*Ответ: 98¹⁰⁰ > 99⁹⁹.* ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ниже. Решение, предложенное автором видео, не годится для школьника, потому как он использует второй замечательный предел, входящий в курс мат. анализа (1 курс вуза). Ниже решение, доступное школьнику 10-11 кл. или даже младше. *$1.* Разделим первое число на второе = 99⁹⁹/98¹⁰⁰ и преобразуем это выражение следующий образом = (99⁹⁹/98⁹⁹)*1/98 = (99/98)⁹⁹ *1/98 = ((98 + 1)/98)⁹⁹*1/98 = (1 + 1/98)⁹⁹*1/98 = (1 + 1/98)(1 + 1/98)* … *(1 + 1/98)(1 + 1/98)(1 + 1/98)*1/98. *$2.* Оценим полученное выше выражение, оно >1 или 99⁹⁹.*
Читайте и слушайте внимательно. Задача при поступлении в Гарвард - один из лучших университетов мира. Соответственно, мы должны учитывать знания не только российских школьников, но и американских, и китайских и т.д. А чем их пичкают в школе, какие знания дают - это отдельный вопрос. К тому же, процентов 90 российских школьников, пишущих ЕГЭ по математике на 100 баллов, а также участники всероса и межнара знают про замечательные пределы.
@@КоляЕгоров-лимб з9ачем тогда прикапываться к автору? Он решил так, и его решение гораздо короче, чем ваше. А я напомню, что задача при поступлении в Гарвард, а не университет какой-нибудь тьмутаракани
@@dmitrygurban8635 Решение автора не является решением, поскольку из того, что некая последовательность a_n сходится к e, не следует того, что a_98 < 3, ни на какие другие свойства последовательности (1+1/n)^n ссылок не было.
Ну... вообще чисто логически понятно на мой взгляд. Первое число больше на единичку, значит за 99 перемножений там накапает чуть-чуть с этой единички. Но во втором случае мы еще целый дополнительный раз умножим на 98. Интуитивно очевидно что еще раз умножить на 98 больше.
проще сравнивал Х^Х и (Х-1)^(Х+1) для 2 4>1, для 3 27>16, 4 256>243, тут графики функции пересекаются и уже 5 это 3125 < 3600+, 6 это 40000+ < 45000+ (устные примерные вычисления) и далее разрыв увеличивается так как функции больше не пересекаются (можно доказать, но оно вроде ясно и так), можно матиндукцию при желании подтянуть, для строгости, но так как задание найти решение 99^99
98 в квадрате: от 98 отнимаем дополнение до ста. Получили 96 - это число сотен будущего квадрата. Прибавляем квадрат дополнения, получаем 9604. Вот этому, к сожалению, действительно не учат в школе.
99 = 98 + 1 ([(98+1)/98]^99)/98= ((1+1/98)^99)/98. Второй замечательный предел от ( 1+1/n)^n при n стремящимся к бесконечности есть e. При бол шом значении степени получаем примерно ~е/98
А производные изучают в школе? Хотя строгого доказательства, наверное, не получится, но можно наглядно увидеть, как число меняется от изменения основания и как от изменения степени.
@maxm33 сегодня в школе проходят производные, однако это всего ознакомительный курс. Три замечательных предела входят уже в курс высшей математики (математический анализ).
проще -взять однозначные рядом стоящие числа в однозначных аналогичных степенях, превратить в одинаковые степени путем умножения на одинаковые числа оба заданных числа и сравнить
Решение проще - для двух почти равных чисел, второе возводится на одну степень больше ! А так как числа увеличиваются в геометрической последовательности разница в +1 степень огромна ☝️
Чисто интуитивно решил, что почти одинаковые числа перемножаются. И результат степени 99 будет грубо говоря на два порядка меньше степени 100. Т.е. во втором результаты будет на одно слагаемое больше, а оно почти равно 100 (два порядка)😂 И оказался прав
Согласе ! Да просто если прикинуть примерно то 99 в степени 100 делённое на 99 будет меньше чем 98 в степени 100. Даже если перемножить эти числа на их степени разница будет всего единица, что уж говорить о степенях
Решение конечно интересное, но в степени условно 10 нулей (один порядок), соответственно какие не были бы числа (если они одинаковые), то получается больше то число у которого степень больше.
@@математикапро100 пока писал, нашёл решение изящнее. Преобразуем сравнение x^x и (x-1)^(x+1). Получим сначала это: x*x^(x-1) и (x-1)^2 * (x-1)^(x-1). После это: (x/(x-1))^(x-1) и 1/х*(x-1)^2. Ну и по итогу имеем: (1+1/(х-1))^(x-1) и 1/х*(x-1)^2. Обе функции монотонные(доказательство если надо, то отдельным комментарием по желанию напишу), но одна убывает и на бесконечности стремится к e, а вторая возрастает на бесконечность. При х=5 левая часть меньше правой (5^5=3125
Есть задачи настолько очевидные, что никакого решения и вовсе не требуется. Это одна из таких задач. По реакции на эту задачу сразу же можно понять степень интеллекта человека. Если сразу понял - значит имеет ясную картину Мира чисел. А если начал считать - значит туповат... зато уверенно владеет алгеброй ))) Приведу пример подобной задачи, которую использую как тест на интеллект: 5 землекопов за 5 часов отрывают 5 метров траншеи. Сколько нужно землекопов, чтобы за 10 часов отрыть 10 метров траншеи? Задаешь человеку такую задачку, и сразу видишь: Если засмеялся - значит умный, Если начал считать - тупой 🤣
Автор конечно молодец, но фишку так и не озвучил. В таких случаях (когда все числа и их степени положительные и > 4) всегда зарешивает степень. УЧИТЕ ФИЗИКУ - МАТЕМАТИКА ЭТО ВСЕГО ЛИШЬ ЯЗЫК ФИЗИКИ!
Не говорите глупости. "Матеиатика - царица всех наук" (М.В. Ломооосов). Да, она одновременно с тем и язык, только не физики (области весьма ограниченной), но мышления Человека (да и не только его одного).
5^(3*17) и 2^(7*17-1)=2^(7*17)/2 5^3 и 2^7/(корень 17 степени из 2) 125 и 128/(корень 17 степени из 2) (корень 17 степени из 2) и 128/125=1,024 2 и (1,024)^17=1+17*0,024+17*16/2*(0,024)^2+...=1+0,408+0,083232+0,001+... 2^118.
Не нужно никаких неравенст в Бернулли. 1) логарифмирунм оба числа: 51x ln(5) и 118x ln(2); 2) Первое число приводим к виду 51/118, а второе к ln(2/5); Возвращаемся о логарифма и видим, что exp(51/118) > 2/5, так как показательная функция меньше единицы только при отрицательном аргументе.
А я бы домножил на 99, а потом разделил обе части на 98^100. Получилась бы в одной стороне дробь (99\98)^100 что явно меньше 99 с другой стороны. Ничего сложного
В решении ошибка. Использовано предельное значение для последовательности, сходящейся к е, но не доказана монотонная сходимость. Может быть некоторые члены последовательности больше трех.
Ооочень просто, даже для полного профана в математике, типа меня. Берём логарифм по основанию 98 от обоих чисел. Неравенство при этом сохраняется. Справа получается 100, слева 99*1.0000..., то есть примерно 99. Всё
Все бы хорошо. но с пределом косяк. Не может этого быть в аппарате мат знаний школьника. Если школьник владеет знанием, что e=(1+1/n)^n , то он автоматом должен знать, что функция степени растет быстрее чем основания. В целом просто можно сделать аналитический расчет: 4^4=256, 3^5=243. 5^5=3125, 4^6=4096. Все, что дальше будет добавлять значение стенной функции. И очевидно, что 99^99
Решил задачу за секунду это при том что математика никогда не была моей сильной стороной, а те кто поступают в такие элитные вузы наверное еще быстрее решат.
самый прикол что эта "задачка" решается просто логикой. вспоминаем что такое арифметическая и геометрическая прогресии и смотрим чем "отличаются" эти два числа. условно число "а" больше числа "в" в "арифметическом представлении", а число "в" больше числа "а" в "геометрическм представлении". а т.к. геометрическая прогрессия "круче", то число "в" больше числа "а" :)
Надо проще считать, а не марочится как автор. Числитель 99⁹⁹ преобразуем как 99⁹⁸*99 , а знаменатель 98¹⁰⁰ как 98⁹⁸*98², так как степень двухзначная при преобразование в число е, то число е используем как два знака после запятой, то бишь 2.71 Получаем в итоге 2.71*99/98² Без счёта понятно, что знаменатель больше числителя. Значит 99⁹⁹
Для совсем простоты было бы достаточно сказать что (1+1/n)^n где n = 98 - это меньше 10. Тогда было бы меньше придирок у зануд к замечательным пределам.
Я по другому решил, я задал функцию вида ln(x)/(1+x) (прологарифмировал два выражения поделил на 100 и на 99 и там увидел что знаменатель это 1+х ) нашел производную (приблезительно гарафическим методом нашел корень x0 там вроде от 2 до 4) ну и проанализировал на монотонность от x0 до беск. функция убывает по этому 99>98 а f(99)
Из того, что последовательность сходится к e не следует, что какой-то конкретный член меньше 3. Да последовательность (1+1/n)^n монотонно возрастает, из чего следует озвученное утверждение, но факт монотонности не только не доказан, но и даже не упомянут. Но на самом деле удивительным образом последовательность (1+1/n)^(n+1) стремится к тому же самому пределу, и если принять "аргументацию", то разделять на (1+1/n)^n * (1+1/n) смысла нет, но опять же аргументация ущербная. Но тут есть такой факт, что последовательность (1+1/n)^(n+1) монотонно убывает, поэтому её члены можно оценить сверху как (1+1/1)^(1+1) = 4. то есть (99/98)^99 < 4. Доказательство монотонности в решении нужно приводить, конечно.
Степень 99 говорит нам, что число состоит примерно из 99+1 цифры, а степень 100 говорит нам, что число состоит из 100+1 цифр, поэтому число со степенью 100 больше без счета, и пример показывает, почему это так. 10^1 = 10 две цифры 10^2 =100 три цифры 10^3 = 1000 четыре цифры
Задача странная. Я решил за 1 из школьных знаний степеней. Мои знания в математики далеки от оценки хорошо 😂. Мой уровень это удовлетворительно в лучшем случае.
e=(1+n)**n это прямо мощное заявление, ну хотя бы значок предела поставили. Поставили, отлично, а теперь надо доказать что он туда стремится монотонно, и у нег нет в районе 98 какого-нибудь мерзкого выброса.
Есть вот такой вариант решения 1. 99^99 ? 98^100 Сводим обе части к одной степени 2. 99^99 ? 98^99 * 98 Далее, совершаем перенос все частей со степенью на одну сторону 3. 99^99-98^99 ? 98 После этого, от каждого элемента мы находим корень 99 степени 4. 99^(99/99)-98^(99/99) ? 98^(1/99) Сокращаем и получаем Следующий пример 5. 1 ? 98^(1/99) Зная, что прилюбом значении знаменателя, знак степени будет стремится к 1, мы получим следующий ответ 6. 1 ? 98 Соответственно знак неравенства у нас < Что можно использовать и для основного условия
а нельзя без лишнего говна 98*(98^99) степени сделать и на этом успокоиться так как оно как минимум будет на порядок больше? степень же показывает сколько раз число перемножалось само на себя
@@АнвярНарбиков Что именно не верно то? х^1=х (школьный курс алгебры) или что степень показывает сколько раз число перемножалось само на себя не верно? Получается х^100 степени=х^99)*х^1 , а так как х^1=х то получается x(х^99).
Какой нафиг " Гарвард?! n в степени. n < n-1 в степени. n+1 , где n= или> 5 ! (n × n ) - (n-1)×(n+1)= 1 значит n в степени n меньше n-1 в степени n +1.
Только посмотрел заставку и сразу понял правильный ответ. Ибо 98 100 больше чем 9 999. Этл видно "не вооруженным" взглядом. Да, я агроном, если, что))))😂😂😂😂
print("99**99") print("98**100") И не нужно усложнять жизнь, жизнь и так слишком сложная, а задача людей её упрощать. А вообще, степень пизже основания.
print("99**99") print("98**100") будет вывод строк 99**99 и 98**100, а не сравнение. вот так правильно: a = 99*99 b = 98**100 if (a == b): print("a == b") elif (a < b): print("a < b") else: print("a > b")
я не супер помню но в шк проходят формулу откуда берется число е? как по мне это просто озвучивается как константа которую нужно запомнить а дальше в институтах начинают пояснять откуда весь этот набор
Зачем так сложно? Если присвоить 99числу букву, например n, дальше n+1 и n-1 во втором числе все быстро покажут. Какие экзамены в Гарвард? Это обычная советская школа среднего уровня. Бред
Я, гуманитарий, посмотрел и сразу же ответил, что 98 в 100 степени больше. Я ничего не считал. Просто степени всегда увеличивают число на овер чем дохyя.
Решение автора плохое, потому как ключевой для решения факт (1+1/98)^98 < 3 верен, но не обоснован строгим образом (обоснование в неявном виде было таким: члены последовательности с достаточно большим индексом меньше 3, и мы верим, что 98 это достаточно большой индекс). Оно не было бы плохим, если бы сразу задекларировалось, что это не строгое решение, но на уровне идеи можно так. Логарифм тоже можно использовать: если взять функцию f(x) = x^(198-x), то задача сводится к тому, чтобы сравнить f(98) и f(99). Есть надежда, что f(x) монотонна на отрезке [98, 99], и знак производной укажет какое из чисел больше. Можно взять производную непосредственно f(x), но всё-таки слегка проще посчитать (ln(f(x))', поскольку логарифм монотонно возрастающая функция, взятие логарифма сохраняет знак производной. После проделывания этой процедуры можно увидеть, что производная становится отрицательной при каких-то x существенно меньших, чем 98, отсюда будет следовать искомое неравенство.
@sergeykitov2760 на самом деле (1+ 1/n)^n < 3 при любом n, а не "с достаточно большим индексом". Например, при n = 2 будет (1+1/2)^2 = 1,5^2 = 2,25. И при увеличении n функция растет. Но при n -> oo выражение стремится к е = 2,718... < 3. Но вы правы, СТРОГО доказать, что оно меньше 3 - это 4-5 страниц убористого текста. Здесь этого доказательства конечно не было.
@@МихаилГрудцын-ь7ъ Вы совершенно правы, что (1+1/n)^n < 3 для любого n, это не слишком сложно доказать, доказав, что последовательность монотонно возрастает, я привёл в одном из комментариев к этому ролику доказательство, что (1+1/n)^(n+1) монотонно убывает, возрастание доказывается аналогично. Из того, что у последовательностей общий предел и одна возрастает, другая убывает следует, что (1+1/n)^n < e < (1+1/m)^(m+1). возьмём m = 5. (1+1/n)^n < e < 6^6/5^6 = 46656/15625 = (46875 - 219)/15625 = 3 - 219/15625 < 3. Но у автора была ссылка только на существование предела у последовательности, а это можно воспринимать только как веру в то, что индекс 98 - достаточно большой.
что то там с низу все так заумно расписано но на сколько не изменяет мне память с уроков 5 го класса то степень числа показывает нам сколько раз его надо умножить само на себя так тут и решать не надо 99 в степени 99 будет меньше чем 98 в степени 100 хоть и число на единицу меньше но мы его на 1 раз больше умножаем....
Чё то там расписывают.. решают.. отрыл калькулятор на телефоне возвел в нужную степень одно число потом второе. какое больше то и написал. А тут целый чистый лист испортили..
"Степень пизже основания"
Эльмир
Я это решил по формуле пика за √2 секунд
Дададада
√2 чет много, я решил за f(x_max)=1/x
Дадада
*Ответ: 98¹⁰⁰ > 99⁹⁹.* ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ниже.
Решение, предложенное автором видео, не годится для школьника, потому как он использует второй замечательный предел, входящий в курс мат. анализа (1 курс вуза). Ниже решение, доступное школьнику 10-11 кл. или даже младше.
*$1.* Разделим первое число на второе = 99⁹⁹/98¹⁰⁰ и преобразуем это выражение следующий образом = (99⁹⁹/98⁹⁹)*1/98 = (99/98)⁹⁹ *1/98 = ((98 + 1)/98)⁹⁹*1/98 = (1 + 1/98)⁹⁹*1/98 = (1 + 1/98)(1 + 1/98)* … *(1 + 1/98)(1 + 1/98)(1 + 1/98)*1/98.
*$2.* Оценим полученное выше выражение, оно >1 или 99⁹⁹.*
Читайте и слушайте внимательно. Задача при поступлении в Гарвард - один из лучших университетов мира. Соответственно, мы должны учитывать знания не только российских школьников, но и американских, и китайских и т.д. А чем их пичкают в школе, какие знания дают - это отдельный вопрос. К тому же, процентов 90 российских школьников, пишущих ЕГЭ по математике на 100 баллов, а также участники всероса и межнара знают про замечательные пределы.
@@dmitrygurban8635 А я про них и знать не желаю.
@@КоляЕгоров-лимб з9ачем тогда прикапываться к автору? Он решил так, и его решение гораздо короче, чем ваше. А я напомню, что задача при поступлении в Гарвард, а не университет какой-нибудь тьмутаракани
@@dmitrygurban8635 Решение автора не является решением, поскольку из того, что некая последовательность a_n сходится к e, не следует того, что a_98 < 3, ни на какие другие свойства последовательности (1+1/n)^n ссылок не было.
Степень пизже основания
Решил за 1 сек по теореме Степень пизже основания
А для чисел меньше е?)
Например 2 и 3
3^2 > 2^3
Угадал ответ не равно решил
В Гарвард нет никаких вступительных экзаменов. Принимают по результатам тестов и все документы подаются по почте.
Душнила
😂@@АнтонСафонов-л6ь
Ну... вообще чисто логически понятно на мой взгляд. Первое число больше на единичку, значит за 99 перемножений там накапает чуть-чуть с этой единички. Но во втором случае мы еще целый дополнительный раз умножим на 98. Интуитивно очевидно что еще раз умножить на 98 больше.
Это экзамен по математике, а не по логике
@@TTyTHuk ага, вот только я прав.
проще сравнивал Х^Х и (Х-1)^(Х+1) для 2 4>1, для 3 27>16, 4 256>243, тут графики функции пересекаются и уже 5 это 3125 < 3600+, 6 это 40000+ < 45000+ (устные примерные вычисления) и далее разрыв увеличивается так как функции больше не пересекаются (можно доказать, но оно вроде ясно и так), можно матиндукцию при желании подтянуть, для строгости, но так как задание найти решение 99^99
Хорошее доказательство, общий вариант решения получаем
Подобные задачи в большинстве случаев в пользу большей степени, за исключением случаев когда основание/степень имеют маленькие знания 2-5
В большинстве - это не на 100%
Граница это число е
98 в квадрате: от 98 отнимаем дополнение до ста. Получили 96 - это число сотен будущего квадрата. Прибавляем квадрат дополнения, получаем 9604. Вот этому, к сожалению, действительно не учат в школе.
Ловко выкрутился!
Сначала задание было предельно простое, в конце стало невероятно сложным!
99 = 98 + 1
([(98+1)/98]^99)/98= ((1+1/98)^99)/98.
Второй замечательный предел от ( 1+1/n)^n при n стремящимся к бесконечности есть e.
При бол шом значении степени получаем примерно ~е/98
Второй замеч. предел не изучают в школе (это первый курс вуза, матанализ).
А производные изучают в школе? Хотя строгого доказательства, наверное, не получится, но можно наглядно увидеть, как число меняется от изменения основания и как от изменения степени.
@maxm33 сегодня в школе проходят производные, однако это всего ознакомительный курс. Три замечательных предела входят уже в курс высшей математики (математический анализ).
проще -взять однозначные рядом стоящие числа в однозначных аналогичных степенях, превратить в одинаковые степени путем умножения на одинаковые числа оба заданных числа и сравнить
Решение проще - для двух почти равных чисел, второе возводится на одну степень больше ! А так как числа увеличиваются в геометрической последовательности разница в +1 степень огромна ☝️
Чисто интуитивно решил, что почти одинаковые числа перемножаются. И результат степени 99 будет грубо говоря на два порядка меньше степени 100.
Т.е. во втором результаты будет на одно слагаемое больше, а оно почти равно 100 (два порядка)😂
И оказался прав
Согласе ! Да просто если прикинуть примерно то 99 в степени 100 делённое на 99 будет меньше чем 98 в степени 100. Даже если перемножить эти числа на их степени разница будет всего единица, что уж говорить о степенях
Сравнил 2³ и 3² и пришёл к выводу, что чем больше степень - тем больше результат. Но идея и решение вполне занимательны!
Молодец, а теперь докажи, что это верно для всех чисел
0:19 "Задание предельно простое"
5:47 "На мой взгляд задача довольно сложная"
А прошло-то всего около 5.5 минут.
Решение конечно интересное, но в степени условно 10 нулей (один порядок), соответственно какие не были бы числа (если они одинаковые), то получается больше то число у которого степень больше.
В универы типа Гарвардского берут преимущественно за расовое разнообразие или успехи в спорте. Там половина студентов не сможет решить никакую задачу.
Спасибо, чел, посмеялся от души)
Для всех натуральных x>=5 можно доказать по индукции, что
x^x
У меня не получается доказать. Помогите, пожалуйста.
@@математикапро100 пока писал, нашёл решение изящнее. Преобразуем сравнение x^x и (x-1)^(x+1).
Получим сначала это: x*x^(x-1) и (x-1)^2 * (x-1)^(x-1).
После это: (x/(x-1))^(x-1) и 1/х*(x-1)^2.
Ну и по итогу имеем: (1+1/(х-1))^(x-1) и 1/х*(x-1)^2.
Обе функции монотонные(доказательство если надо, то отдельным комментарием по желанию напишу), но одна убывает и на бесконечности стремится к e, а вторая возрастает на бесконечность. При х=5 левая часть меньше правой (5^5=3125
Мы при доказательстве индукции получим, что при x=k ((k-1)/k)^(k-1)
Мне было проще сперва прологарифмировать, а потом сравнить exp(0.99) и 98/99, т.е. число, которое больше единицы с числом, которое меньше единицы
Есть задачи настолько очевидные, что никакого решения и вовсе не требуется. Это одна из таких задач. По реакции на эту задачу сразу же можно понять степень интеллекта человека. Если сразу понял - значит имеет ясную картину Мира чисел. А если начал считать - значит туповат... зато уверенно владеет алгеброй )))
Приведу пример подобной задачи, которую использую как тест на интеллект:
5 землекопов за 5 часов отрывают 5 метров траншеи. Сколько нужно землекопов, чтобы за 10 часов отрыть 10 метров траншеи?
Задаешь человеку такую задачку, и сразу видишь: Если засмеялся - значит умный, Если начал считать - тупой 🤣
10
Я сначала подумал "10 землекопов" потом понял что я затупил и угарнул (5 землекопов)
Если заскучал, значит ты восьмой с этой шуткой
Автор конечно молодец, но фишку так и не озвучил. В таких случаях (когда все числа и их степени положительные и > 4) всегда зарешивает степень. УЧИТЕ ФИЗИКУ - МАТЕМАТИКА ЭТО ВСЕГО ЛИШЬ ЯЗЫК ФИЗИКИ!
Не говорите глупости. "Матеиатика - царица всех наук" (М.В. Ломооосов). Да, она одновременно с тем и язык, только не физики (области весьма ограниченной), но мышления Человека (да и не только его одного).
Очень грамотное интересное решение
Интересно, что же больше 5 в 10 или 7 в 9. Степень же зарешивает. Больше 4. Положительные. Все условия соблюдаются.
@@gilzaa 5 != 10. условия не соблюдены. 8^8 < 7^9
@@bsdr1 7^7 > 5^8 и где тут превосходство степени? Основание больше 4. Числа положительные
без формулы можно понять что а > б, так как 99 раз по 99 больше чем 98 раз по 100, разница в 1 единицу - don't be complicated
Есть сложней задача.Сравнить 5^51 и 2^118. Подсказка :На финальном этапе поможет неравенство Бернулли
5^(3*17) и 2^(7*17-1)=2^(7*17)/2
5^3 и 2^7/(корень 17 степени из 2)
125 и 128/(корень 17 степени из 2)
(корень 17 степени из 2) и 128/125=1,024
2 и (1,024)^17=1+17*0,024+17*16/2*(0,024)^2+...=1+0,408+0,083232+0,001+... 2^118.
Не нужно никаких неравенст в Бернулли. 1) логарифмирунм оба числа: 51x ln(5) и 118x ln(2); 2) Первое число приводим к виду 51/118, а второе к ln(2/5); Возвращаемся о логарифма и видим, что exp(51/118) > 2/5, так как показательная функция меньше единицы только при отрицательном аргументе.
@@SaarSergeyнеужели заморачиваться с разложениями, корнями и приближенными вычислениями красивее, чем взять логарифм?
@@ЕвгенийБогатырев-ы3ы Ты сделал ошибку. Второе число будет ln(2)/ln(5) и оно не равно ln(2/5).
@SaarSergey блин, точно жжж
А я бы домножил на 99, а потом разделил обе части на 98^100. Получилась бы в одной стороне дробь (99\98)^100 что явно меньше 99 с другой стороны. Ничего сложного
(99\98)^100 совершенно не явно меньше 99, это именно доказать необходимо
Кому-то очевидно, если большой опыт. (99/98)^98 < 3, (99/98)^2 < (1,02)^2 . Произведение никак не больше 4.
@@petinvпри доказательстве апелляции к опыту не работают, даже если Вы тысячу раз правы
@@Almashina 99/98~1.01, поэтому:
1.01^n~1+0.01*n=1+0.98~2,
что явно меньше 99
Для подобных выражений типа :x^x и (x-1) ^(x+1), если x>4 и х-целое, то правое всегда больше
Мы конечно такие решали, сейчас думаю в приличной школе тем более, а из неприличных школ в Гарвард не отправляются
Справедливо же, что для любых натуральных “b” и натуральных “а” больше 4 всегда будет верно неравенство: a^b < c^d для a-1=c и b+1 = d
Прошу доказать.
В решении ошибка. Использовано предельное значение для последовательности, сходящейся к е, но не доказана монотонная сходимость. Может быть некоторые члены последовательности больше трех.
Не может, а некоторые больше. Но в данном примере они очевидно меньше, так что допущение абсолютно логично
Ооочень просто, даже для полного профана в математике, типа меня. Берём логарифм по основанию 98 от обоих чисел. Неравенство при этом сохраняется. Справа получается 100, слева 99*1.0000..., то есть примерно 99. Всё
Принимаем: 99=x 98=x-1 100=x+1 Дальше всё просто. Нужно сравнить x^x и (x-1)^(x+1). Очевидно, что всех x>4, правая часть больше.
Я сразу подумал, что 98 в сотой сто процентов больше 99 в 99-ой. И правда. Калькулятор подсказывает, что аж в 35.86933... раз больше
я тоже с вами согласен.. но мой калькулятор показал что первое число больше.... может я что то не так увидел?
Все бы хорошо. но с пределом косяк. Не может этого быть в аппарате мат знаний школьника. Если школьник владеет знанием, что e=(1+1/n)^n , то он автоматом должен знать, что функция степени растет быстрее чем основания. В целом просто можно сделать аналитический расчет: 4^4=256, 3^5=243. 5^5=3125, 4^6=4096. Все, что дальше будет добавлять значение стенной функции. И очевидно, что 99^99
За это я не люблю математику, сложность ради сложности, абсолютно неприменимая в жизни
Решил задачу за секунду это при том что математика никогда не была моей сильной стороной, а те кто поступают в такие элитные вузы наверное еще быстрее решат.
Метод решения не озвучил=балабол
@@Krokodily4он видимо под решил имел ввиду выбрал вариант который считал верным ,но доказать свою правоту не смог бы(короче угадал )
Интересная задача, спасибо за решение!
Задача из Гарварда в общем виде находится в листках Сириуса и ЛМШ за 7 класс в неравенствах о средних.
самый прикол что эта "задачка" решается просто логикой.
вспоминаем что такое арифметическая и геометрическая прогресии и смотрим чем "отличаются" эти два числа.
условно число "а" больше числа "в" в "арифметическом представлении", а число "в" больше числа "а" в "геометрическм представлении".
а т.к. геометрическая прогрессия "круче", то число "в" больше числа "а"
:)
Надо проще считать, а не марочится как автор. Числитель 99⁹⁹ преобразуем как 99⁹⁸*99 , а знаменатель 98¹⁰⁰ как 98⁹⁸*98², так как степень двухзначная при преобразование в число е, то число е используем как два знака после запятой, то бишь 2.71 Получаем в итоге 2.71*99/98² Без счёта понятно, что знаменатель больше числителя. Значит 99⁹⁹
Двузначное число множится на двузначное. По этому когда степень на один больше, то число будет минимум на порядок больше
Для совсем простоты было бы достаточно сказать что (1+1/n)^n где n = 98 - это меньше 10. Тогда было бы меньше придирок у зануд к замечательным пределам.
Я по другому решил, я задал функцию вида ln(x)/(1+x) (прологарифмировал два выражения поделил на 100 и на 99 и там увидел что знаменатель это 1+х ) нашел производную (приблезительно гарафическим методом нашел корень x0 там вроде от 2 до 4) ну и проанализировал на монотонность от x0 до беск. функция убывает по этому 99>98 а f(99)
Из того, что последовательность сходится к e не следует, что какой-то конкретный член меньше 3. Да последовательность (1+1/n)^n монотонно возрастает, из чего следует озвученное утверждение, но факт монотонности не только не доказан, но и даже не упомянут. Но на самом деле удивительным образом последовательность (1+1/n)^(n+1) стремится к тому же самому пределу, и если принять "аргументацию", то разделять на (1+1/n)^n * (1+1/n) смысла нет, но опять же аргументация ущербная. Но тут есть такой факт, что последовательность (1+1/n)^(n+1) монотонно убывает, поэтому её члены можно оценить сверху как (1+1/1)^(1+1) = 4. то есть (99/98)^99 < 4. Доказательство монотонности в решении нужно приводить, конечно.
Доказательство того, что (1+1/n)^(n+1) убывает:
1. Лемма: 1+x>0, n > 1, x != 0 => (1+x)^n > 1+nx.
Пусть доказано для некоторого n, тогда (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) > (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2 > 1 + (n+1)x.
n = 2: (1+x)^2 = 1+2x + x^2 > 1+2x
Лемма доказана. (Для положительных x лемма сразу следует из бинома Ньютона, и положительных x достаточно для доказательства убывания (1+1/n)^(n+1), но для аналогичного доказательства монотонного возрастания (1+1/n)^n нужны отрицательные x).
2. (n/(n-1))^n/((n+1)/n)^n = ( n^2/( (n-1)(n+1) ) )^n = ( n^2/(n^2-1) )^n = (1+ 1/(n^2-1))^n > 1+n/(n^2-1) > 1+n/n^2 = 1+1/n = (n+1)/n.
3. (n/(n-1))^n / ((n+1)/n)^n > (n+1)/n => (n/(n-1))^n > (n+1)/n * ((n+1)/n)^n = ((n+1)/n)^(n+1), то есть a+{n-1} > a_n, Ч.Т.Д.
Теперь рассмотрим обобщение предложенной задачи: Сравнить n^n и (n-1)^(n+1), для всех натуральных n.
n = 1: 1>0.
n>1: задача равносильна сравнению (n/(n-1)^n и (n-1),
n > 4: (n/(n-1))^n < 4, (n-1) >= 4 => (n/(n-1))^n < (n-1).
1 < n 3. (n/(n-1))^n > (n-1).
итого для любых натуральных n: n> 4: n^n < (n-1)^(n+1), n (n-1)^(n+1).
Легко доказать по индукции что n^n
Кстати, да:/
А теперь реши эту задачу методами современной школы.
"Так степень же" - хотел написать я. А потом почитал комменты😂
Из двух соседних чисел (кроме 1 и 2 ) больше всегда то, чья степень боьше.
Задача из школьной программы для 10 класса. , решается намного проще, чем в видео, сравнением оснований при равных степенях.
Решил за 0.5 секунды по теореме "степень пизже основания"
Степень 99 говорит нам, что число состоит примерно из 99+1 цифры, а степень 100 говорит нам, что число состоит из 100+1 цифр, поэтому число со степенью 100 больше без счета, и пример показывает, почему это так.
10^1 = 10 две цифры
10^2 =100 три цифры
10^3 = 1000 четыре цифры
100³ - 7 цифр
@@maxm33 Вообще 4 цифры, (1,0,0,3)
@@maxm33993. Задница.
99*99= 9801
Мужик,это можно было даже не считать,при схожих основаниях большим будет число с большей степенью
Показатель больше -- значит результат больше, и похер какие основания, если они примерно одинаковые.
Мне кажется проще степени перемножить чем страдать этим.... И да мы узнаем что степень 100 больше
приехал я как-то раз, в Гарвард поступать, на факультет Истории, а мне говорят, на задачу реши, в общем не поступил я
А если прологарифмировать обе части с основанием e, то получим 99*ln99 и 100*ln98 => 99*4.60 и 100*4.58 => второе больше
логарифмы в уме посчитали, конечно же? :)
Да. Ут уже 1+1/98 можно за 1 принять и дальше не париться. Точно сравнить не получится, но разница в порядках чисел становится очевидна
Легче без крупных цифр решается а=99 , 98=(а-1) через ((а-1)"99/а"99 ) *98/1 получается (1-1/a)*98 что равно 98-1/99
Я уже забыл эту часть математики, но чисто ни интуиции говорю что стерень важнее основания, а значит правое число будет больше
Даже без подсчета ответ был ясен...
Задача странная. Я решил за 1 из школьных знаний степеней.
Мои знания в математики далеки от оценки хорошо 😂. Мой уровень это удовлетворительно в лучшем случае.
А почему не сравнить с 4 во 2 степени и 3 в 3
Степень пизже основания
5 в 10 и 7 в 9. Что же больше. Всегда же степень круче.
@@gilzaaне душни это прикол так-то
@@gilzaaтак ты основание слишком занизил, конечно 5 в 10 будет меньше, это же не 6 в 10, которая тут по факту должна была быть
@@ВладимирГусаков-ц5ю так в верхнем комментарии, что-то про основание написано? Что оно должно быть близкое.
e=(1+n)**n это прямо мощное заявление, ну хотя бы значок предела поставили. Поставили, отлично, а теперь надо доказать что он туда стремится монотонно, и у нег нет в районе 98 какого-нибудь мерзкого выброса.
Есть вот такой вариант решения
1. 99^99 ? 98^100
Сводим обе части к одной степени
2. 99^99 ? 98^99 * 98
Далее, совершаем перенос все частей со степенью на одну сторону
3. 99^99-98^99 ? 98
После этого, от каждого элемента мы находим корень 99 степени
4. 99^(99/99)-98^(99/99) ? 98^(1/99)
Сокращаем и получаем
Следующий пример
5. 1 ? 98^(1/99)
Зная, что прилюбом значении знаменателя, знак степени будет стремится к 1, мы получим следующий ответ
6. 1 ? 98
Соответственно знак неравенства у нас <
Что можно использовать и для основного условия
Ты конечно "мастер" переноса, из 98^99 * 98 вычел 98^99 и получил не 98^99 * 97 а 98
Красиво!👋
Округлить числа под степенью до 100. Понятное дело, что 100 в 98 меньше 100 в 99.
а нельзя без лишнего говна 98*(98^99) степени сделать и на этом успокоиться так как оно как минимум будет на порядок больше? степень же показывает сколько раз число перемножалось само на себя
Неверно
@@АнвярНарбиков Что именно не верно то? х^1=х (школьный курс алгебры) или что степень показывает сколько раз число перемножалось само на себя не верно?
Получается х^100 степени=х^99)*х^1 , а так как х^1=х то получается x(х^99).
@@Hr0ft теперь верно :-)
Я решил примерно посчитав производную функции f(x) = (99+x)^(99-x)
Какой нафиг " Гарвард?! n в степени. n < n-1 в степени. n+1 , где n= или> 5 !
(n × n ) - (n-1)×(n+1)= 1 значит n в степени n меньше n-1 в степени n +1.
Только посмотрел заставку и сразу понял правильный ответ. Ибо 98 100 больше чем 9 999. Этл видно "не вооруженным" взглядом. Да, я агроном, если, что))))😂😂😂😂
Ответ я угадала без решения. Наверное жизненный опыт. Решение было гениальное.
Ну вот может абитуриенты такое гениальное решение и приводили, а их потом не брали.
Нельзя вычитанием было определить какое число больше?
ChatGPT решила за 1 секунду
print("99**99")
print("98**100")
И не нужно усложнять жизнь, жизнь и так слишком сложная, а задача людей её упрощать.
А вообще, степень пизже основания.
print("99**99")
print("98**100")
будет вывод строк 99**99 и 98**100, а не сравнение.
вот так правильно:
a = 99*99
b = 98**100
if (a == b):
print("a == b")
elif (a < b):
print("a < b")
else:
print("a > b")
я не супер помню но в шк проходят формулу откуда берется число е? как по мне это просто озвучивается как константа которую нужно запомнить а дальше в институтах начинают пояснять откуда весь этот набор
Я сначала подумал 99^2 < 98^3 и будет решением
Решил в уме без писанины
4:00 Зачем умножать 98 на 98, ведь и так ясно что любое четырёхзначное число больше 297. Спасибо за видео.
А нельзя просто посмотреть, как растет ряд 99^2, 99^3... И 98^2, 98^3?
А с другими числами это также работает? 2^4 почему то меньше чем 3^3?
4^6 > 5^5 и дальше разрыв только растёт
Начинает от e уже идёт степень важнее
Да как-то сразу видно что лево меньше право...
Куда катиться мир, я все это решил в уме меньше чем за минуту, кто же там не мог решить эту задачу🤔
Про "е" --- абсурд
КОМУ ЭТО В ЖИЗНИ ХОТЬ 1 РАЗ ПРИГОДИЛОСЬ?
А можно мне покурить что у Вас было?😂
А при какой степени было бы 99 больше от 98 если степень 98 всегда больше на 1 от степени 99? По моим подсчетам 99^452>98^453
Решил за 52.69 миллисекунд по формуле степерь пизже основания
2 в 3 или 3 в 2? Нет, степень не пизже
@@ВалентинНаливайченко-т8еэто правило работает всегда, если оба числа больше 4
Задание предельно простое (начало) и в конце задание довольно сложное)))))))))))
Зачем так сложно? Если присвоить 99числу букву, например n, дальше n+1 и n-1 во втором числе все быстро покажут. Какие экзамены в Гарвард? Это обычная советская школа среднего уровня. Бред
У меня у одного такие задачи попадаюися в дз и на контрольных по алгебре ?
Я, гуманитарий, посмотрел и сразу же ответил, что 98 в 100 степени больше.
Я ничего не считал. Просто степени всегда увеличивают число на овер чем дохyя.
Трëп языком это не решение, не обоснование. Это трëп языком.
мне кажется 98 надо записать как Х и от этого плясать
Классное решение, я бы попробовал через логарифмы и конечно не получил бы ничего хорошего
Решение автора плохое, потому как ключевой для решения факт (1+1/98)^98 < 3 верен, но не обоснован строгим образом (обоснование в неявном виде было таким: члены последовательности с достаточно большим индексом меньше 3, и мы верим, что 98 это достаточно большой индекс). Оно не было бы плохим, если бы сразу задекларировалось, что это не строгое решение, но на уровне идеи можно так. Логарифм тоже можно использовать: если взять функцию f(x) = x^(198-x), то задача сводится к тому, чтобы сравнить f(98) и f(99). Есть надежда, что f(x) монотонна на отрезке [98, 99], и знак производной укажет какое из чисел больше. Можно взять производную непосредственно f(x), но всё-таки слегка проще посчитать (ln(f(x))', поскольку логарифм монотонно возрастающая функция, взятие логарифма сохраняет знак производной. После проделывания этой процедуры можно увидеть, что производная становится отрицательной при каких-то x существенно меньших, чем 98, отсюда будет следовать искомое неравенство.
@sergeykitov2760 на самом деле
(1+ 1/n)^n < 3 при любом n, а не "с достаточно большим индексом".
Например, при n = 2 будет
(1+1/2)^2 = 1,5^2 = 2,25.
И при увеличении n функция растет.
Но при n -> oo выражение стремится к е = 2,718... < 3.
Но вы правы, СТРОГО доказать, что оно меньше 3 - это 4-5 страниц убористого текста.
Здесь этого доказательства конечно не было.
@@МихаилГрудцын-ь7ъ Вы совершенно правы, что (1+1/n)^n < 3 для любого n, это не слишком сложно доказать, доказав, что последовательность монотонно возрастает, я привёл в одном из комментариев к этому ролику доказательство, что (1+1/n)^(n+1) монотонно убывает, возрастание доказывается аналогично. Из того, что у последовательностей общий предел и одна возрастает, другая убывает следует, что (1+1/n)^n < e < (1+1/m)^(m+1). возьмём m = 5. (1+1/n)^n < e < 6^6/5^6 = 46656/15625 = (46875 - 219)/15625 = 3 - 219/15625 < 3.
Но у автора была ссылка только на существование предела у последовательности, а это можно воспринимать только как веру в то, что индекс 98 - достаточно большой.
что то там с низу все так заумно расписано но на сколько не изменяет мне память с уроков 5 го класса то степень числа показывает нам сколько раз его надо умножить само на себя так тут и решать не надо 99 в степени 99 будет меньше чем 98 в степени 100 хоть и число на единицу меньше но мы его на 1 раз больше умножаем....
Это просто решается!!!
Есть 2-ва слитка зол ота::
9999.vs 9899 что выбирите,то и больше!!!
Логика
Зачем так всё усложнять?
Чё то там расписывают.. решают..
отрыл калькулятор на телефоне возвел в нужную степень одно число потом второе.
какое больше то и написал.
А тут целый чистый лист испортили..
Это легче чем двухзначные числа умножать зачем на полных щах этим заниматься?
Интересно...но непонятно.
А можно было бы сказать что 1 в 99 и 2 в 100 и не писать столько?