100次元球の体積の求め方を解説します【ゆっくり解説】

[@山崎洋一-j8c]

n次元球の体積の公式は、数学よりも物理（統計力学）で先にガッツリ使いました。孤立系のエネルギーEを与えたとき、状態空間（粒子数に応じた高次元空間！）のミクロ状態数が、ちょうどEで決まる半径の球の体積から決まるとかなんとか。
ところで、「正の実数で定義され、f(x+1)=xf(x)とf(1)=1を満たす関数」（この2つだけから自然数ｎに対しf(n+1)=n!が言える）は、ガンマ関数に限らず無数にあります！ しかし「log f(x)のグラフが凸になる」という条件を追加すると、ガンマ関数だけに絞られます（E.アルティン『ガンマ関数入門』より）。そんな抽象的な性質でガンマ関数を同定できるってすごくない？

[@purim_sakamoto]

おもしろいです　また雑学が増えました!

[@user-gfhgfhthtfhtgd]

d次元に存在するm次元の物体がε=Ck^nの時のその物体の比熱などを求めるのに使いますね

[@DocHololistener]

n次元超球...
人の認知の及ばない世界をあれこれ語れるのが数学の最大の魅力だと思ってます

[@黒羽美花]

一次元の球の表面積が2なのは、一次元の球の"表面"が線分の両端の2つの点になることと、一次元で見た点一つの"面積"が0次元でいう点の"体積"に相当すること、あとは0次元でみた点の"体積"が1(0次元には点しかないので、逆に言えば点を0次元球とみなして公式が使える)と定義できることを考えるとわかります。

[@夢と希望-d8y]

直感的に1次元球の表面積は0だと思ってたのでありがとうございます

[@オシリクリスタル]

めちゃくちゃスッキリしました
ありがとうございます

[@tyomokun]

3年の数学のテストで最後に4次元球の体積を求める問題出されたの思い出した。正解できたのは数学お化けの1人だけという結果だった。

[@sojilo4860]

帰路途中でうんうん唸りながら考えても分からなかったけど、変数が〇〇個の積分って気付いたら解けたわ。
確かに高3にちょうど良い問題かもしれない。誘導は欲しいけど…

[@たつはい]

最近、霊夢の言う「ド文系の私」が「看板に偽りあり」や「羊頭狗肉」と同義じゃないかって感じるようになった。

[@ちか-d8c]

本物のド文系は、こんな動画は見ないから無問題

[@RexZhouTaisen]

いつからド文系＝数学が分からないと錯覚していた……？

[@ちか-d8c]

ド文系でも早慶クラスの大学に行く、賢いやつは、Fランの理系大学生より数学がわかるから、必ずしも数学がわからないとも言えない。
馬鹿なド文系は、数学の教科書なんて開いたこともないんじゃないのか？

[@nazratt]

実際より低く見せる謙遜の方を羊頭狗肉とは言いません

[@エリックスM]

素人質問で恐縮ですが…
っていうやつですな

[@人浪-t6q]

体積と表面積を積分で表し、漸化式を作ればガンマ関数不要でいけます
結局使うのはガンマ関数の.5の値だけだからね

[@sojilo4860]

5以上の奇数だともうよく分からんので、偶数次元球の表面積を利用して漸化式作れるか考えてみますね。明日休みだし。

[@zeromemory7684]

４次元の球は時間を１次元と考えると
突如空間に小さい球が現れ時間とともに大きくなり一定の大きさに達したら今度はどんどん小さくなって消滅する
そんなイメージかな

[@KAKILGBTQ]

これガンマ関数の導入としてこれ以上ないほど良い教材だと思ふ

[@anise-cinnamon]

高校レベルの積分プラスアルファくらいでなんとかn次元級の体積の証明できないかな。理系じゃないと厳しそうだけど、、
あるいは正方形、立方体でも…

[@ryosuke8093]

半径rのn次元球の体積をf(r)としたらn+1次元球の体積は-rからrまでf(√(r²-x²))をxで積分したら求められることは思いついたことあるけどそれだと一般項がわからなかった。

[@Yossiilad]

動画に関係ないのですが
y=x^3をy=lx^3lと絶対値をつけると奇関数から偶関数になるのですが、y=x^偶数乗で0>yの部分をx軸に対して線対称の奇関数の形に表す式はありますか？

[@user-shiny_doublade]

y=x^2×sign(x)
=x^2×(|x|/x)
=|x^3|/x

[@sakaemysawa]

ガンマ関数がわかりやすいようにマンガにしてほしいわね。ガンマ関数だけにねﾎﾟｸﾎﾟｸﾎﾟｸﾁｰﾝ

[@SQUFOF_ECM]

難しいけどガマンして理解しましょうね。

[@DocHololistener]

地獄の空気でさようなら

[@もぐのすけ-t7z]

n次極座標のヤコビアンを積分すればn次元の球の体積が求められる
具体的には
Vn=Π(i=0→n-2)∫r^(n-1)dr∫dθisin^i(θi)

[@Mega11041104]

「体積の微分が表面積」ってのは微分と積分を理解してない人が陥りがちな誤謬です。これは円、球、正多面体、超球など（言わばたまたま)あてはまるだけなので気をつけてください

[@ぽこたん-x9t]

１次元には面積の概念がない、二次元には体積の概念がない、では三次元に無い概念はなにか？
線は円の一元写像だった、円は球の二次元写像だった、では球は何の三次元写像なのか？

[@zzz-rh3ue]

ｎ次元球の体積をどう計算するのかという説明省いて、いきなり公式を出してくるところがド文系ですな。
でも楽しい。

[@素ぽいな]

この雰囲気の流れで物質の原子番号での周期表を表してしまうエネルギー関数がありそうな気が…て、もうあるかも？電子数の結果（整数）だけでないバージョンの。😵何かヤバげ。

[@cliffbitterz411]

ガンマ関数のあたりでついていけんかった
難しいねえ

[@yu-za-NULL]

1次元球君、どう見ても円じゃないのに球を名乗り、πも使わないとか言う謎っぷり

[@黒羽美花]

一応、低次元の球はより高次元の球の断面図であると考えれば、ちょっと納得しやすいです。例えば、三次元の球の切断面は二次元の球(円)になります。同じように二次元の球(円)を適当なところで切断してその断面を見ると、一次元の球が線分に相当することがわかります。
余談ですが、同じように一次元の球(線分)を切断して断面を見ると0次元球は点になって、"体積"は1と求められたりします。

[@天秤ジジイ]

うーん、最後の行の「断面を見ると0次元球は点になる」までは分かるけど、「"体積"は1と求められる」がわからないなぁ。この場合の"体積"は、イコール"点の個数"になるって事？('A｀)

[@黒羽美花]

@@天秤ジジイ というよりも、球の"体積"の公式にn=0を代入することで、点一つの分"の体積"を便宜上「1[m^0(or単位無し)]」と定義できるってことです。@user-nl6gs7en2p さんの仰るようにこれは"点の個数"と一致しますが、無理やり定義してるだけなのでおそらく偶然ですね。

[@birddomi]

1次元だと単位はmの「長さ」
2次元だと単位はm^2の「面積」
3次元だと単位はm^3の「体積」
じゃあ4次元以上はなんて言うんだろ

[@あきごっち]

ドラえも何とかの4次元ポケットは圧倒的容積を誇るようなので容積？？

[@そのとおりです]

4次元の球って3次元の円って言ってんのと同じじゃね

[@まんまにくまん]

無理数の階乗はどう求めるの？

[@あきごっち]

階乗の一般項を積分関数として表した「ガンマ関数」のnに無理数を代入する
つまりその無理数が積分できれば求まる？

[@ken-ichitakada8282]

でも特殊な場合を除いて、無理数の階乗は解析的に計算できません。数値的には求められるし、そのための数値計算ライブラリも存在するので、実用上は問題ありませんが。

[@aetos382]

これって r を固定して n を増やしていくと、V はどこかで上限を打って、あとは減ってきます？ 何でそんな挙動をするんだろ。ド文系の私に教えて欲しいわ。

[@heppocogne9778]

感覚的には直径1の円と辺の長さが1の正方形の面積を比較すると約0.785:1、頂点4つ分丸まっているのでその分円の方が面積が小さくなる。
直径1の球と辺の長さが1の立方体の体積を比べると約0.524:1、頂点8つ分丸まっているのでその分球の方が体積が小さくなる。
辺の長さが1の4次元の超立方体なら頂点が16個、(4次元的な意味の)体積は1で、四次元の球はそこから頂点が16個分丸まるからその分小さい、という事かなと。

[@dai_swallow2027]

階乗にπが出てくるんか…

[@MikuHatsune-np4dj]

yQGYEVfCrq0 これの後半と同じ？

[@福田英人-v2w]

ゴボボボ！🧟😱🌀(分からん過ぎて、死亡)

[@kawaiishikakatan]

体積って使うなよ