Acho que fiz do jeito mais complicado possível, mas deu certo. Segue como expliquei num outro comentário: Mas tinha outro jeito de fazer no qual você não precisava saber teorema das cordas, que foi como eu fiz: Faça tudo como o cara fez até chegar na parte que ele usa o teorema das cordas. Ao invés de fazer o teorema, faça o seguinte: Primeiro, observe que você só precisa de mais um pedacinho para descobrir o diâmetro do semicírculo maior, esse pedacinho que ele chamou de x. Você já tem 1 + 2 + 3/2 e só falta x para chegar no valor do diâmetro (2r). Ou seja, 2r = 1 + 2 + 3/2 + x. Guarde essa equação!!! Simplificada: 2r = (9/2) + x Segunda etapa: Para fins de visualização, marque mais ou menos onde você acha que o centro do semicírculo maior está. Vamos chamá-lo de centro O. Deste centro, trace uma reta até o ponto de tangenciamento deste círculo maior com o semicírculo de diâmetro 3. Esse ponto chamaremos de P. Observe que essa reta OP é também o raio do semicírculo maior já que parte do centro e vai até a circunferência do círculo. Agora, deste mesmo ponto P, trace uma reta até a base do semicírculo maior, criando um ângulo reto nessa base. Vamos chamar esse ponto de Q. Perceba que essa reta PQ tem o mesmo comprimento do raio do semicírculo de diâmetro 3. Com essas duas retas OP e PQ formamos então um triângulo retângulo OPQ de hipotenusa r (OP) e de catetos 3/2 (PQ) e uma terceira icognita (QO). Só que essa terceira incognita QO a gente sabe que nada mais é que o raio do semicírculo maior MENOS o x que a gente falou lá em cima. Então o que a gente pode dizer eh que OQ = r - x. Daí é só montar Pitágoras: (r)^2 = (3/2)^2 + (r-x)^2. Pra resolver esse Pitágoras basta você substituir r ou x de acordo com a equação que fizemos na primeira etapa: 2r = 9/2 + x. Aí basta calcular. X vai dar 1/2 e r = 5/2. Espero ter ajudado.
Ficou um pouco mais complicado, que o uso do teorema das cordas. Porém amplia a visão em relação a outros métodos. Gostei. Em provas a solução mais simples é aquela que você consegue, seja qual for a metodologia
Usei o fato de que o diâmetro de um semicírculo é a hipoteusa de um triângulo retângulo, cujos catetos são cordas. Logo, 4,5 é a projeção do cateto sobre a hipotenusa e a outra projeção é o pedacinho que faltava (0,5).
Ja da pra gente deduzir o valor de x de forma visual, quando vc acha o 2 atraves do teorema de pitagoras a gente ja percebe que o diametro da semicircunferencia azul e igual a soma do diametro das outras duas semi circunferencias, e so a gente visualizar o desenho e imaginar um movimento das semicircunferencias internas sobrepondo os diametros fazendo que coincida os diametros do semicirculo azul com os outros dois.
"Chutei" um diâmetro de 5 para o semi-círculo externo porque parece que o semi-circulo de diâmetro 3 pode "escorregar" e encaixar direitinho no diâmetro do objeto externo. No fim eu estava certo, apesar da falta de rigor. Alguém sabe se posso formalizar esse raciocínio de maneira rigorosa?
Você deu sorte, a questão é que ao fazer isso você assume um valor hipotético sem fazer nenhum cálculo, apenas de maneira visual, algumas questões podem te induzir a fazer isso e você pode acabar errando
Creio q o problema maior da questão eh a de Visualização, de saber por onde começar (o prof Felipe dá a dica importantíssima, começando por achar um triângulo retângulo)... feito isto, e conhecendo os teoremas envolvidos, a parte do cálculo eh simples sim... 🙏
Mas tinha outro jeito de fazer no qual você não precisava saber teorema das cordas, que foi como eu fiz: Faça tudo como o cara fez até chegar na parte que ele usa o teorema das cordas. Ao invés de fazer o teorema, faça o seguinte: Primeiro, observe que você só precisa de mais um pedacinho para descobrir o diâmetro do semicírculo maior, esse pedacinho que ele chamou de x. Você já tem 1 + 2 + 3/2 e só falta x para chegar no valor do diâmetro (2r). Ou seja, 2r = 1 + 2 + 3/2 + x. Guarde essa equação!!! Simplificada: 2r = (9/2) + x Segunda etapa: Para fins de visualização, marque mais ou menos onde você acha que o centro do semicírculo maior está. Vamos chamá-lo de centro O. Deste centro, trace uma reta até o ponto de tangenciamento deste círculo maior com o semicírculo de diâmetro 3. Esse ponto chamaremos de P. Observe que essa reta OP é também o raio do semicírculo maior já que parte do centro e vai até a circunferência do círculo. Agora, deste mesmo ponto P, trace uma reta até a base do semicírculo maior, criando um ângulo reto nessa base. Vamos chamar esse ponto de Q. Perceba que essa reta PQ tem o mesmo comprimento do raio do semicírculo de diâmetro 3. Com essas duas retas OP e PQ formamos então um triângulo retângulo OPQ de hipotenusa r (OP) e de catetos 3/2 (PQ) e uma terceira icognita (QO). Só que essa terceira incognita QO a gente sabe que nada mais é que o raio do semicírculo maior MENOS o x que a gente falou lá em cima. Então o que a gente pode dizer eh que OQ = r - x. Daí é só montar Pitágoras: (r)^2 = (3/2)^2 + (r-x)^2. Pra resolver esse Pitágoras basta você substituir r ou x de acordo com a equação que fizemos na primeira etapa: 2r = 9/2 + x. Aí basta calcular. X vai dar 1/2 e r = 5/2. Espero ter ajudado.
Reformulando, para facilitar. Creio que outros colegas notaram algo similar. Tenho a impressão de que o segmento entre o centro do semi-círculo de área 3 e o "vértice" direito do semi-círculo gigante equivale a R + r, formando um triângulo isosceles. Se isso for provado, rapidamente se encontra o que falta para obter o diâmetro gigante. Supondo que essa propriedade do isósceles exista, por Pitágoras, (R+r)² = R² + (1+x)², sendo x = 1 ou x = -3, sendo possível apenas x = 1. E aí, por espelhamento, a outra metade da base do triângulo isósceles seria = x + 1 = 2. Com o diâmetro do semi-círculo gigante totalizando da esquerda para a direita 2r + x + 2 = 2.1 + 1 + 2 = 5. E o raio gigante procurado seria metade desse diâmetro, 5/2 = 2,5. Aí com isso daria para prosseguir com mais sossego. Porém, é apenas uma intuição, que talvez possa ser provada. De qualquer forma, a teoria das cordas é um belo canivete suíço nessas horas. Bem interessante essa figura. Inclusive, acho que se alterar as áreas dos semi-círculos internos, mantendo-os inscritos no gigante se tangenciando um ao outro, a soma das áreas deles talvez permaneça constante.
@@celsolago3216 Tá maluco?kkkkk Sabe extrair raiz quadrada de valores decimais de cabeça? Se a pessoa não tem condições de compreender com clareza usando a abstração mais simples, não será incrementando valores quebrados que irá ajudar. Até entenderia vc sugerir a manipulação de valores, por substituição de inteiros, para evitar raizes de frações, mas isso incrementaria um pouco a complexidade. Por exemplo, dobrando os valores 2 e 3, na hora que visualizar o triangulo retângulo, automaticamente vc verá quem é o cateto inferior por se tratar do clássico (3,4,5); o problema é que o resultado será 6pi. E para explicar que para compensar dobrar os valores no início da questão, teremos que dividir o novo resultado pelo quadrado da proporção? No caso 2². 6pi/2² = 3pi/2.
Vendo seus vídeos comecei a achar muito legal trabalhar com fração. Incrível como facilita.
Concordo contigo. Fração é bem melhor pra conta. Estamos juntos! Abração! 🙂
Amo os vídeos dele, torna tudo mais divertido
Obrigado! 😃
Acho que fiz do jeito mais complicado possível, mas deu certo.
Segue como expliquei num outro comentário:
Mas tinha outro jeito de fazer no qual você não precisava saber teorema das cordas, que foi como eu fiz:
Faça tudo como o cara fez até chegar na parte que ele usa o teorema das cordas. Ao invés de fazer o teorema, faça o seguinte:
Primeiro, observe que você só precisa de mais um pedacinho para descobrir o diâmetro do semicírculo maior, esse pedacinho que ele chamou de x. Você já tem 1 + 2 + 3/2 e só falta x para chegar no valor do diâmetro (2r). Ou seja, 2r = 1 + 2 + 3/2 + x. Guarde essa equação!!! Simplificada: 2r = (9/2) + x
Segunda etapa:
Para fins de visualização, marque mais ou menos onde você acha que o centro do semicírculo maior está. Vamos chamá-lo de centro O. Deste centro, trace uma reta até o ponto de tangenciamento deste círculo maior com o semicírculo de diâmetro 3. Esse ponto chamaremos de P. Observe que essa reta OP é também o raio do semicírculo maior já que parte do centro e vai até a circunferência do círculo.
Agora, deste mesmo ponto P, trace uma reta até a base do semicírculo maior, criando um ângulo reto nessa base. Vamos chamar esse ponto de Q. Perceba que essa reta PQ tem o mesmo comprimento do raio do semicírculo de diâmetro 3.
Com essas duas retas OP e PQ formamos então um triângulo retângulo OPQ de hipotenusa r (OP) e de catetos 3/2 (PQ) e uma terceira icognita (QO). Só que essa terceira incognita QO a gente sabe que nada mais é que o raio do semicírculo maior MENOS o x que a gente falou lá em cima. Então o que a gente pode dizer eh que OQ = r - x.
Daí é só montar Pitágoras: (r)^2 = (3/2)^2 + (r-x)^2.
Pra resolver esse Pitágoras basta você substituir r ou x de acordo com a equação que fizemos na primeira etapa: 2r = 9/2 + x.
Aí basta calcular. X vai dar 1/2 e r = 5/2.
Espero ter ajudado.
Ficou um pouco mais complicado, que o uso do teorema das cordas.
Porém amplia a visão em relação a outros métodos.
Gostei.
Em provas a solução mais simples é aquela que você consegue, seja qual for a metodologia
A criatividade é sempre de louvar.Obrigado
Solução brilhante!
De onde você tira essas questões tão difíceis?
Belíssima questão, tinha esquecido do teorema das cordas
Gostei também. O teorema das cordas de fato é pouco visto e, por isso, acabamos esquecendo de usá-lo. Abração! 😃
Genial! Mt bom!
Adoro essas questões
PARABÉNS PELA DIDÁTICA
Usei o fato de que o diâmetro de um semicírculo é a hipoteusa de um triângulo retângulo, cujos catetos são cordas. Logo, 4,5 é a projeção do cateto sobre a hipotenusa e a outra projeção é o pedacinho que faltava (0,5).
Ja da pra gente deduzir o valor de x de forma visual, quando vc acha o 2 atraves do teorema de pitagoras a gente ja percebe que o diametro da semicircunferencia azul e igual a soma do diametro das outras duas semi circunferencias, e so a gente visualizar o desenho e imaginar um movimento das semicircunferencias internas sobrepondo os diametros fazendo que coincida os diametros do semicirculo azul com os outros dois.
oh loco meu que questão muito louca
😄
Basta calcular kkkkk
Ótima resolução professor
🙂 Obrigado!
Assisto seus vídeos no almoço
achei que fosse só eu kkkkkkkkkkkkkkkkkkk
Top
👏🏻👏🏻👏🏻
O problema dessa questao que nao ta no enunciado .que o diametro do semicírculo de diâmetro 3 e paralelo a circunferencia maior
"Chutei" um diâmetro de 5 para o semi-círculo externo porque parece que o semi-circulo de diâmetro 3 pode "escorregar" e encaixar direitinho no diâmetro do objeto externo. No fim eu estava certo, apesar da falta de rigor. Alguém sabe se posso formalizar esse raciocínio de maneira rigorosa?
Você deu sorte, a questão é que ao fazer isso você assume um valor hipotético sem fazer nenhum cálculo, apenas de maneira visual, algumas questões podem te induzir a fazer isso e você pode acabar errando
❤
se cai uma questão dessa na prova vai ficar todo tempo da prova resolvendo 😢😢 muito difícil
Creio q o problema maior da questão eh a de Visualização, de saber por onde começar (o prof Felipe dá a dica importantíssima, começando por achar um triângulo retângulo)... feito isto, e conhecendo os teoremas envolvidos, a parte do cálculo eh simples sim... 🙏
So eu q tinha somado os diametros pra achar o diametro maior? Alguem sabe se sempre da certo?
Deduzi isso também, pq não ia saber fazer do jeito certo kkk
Foi só coincidência kkkk no máximo daria pra ter uma aproximação
Fiz isso também. Tenho a impressão que isto pode ser formalizado de maneira rigorosa, só não sei como
Não sei resolver 😞
Eu travei na ** do teorema das cordas rapaz. Acho q nunca tinha visto isso.
Mas tinha outro jeito de fazer no qual você não precisava saber teorema das cordas, que foi como eu fiz:
Faça tudo como o cara fez até chegar na parte que ele usa o teorema das cordas. Ao invés de fazer o teorema, faça o seguinte:
Primeiro, observe que você só precisa de mais um pedacinho para descobrir o diâmetro do semicírculo maior, esse pedacinho que ele chamou de x. Você já tem 1 + 2 + 3/2 e só falta x para chegar no valor do diâmetro (2r). Ou seja, 2r = 1 + 2 + 3/2 + x. Guarde essa equação!!! Simplificada: 2r = (9/2) + x
Segunda etapa:
Para fins de visualização, marque mais ou menos onde você acha que o centro do semicírculo maior está. Vamos chamá-lo de centro O. Deste centro, trace uma reta até o ponto de tangenciamento deste círculo maior com o semicírculo de diâmetro 3. Esse ponto chamaremos de P. Observe que essa reta OP é também o raio do semicírculo maior já que parte do centro e vai até a circunferência do círculo.
Agora, deste mesmo ponto P, trace uma reta até a base do semicírculo maior, criando um ângulo reto nessa base. Vamos chamar esse ponto de Q. Perceba que essa reta PQ tem o mesmo comprimento do raio do semicírculo de diâmetro 3.
Com essas duas retas OP e PQ formamos então um triângulo retângulo OPQ de hipotenusa r (OP) e de catetos 3/2 (PQ) e uma terceira icognita (QO). Só que essa terceira incognita QO a gente sabe que nada mais é que o raio do semicírculo maior MENOS o x que a gente falou lá em cima. Então o que a gente pode dizer eh que OQ = r - x.
Daí é só montar Pitágoras: (r)^2 = (3/2)^2 + (r-x)^2.
Pra resolver esse Pitágoras basta você substituir r ou x de acordo com a equação que fizemos na primeira etapa: 2r = 9/2 + x.
Aí basta calcular. X vai dar 1/2 e r = 5/2.
Espero ter ajudado.
Reformulando, para facilitar. Creio que outros colegas notaram algo similar. Tenho a impressão de que o segmento entre o centro do semi-círculo de área 3 e o "vértice" direito do semi-círculo gigante equivale a R + r, formando um triângulo isosceles. Se isso for provado, rapidamente se encontra o que falta para obter o diâmetro gigante. Supondo que essa propriedade do isósceles exista, por Pitágoras, (R+r)² = R² + (1+x)², sendo x = 1 ou x = -3, sendo possível apenas x = 1. E aí, por espelhamento, a outra metade da base do triângulo isósceles seria = x + 1 = 2. Com o diâmetro do semi-círculo gigante totalizando da esquerda para a direita 2r + x + 2 = 2.1 + 1 + 2 = 5. E o raio gigante procurado seria metade desse diâmetro, 5/2 = 2,5. Aí com isso daria para prosseguir com mais sossego. Porém, é apenas uma intuição, que talvez possa ser provada. De qualquer forma, a teoria das cordas é um belo canivete suíço nessas horas. Bem interessante essa figura. Inclusive, acho que se alterar as áreas dos semi-círculos internos, mantendo-os inscritos no gigante se tangenciando um ao outro, a soma das áreas deles talvez permaneça constante.
Use o número decimal, é melhor a compreensão
Melhor pra compreensão de quem?
@@ProfessoremCasa de todos, mais fácil a mensuração, uma sugestão
@@celsolago3216 Tá maluco?kkkkk Sabe extrair raiz quadrada de valores decimais de cabeça? Se a pessoa não tem condições de compreender com clareza usando a abstração mais simples, não será incrementando valores quebrados que irá ajudar. Até entenderia vc sugerir a manipulação de valores, por substituição de inteiros, para evitar raizes de frações, mas isso incrementaria um pouco a complexidade. Por exemplo, dobrando os valores 2 e 3, na hora que visualizar o triangulo retângulo, automaticamente vc verá quem é o cateto inferior por se tratar do clássico (3,4,5); o problema é que o resultado será 6pi. E para explicar que para compensar dobrar os valores no início da questão, teremos que dividir o novo resultado pelo quadrado da proporção? No caso 2². 6pi/2² = 3pi/2.