안녕하세요. 05:36에 곡면 S를 벡터 R(x, y, z)=( x, y, f(x,y) )로 표현하셨는데요. "임의의 곡면" R(x, y, z)를 어떻게 R(x, y, z)=( x, y, f(x,y) )로 표현할 수 있나요?? 임의의 곡면이라면 R( x, y, f(x,y) )=( a(x,y,f(x,y)), b(x,y,f(x,y)), c(x,y,f(x,y)) ) (, 스칼라함수 a,b,c) 로 표현되어야 하지 않나요?? 제 말은 곡면 R(x,y,z)=(x,y,f(x,y))의 특수한 곡면에는 스토크스 정리가 성립되었는데, 임의의 곡면에 성립됨을 따로 보여야 하지 않나요??
엄밀한 물리적 의미로 바라보면 x,y평면에서 한점 주위의 회전요인은 모든방향에 대해서 즉 기준점 주위의 모든방향인 미소 원에 대한 회전력을 모두 고려해야된다고 생각되어지는데(예를 들어 기준점에서 북동쪽 방향의 힘과 남서쪽 방향의 힘의 차이도 회전력을 일으키는 요인이 되므로 전체의 회전력을 고려하려면 점 주위의 모든 방향의 힘에 대칭되는 힘을 빼주고 더해줘야 하는게 아닌가 생각하고 있습니다.) x축과 y축의 회전력만을 고려해도 된다는 수학적 증명이 따로 있는지 궁금하네요
@@juhyeokkwon6972 실제로 엄밀하게는 모든 방향이 맞긴 한걸로 알고 있습니다. 그런데 사실상 선적분값을 알고자 할때 이렇게 할필요가 없다라는 사실을 알게 되었습니다. 미소 x축과 y축방향에 대해서 직사각형으로 나눠서 분석하더라도 결국 우리가 구하고자 하는것은 외부의 선적분 값이기때문에 폐곡선을 이루는 선적분 내부 넓이는 직사각형들의 회전이 합쳐져 결국 사라지게 되며 우리가 관심을 갖고자 하는 외부 영역의 선적분 값을 구할 수 있습니다. 또한 직사각형 형태로 구하지 않고 원의 형태로 구하면 매우 까다롭고 직사각형은 더해갈때 빈공간 없이 테두리 내에 배열할 수 있지만 원은 빈공간이 생기게 되므로 어떻게 보면 거시적인 관점에서는 정확한 회전력을 구할 수 없을 것입니다. 물론 한점 미소 영역에는 구의 형태가 모든 방향을 분석하므로 구체적이다고 볼 수 있죠 그리고 제가 원이 아닌 구라고 했는데 스토코스 정리에서 회전이 사실상 3차원에 대한 회전력에 대한 면적분 값에 부피를 나눈고 부피를 0으로 보낼 경우의 값입니다. 즉 스토코스 정리는 회전의 면적분에서 >> 회전은 3차원 미소 입체 면에 대한 회전력의 면적분 값에 미소 입체 부피를 나눈 값이다. (회전은 벡터이지만 공간적인 차원은 S/V) >> 구하고자 하는 선적분의 테두리를 이루는 면의 범위에 대해 위의 회전을 면적분 시 선적분 차원이 된다. (회전 공간적 차원 S/V에서 면적분 했으므로 S를 곱하면 S^2/V=l 길이 차원이 됩니다.)
@@juhyeokkwon6972 약간이라도 도움이 되셨다니 다행입니다. 공간적 차원 입장에서 위에 설명을 하긴 했지만 스트코스 정리와 회전에 대한 의미를 좀더 설명해 드리겠습니다. 회전에서 어떤 한 점에 대한 회전을 알고자 할때 그 점을 포함하고 연속으로 붙어있는 입체 즉 점 주위의 점들의 집합체에 (집함체는 미소 구를 생각 하셔도 되고 미소 직사각형을 생각하셔도 됩니다.) 집합체의 점마다 힘이 존재 한다면 그 점들의 힘을 기준점 (회전력을 알고자 하는점)에 수직한 방향 성분의 힘들을 (회전력으로 작용하는 힘들) 구하기 위해 미소 구 (집합체) 위의 힘이 집합체를 이루는 미소 면 (집합체를 이루는 점이라고 생각하셔도 됩니다. 미소면 = 기준 점 주위에 있는 집합체를 이루는 점)에 수직한 성분의 힘을 구하기 위해 미소 구에 대한 면 벡터와 구 면 위의 힘의 외적을 구한 다음 미소 구를 나눈 값입니다. 이런 정의가 의미하는 바는 회전력을 알고자 하는 기준점 주위의 힘들이 있을텐데 이 힘들을 미소구의 면에 대한 면벡터와 외적 (nXF 여기서 n은 구의 면의 수직 방향벡터, X는 외적 기호 F는 구면위에 있는 힘 입니다.)을 함으로 써 구의 면벡터와 수직인 즉 회전 력 방향의 힘들을 구할 수 있는 것입니다. 여기서 마지막에 부피를 나누는 것은 물리적으로 엄청 중요한 의미를 갖지는 않습니다 수학적으로 선적분과 같아지기 위한 작업이라고 간단하게 생각하셔도 됩니다. 이렇게 회전을 구하게 되면 기준 점에 대한 회전력을 알 수 있게 되는 것입니다. 참고하실점은 기준 점에 대한 회전력들은 벡터이며 기준점 주위의 모든 방향에 대한 회전력을 더하면 한방향의 벡터로 합성이 됩니다. 이렇게 구해진 합성 벡터의 의미는 그 방향을 축으로하고 오른손 법칙에 의해 회전하는 기준 점의 총 회전력의 크기및 방향을 알 수 있는 것입니다. 즉 모든 방향의 회전력을 합성 하면 결국 한방향의 합성 벡터가 나오고 이는 기준 점을 지나고 합성 벡터 방향을 축으로 하는 오른손 방향의 회전력을 의미하는 것이 됩니다. 이는 회전이 결국 기준 점의 회전력을 알 수 있게 해주며 기준 점을 포함하는 2차원 미소면에 회전력을 나타낼 수 있다고 볼 수 있습니다. 이런 회전력들을 면적분 (합성)한 값이 결국 선적분 값이 나오게 되는 것입니다. ================================================ 정리: 1. 회전은 말그대로 기준 점의 회전력을 구할 수 있게 한다.(제가 적은 글은 의미를 말한 것이지 증명법이 아니니 찾아 보시길 추천드립니다.) 2. 스토크스 정리에서 관심을 갖고자 하는 것은 관찰하고자 하는 선에대한 적분값(선 적분) 즉 물리적으로는 에너지를 구하고자 하는 것이다. 이런 선적분을 구할때 선적분을 하고자 하는 선(테두리) 내부의 면적에대해 회전을 면적분하여 구한 값과 같다는 것을 스토코스 아저씨가 증명을 한 것입니다. (한마디로 미소 직육면체에 대한 회전을 테두리 내부 면적에 대해 면적분 했더니 실제 선적분 값과 같더라 때문에 직육면체나 직사각형으로 해도 상관 없더라는 말입니다. )
곡면 내부 면적의 회전벡터가 모조리 다 서로서로 상쇄되고 결국에는 테두리선의 벡터만 남게 된다는 스토크스 정리의 기하학적 의미 체적내부의 발산벡터가 모조리 다 서로서로 상쇄되고 바깥면적 부분의 벡터만 남는다는 발산정리의 기하학적 의미 이 두 가지를 상우쌤 동영상에서 배웠고 벡터끼리 서로 상쇄되는 이미지도 책과 사이트에서 찾아봤습니다 스토크스정리와 발산정리 증명을 처음부터 미적분 수식으로 접근하려다 좌절한 사람들에게 엄청난 힘이 되는 것같습니다 심지어 회전벡터와 발산벡터의 개념을 완전히 정확하게는 몰라도 그런것들이 그런 벡터들이 면적분을 선적분으로 처리하는 적분기교를 위해 사용된다 혹은 면적분을 체적적분으로 처리하는 적분기교를 위해 사용된다 개념만 잡아도 큰 도움이 되는 것 같습니다 그린정리까지 기하학적 이해에 도움이 되었습니다 고맙습니다 ^^
![[벡터미적분 Ep.5] 벡터장의 회전(curl)의 직관적 시각적 이해](http://i.ytimg.com/vi/wRoJxeo2K5I/mqdefault.jpg)
안녕하세요.
05:36에 곡면 S를 벡터 R(x, y, z)=( x, y, f(x,y) )로 표현하셨는데요.
"임의의 곡면" R(x, y, z)를 어떻게 R(x, y, z)=( x, y, f(x,y) )로 표현할 수 있나요??
임의의 곡면이라면 R( x, y, f(x,y) )=( a(x,y,f(x,y)), b(x,y,f(x,y)), c(x,y,f(x,y)) ) (, 스칼라함수 a,b,c)
로 표현되어야 하지 않나요??
제 말은 곡면 R(x,y,z)=(x,y,f(x,y))의 특수한 곡면에는 스토크스 정리가 성립되었는데, 임의의 곡면에 성립됨을 따로 보여야 하지 않나요??
와 소름돋게 이해 너무 잘시키시는거 아닌가요. 특히 시각적으로 모형 만든게 너무 이해가 잘돼요.
영상이 정말 직관적으로 이해되는데 최고에요!! 완전 한국판 3blue1brown이네여..... 감사합니다..ㅠㅠ
많은 도움 되었습니다. 감사합니다
봐주셔서 감사합니다~좋은밤되세요~
엄밀한 물리적 의미로 바라보면 x,y평면에서 한점 주위의 회전요인은 모든방향에 대해서 즉 기준점 주위의 모든방향인 미소 원에 대한 회전력을 모두 고려해야된다고 생각되어지는데(예를 들어 기준점에서 북동쪽 방향의 힘과 남서쪽 방향의 힘의 차이도 회전력을 일으키는 요인이 되므로 전체의 회전력을 고려하려면 점 주위의 모든 방향의 힘에 대칭되는 힘을 빼주고 더해줘야 하는게 아닌가 생각하고 있습니다.) x축과 y축의 회전력만을 고려해도 된다는 수학적 증명이 따로 있는지 궁금하네요
저도 같은 고민중인데 혹시 해결하셨나요??
@@juhyeokkwon6972 실제로 엄밀하게는 모든 방향이 맞긴 한걸로 알고 있습니다. 그런데 사실상 선적분값을 알고자 할때 이렇게 할필요가 없다라는 사실을 알게 되었습니다. 미소 x축과 y축방향에 대해서 직사각형으로 나눠서 분석하더라도 결국 우리가 구하고자 하는것은 외부의 선적분 값이기때문에 폐곡선을 이루는 선적분 내부 넓이는 직사각형들의 회전이 합쳐져 결국 사라지게 되며 우리가 관심을 갖고자 하는 외부 영역의 선적분 값을 구할 수 있습니다. 또한 직사각형 형태로 구하지 않고 원의 형태로 구하면 매우 까다롭고 직사각형은 더해갈때 빈공간 없이 테두리 내에 배열할 수 있지만 원은 빈공간이 생기게 되므로 어떻게 보면 거시적인 관점에서는 정확한 회전력을 구할 수 없을 것입니다. 물론 한점 미소 영역에는 구의 형태가 모든 방향을 분석하므로 구체적이다고 볼 수 있죠 그리고 제가 원이 아닌 구라고 했는데 스토코스 정리에서 회전이 사실상 3차원에 대한 회전력에 대한 면적분 값에 부피를 나눈고 부피를 0으로 보낼 경우의 값입니다.
즉 스토코스 정리는 회전의 면적분에서
>> 회전은 3차원 미소 입체 면에 대한 회전력의 면적분 값에 미소 입체 부피를 나눈 값이다. (회전은 벡터이지만 공간적인 차원은 S/V)
>> 구하고자 하는 선적분의 테두리를 이루는 면의 범위에 대해 위의 회전을 면적분 시 선적분 차원이 된다.
(회전 공간적 차원 S/V에서 면적분 했으므로 S를 곱하면 S^2/V=l 길이 차원이 됩니다.)
@@ameg9056 대단하세요.. 감사합니다
@@juhyeokkwon6972 약간이라도 도움이 되셨다니 다행입니다. 공간적 차원 입장에서 위에 설명을 하긴 했지만 스트코스 정리와 회전에 대한 의미를 좀더 설명해 드리겠습니다.
회전에서 어떤 한 점에 대한 회전을 알고자 할때 그 점을 포함하고 연속으로 붙어있는 입체 즉 점 주위의 점들의 집합체에
(집함체는 미소 구를 생각 하셔도 되고 미소 직사각형을 생각하셔도 됩니다.)
집합체의 점마다 힘이 존재 한다면 그 점들의 힘을 기준점 (회전력을 알고자 하는점)에 수직한 방향 성분의 힘들을 (회전력으로 작용하는 힘들) 구하기 위해 미소 구 (집합체) 위의 힘이 집합체를 이루는 미소 면 (집합체를 이루는 점이라고 생각하셔도 됩니다. 미소면 = 기준 점 주위에 있는 집합체를 이루는 점)에 수직한 성분의 힘을 구하기 위해 미소 구에 대한 면 벡터와 구 면 위의 힘의 외적을 구한 다음 미소 구를 나눈 값입니다.
이런 정의가 의미하는 바는 회전력을 알고자 하는 기준점 주위의 힘들이 있을텐데 이 힘들을 미소구의 면에 대한 면벡터와 외적 (nXF 여기서 n은 구의 면의 수직 방향벡터, X는 외적 기호 F는 구면위에 있는 힘 입니다.)을 함으로 써 구의 면벡터와 수직인 즉 회전 력 방향의 힘들을 구할 수 있는 것입니다.
여기서 마지막에 부피를 나누는 것은 물리적으로 엄청 중요한 의미를 갖지는 않습니다 수학적으로 선적분과 같아지기 위한 작업이라고 간단하게 생각하셔도 됩니다.
이렇게 회전을 구하게 되면 기준 점에 대한 회전력을 알 수 있게 되는 것입니다. 참고하실점은 기준 점에 대한 회전력들은 벡터이며 기준점 주위의 모든 방향에 대한 회전력을 더하면 한방향의 벡터로 합성이 됩니다. 이렇게 구해진 합성 벡터의 의미는 그 방향을 축으로하고 오른손 법칙에 의해 회전하는 기준 점의 총 회전력의 크기및 방향을 알 수 있는 것입니다.
즉 모든 방향의 회전력을 합성 하면 결국 한방향의 합성 벡터가 나오고 이는 기준 점을 지나고 합성 벡터 방향을 축으로 하는 오른손 방향의 회전력을 의미하는 것이 됩니다.
이는 회전이 결국 기준 점의 회전력을 알 수 있게 해주며 기준 점을 포함하는 2차원 미소면에 회전력을 나타낼 수 있다고 볼 수 있습니다. 이런 회전력들을 면적분 (합성)한 값이 결국 선적분 값이 나오게 되는 것입니다.
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정리: 1. 회전은 말그대로 기준 점의 회전력을 구할 수 있게 한다.(제가 적은 글은 의미를 말한 것이지 증명법이 아니니 찾아 보시길 추천드립니다.)
2. 스토크스 정리에서 관심을 갖고자 하는 것은 관찰하고자 하는 선에대한 적분값(선 적분) 즉 물리적으로는 에너지를 구하고자 하는 것이다.
이런 선적분을 구할때 선적분을 하고자 하는 선(테두리) 내부의 면적에대해 회전을 면적분하여 구한 값과 같다는 것을 스토코스 아저씨가 증명을 한 것입니다. (한마디로 미소 직육면체에 대한 회전을 테두리 내부 면적에 대해 면적분 했더니 실제 선적분 값과 같더라 때문에 직육면체나 직사각형으로 해도 상관 없더라는 말입니다. )
@@ameg9056 한참 생각하다보니 어느정도 이해한 것 같아요 감사합니다
와우.. 소름 돋네요 이런거였다니 ㅋㅋ 감사합니다.
05:43 에서 위치벡터R을 y로 편미분하면 곡면S의 접선 벡터가 되는 이유가 뭔가요? 선생님 알려주세요.
미분의 기하학적 의미가 그런것입니다. 함수를 미분하면 접선의 기울기가 되고, 그래프를 매개변수를 이용하여 위치벡터로 나타내고 미분하면 접선벡터가 됩니다.
2변수 함수에서 f(x,y) = z 로 놓고, x방향의 편미분 벡터와 y 방향의 편미분 벡터를 외적하면, 접평면의 법선벡터가 됩니다...... 대학미적분학 수업 한 번만 들으시면 쉽게 이해되는 데. 말로는 설명이 너무 어려워요. 그다지 어려운 개념은 아닙니다.
회전에서 x변화량/y변화량 = 음수/양수 인건 알았는데 그 값에 음의 부호를 붙이는 이유가 아직 안 와닿네요ㅜㅜ?
aP/ay 부분이요ㅜㅜ (편하게 편미분기호를 a로 표기했습니다)
예를 들어서 반시계방향으로 회전은 양수이므로 1만큼 회전한다고 했을때 aP/ay에서 aP가 -1이 나왔다고하면 회전의 측면에서는 1인거니까 -부호를 붙여야 양수가됩니다.감사합니다.
곡면 내부 면적의
회전벡터가 모조리 다
서로서로 상쇄되고
결국에는
테두리선의 벡터만 남게 된다는
스토크스 정리의 기하학적 의미
체적내부의
발산벡터가 모조리 다 서로서로 상쇄되고
바깥면적 부분의 벡터만 남는다는
발산정리의 기하학적 의미
이 두 가지를
상우쌤 동영상에서 배웠고
벡터끼리 서로 상쇄되는 이미지도
책과 사이트에서 찾아봤습니다
스토크스정리와 발산정리 증명을
처음부터
미적분 수식으로 접근하려다 좌절한 사람들에게 엄청난 힘이 되는 것같습니다
심지어
회전벡터와 발산벡터의 개념을
완전히 정확하게는 몰라도
그런것들이
그런 벡터들이
면적분을 선적분으로 처리하는
적분기교를 위해 사용된다
혹은
면적분을 체적적분으로 처리하는
적분기교를 위해 사용된다
개념만 잡아도
큰 도움이 되는 것 같습니다
그린정리까지
기하학적 이해에 도움이 되었습니다
고맙습니다 ^^