ESSA CAIU EM OLIMPÍADA
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- Опубликовано: 7 окт 2024
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• Desafios: • DESAFIO MATEMÁTICO
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Se 3ⁿ - 2ⁿ = 65, então n = ?
Opa, bom dia a todos! Gostaria de primeiramente aplaudir o trabalho do mestre Felipe, em trazer uma matemática sempre divertida e interessante aos seus inscritos. Precisamos de mais canais assim, que incentivem o bom uso do raciocínio, do modo mais simples e direto possível. Minha discussão aqui será tão e unicamente sobre a matemática apresentada, não devendo ser levada como crítica ao professor. Tratarei apenas da lógica matemática. Vamos lá.
Vou começar dizendo que, infelizmente, a solução proposta no vídeo não é uma solução sempre válida, ela SOMENTE FUNCIONARÁ em alguns casos em que n é par (especificamente quando n for uma potência de 2, mas não é o mérito aqui). Temos de tomar muito cuidado.
Repito: a solução apresentada no vídeo NÃO FUNCIONA sempre. Vou me explicar aqui.
Primeiro, vou demonstrar que o método não funciona para n = 5 e n = 7, por exemplos. Suponhamos que a questão fosse assim:
"Se 3ⁿ - 2ⁿ = 211, então n = ?"
Veja que n = 5 é uma solução, mas vamos primeiro checar o que é feito no vídeo.
Fazendo da forma que o autor do vídeo propôs, ficaríamos com (a + b)(a - b) = 211, com a = 3^(n/2) e b = 2^(n/2).
Mas daí, como 211 é primo, a + b = 211 e a - b = 1. Resolvendo o sistema obteríamos a = 106 e b = 105, absurdo.
"Se 3ⁿ - 2ⁿ = 2059, então n = ?"
Veja que n = 7 é uma solução, mas vamos primeiro checar o que é feito no vídeo.
Fazendo da forma que o autor do vídeo propôs, ficaríamos com (a + b)(a - b) = 2059, com a = 3^(n/2) e b = 2^(n/2).
Mas daí, como 2059 = 71 · 29, a + b = 71 e a - b = 29. Resolvendo o sistema obteríamos a = 50 e b = 21, novamente absurdo.
Generalizando um pouco, considere uma solução n para "3ⁿ - 2ⁿ = k", onde k é um inteiro positivo.
Tentando resolver do modo proposto, eventualmente obteríamos novamente:
(a + b)(a - b) = k, com a = 3^(n/2) e b = 2^(n/2).
Para n par, a solução conferirá, de fato.
Mas para n ímpar, não.
Seja por exemplo n = 2p + 1 um número ímpar, onde p é um inteiro positivo. Dessa forma, n/2 = (2p + 1)/2 = p + 1/2. Então:
a = 3^(p + 1/2) = 3ᵖ · √3
b = 2^(p + 1/2) = 2ᵖ · √2
Visto que a + b e a - b são ambos irracionais (por conterem fatores √3 e √2), nunca poderiam vir a ser divisores quaisquer de k, invalidando assim a resolução proposta pelo autor do vídeo.
Grandes abraços e bons estudos a todos!
Só funciona para n igual a 2, 4, 8, 16, 32.... , ou seja, PG onde a1= 2 e a razão também é 2😅.
Alguns números pares também não funciona. Por exemplo, n igual a 6 não daria certo.
Mesmo com essas ressalvas a solução do professor foi genial.👏👏👏
@@canal5musicas Justo, justo! Eu foquei em mostrar que não funciona para quaisquer ímpares, nem cheguei a argumentar sobre os pares. Adicionei na minha explanação o que você afirmou, só como detalhe para quem vier a ler.
Abraços, amigo!
@@exatasmilitarentão nesse caso, é melhor resolver como a primeira solução? Ir tentando?
É por comentários como o teu que eu ainda acesso conteúdo de Matemática no RUclips. Incrível!
@@nunopereira526 com certeza.
NOSSA QUE TOP!! Gostei muito da segunda dica, trabalha várias propriedades e isso é muito bom de praticar.
Se você conseguir ficar bom no malabarismo algébrico ninguém não há problema que te segura
Aquelas questões bizarras de combinatória rindo no escuro:
Não é bem assim. Manipulação algébrica é um habilidade importantíssima, mas tem outras habilidade de outras áreas como provar teoremas de análise real. As vezes não existe algebrismo que prove teoremas de análise.
@@gilsonandrade2767 Olá amigo, poderia me ajudar a melhorar em álgebra, me dou MT bem com algumas questões algébricas porém tenho dificuldade em interpretar questões e montar a equação algebrica, como posso melhorar, indica algum livro, aula
@@gilsonandrade2767 exemplos?
Manda link parça obg
Existem umas "jogadas" matemáticas que nem anotando vou lembrar. Esse lance de usar fração na potência é complicado demais, confuso não dá para ter segurança
kkk! pois é, o difícil é a gente ter essa jogada em mente. Eu nunca que iria pensar dessa forma, tanto que nem consegui fazer sozinho.
É preciso ter costume com esses problemas. Esse problema é bem comum quando você estuda teoria dos números.
É dos expoentes fracionados que surge a radiação. Depois que pegas a manha, você nunca mais vais querer fazer radiciação normalmente!
Tem que tentar estudar a base da matemática, aquele universo narrado tem um curso bem bom sobre
Entendi foi nada. Melhor ir na tentativa e erro até descobrir.
tentei o segundo método com 55 em vez de 65: não funciona! Isso porque quando (a+b)(a-b) = n.m só vale dizer que (a+b) = m e (a-b) = n no domínio dos números inteiros, e se n e m forem primos. Não funciona no conjunto dos números reais. E, normalmente, equações com funções exponenciais se resolvem no domínio dos Reais. (Assim, por exemplo, para 3^n - 2^n = 55, a solução é n= 3,861023... que eu só consegui por tentativa e erro -- no Excel...)
A própria resolução por tentativa e erro (1o método mostrado) demonstra que esse procedimento de elevar o minuendo (3) e o subtraendo (2) ao mesmo expoente, fere a igualdade! Quando se passa da subtração entre 3 ao quadrado menos 2 ao quadrado (=5) para 3 à quarta menos 2 à quarta (=65), fica claro que ao se elevar os expoentes da subtração à mesma potência, isso altera a igualdade...não? 🤔
Hahahahahahahahaha. Mas é claro que não ia funcionar!
@@GustavoLGNobre "demonstra que esse procedimento de elevar o minuendo (3) e o subtraendo (2) ao mesmo expoente, fere a igualdade!"
Maninho ... que? Isso que tu falou NÃO faz sentido.
@@samueldeandrade8535 Não entendi o raciocínio desses caras também. Utilizaram termos técnicos, mas não falaram nada com nada.
@@Edward-Nichols hahahahaha. Enfim, cada um com suas idéias, mano. A gente encotnra todo tipo de pessoa nesse mundo.
Percebi que a outra forma de resolver é vc olhar a equação como uma equação diofantina do tipo 3x - 2y=65. Ja que x e y são inteiros. E o maximo divisor de 3 e 2 divide 65, entao tem solução inteiros.
E considera x=3^(n-1) e y=2^(n-1).
Acredito que dessa forma dar para resolver. Mas logico por tentativa erro sai mais rapido
Legal, mas é a primeira vez que leio esta palavra: diofantina. Não faço a menor idéia do que é isso.
@@Jomar_Alves Não tem no ensino médio, é só pra quem estuda pra vestibular militar ou olimpíada
@@S.O- mestrado Profmat também tem... Foi lá onde eu vi... Ahh, e também em Álgebra no ensino superior
@@Jomar_Alves Equação diofantina á aquela que só admite solução em NÚMEROS INTEIROS. ("Diofantina" vem de Diofantes, matemátco grego)
A matemática é LINDA! Parabéns mestre!
Amei sua explicação. Parabéns professor, arrasou!!!!!
Se for uma Questão onde vc apenas precisa da resposta e não uma demonstração...
Fica mais fácil fazer por substituição ( tentativas)
N=1
N=2
N=3
E
N=4
Que vai ser a verdadeira
Rapidinho chega na resposta...
Claro .. se o intuito for utilizar outro método... Então né.... Use ele 😁👍
Muito obrigado! Deus abençoe
Muito legal. Explicou bem. A matematica é incrivel.
Eu vi uma indiana fazendo essa mesma questão faz um tempinho! E muito interessante esse típico de questão. Manipulação algébrica e diferença de quadrados depois da substituição, achei legal!
Intuição, força bruta funciona se os números forem pequenos. Lembro que já cai numa questão dessa em que o expoente era na casa dos milhares. Resolvi com logaritmo, fatoração e sistema. Como eu fiz eu nem lembro.
Como eu vim parar nesse vídeo, tmb não sei. Kkkkkkkk
A vida tem caminhos estranhos.
Isso será muito útil no Largados e pelados.
aproveita que hoje com 21 anos to estudando pra concurso :'D
Parabéns pela explicação! Muito feliz vendo sua aula: ganhou mais um inscrito.
A forma mais fácil é mais simples e rápida, ao menos para mim. Estou estudando para concurso e acompanho exercícios de raciocínio lógico
Resolvi apenas tendo em mente que a potência de 3 não poderia ser menor que 65, assim só podendo ser 81. Questão pra ser feita em segundos
Isso se o N estiver restrito aos inteiros. Em outros casos, poderia facilmente ser uma fração
Acho muito divertido relembrar essas coisas da época da escola e brincar com elas. Adoro os vídeos 😊
SHOW DE BOLA!!!
Consegui da forma "não tão rápida" filhão 😂. Abraço, valeu pela questão, indiquei uma questão bacana em comentário de outro vídeo, quando der manda ela aí no canal.
A certeza de que a+b é 13 vem da expressão 3 elevado a n sobre 2 = 13, isso impossibilita "a" de ser um número negativo e de modo análogo b também não é negativo. Gostei da aula professor. Deus te abençoe.
Linda questão e ótima explicação!
Excelente explicação professor.
Muito legal a segunda resolução!!
No caso de (a+B)*(a-B)=x*y, sendo x>y, sempre (a+B)=X e (a-B)=y??? Fiquei refletindo sobre isso. A afirmação acima é verdadeira sempre?
também queria saber
Não. É válido para a e b positivos.
Depois de alguns testes e de perguntar para outras pessoas, acabei chegando à conclusão que nem sempre isso é uma verdade. Na realidade, x e y precisariam ser números primos.
Além disso, muito provavelmente, essa questão foi elaborada com o pensamento de utilizar esse artifício. Se trocarmos o 65 da questão por outro valor semiprimo, como o 21, por exemplo, encontraremos a = 5 e b = 2 ao realizar o mesmo cálculo do vídeo. Mas, ao igualar às expressões, encontraremos que n = 2 em "b" e 3^n/2= 5 em "a", o que é um absurdo, dado que "n" só possui um valor. Talvez, se mudássemos as bases '"2" e "3" por outros valores ao igualar ao 21, isso funcionaria.
Finalmente, acredito que seja uma boa ferramenta, mas não é uma propriedade generalista; portanto, é importante que se verifique as soluções, a fim de concluir que elas são, de fato, corretas.
@@iheureux Boa explicação, fiquei curioso neste detalhe também, pois nunca tinha visto, levando em consideração de ser número primo, deu certo.
Claro que não.
Sensacional.
Top professor! Show! Obrigado! E olha que sou matemático!
Shooow!!! Muito bom professor continue seus vídeos
Eu gostei ! E os produtos notáveis são de grande importância , preciso praticar mais sobre isso .
Bem passo a passo professor Felipe.
Excelente professor, parabéns.
Boa dedução. Obrigado
A segunda forma serve para todas as vezes que ficar complicado de fazer de cabeça, mas vamos falar a verdade, esse dá para fazer MENTALMENTE.
Não. A segunda forma funciona bem quando o expoente procurado é par. Um cara nos comentários mostrou isso com detalhe.
Perfeito. Didática pura, muito bacana.
# Professor, o valor de " N " é 4, com certeza! Pois, o 3 estando elevado a potência 4 = 3 X 3 x 3 X 3 = 81 subtraindo o 2 elevado a potência 4 = 2 X 2 X 2 X 2 = 16, resulta em 81 - 16 = 65
Excelente
Resolvi meio que por intuição rs. Sabia que seria um número baixo, aí estimei que seria o 4 e fiz o teste.
Eu faço por confronto, comparando a 81 - 16 e tres elevado a n é igual a 81 e dois elevado a n é igual a 16. Logo n= 4
Você é fera professor.
Excelente. Parabéns.
65=3^4 - 2^4
X=4
Sensacional!
Cara, essa questao daria pra resolver de cabeça. Sendo n equivalente em ambas as bases, era do pensar num numero que que menos outro qure resultaria em 65. 3^4-2^4=65.
Sim. Mas ele fez isso no início.
Eu elevem o número a 4a. Potência entao::: 3⁴ = 81 e 2⁴= 16. Então... 81-16= 65. Descobri o valor de n assim. 😂😂😂😂
Muitolegal
Obrigado.
Parabéns
Excelente exemplo!
Vc consegue resolver essa equação utilizando de uma observação um pouco mais avançada, nesse caso, sabendo que 65 pode ser escrito como 9² - 4², então, sabendo que 9 e 4 são múltiplos de 3 e 2 respectivamente, escreve-se (3²)² - (2²)², como propriedade da potenciação temos que essa fatoração é igual a 3⁴ - 2⁴, com isso, chegamos exatamente na igualdade de potência n do problema resultando em n = 4
Gigante
A questão pede o número que corresponde ao n, logo entende-se que são expoentes iguais.
Diante disso, só apliquei propriedades de potência:
3⁴ - 2⁴ = 65
81 - 16 = 65
Logo, n é igual a 4.
Exatamente!
Os expoentes serem iguais se deve, simplesmente, ao fato da expressão dada ser
3ⁿ-2ⁿ
Ué.
@@samueldeandrade8535 ué o quê? E daí? Eu apenas expliquei. Tem gente que não sabe, que não deduz.
@@willalves98 não tem o que deduzir. É como se a questão fosse
"Se n+n=6, n=?"
e tu tá dizendo que o que diz que as parcelas são iguais é a parte
"n=?"
quando, na verdade, é simplesmente o fato das parcelas serem iguais,
"n+n=6"
Não tem o que explicar.
@@samueldeandrade8535 tem, sim. Mas tá bom, Einstein. Descansa, matemático. Calma, hipotenuso.
Professor, 65 realmente é 13 x 5, mas também é 1 x 65.
E se o aluno optasse por colocar na expressão "1 x 65" e não "13 x 5", daria tudo errado, não é ?
Digamos que você não soubesse que a resposta é n=4, o que levaria você a optar por "13 x 5" e não por "1 x 65". E, pra piorar, ainda tem os produtos entre frações, que também poderiam dar 65. Ou seja, o universo de produtos para dar 65 pode ser muito grande, pois em nenhum momento a questão disse que n é inteiro e positivo, ou seja, "n" pertencendo aos naturais positivos.
Fiquei com essa dúvida !
A resposta é que pra dar certo o número em si precisa ser fatorado em numeros primos, como 1 não é número primo então já descarta, dai os únicos seriam 5 e 13 que multiplicados dão 65, ou seja 65 tem fatores 5 e 13 (5 x 13 = 65).
Nunca vc vai optar por desmembrar o resultado por 1 vezes ele mesmo, porque nesse caso 1 não serve pra nada (1 x 65 = 65) não havendo fator primo (no caso 65 é primo porém não pode ter o fator igual a ele mesmo).
@@RIVTOR_2204 , mas existem os números fracionários que quando multiplicados também dão 65. E a questão em nenhum momento disse que n pertence ao números naturais positivos. E a questão também não dá como premissa que para sua resolução é preciso fatorar em números primos o 65
@@josel62 Fração também não é primo, Entenda, quando vc quer decompor algum número sempre vai ser em números primos, isso é regra universal e não tem porque o enunciado explicitar isso porque é regra da matemática, entendeu? É meio difícil explicar.
n=4. Na hora me veio isso, só vendo a thumb. Porque a única coisa que eu tinha que achar, era algum número que fizesse 3^n > 65, então bastava apenas eu testar 3,4 e 5, já que 3^3=27 e 3^4 = 81, então eu sabia que a resposta começava a partir de n >= 4, quando eu fiz 2^4, dando 16, eu só fiz a subtração e e deu certo.
Para mim, esse é um dos métodos eficientes, já que eu fui obrigado a aprender as potências de todos os 10 primeiros números até o expoente 7. Eu fui obrigado porque estava pra participar de um campeonato de fazer contas.
O que eu fico de cara foi com o primeiro cara( matemático) que teve esse raciocínio pra chegar nessa fórmula, eu já com as fórmulas prontas tenho dificuldade imagina fazer um racicínio deste.
Valeu!
Muito bom mestre😊
Caramba muito legal professor resolução Top parabéns show
Muito bom.
A diferença entre eles é 65. Então 3n tem que ser maior que 65.Testei ,cheguei no 81.Ai 81 menos 65 deu 16 ,então 2n é igual a 16. O n portanto é 4
O primeiro exemplo é mais fácil o segundo é só pra complicar. Francisco Diniz de Juazeirinho PB.
Com números maiores N será possível ficar testando
Fica aí testando infinitamente quando 3 elevado a N - 2 elevado a N for igual a 2059
Complicou! tem modo muito mais simples, mas valeu o vídeo!
Fiz da maneira rápida, mas gostei muito da divertida!
Vc teria que testar o outro produto de 65 (65x1) para validar se haveria outra alternativa para n, não é?
Já acho que não importa se é N ou X ou y. É 3 alguma coisa-2 alguma coisa= 65.
Ora 3-2=1
1n=65
MT burro kkkk
Kkk con certeza a mais rápida em relação ao tempo
Existe alguma bibliografia que seja boa em trabalhar equações dessa maneira?
Essa tua pergunta é beeeeem interessante. Tow aqui pensando em escrever um livro sobre isso.
Esse homem é o CRAQUE dos craques!!! ⚽️
Aos 50 anos idade, este vídeo me fez lembrar porque nunca fui bom aluno em matemática. kkkk
Otima aula professor, sempre achei que produtos notáveis fosse difícil, mas com sua aula vejo que não é aquele bicho de 7 cabeças ou 3(10-8)+1 cabeças kkkkkk
KKKKKKKKKKKKKKKKKKK muito bom a piada com a expressão numérica!
Realmente não é um bicho de 2^4 - 3(2+1)
Para quem não sabe quanto é 1 + 2.
Olha a dica:
1 + 2 = X
X +2 = -1
X = -1 -2
X = -3
__________
X² = -3² = 9 = √9 = 3.
Boa noite. 😂
4 4
3 - 2 = 81 - 16
n = 65
Pelas tentativas eu cheguei ao n.
3 elv n - 2 elv n = 65
Tentei n= 1, 2, 3, nada!
n=4, 3 elv 4 = 81, 2 elv 4 = 16, 81 - 16 = 65
GÊNIO!!!
Não seria possível resolver essa questão com logaritmos? Grato!
Não, pq o 65 precisaria ser fatorado, e seria necessário sobrar pelo menos um expoente mas não tem essa opção, pq 65 é 5x13 dois números primos se fosse 64 daria, ficaria 2⁴, l
Certo, mas você pode ver o valor de log 65 em uma tabela de logaritmos, não é verdade?
@@radoicog pode até dar, mas em uma prova de vestibular ou concurso, não teria uma tabela
Valeu! Não havia pensado nisso!
geralmente se utiliza ln e log quando há expoentes diferentes, justamente para tombar eles e deixar mais a operacao fazivel. Nesse caso, o log não chega a ser plausivel justamente por que nao é necessario
Consegui rapidamente!
Muito bom!
Po mestre... Fui de cabeça 3^n= 65+2^n ... Pensei no mais proximo quw seria 3^4= 81... 65+2^4=8> 2^4=16> 16=16... Então blz Kkkkkk
Está com 1 mês que essa questão foi respondida em canal de matemática gringo de uma mulher.
Tem como Fazer essa questão com log? Tentei com log
Vou ficar com a primeira resolução, gabarito letra 4
Eu fiz da seguinte forma... Infelizmente, não deu certo.
3^n - 2^n = 65
1^n = 1 = x
2^n é diferente de 1^n + 1^n
m^2 + m^3 é diferente de m^5
65 = 65 × 1 = 65 × 1^n
3^n - 2^n = 65 × 1^n
2^n = (1+1)^n = (x+x)^n = (1^n + 1^n)^n
3^n = (1+1+1)^n = (x + x + x)^n
=(1^n + 1^n + 1^n)^n
(1^n + 1^n + 1^n)^n - (1^n + 1^n)^n = 65 × 1^n
65 = [(1^n + 1^n + 1^n)^n - (1^n + 1^n)^n] ÷ 1^n
65 = [(x + x + x)^n - (x + x)^n] ÷ x
65 = [(3x)^n - (2x)^n] ÷ x
65 = [(3^n)( x^n) - (2^n)( x^n)] ÷ x
65 = [(x^n) (3^n - 2^n)] ÷ x
65 = [(x^n) (65)] ÷ x
1 = (x^n) ÷ x
x = x^n ÷ x
x^2 = x^n
n = 2
Não sei explicar o meu erro matematicamente...
Mas, realmente, qdo eu somei "x" com "x" é como se eu estivesse somando 1^n com 1^n.
Não sei explicar pq a soma do "x" não foi válida.
Na situação:
1 = x^n ÷ x
Tbm poderia ter sido feito:
x = x^n
n = 1
Realmente, o caminho que eu fiz pela variável "x" não foi algo novo.
Valeu pelo vídeo.
Achei bacana o canal.
Muito bom! Mas tá mais prá "matemágica" que prá matemática kkkkk
sabe, e só fazer multiplicação normal que chega nesse resultado, não precisa de meia dúzia de contas
Por isso eu só faço olimpíada de história kjkkjkkjjkk mas explicou muito bem e eu fui capaz de compreender, redundante dizer que é um questão de prática, mas é exatamente assim, pois no meu nível é o tipo de coisa da qual me esqueço facilmente quando a hora chega.
Dá mais trabalho MAS, é na sombra e com água fresca! 😊
Gostei dos dois parênteses conectos representado a multiplicação.
Faltou falar da restrição "pertence aos inteiros". Se não, afirmar que a+b=13 e a-b=5 é uma decisão arbitrária. Por que não poderia ser por exemplo a+b=2,5 e a-b=26? A questão foi feita com a resposta já definida. Delimite melhor as questões.
Ele já sabia! Também não sou muito fã desse arbítrio, não!
Caiu em olimpíada no exterior. Já havia visto essa questão resolvida.
Boa tarde meu nome é Rafael sou vaqueiro abençoado por Deus e por nossa senhora de Anguera , eu moro com a minha tia Maria José dos Santos no sítio que fica localizado no povoado Serra dos homens aqui no município de Porto da Folha-sergipe à capital dos vaqueiros e rainha das vaquejadas também sou aposentado porquê sou autista ; sou formando em Gestão Pública pelo polo da Unit - ead daqui do município de Porto da Folha-sergipe à capital dos vaqueiros e rainha das vaquejadas concertesa à resposta dessa questão n=9.6.7 n= 400.
Alguém sabe a dedução dessa afirmação dele de que (a+b)(a-b)= xy vc pode falar que a+b = X é a-b=y ?? Nunca vi isso
A primeira coisa que pensei foi tentativa e erro, mas aí falei ...naaaa deve ter algum macete...
O que achei mais interessante foi assumir que (a+b) é maior que (a-b) , se o b for negativo nao seria o contrario?
Pois ai inverteria o sinal
Será que poderia resolver, jogando o logaritmo nos foi-se lados da igualdade?!
Tentativa é a melhor forma. Kkkkk
Uma questão muito interessante.
Que loucura 😂
Prefiro o Mais facil, logico hahaha
Muito bom...
Gracias
Tive um professor que dizia que matemática se resume a atenção, exercício e paciência. Atenção para não errar coisas bestas, exercício para o cérebro começar a entender a lógica dos cálculos e paciência para não desistir e conseguir fazer muitos exercícios.
É só pensar que o primeiro número tem que ser maior que o resultado, ou seja, maior que 65.
Questão linda 🎉🎉
Olhando assim já vi que n=4 pois 2 e 3 não podem ser.
Vai dar 81-16, mas agora fiquei curioso de como faz a conta.
Já tentei imaginar de várias maneiras como chegar no 4, mas não consegui.
Multiplicação é mais facil
Excelente resolução! Matemática é criatividade ♥️