발산정리에서 미소부피의 모든 발산벡터가 상쇄되고 전체입체 표면의 발산벡터만 남으니 이것을 이용해 부피적분을 면적분으로 대체할 수 있다는 그것만으로는 만족이 안 되고 발산벡터 (divergence) 자체를 알고 싶다는 욕구가 상수쌤 동영상에서 해소되었습니다 상수쌤 동영상에서 90% 얻었고 책을 보니 원래는 한 미소부피의 중앙지점을 (x,y,z) 지점이라고 보고 x축을 따른 변쪽의 좌우발산은 중앙에서 좌로 (-0.5△x) 거리로 발산 중앙에서 우로 (0.5△x) 거리로 발산 그렇게 발산공식을 만들고 또 y축을 따른 변쪽의 좌우발산 z축을 따른 변쪽의 좌우발산 역시 그렇게 공식을 만들더군요 공식 만드는 요령은 상우쌤 동영상대로. 상우쌤 동영상에서 90%를 못 얻었으면 책의 설명도 이해를 못했을 거예요 책대로 동영상을 만들려면 작업량도 너무 많고 도리어 설명이 복잡해져서 학습자에게 역효과가 됐을 것 같아요 스토크스 정리도 폐곡선 내부의 회전벡터가 (curl) 모조리 다 상쇄돼고 테두리의 벡터만 남으니 면적분을 선적분으로 대체할 수 있다는 그것만으로 만족 못하고 curl 자체를 알고 싶었는데 책 보니 curl을 모르고 대학졸업하는 경우가 대부분일 만큼 어렵다고 했고 또 상우쌤 동영상을 보고도 curl이 확실하게 이해가 안 되어 답답했는데 이곳에서 고민한 것이 도움이 되어 다른 사이트와 책들을 보고 curl 이 완전히 이해가 되었어요 역시 curl의 완전한 개념 설명에는 상우쌤 동영상이 분량이 약간 부족했던 것 같아요 하지만 이곳에서 고민하는 시간이 없었다면 curl을 이해하는 기초체력을 기를 수가 없었을 거라는 느낌입니다 그린정리도 공중에 천막같은 것을 쳐 놓은 함수를 가지고 그린정리를 설명한 책이나 사이트를 본 적이 없고 오직 상우쌤 동영상에서만 있어서 그린정리를 이해하는 데 큰 도움이 됐어요 스튜어드미적분 마지막 부분의 그린정리,스토크스정리,발산정리 모두가 좌절하고 체념하며 그냥 외우는데 이곳에 빛이 있는 것같습니다 정말 고맙습니다 ^^
+방향이니, -방향이니 하는 것은 바라보는 관점의 차이일 뿐입니다. 마주보는 두사람이 누구는 동쪽을 오른쪽이라고 하고 누구는 동쪽을 왼쪽이라고도 부를 수 있죠. 기존의 수학은 반시계 방향으로 +를 약속했을 뿐입니다. JM L 님께서 -방향이라고 부르셔도 상관없습니다. 다만 기존의 수학과 부호가 반대로 될 뿐이죠. x,y축에 새로운 축을 더 한다고 생각할 때 z축의 +방향을 위쪽으로 정한 것과 반시계 방향과 연관이 있습니다. 3개의 백터 A(a1,a2,a3), B(b1,b2,b3) C(c1,c2,c3)가 있을 때 3개의 백터의 성분 9개로 만든 3x3 행렬에서 det( a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33) = det (a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3)>0 일 때 {A,B,C}를 우수계 라고 부릅니다. 만약 A(1,0,0), B (0,1,0) 일 때 우수계라면 C는 C(0,0,1)이 되면 좋겠죠? 이 때 C=AXB 가 되며 원통(실린더) 좌표계에서도 반시계 방향이 + 방향입니다. 원통좌표계에서 각도의 방향은 복소수곱과 관련이 있습니다. 요약하자면 +방향은 하나의 방향일 뿐, 기존에 사용하던 방향을 + 방향으로 정했을 뿐이며, 시계방향이나 음의방향을 +라고 “표기”하더라도 수학적으로 문제는 없습니다. 다만 기존의 수학 표기법에서 같은 값에 -라고 “표기”하겠죠.
복소수를 처음 도입했을 때, 실수R에 대해서 RxR에서의 사칙연산으로 정하려 했었죠. 그게 자연스럽다고 생각했으니까요. 그런데 +-x는 자연스럽게 정해도 나누기가 잘정의되지 않았습니다. 고민하다가 역연산이 존재하는 연산을 새로운 곱셈으로 정하자고 해서 나온게 복소수곱 입니다. 그리고 (1,0)=1 (0,1)=i라고 표기했죠. 만들고 보니 복소수곱은 평면상에서의 회전을 아주 잘 설명했습니다. 이에 자연스럽게 a+bi에서 a+bi+cj로 수 체계를 확장해볼까? 라는 생각을 했지만 이번엔 곱셈에서 문제가 생겼습니다. 고민하던 끝에 a+bi+cj+dk 라는 사원수 체계를 만들면 곱셈은 자연스럽게 정의할 수는 있었습니다. 만들고 보니 사원수로 3차원 공간상에서의 회전을 잘 정의할 수 있었습니다. 당시 수학자들은 RxRxRxR 에서의 두 사원수의 사원수곱의 결과인 (a1,a2,a3,a4)x(b1,b2,b3,b4) =(c1,c2,c3,c4)에서 c1을 내적 이라고 불렀고 c2,c3,c4 부분을 외적이라고 불렀습니다. 그 때의 내적과 외적을 다듬고 갈고 닦은 것이 지금의 3차원 공간에서의 내적,외적이 되었죠. 지금의 +방향은 그 당시 몇 십년 넘는 세월동안의 수학자들의 노력과 전통이라고 할 수 있습니다. 지금도 벡터에서는 나눗셈을 정의하지않죠.
공간상에서 온도의 변화를 표현할때 편미분을 이용하는데 엄밀한 물리적 표현으로는 이상하다고 느껴집니다. 일단 저의 생각을 말하자면 온도의 공간에 대한 함수를 T(x,y,z)라 할때 편미분시 두가지 공간 변수를 상수로 보고 x축 공간 변화만 있을경우의 온도 변화른 나타내고 나머지 공간 변수 y,z도 자신을 제외한 나머지 변수를 상수로 보고 변화를 나타내는데 엄밀하게 보면 입자가 한 축으로만 이동하는게 아닌 x,y,z축으로 각각 dx,dy,dz 미소간격으로 이동 하였을때 3축을 향하여 동시에 운동하므로 온도의 변화량은 T(x+dx,y+dy,z+dz)-T(x,y,z)으로 봐야하는거 아닌가요? 한마디로 실제로는 3축에 대해 동시에 입자가 이동하므로 그 입자에 작용하는 온도는 3변수중(xyz) 한축만 이동한다고 가정하고 각각의 축에 대한 변화율을 더한것은 근접할수는 있겠지만 다르다고 생각되어지는데 같다는 증명법이나 공리가 있을까요?? 정리하면 T(x+dx,y+dy,z+dz)-T(x,y,z)의 x성분의 온도 변화크기와 T(x+dx,y,z)-T(x,y,z)의 온도 변화크기가 다른것이 아닌가가 궁금하네요 y와z성분도 마찬가지로 T(x,y+dy,z)-T(x,y,z)와 T(x,y,z+dz)-T(x,y,z)또한 T(x+dx,y+dy,z+dz)-T(x,y,z)의 각각의 y,z성분과 다르다고 생각합니다.
델타y곱하기 델타z는 넓이를 나타낼 뿐이니까 그곳으로 얼만큼 유체가 흐르는지는 알수없겠죠. 비록 한점의 x성분이지만 아주작은 면적에서는 유체가 지나가는 양이 그 한점의 값과 모두 동일하다고 보고 곱한것입니다. 그리고 델타x만큼 떨어진곳과의 값을 비교하는 것이죠. 답변이 도움이 되었나요? 영상을 봐주셔서 감사합니다.
안녕하세요~ 제 영상을 봐주셔서 감사합니다. 첫번째 질문에 대한 것은 델타 x만큼 이동한 지점에서 벡터의 크기는 길어질수도 있고 짧아 질수도 있습니다. 그림에서 빨간벡터를 더 길게 그린것은 편의상 그런것이지 벡터장에 따라서 달라질수 있는것이니 헷갈리지 안으셨으면 합니다. 두번째 질문에 대한 답입니다. 그림에서 화살표의 방향은 위쪽,y축 방향이므로 벡터의 y성분의 크기의 변화량을 구하는 것인데 좌우의 벡터크기를 비교하는 것이므로 x에대해 편미분하는 것입니다. 즉 벡터의 시점이 x에 대해서 변화할때 y성분의 크기가 어떻게 변화하는 것인지를 구하는 것입니다. 감사합니다.
x축의 +방향으로 흐른 다고가정해도 상관은 없어요.단, 전제조건은 반시계로 회전할때 회전하는 정도는 양수로 표현된다는것이에요(오른손규칙). 이때 x축방향에서 양의 방향,즉 오른쪽으로 흐를때는 화살표가 오른쪽으로 그려지고 위아래 두개의 화살표중 위쪽이 짧아져야 반시계로 회전하겠죠.그러면 변화량이 음수이므로 편미분값은 음수인데 이때 회전은 양수로 표현되어야하므로 -를 붙이는게 맞습니다. 반대로 위의 화살표가 더 길다면 시계방향으로 회전하는 힘이 있는것이고 편미분값은 양수이므로 이때도 -를 붙여야 회전하는 정도가 음수로 표현됩니다. 이해가 되시나요?
발산정리에서
미소부피의 모든 발산벡터가 상쇄되고
전체입체 표면의 발산벡터만 남으니
이것을 이용해
부피적분을 면적분으로 대체할 수 있다는
그것만으로는 만족이 안 되고
발산벡터 (divergence)
자체를 알고 싶다는 욕구가
상수쌤 동영상에서 해소되었습니다
상수쌤 동영상에서 90% 얻었고
책을 보니
원래는 한 미소부피의 중앙지점을
(x,y,z) 지점이라고 보고
x축을 따른 변쪽의 좌우발산은
중앙에서 좌로 (-0.5△x) 거리로 발산
중앙에서 우로 (0.5△x) 거리로 발산
그렇게 발산공식을 만들고
또
y축을 따른 변쪽의 좌우발산
z축을 따른 변쪽의 좌우발산
역시 그렇게 공식을 만들더군요
공식 만드는 요령은 상우쌤 동영상대로.
상우쌤 동영상에서 90%를 못 얻었으면
책의 설명도 이해를 못했을 거예요
책대로 동영상을 만들려면
작업량도 너무 많고
도리어 설명이 복잡해져서
학습자에게 역효과가 됐을 것 같아요
스토크스 정리도
폐곡선 내부의 회전벡터가 (curl)
모조리 다 상쇄돼고 테두리의 벡터만 남으니 면적분을 선적분으로 대체할 수 있다는
그것만으로 만족 못하고
curl 자체를 알고 싶었는데
책 보니
curl을 모르고 대학졸업하는 경우가
대부분일 만큼 어렵다고 했고
또
상우쌤 동영상을 보고도 curl이
확실하게 이해가 안 되어 답답했는데
이곳에서 고민한 것이 도움이 되어
다른 사이트와 책들을 보고
curl 이 완전히 이해가 되었어요
역시
curl의 완전한 개념 설명에는
상우쌤 동영상이
분량이 약간 부족했던 것 같아요
하지만
이곳에서 고민하는 시간이 없었다면
curl을 이해하는 기초체력을
기를 수가 없었을 거라는 느낌입니다
그린정리도
공중에 천막같은 것을 쳐 놓은 함수를 가지고 그린정리를 설명한
책이나 사이트를 본 적이 없고
오직 상우쌤 동영상에서만 있어서
그린정리를 이해하는 데 큰 도움이 됐어요
스튜어드미적분 마지막 부분의
그린정리,스토크스정리,발산정리
모두가 좌절하고 체념하며 그냥 외우는데
이곳에 빛이 있는 것같습니다
정말 고맙습니다 ^^
축하드립니다^^
정말 최고의 설명이네요.. 외국영상 전혀 부럽지 않습니다. 영상 정말 감사합니다.
div curl을 이렇게 유도하면 되는군요😬 명쾌한 영상 감사합니다!
와....하루 내내 온 인터넷을 다 뒤져도 모르겠던게 한방에 완벽히 이해됐습니다.
Div curl 의외로 유도가 간단했군요..감사합니다
와.. 진짜 설명 엄청나네요 ㅜㅜ 이렇게 설명 잘해주는 영상은 처음입니다..! 감사해요!!
괜찮으시다면 한가지 질문 여쭙고 싶은데 curl에서 반시계방향을 기준으로 영상에서 설명해주셨잖아요 그럼 시계방향을 기준의 curl도 존재하는거죠? 그럼 그때는 i,j,k 성분안에 각각 -를 붙여주면 되는 걸까요??
그리고 Curl에서는 일반기준이 반시계방향인건가요?
+방향이니, -방향이니 하는 것은 바라보는 관점의 차이일 뿐입니다.
마주보는 두사람이
누구는 동쪽을 오른쪽이라고 하고
누구는 동쪽을 왼쪽이라고도 부를 수 있죠.
기존의 수학은
반시계 방향으로 +를 약속했을 뿐입니다.
JM L 님께서 -방향이라고 부르셔도 상관없습니다.
다만 기존의 수학과 부호가 반대로 될 뿐이죠.
x,y축에 새로운 축을 더 한다고 생각할 때
z축의 +방향을 위쪽으로 정한 것과 반시계 방향과
연관이 있습니다.
3개의 백터 A(a1,a2,a3), B(b1,b2,b3)
C(c1,c2,c3)가 있을 때
3개의 백터의 성분 9개로 만든 3x3 행렬에서
det( a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33)
= det (a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3)>0
일 때 {A,B,C}를 우수계 라고 부릅니다.
만약
A(1,0,0), B (0,1,0) 일 때 우수계라면
C는 C(0,0,1)이 되면 좋겠죠?
이 때 C=AXB
가 되며
원통(실린더) 좌표계에서도
반시계 방향이 + 방향입니다.
원통좌표계에서 각도의 방향은
복소수곱과 관련이 있습니다.
요약하자면 +방향은 하나의 방향일 뿐,
기존에 사용하던 방향을 + 방향으로
정했을 뿐이며,
시계방향이나 음의방향을 +라고
“표기”하더라도 수학적으로 문제는
없습니다.
다만 기존의 수학 표기법에서
같은 값에 -라고 “표기”하겠죠.
복소수를 처음 도입했을 때,
실수R에 대해서 RxR에서의
사칙연산으로 정하려 했었죠.
그게 자연스럽다고 생각했으니까요.
그런데 +-x는 자연스럽게 정해도
나누기가 잘정의되지 않았습니다.
고민하다가 역연산이 존재하는 연산을
새로운 곱셈으로 정하자고 해서 나온게
복소수곱 입니다.
그리고 (1,0)=1 (0,1)=i라고 표기했죠.
만들고 보니 복소수곱은
평면상에서의 회전을 아주 잘 설명했습니다.
이에 자연스럽게 a+bi에서 a+bi+cj로
수 체계를 확장해볼까? 라는 생각을 했지만
이번엔 곱셈에서 문제가 생겼습니다.
고민하던 끝에
a+bi+cj+dk 라는 사원수 체계를
만들면 곱셈은 자연스럽게 정의할 수는
있었습니다.
만들고 보니
사원수로 3차원 공간상에서의 회전을 잘
정의할 수 있었습니다.
당시 수학자들은 RxRxRxR 에서의
두 사원수의 사원수곱의 결과인
(a1,a2,a3,a4)x(b1,b2,b3,b4)
=(c1,c2,c3,c4)에서
c1을 내적 이라고 불렀고
c2,c3,c4 부분을 외적이라고 불렀습니다.
그 때의 내적과 외적을
다듬고 갈고 닦은 것이 지금의
3차원 공간에서의 내적,외적이 되었죠.
지금의 +방향은 그 당시
몇 십년 넘는 세월동안의 수학자들의
노력과 전통이라고 할 수 있습니다.
지금도 벡터에서는 나눗셈을 정의하지않죠.
하호준 자세한 설명 정말 감사합니다...! 큰 도움이 되었습니다 ^^
최고다
단 조건이 벡터장함수F(P, Q, R)를 구성하는 각 축에 해당하는 함수 P,Q,R은 밀도함수여야하나요??
예를들어 P는 YZ 면적에 대한 물리량을 갖는 함수여야되는 것이죠?
정말 감사합니다. 이해 정말 잘돼요.
감사합니다.
와우 그냥 보니까 이해가 가버렸어요
많은 도움이 됐습니다
감사합니다^^
6:47에 반시계방향인데 왜 -로 나오는 건지 모르겠어요
공간상에서 온도의 변화를 표현할때 편미분을 이용하는데 엄밀한 물리적 표현으로는 이상하다고 느껴집니다.
일단 저의 생각을 말하자면 온도의 공간에 대한 함수를 T(x,y,z)라 할때 편미분시 두가지 공간 변수를 상수로 보고 x축 공간 변화만 있을경우의 온도 변화른 나타내고 나머지 공간 변수 y,z도 자신을 제외한 나머지 변수를 상수로 보고 변화를 나타내는데 엄밀하게 보면 입자가 한 축으로만 이동하는게 아닌 x,y,z축으로 각각 dx,dy,dz 미소간격으로 이동 하였을때 3축을 향하여 동시에 운동하므로 온도의 변화량은 T(x+dx,y+dy,z+dz)-T(x,y,z)으로 봐야하는거 아닌가요?
한마디로 실제로는 3축에 대해 동시에 입자가 이동하므로 그 입자에 작용하는 온도는 3변수중(xyz) 한축만 이동한다고 가정하고 각각의 축에 대한 변화율을 더한것은 근접할수는 있겠지만 다르다고 생각되어지는데 같다는 증명법이나 공리가 있을까요??
정리하면 T(x+dx,y+dy,z+dz)-T(x,y,z)의 x성분의 온도 변화크기와 T(x+dx,y,z)-T(x,y,z)의 온도 변화크기가 다른것이 아닌가가 궁금하네요 y와z성분도 마찬가지로 T(x,y+dy,z)-T(x,y,z)와 T(x,y,z+dz)-T(x,y,z)또한 T(x+dx,y+dy,z+dz)-T(x,y,z)의 각각의 y,z성분과 다르다고 생각합니다.
전미분을 찾아보시면 해결될거 같아요.
4:13에서 x방향벡터성분(P)를 곱하는 이유늘 잘 모르겠습니다. 예를 들어 벡터성분이 (2,20,200)인경우 x성분인 2를 곱한다는 건데, 한점에 해당하는 2를 왜 곱하는지 잘모르겠습니다.. 양이면 그냥 델타y와 델타z의 곱만으로도 충분하지않나요?ㅜ
델타y곱하기 델타z는 넓이를 나타낼 뿐이니까 그곳으로 얼만큼 유체가 흐르는지는 알수없겠죠. 비록 한점의 x성분이지만 아주작은 면적에서는 유체가 지나가는 양이 그 한점의 값과 모두 동일하다고 보고 곱한것입니다. 그리고 델타x만큼 떨어진곳과의 값을 비교하는 것이죠. 답변이 도움이 되었나요?
영상을 봐주셔서 감사합니다.
지렸다..
좋은 영상 감사합니다.
영상 중에 이해가 안되는 부분이 있어서 댓글 남겨요.
4:32에서 들어가는 x방향의 벡터가 델타x를 거치면서 크기가 커진점이랑
6:20에서 델타Q/델타x 인데 y방향 벡터의 크기를 왜 x로 편미분하는지도 모르겠어요ㅠㅠ
안녕하세요~
제 영상을 봐주셔서 감사합니다.
첫번째 질문에 대한 것은 델타 x만큼 이동한 지점에서 벡터의 크기는 길어질수도 있고 짧아 질수도 있습니다. 그림에서 빨간벡터를 더 길게 그린것은 편의상 그런것이지 벡터장에 따라서 달라질수 있는것이니 헷갈리지 안으셨으면 합니다.
두번째 질문에 대한 답입니다.
그림에서 화살표의 방향은 위쪽,y축 방향이므로 벡터의 y성분의 크기의 변화량을 구하는 것인데 좌우의 벡터크기를 비교하는 것이므로 x에대해 편미분하는 것입니다.
즉 벡터의 시점이 x에 대해서 변화할때 y성분의 크기가 어떻게 변화하는 것인지를 구하는 것입니다.
감사합니다.
회전을 증명할 때 +y방향으로 물이 흐른다고 가정한 건 이해하겠는데 왜 x축 방향으로는 -x로 흐른다고 가정하셨나요...? 딴 건 다 이해했는데 그게 이해가 안 되네요...
x축의 +방향으로 흐른 다고가정해도 상관은 없어요.단, 전제조건은 반시계로 회전할때 회전하는 정도는 양수로 표현된다는것이에요(오른손규칙). 이때 x축방향에서 양의 방향,즉 오른쪽으로 흐를때는 화살표가 오른쪽으로 그려지고 위아래 두개의 화살표중 위쪽이 짧아져야 반시계로 회전하겠죠.그러면 변화량이 음수이므로 편미분값은 음수인데 이때 회전은 양수로 표현되어야하므로 -를 붙이는게 맞습니다. 반대로 위의 화살표가 더 길다면 시계방향으로 회전하는 힘이 있는것이고 편미분값은 양수이므로 이때도 -를 붙여야 회전하는 정도가 음수로 표현됩니다. 이해가 되시나요?
ㄹㅇ....구세주
한국 수학 교육계의 희망