Das Highlander-Prinzip: Es kann nur ein Neutralelement geben
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- Опубликовано: 1 июн 2024
- 🧑🏫Heutiges Thema: Wir beweisen, dass es in einer Gruppe genau ein Neutralelement gibt.
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Ist das ein "echter" Widerspruchsbeweis?
Es wird ja einfach nur direkt ausgerechnet, dass e1=e2 ist, falls e1 und e2 Neutralelemente sind. Die Annahme, dass sie ungleich sind, wird nirgends benutzt. In einer Logik, in der es außer "wahr" und "falsch" noch andere Wahrheitswerte gibt, würde das immer noch funktionieren. (Der Beweis selbst ist natürlich völlig in Ordnung.)
Doch genau der Unterschied ist Teil der Annahme
Man muss natürlich von zwei Neutralelementen e1 und e2 ausgehen. Vielleicht könnte man auch darauf verzichten anzunehmen, dass sie unterschiedlich sind, sondern man nimmt gar nichts an und zeigt dann, dass die gleich sein müssen... Naja, aber irgendwie nimmt man natürlich trotzdem zunächst an, dass sie unterschiedlich sind. :)
@@pharithmetik Hier einen Widerspruchsbeweis zu führen, ist tatsächlich nicht nötig. Lässt man die Annahme (e1 ungleich e2) weg, so hat man einen direkten Beweis. Eindeutigkeit kann logisch definiert werden durch die Implikation "x und y erfüllen Aussage P, dann gilt x=y" und genau diese Implikation zeigt man dann auf direktem Wege.
Es ist an sich natürlich nicht falsch, dIe Aussage durch einen Widerspruch zu beweisen, es ist aber kein schöner Beweisstil. Zudem gibt es auch durchaus Richtungen innerhalb der Mathematik/Philosophie, die die Gültigkeit von Widerspruchsbeweisen ablehnen (hier handelt es sich aber eher um Randgruppen). Solche "unnötigen Widerspruchsbeweise" finden sich aber haufenweise in der Mathematik und werden selbst von erfahrenen Mathematikern nicht selten praktiziert.
Ein weiteres Beispiel für einen solchen Beweis ist der Beweis des Satzes von Euklid. Der Beweis wird selbst in der Literatur oft als Widerspruchsbeweis formuliert, die Annahme ist für den Beweis aber überhaupt nicht relevant. Der Beweis in seiner Originalfassung ist auch nicht als Widerspruchsbeweis formuliert.