから、
0.333…はそもそも1/3ではないのです。
早いハナシ、「3の1/3は、0.9999……なんですか？」てこと。
@@中島秀樹-l3i1/3=0.333...は、「この世界での認識」としては合ってると思う
最後の0.000...1の部分は、「この世界で認識できない小ささ＝0」になってしまったただけで、数としては存在してる。
だから×3すると元の0.000...1としてこの世界で認識できるようになる
無限小数の最後の桁が書けないのは、「認識外の数」だから書きようがない。
「認識世界の最小値」を定義すれば、「最小値/3」って書ける数
結局のところ、その説明も動画のLv1、Lv2と同様の問題が生じているということでしょう。
無限小数に対する掛け算が怪しいのと同様に、0.3333...+0.3333...+0.3333... = 0.9999...っていう式が本当に正しいの？というのが本質だと思う。
足し算にしたって一番下の位から計算を初めて、繰り上がりを考慮しながら上の位に向かって計算していくはず。その一番下の位がはっきりしてない状態で、雰囲気で上の位の部分だけ足し算をしても厳密ではない、っていうことでしょう。
@@html5sg-esk514 なるほど、0.3333…を疑ってるって意味なら分かる
どこまで突き詰めるかって問題になるのかな？
つまりは数学上「めっっっちゃ近くすれば一応違うけどおんなじとして考えてええで」ってことか
ちゃんとイコールで結ばれるんで違うわけじゃないけどね
一応違うも1って決めた数字自体にも意味がなくなるだろって話になるので...
そもそも1とか他の有理数も無限の精度で求めた数みたいなもんだしな
数学上で違うと証明することが無理なので同値として扱ってるだけ
数直線上の同じ場所にある
0.999999...より大きく1未満の有限の実数は存在しない
簡単だ
そもそも数直線上に0.9999999 …を表す1点は存在しないのでは？存在しちゃったら9999がどこかで終わってるってことだし
小数点以下に無限に数続くってのがよくわからん、無限は少なくとも実数じゃないだろうし無限は何か特別な概念がないと理解できないというか定義できないような…
@@arrosoirbouton実数は直線に存在するんだから無限に続こうが存在するよ
@@arrosoirboutonそれだったらπもeも√2も数直線上に存在しなくなっちゃう
正直、limが出てきた時点で、limがそもそも直感とは相容れないから何でもありに思える
無限を10倍したら最後に0がつくという論法は無限が有限であるいう主張と変わらないのでは?
数学は1番古くから考えられている哲学って感じやな
建設業は0.1でも1だぞ
みんな転職しよう
切り上げ最強！
算数を使った証明については、この動画での表現も間違っていると思っていて、1/3を計算する時に必ず出てくる「あまり」が完全に無視されています。
よくわからんが0を使えてれば理解してるって解釈でいいと思う
０って0.00000無限00１（1なのかは定かではない）って話しだし
それを存在しないと＝に考えても問題はないよって話
100を半分に区切ったとしても0～50 X~100で
仮に0～50と50～100だとしたら総体50が二つに増えたことになる。
物を加工するとき、のこぎりで樹の板を切るとおがくずが出るじゃん？
そのおがくずが０
正確に丁寧に加工するためにはヤスリで51から50まで削らないといけないけど、
そうなると0～50（50） 51～100（49）の物体が残って1が消えてることになる
あるものから裁断をしたと言う事実を残すためには0は必要だけど
どこから持ってきたかを延々と話してたらきりが無いからそれ以上は野暮だぜって話
コレ理解もクソもなくて文面だけじゃ誰も腑に落ちないだろ。
0自体の説明がない限り何についての説明なのか誰もぴんと来ないよ
ド文系でも…という誘い文句なので見てみたけれども、途中からさっぱりわからない…やっぱり文系に数学は無理なようですな
無限の果てに、最後があるという勘違いがこの議論を生み出しているのよね。
ところで、3/3=0.999...は納得できるんだけど、
1/6=0.1666...が6/6=0.999...になるのが納得いかなくなりかけるｗ
最後があると仮定すると0.999...96になるので、誤差が大きくなるからかな。
ね。無限は特定の数に向かうものではない
それはつまり、数と数の間に無限は存在できないことにもなる
7進数の1/6で考えれば1/6=0.111...
@@175chもっと正確に言えば収束か発散するってだけよね
最後があると仮定すると
仮定が間違っているので全て間違いです。
＝が
「右辺と左辺が等しい、同じである事を表す記号」
と考えてしまうから生じる問題なのではないかと思います。
我々が右辺と左辺を＝で結ぶ時、そこにどのような意味を持たせようとしているのかを考える必要がありそうだと思いました。
普段の=は双方向に行き来できるのに、収束の定義の=は無限から有限への一方通行な感じがしますよね
数学では＝の記号は「右辺と左辺が等しい、同じである事を表す」ものではなかったでしょうか？場合によってどのような意味を持たせようとしているのかを考える必要があるというのは、数学でない日常の言葉で、＝を英語のbe動詞のように使う場合がありますね。例えば（例えが良くないですが、とっさに思いつかないのでとりあえずの例を書きます）、「○○先生は高校の数学教師である。」を「○○先生＝高校の数学教師」という記載も見ることがありますが、その反対の「高校の数学教師＝○○先生」は正しくありません。つまり数学ではどのような場合でも＝という記号を使う以上、反対にしようが必ず一致する時にしか使えません。私も素人なので、別の意味でのコメントであればご容赦ください。
むしろ同等と数学の厳密性を勘違いしてるのかと
右辺の誤差を認めなかった場合、左辺の誤差も考えなければいけない
数学は厳密だからこそ無限も0に収束するか任意の方向の無限に発散し、ある数はその数であると定められる
そして右辺と左辺が無限の精度によって必ず等しくなるものがある
実際はどこかしらで有限になるから違和感が出る
それは計算方法の違いであり収束速度の差によるもの、または定義ミスだな
無限級数の収束を議論しない限り証明にならないので
少なくともイプシロンエヌ論法は必要
タメになるけど、ゆっくり特有の「0.999」の発音に毎回ニヤついてしまう
レーテン⤵︎キュウキュウ⤴︎キュウ⤵︎☆
無限の扱いが難しい理由
では、ある値を三個足して1から引いた結果が0.000…1になるある値とは何になるのだろう？
「反論できる」も何も、そもそも①の段階で「1÷3＝0.333…」というのは割り切れないからどんなに桁数を増やしても小数で表せないものを無理矢理小数で表しているだけであり、「0.333…x3＝1」なんだよね。
だから「0.333…x3＝0.999…」という認識がそもそも間違ってる。
逆に「0.333…x3＝0.999…」が正しいとするならばその左辺である「0.333…」は、「1÷3＝0.333…」の右辺である「0.333…」とは別の数字である。
全てにおいて最初から「1＝0.999…」ありきでそう見えるように式をでっちあげて証明と言っているだけ。
左辺と右辺がイコールにならない事柄を、色んな方法を用いて「そう見えるように」並べ立てて「そう見えるように」仕向けているだけに過ぎない。よって「証明」でも何でもなく、極論すると「詐欺」と同じ。
その考えと全く同じ
1/3で表される0.333...の正体は「0.333...3+実数の最小値/3」の数だよね。
実数の最小値を決めていない現代数学だと「実数の最小値/3」と記述できないから0.333...って誤魔化してるけど、実際にはそこに数があって、「0.333...3+実数の最小値/3」に×3したらキレイに1になるだけの話だよね
逆に、0.333...と表記し続ける限り、最後の部分が「+最小値/5」や「+最小値/9」みたいな他の数とは区別できない
lim x→∞ 1/x = 0①
limitの入った①の左辺は、xを十分に大きくした時に「近づく数」を表しています。
「近づく数」というのは、「代入して得られる数」そのものではないことに特に注意する必要があります。
左辺は0.000…1となるわけではないのです。
limit が入った①の左辺と、とてつもない大きな実数xを代入した単なる1/xとは別物なのです。
①の左辺と、1/x は同じものではありません。
①の左辺と右辺は近似式などやごまかしではなく、まさしく等しいと言えます。
理学部数学科卒の人間より
たとえば、1に1番近い数は何？って考えると、1.000...1と0.999...9の二つが考えられると思うけど、グラフで考えると、
y=lim(x→∞)1±1/x
を表した時に行き着く先は同じって考えると、1.000...1も0.999...9も同じ1になるから、やっぱ1なんだよ。
説明下手なのはわかってる。ごめんよ。
lim[n→∞]0.1^n=0だから、無限桁のこの小数を1に足しても1から引いても1のまま。
大丈夫、伝わってます
実数の連続性による性質で１に収束することになってしまうが、実数こそ摩訶不思議な性質を持つ「想像数」と言える。
これに比べれば複素数（虚数も含め）の概念の方がずっと地に足がついている。
超準解析による超実数の解説もして欲しいです。
0.999...は終わりが無いからガブリエルのラッパと同じでしょ
無限に続くならどんどん0.9から1に近づいて行くイメージ!
証明ではないけれど、実数を並べた実数直線は切れ込みがなく連続だからとなり同士の区別がつかないこと自体は直感的
算盤やってた人はこの無限に続く9について結構考えるんよね(1÷1をやると1にも0.999…にもできる)
小学校の授業で、『lev1では不十分→lev4で』というのがあったけど、なるほど。数式を使わないからlev4をやったのか！
小学生に
「1+1を計算して」
って言ったら、「+」を二つの1に適用して2を返してくれるように、
「lim[n→∞] 0.9^n を計算して」
って言ったら「lim[n→∞]」を0.9^nに適用して1を返すだけ。
子供が「粘土だったら1+1=1じゃん！」って言うのに対して、「足し算はそういうルールじゃないんだよ」って言うのと同じで、「limはそういうルールの演算だよ」ということ。
そして、
0.999…
は、
lim[n→∞] 0.9^n
の略記と考えればよい。
0.9を２乗すると、
0.81となるから
あなたの言ってることは全くおかしいよ。0.9の3乗は
0.729になっちゃうよ。
1-0.99999...=n として n の値を考えてみよう。
１ｍのロープを永遠に9:1の長さに切り分ていく考え方があるよ。
１ｍのロープを9:1の長さに切り分ける。すると0.9mと0.1mの長さ２本になる。次に短い方の0.1mのロープを同様に9:1の長さに切り分けて、0.09mと0.01mの長さ２本にする。この行為を永遠に続ける事を想定して数式化すれば
1=0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+･･･
1=0.9999999･･････
ε-N論法をもってしても、「1≠0.999…」を信じたい方は、超準解析を学ぶとよいでしょう。あなたのほしい世界が広がっています。
矛盾が生じるから同じ値にするっていうルールがあるってことね。だからイコールで表せるってわけか。
どうも動画をありがとうございました。😀
小中高までの証明って結局0.000…1みたいな無限に小さい数が0になるって事を納得しないと受け入れられない論法だよね
0.000…1＝0を受け入れられるんなら0.999…＝1-0.000…1＝1-0＝0で納得できるのも当然。
つまり類似の問題にすり替えてるだけだと思う。
自分は1-0.999…=0.000…でどこまで行っても0だから差が0って事は等しいと言う事なので、1=0.999…となると理解してましたが、どこがおかしいですか？
数学の系列によって、定義の仕方が異なる。しかし、「 0.999…=1 」
は 私にはどうしても受け入れることが出来ません。
y=1/x
のグラフが軸と交わることがない
のと同じ と思うので… 😊
大学レベルは0.99999…と1の間に差はないからもうそれは1やん。
ってこと？？
いら、実数だとそうなるだけ
何もかも10進法が悪い()
イプシロン-ロンエヌ論法じゃなかったっけ？
ロンエヌは数列で、デルタは関数じゃなかったっけ？
4:37 「末尾がずれて計算が合わなくなるはずなんだ」
4:43 0.999…の最後の9が残ってしまうんだ」
これらの発言は「無限」を理解していない発言です。話を簡単にするために、この後の説明の演出のためなんだと思うけどね。
「末尾」や「最後の9」と言った時点で無限小数「0.99999…」ではなく有限小数「0.9999…9」の話をしていることになり、
「１≠ 0.99999…9」を言ってるだけになります。
無限小数「0.9999…」においては、「末尾」や「最後の9」は存在しませんので、「ずれる」とか「最後の9が残る」などと
いうことはあり得ません。ここが無限の直感的には理解できない点です。
なので、「9.9999… － 0.9999…」は小数点以下が残ることなくすべて消えて9になります。
よって1 ＝ 0.99999… が言えます。
当たりを先に用意してハズレを無限に用意すると外れる確率は1/1ではないのでは？
1であってますよ。Aという事象が起こりうることと、Aが起こる確率が0になることは無限が絡めば両立します。
@@クミンガ でも当たりましたよ！
数学わかんない身としては、そう表現するしかないから例外的にって感じがしてしまう。
これが成り立つなら -0.000... = 0 = +0.000... も正しい気がするし、直感的にはめっちゃ違和感がある。
ククククク。カイジのこの笑いは博打の無間地獄を証明してるんですね
ククククク
古弓六黒苦
私の古い弓のようなプレイスキルでダイスはブラックホールになるという意味
0.999…に末尾9があるっていう考えをみんな持ってるから納得できないんだろうな
これ、1億円持ってる人から1円盗んで「誤差みたいなものだから盗んでないのと同じ」って理屈と同じにしか聞こえない。
それはあなたの理解不足ですよ
Rに離散位相を入れれば1≠0.999...は証明できるし、逆に密着位相を入れれば1=2すら証明できる。
混乱の原因は「近い」という概念を上手く定式化していないことであり、解決法は位相空間論を学ぶ以外にありません。
それって、「本当に存在しない時の0」と「0としか認識できないだけでそこに存在している数」をしっかり分けましょう、って発想と似ていたりする？
@@175ch そういうイメージを数学的に定式化できるという話ですね。
密着位相を入れたら1=2になることについて、これによれば任意の実数α、βに対しα＝βを言えるように感じるのですが、これだと位相の入れ方によって写像の全単射性が変わってしまうのでは？（全単射性は位相の入れ方とは関係ない）
+0.00…1=0=-0.00…1なのだったら
逆数はどうなりますか？
+の方を右極限、-の方を右極限と言います。
1/x に x → 0 の極限値を求めようとしても計算できません。なぜなら正の値から近づけて+0に持っていくと∞に、負の値から近づけて-0 に持っていくと-∞に発散します。(反比例のグラフを想像してもらえれば)
よく分からん。リミットも限りなくその値に近付けるってだけでその数とイコールになるわけでは無くて近似値を求めてるわけだから、それが証明になるってのが分からん。無限の性質も、無限を語る時と違う気がするし、都合の良いところだけ採用してるようにしか聞こえない
リミットは近似値じゃなくてどの値に近づくかを求めているのと、まず...自体が極限を表しているからその定義に納得できないなら多分どんな説明でも納得できないと思う。
@@oyN-mz6od 近付いてるだけでその値にはならないならその値とはイコールでは無いのでは？
テスト自体は覚えれば解けるのでどうとでもなりましたが、納得は出来なかった部分多いです。
@@arrosoirboutonその値になる必要はなく、どの値に近づくか分かれば良いのです。
気持ち分かります。
ε-Nによる収束の定義を見てみると、リミットよりも納得しやすいと思います。
数列(an) がある値(αとします)に収束するというのは、任意のεに対して、nを十分大きくすると、anとαの距離(|an-α|の値)をε未満にできる、ということです。
気持ちを伝えると、どんなεに対してもnを大きくしたらいつでもεで抑えられます！
→勝負に絶対勝てる！みたいな感じです。
いかがでしょうか、、
@@arrosoirbouton 1/∞=0にはならないけど、limがつくと何に近づくかを表すから=0になる。一応、何に近づくかの部分がlimの定義に入り込んでるから、≒とかにする必要はない。
1-0.999…=0でも証明できそう。
でもlim使うから、高校数学のやつと同じなんか。
愚地独歩が子供の時に0.999…をいくら書いても1にならないって言ってたな
9.999…車は救急車だけれど、0.999...車は霊柩車という可能性もありますね？
は？（威圧）
0.99...≧1
0.99...＜1
この式ってどっちが正しいのかって考えると結構違和感を覚えるんだよな。
そもそも無限が存在するのは自明なのか？
ペアノの公理系＆ＺＦ公理系では「限りなく大きな有限」しか構成できないように感じる
なぜ実無限（完了したor到達した無限）が存在する！ と公理で宣言しないのだろう？
この「実無限公理」が宣言されていないから可能無限論者から突っ込まれるんじゃないかなｗ
本当の意味の無限は数と数の間には存在せず、「上にも下にも数が無限に続く様子」を表す
こういう話で登場する無限は、「人間が認識できる範囲を超えた何からの数」で、本当の意味での無限ではない
今回の「差が0だよね」というのは、人間が認識できないから0なのであって、実際には「認識できない数の差」が存在している。
確かに認識できる世界では差が0だから0.999...=1なんだけど、本質的には差があって、そこに違和感が生まれる
いや、見たまんま違うやん。
みたいな(例え)従来の証明方法から逸脱した解答が必要だと思う
あと循環小数が文字に置けるのよくない
3辺りから日本語に聞こえなくなってしまった
そろばんやってて10で割れるものを9で割ろうとするとほんとに0.99999になるんだよねww
極限と有限は同じ土俵では比較できない
0.999…ってのは1という数を別の見慣れない方法で書き表しただけとも言えるので、1=0.999…なのはある意味当たり前なんだよね。
見てる途中のコメント
1わる３の意味の0.333...は、まだ割り算を行っている途中で計算結果が出てない
それに対して、かける3の操作を行うと、答えはundefined * 3 = undefinedになる
って俺は思う
直後に同じことを魔理沙が言ってたわ
0:00
今回の動画は水○魔理沙と大○霊夢の解説でお送りするぜ！！
0.999…と1の差は0.00..1かと思えるが実際に0.999…には終わりがないので0.00..1の1は存在せず、差が0になると聞いたことがある
高校数学の反論要素雑すぎて笑った
高校の頃、クラスメイトが中学時に数学の先生に教わったという以下の説明が解りやすかったけど、ググっても同じ説明を見たことがない。
－－－－
通常なら １÷１＝１ で終わるところ、一の位に１を立てずに０を立てて小数点第一位に９を立てると余りが出て……と繰り返すと0.9999....と続くから0.9999....は1と等しい。
ーーーー
筆算で考えてもらえると解りやすいはず。
０．９９９９．．．．
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
１）１．００００．．．．
９
＿＿＿
１０
９
＿＿
１０
９
＿＿
１０
９
＿＿
１
これすごいな、いつか人に教えそう
実数には無限小を表す数が無いから、実数の範囲ではイコールとせざるを得ない、と言う説明以外納得出来ないと思う。実際に無限小を含む数の体系ではこの2つを区別する。質問の本質は、なんで無限小を含まない実数を使っているのか？なので、これには答えられて、理由は便利だから。無限小を含む数の体系は実用性が無さすぎるから使わないだけ。
ちゃんと無限小数の反論あるのがよいよね(´・ω・｀)
大学の数学はもう哲学だからなぁ
少数0.333…と×10した3.33…の下列がうやむやだがパターンで同じだが歩調にズレがあるとすれば同じじゃないかも。違いが出る計算で現実的データが出たら証明真偽はさておき、面白い気がする😆💦
使える桁数は限定とかなるだけで変わってしまうし、限定桁数ごとにも変わった差異になるらへんも実際使える誤差かも。誤差がリアルデータてのもありそうだけどないないわけでもないことがあるかも知れないのかもしれない。
0.999...や0.333...といった表記は使うべきでないと思う
極限の概念を導入しているならもう少しわかりやすいように明記すべき
1=0.999…の証明
誰か一人が同じって言えばもうそれは1よ
レベル1無限小数使ってて小学校レベルじゃなくてワロタ
0.999は0.999だよ1じゃない 全くの別人だよ
数学的には「0.999...と1との差は0だから0.999...=1だ」って論調だけど、実際は数としての差が認識の範囲を超えて0にしか見えなくなっただけで、そこある数としての差はなくならない（認識論抜きでの真の0にはならない）という意味で、0.999...と1の「認識上の差は0」だけど、0.999...≠1が正解だと思ってる
@@175ch
その感覚は非常に鋭く素晴らしいと思います。
0.999…=1が成り立つのは実数体という「アルキメデス性と完備性を備えた順序体」での演算のルールをほぼそのまま適用した結果に過ぎません。
0.999…≠1が成り立つような演算体系や極限操作の定義を採用すれば、当たり前(同語反復)ではありますが、0.999…≠1は確かに成り立つのです。
結局のところ、採用する公理や定義の問題であり、あまりに実数体の定義(公理)に慣れ親しみすぎて他の可能性が想起しづらくなっているだけではあると思います。
muzukasiidesune
正直、救急車（99…）は面白かった❗️
レベル2ってレベル３を前提としてレベル２として説明してるからおかしくなってるきがする。
循環小数だから9/9=1で1発なんだよなぁ...
これを理解できない人は、きっと「無限」の概念を履き違えているんだと思う
屁理屈が数学に適用できるなら１も１億も同じ
『尺に触る』