Der Gruppen-Test: Lineare reelle Funktionen mit Verkettung
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- Опубликовано: 31 май 2024
- 🧑🏫Heutiges Thema: Ist die Menge aller linearen reellen Funktionen mit der Verkettung als Verknüpfung eine Gruppe? Wir schauen uns das näher an!
Achtung: Den Beweis der Assoziativität hab ich leider vermurkst. Hier ist der korrekte Beweis (Danke an weinsterle1999): ((f∘g)∘h)(x) = (f∘g)(h(x)) = f(g(h(x))) = f((g∘h)(x)) = (f∘(g∘h))(x)
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Die lange Jacke mit der Kapuze steht Dir übrgens ausgesprochen gut. (Ja ich weiß, hat mit dem Thema nichts zu tun). Finde ich ziemlich cool. Was ist denn das für ein Produkt?
Danke schön! 🙏 Das ist ein Cardigan
@@pharithmetik Danke.
Eine interessante Idee bei der Inversion wäre es, darüber zu reden, wo das Problem mit a=0 liegt. Meine Antwort wäre: Bei a=0 hängt f(x)=ax+b nicht mehr von x ab, und somit kann jedes g(f(x)) auch nicht mehr von x abhängen. Oder anhand der Funktionsmaschinenvorstellung: Wenn der Output von f(x) nicht von x abhängt, und f(x) der Input von g(x) ist, dann kann g(f(x)) auch nicht von x abhängen- die Teilfunktionen müssen die Abhängigkeit schon "weitergeben", also selbst von x abhängen, wenn das Ergebnis auch von x abhängen soll.
Vielleicht würde das zu weit wegführen, aber prinzipiell macht man so den Punkt: Wenn irgendeine Teilfunktion einen von x unabhängigen Output O liefert ist a) egal was die "weiter inneren" Funktionen machen (weil aus ihrem Input ja eh immer O wird) und b) hängen die Outputs der "weiter äußereren" Funktionen nicht mehr von x ab, sondern nur noch von ihren eigenen Parametern und O.
Das sind sehr gute Überlegungen!
Hier sind einige Fehler unterlaufen. Bei der Überprüfung des neutralen Elemente bzw. der inversen Elemente reicht es aus, diese von einer Seite zu verknüpfen, da in einer Gruppe in diesen Fällen immer die Kommutativität gilt, auch in nicht abelschen Gruppen.
Die Schreibweise bei der Assoziativität ist falsch. f(g(x)) ist keine Funktion, sondern eine Zahl, und kann daher nicht mit einer Funktion verknüpft werden. Auf die Notwendigkeit, die Abgeschlossenheit zu zeigen, wurde bereits hingewiesen.
Danke für die Hinweise! Die Beidseitigkeit zu zeigen ist kein Fehler, sondern ggf. überflüssig, wenn man die Kommutativität gezeigt hat. Die Verkettung von Funktionen ist aber nicht kommutativ. Bei der Assoziativität ist in der Tat ein Fehler unterlaufen - die Korrektur findest du in der Beschreibung des Videos
@@pharithmetik Vielen Dank für die Antwort! Wenn man zeigen will, dass etwas eine Gruppe ist, muss man die Beidseitigkeit beim neutralen und inversen Element niemals zeigen, da in jeder Gruppe aus a*e=a automatisch auch e*a=a folgt und aus a*a^-1=e auch a^-1*a=e und umgekehrt. Für die Definition einer Gruppe reicht jeweils eine der beiden Beziehungen. Der Fehler bestand in der Aussage, dass eine weitere Überprüfung notwendig sei.
Tatsächlich kann auf diese verzichtet werden, selbst dann, wenn man keine Kommutativität gezeigt hat, und selbst dann, wenn diese nicht allgemein gegeben ist.
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim Das ist ja krass! Das ist mir noch nie begegnet, und ich hab ein wenig recherchiert. Das ist ja tatsächlich so, dass es eine schwächere Gruppendefinition gibt. Danke für den Hinweis! Wieder was gelernt... Ich glaube, daraus mach ich mal ein Video! :) Danke dir!!
@@pharithmetik Das freut mich!😀
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim Danke nochmals - und hier ist das Video: ruclips.net/video/vCd8cQJjsv4/видео.html
Ich bezeichne die beiden Parameter gerne nicht einfach mit irgendwelchen Buchstaben, sondern mit F (Faktor) und O (Offset), also sprechend. 😉
F*x+O
Find ich gut. Allerdings kann man O(ffset) leicht mit der Zahl Null verwechseln.
@@pharithmetikExakt deshalb gibt es in der Informatik Fonts, die einen Querstrich in der Null haben. 😏
Aber Faktor/Offset kommen auch aus der Praxis. Ich arbeite viel damit, denn ich kalibriere Maschinen. Da ist es von Vorteil immer gleiche Bezeichner zu verwenden.
Es fehlen: Begründung, warum M nicht leer ist, Begründung, warum die Verknüpfung ∘ wohldefiniert ist, also Punkteabzug.
Ich war von Anfang an verwirrt, wie eine Menge, welche nicht bijektive Abbildungen enthält, zusammen mit der Komposition als Verknüpfung eine Gruppe bilden soll. Als es dann zur Bestimmung des Inversen von f kam, haben Sie es selbst gemerkt, dass das nicht funktioniert. Als Lösung haben Sie dann gefordert, dass m ≠ 0 sein soll. Dann muss man aber auch bei der Begründung zur Abgeschlossenheit ergänzen, warum bei (f∘g)(x) der Faktor vor dem x nicht Null ist.
Der Beweis zur Assoziativität der Komposition von Abbildungen geht übrigens so: ((f∘g)∘h)(x) = (f∘g)(h(x)) = f(g(h(x))) = f((g∘h)(x)) = (f∘(g∘h))(x).
Vielen Dank für die Korrekturen! 🙏
Vielleicht noch eine Ergänzung: Nicht-leere menge und Wohldefiniertheit setzen wir bei unseren Aufgaben voraus, insofern würde ich hier keinen Punktabzug geben. Kann man aber natürlich machen, wenn man alle Details überprüft haben möchte.